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5.1.2函数与它的表示法第二课时课件

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5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)

5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)

/人A数学/ 选择性必修 第二册
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1.导数的几何意义就是切线的斜率，因此比较导数大小的问题可以用 数形结合思想来解决．
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
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4.(1)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运 输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方 案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
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2．f(x)在x＝x0处的导数、曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况、点(x0，f(x0))处切 线的斜率与点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的关系如表所示．
f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0)>0 f′(x0)<0 f′(x0)＝0
曲线f(x)在x ＝x0附近的 升降情况
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[刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
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(2)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象 如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是( A ) A.f1′(x0)＞f2′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0) B.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0)＞f4′(x0) C.f4′(x0)＞f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0) D.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0)＞f2′(x0)

3.1.2函数的表示法及应用(第二课时)课件-高一数学同步精品课件(人教A版必修第一册)

3.1.2函数的表示法及应用(第二课时)课件-高一数学同步精品课件(人教A版必修第一册)
x3
x3
x3
5
0 ，所以 y 1
因为
x3
(3) y
所以函数的值域为( ∞，1)∪(1，+∞).
新知探究
探究三：函数的实际应用
例题讲授
例7 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成
绩及班级平均分表. 请你对这三人作一个学习情况像分析.
追问1: 上表反应的是什么样的函数关系，有几个？这些函数的自变量
记作: = (), .
问题2 函数的表示法有哪些？
解析式、表格法、图像法
教学目标
教学
目标
难点
重点
一
会求函数的解析式
二
会求函数的定义域、值域（图像）
易错点
三
函数的实际应用
新知探究
探究一：求函数的解析式
新知讲授
例1.已知函数()是一次函数，且其图象经过点(1,2)和(2,5).
求()（待定系数法）
(960000,+∞)
税率
(0/0)
3
10
20
25
30
35
45
速算扣
除数
0
2520
16920
31920
52920
85920
181920
（1)设全年应纳税所得额为,应缴纳个税
税额为,求＝(),并画出图象；
新知讲授
0.03t , 0 t 36000,
0.1t 2520, 36000 t 144000,
解：设() = +
将（1,2）和（2,5）分别代入
=+
= +
所以 = , = −

函数的表示法 第二课时

函数的表示法 第二课时
1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间； 分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的并集． 2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A： 看集合A中的每一个元素是否都有对应元素，若有， 再看对应元素是否唯一；至于集合B中的元素不作任 何要求．
• 作业：P25
3
f
3 32 13 － ＝1＋－ ＝ .所以 4 2 2
f
1 13 f ＝ . 4 2
(2)若 x≥0，由 x＋1＝2，得 x＝1； 1 1 1 若 x<0，由 ＝2，得 x＝± ，由于 >0，舍 x＝ |x| 2 2 1 1 ，所以 x＝－ . 2 2 1 故 x＝1 或－ . 2
误区解密
因忽视分段函数自变量的范围而出错
x2－1 f(x)＝ 2x＋1
【例 4】 已知函数 若 f(x)＝3，求 x 的值．
x≥0 ， x<0
错解：由x2－1＝3得x＝±2； 由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1. 错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决 此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义 域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函 数，而是一个函数，求值时不能忽视x的取值范围．
－x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ ＝1－x， 2
1 ∴f(x)＝ 1－x
0≤x≤2 . －2<x<0
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
点评：1.对含有绝对值的函数，要作出其图象， 首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式 不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点 的实虚之分．

5.1.2导数的概念及其意义课件(人教版)

5.1.2导数的概念及其意义课件(人教版)

x
1 1 lim 1 x
x0 x
1
lim (
) 1.
x0 1 x
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要 对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位 : C) 为y f ( x) x2 7 x 15( 0 x 8).计算第2h和第6h,原油 温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大 致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该 点的切线近似代替； (2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ； (3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 .
例5.下图是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时 间t（单位min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2，0.4， 0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到0.1) .
小结：
1.导数的定义：
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim lim f (x0 x) f (x0)
y
x0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f '(x0)
2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量 y f (x0 x) f (x0) （2）求平均变化率 y
2.求曲线y 2x2 1在点(1， 1)处的切线方程.
3:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.
解 : lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x y = x 2+1
lim (1 x)2 1 (11)
x0
x
lim 2x (x)2 2.

5.1.2导数的概念及其几何意义(第二课时)课件(人教版)

5.1.2导数的概念及其几何意义(第二课时)课件(人教版)

切线的 斜率k
切线的 倾斜角
f′(x0)＞0 f′(x0)＜0
f′(x0)＝0
上升 降落
平坦
k＞0
锐角
k＜0
钝角
零角(切线与x k＝0
轴平行)
说明：切线斜率的绝对值的大小反应了曲线在相应点附近上升
或降落的快慢.
3.若f′(x)是在区间(a，b)上的增函数，则f(x)的图象是 向下凸的，如例题(1)中图A.若f′(x)在(a，b)上是减函数， 则f(x)的图象是向上凸的，如例题(1)中图B.若f′(x)是在 区间(a，b)上的常函数，则f(x)图象是一条线段，如例题
∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx. ∴f′(x0)＝ lim (4x0＋2Δx)＝4x0，
Δx→0
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°， ∴斜率为 tan 45°＝1.
即 f′(x0)＝4x0＝1 得 x0＝14，该点为14，89.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
数，算到一个新的函数，而不是具体的数。
联系： 函数f (x)在x x0处的导数f (x0)就是其导函数f (x) 在x x0处的函数值。
所以在求某一点的导数，就不用一个一个算了，可以 直接计算出函数的导函数，然后借助导函数研究每一个 点的导数
提示： 导函数也简称导数，所以
如果题目让你计算函数的导数， 一般就是计算它的导函数。
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处 的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然 后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝ f′(x0)(x－x0)．

课件5：1.2.2 第2课时 分段函数及映射

课件5：1.2.2 第2课时 分段函数及映射

[错因分析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定 义．a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．
[思路分析] 对于A映射f：A→B，A中的元素x的象可能是 B中的任意一个元素，故在解此类题时要将问题考虑全面．
[正解] ∵B 中的元素 y＝3x＋1 与 A 中的元素 x 对应， ∴A 中的元素 1,2,3，对应 B 中的元素 4,7,10. ∴a34k＝＋110＝，a2＋3a 或a32k＋＋31a＝＝a14.0. ∵a，k∈N， ∴ak＝＝52.， 这就是所求 a，k 的值．
[分析] 判断一个对应 f 是否为从 A 到 B 的映射，主要从 映射的定义入手，看集合 A 中的任意一个元素，在对应关系 f 下在集合 B 中是否有唯一的对应元素．
[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的对 应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x在对 应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对 于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中无对应元 素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射；对于(4)，满 足映射的定义，能构成映射．
第一章 1.2.2 函数的表示法
第二课时 分段函数及映射
1.分段函数 所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的_ _对__应__关__系__的函数． [知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段 值域的并集．
2．映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任__意__一__个__元素x，在 集合B中都有__唯__一__确__定__的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合__A__到集合__B__的一个映射． [知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对 应．

人教A版必修1高一数学.2函数的表示法教学PPT课件


三种表示方法的特点
解析法 ①函数关系清楚、精确；
②容易从自变量的值求出其对应的函数值； ③便于研究函数的性质.
解析法是中学研究函数的主要表达方法.
图象法 能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今
后利用数形结合思想解题的基础.
列表法 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函
数的对应值，当自变量的值的个数较少时使 用. 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
y
y=-|x+1|+4
5 4
3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y=-|x+1|
4.设A={1,2,3}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元 素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素 2x+1对应．这个对应是不是映射？
x + 2,(x 1) 2.函数 f(x) = x2 ,(1 x 2)若f(x)=3,则x的值 是( D ) 2x,(x 2)
A.1
B. 1或3/2 C. ± 3 D. 3
3.作函数y=－|x＋1|＋4的图像.
y
y=|x|
5 4
3 2 1
-3 -2 -1 1 2 3
x
0
y=-|x+1|的图象与y=|x+1| 的图像关于x轴对称.
ห้องสมุดไป่ตู้
设一封（0 x 200 ）的信函应付的邮资为 （单
位：y分），试写出以 x为自变量的函数 y 的解析式，
并画出这个函数的图象.
解：这个函数的定义域是 0＜x≤200 ，函数解析
式为
80， x ∈ （0，20］
160 ， x ∈ （20，40］
y = 240， x ∈ （40，60］

高中数学选择性必修二(人教版)《5.1.2 导数的概念及其几何意义》课件


－2＋1 Δx＝－12，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x
＋2y＋4＝0.
[方法技巧] 1．过曲线上一点求切线方程的 3 个步骤
2．过曲线外一点 P 求切线方程的 6 个步骤 (1)设切点(x0，f(x0))； (2)利用所设切点求斜率 k＝f′(x0)＝Δlitm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k； (5)根据点斜式写出切线方程； (6)将切线方程化为一般式．
[学透用活]
[典例 3] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [解] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等
于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δt→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝lim Δt→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlitm→0
知识点二 导数的几何意义
(一)教材梳理填空
导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝__Δlit_m→_0__—__ fx0＋Δx－fx0
————Δx———＝f′(x0)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，
因为 y′＝lim Δt →0
x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1 Δx
＝3x2－2x，
则 y′| x＝x0＝3x20－2x0＝1，
解得 x0＝1 或 x0＝－13.

第五章5.1.2第2课时 导数的几何意义课件(人教版)


解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则
y
|x＝x0
＝ lim Δx→0
x0＋Δx3－2x0＋Δx－x30－2x0 Δx
＝3x20－2＝tan π4＝1，
所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1. 当x0＝－1时，y0＝1.
当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0，这时，在t ＝t1附近曲线降落，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0，这时，在t ＝t2附近曲线降落，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这 说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近降落的缓慢.
内容索引
一、导数的几何意义 二、函数的单调性与导数的关系 三、导函数(导数)
随堂演练
课时对点练
一、导数的几何意义
问题1 导数f′(x0)的几何意义是什么？ 提示 我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率， 反应了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况，如下图.
容易发现，平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0表示的是割线 P0P 的斜率，当
跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－12x.求 f′(x).
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－12Δx，
∴ΔΔyx＝2x＋Δx－12.
∴f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝2x－12.
课堂小结
1.知识清单： (1)导数的几何意义. (2)函数的单调性与导数的关系. (3)导函数的概念. 2.方法归纳：方程思想、数形结合. 3.常见误区：切线过某点，这点不一定是切点.

函数和它的表示法PPT教学课件


B．甲向上、乙向上、丙不动
C．甲向上、乙向上、丙向下
D．甲向上、乙向上、丙也向上，但比甲、乙都慢
9．地面观察者看雨滴竖直下落时，坐在匀速前进的
列车车厢中的乘客看雨滴是
( D)
A．向前运动
B．向后运动
C．倾斜落向前下方
D．倾斜落向后下方
解析 匀速前进的列车车厢中的乘客以列车为参考 系，看雨滴应是落向后下方．
(1)定义：在描述物体的运动时，被选定做参考、假 定为 不动 的参照物． (2)意义：观察被研究的物体相对于参考系的位置是 否随 时间 变化以及如何变化． (3)参考系的选取与物体的运动 同一个物体的运动，选取不同的参考系，所得出的结 果可能是 不同 的．一般情况下选取地面或 相对地面 静止 的物体作为参考系．
车为参考系，甲车往西行驶
解析 两车的速度相同时，其相对位置不变，以其中任 一辆车为参考系，另一辆车是静止的，故A正确；若第 三辆车丙与甲、乙两车同向同速行驶，以丙车为参考系 时，甲、乙两车均静止，故B正确；若一人在甲车中走动 时，他与乙车的相对位置是变化的，则乙车是运动的， 故C错；甲车刹车停下，乙车向东行驶，甲车与乙车间 的距离增大，甲车相对乙车向西运动，故D正确． 答案 C
针对练习1 在2008年北京举办的奥运会上，中国代表团参
加了包括田径、体操、柔道等在内的所有28个大项的比
赛，下列几种奥运比赛项目中的研究对象可视为质点的
是
()
A．研究女子撑杆跳高冠军俄罗斯运动员伊辛巴耶娃在
比赛中的起跳动作时
B．帆船比赛中在研究帆船在大海中位置时
C．研究女子跆拳道49公斤级冠军中国小将吴静钰在
D．甲、乙两船以相同的速度同向运动
解析 乙船相对于甲船在运动，故两者不可能以相同的速
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n 1 2 3 4 5 6 7 8 -y --
(2)你能用公式表示这个函数关系吗？这个关系你是怎么 得到的？利用公式求20个这样的等边三角形拼成的图 形的周长； （3）用图像法表示这个函数关系; （4）能否把这些点连接起来？为什么？
例2一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉 5厘米。 1.写出蜡烛剩余长度h（cm）与点燃时间t（h） 之间的函数解析式； 2.求出自变量t（h）可以取值的范围； 3.蜡烛点燃2h后还剩多长？ 4.能够描述蜡烛剩余长度h（cm）与点燃时间 t（h）之间函数关系的图像是（）
函数定义 在同一个变化过程中,有两个变量x,y. 如果 对于变量x在可以取值的范围内每取 一个确定 值,变量y都有一个惟一确定的值与它对应,那么 就说y是x的函数.
结论:
三、自我检测（自测题体现一定的基础，又 有一定的思维含量，只有“细心才对，思 考才会”） 1.写出函数 自变量的取值范围 2. 已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长 为y cm，一腰长为x cm. 写出y与x的函数关系式；
学习目标 • 1. 通过具体问题进一步理解函数的意义， 学会用不同的表示方法表示函数关系， • 2 .会用描点法画出函数图像。 • 3 .通过具体问题感受函数自变量的取值可 能会有限制条件。 • 4.能从一些函数图像上获得信息。
一、旧知回顾： 1.说出画函数图像的一般步骤 2.函数关系有哪些表示方法？ 3.指出下列代数式中字母可以表示的实数的范围 1 2x2＋7
• 1．对于代数式2x+1，它的值是随x的改变而 改变，对于x的每一个值，代数式2x+1也有 唯一的值与它对应，所以代数式2x+1的值是 x的函数。设y=2x+1，即y是2x+1的函数。 这里的x可以的取值范围是 • 2.张老师到商店买了x千克白菜和一个袋子， 每千克白菜2元，每个袋子1元，张老师花了 y元，显然y是x的函数，写出它的关系式为 。函数中x可以取值的范围是 。 • 3．求下列函数的自变探究学案】的三个问题，写出自变量可以 取值的范围。 （1）小明散步所用时间t （2）整存整取的存期x （3）校车行驶的时间t
二、教材助读（要求：认真阅读教材P6-7 对 每个概念和例题形成自己的见解。如果有 疑问随时记录，待课堂上小组交流解决。） • 1．写出函数的意义，用红色笔勾画出需要 注意的地方 • 2.一个变化过程，自变量的取值范围受哪些 条件制约？
同学们, 再见!
求自变量x的取值范围；
四、预习反思 —请你将预习中未能解决的问题和疑惑写下 来，待课堂上与老师和同学探究解决。
（一）问题探究 1求出下列函数中自变量的取值范围，由代数 式的特点总结自变量的取值范围 （1） y＝3x－1； （2）y＝2x2＋7；
• 2．用边长为1的等边三角形拼成图形，如图所示,用Y 表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数 目，显然拼成的图形的周长y是n的函数。 （1）填写下表