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3.1.1 函数的概念(二)本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学. 对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。
但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。
所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。
所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.课程目标学科素养A.能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数B.会求函数的定义域C.会求函数的值域1.逻辑推理：同一个函数的判断；2.数学运算：求函数的定义域，值域；1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：求函数的值域。
多媒体思考2：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值域时为什么分0a >和0a <两种情况？提示：当a >0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y |y ≥4ac －b 24a}． 当a <0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y |y ≤4ac －b 24a }．例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．( ) (2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．( )(3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一个函数．( )[解析] (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 的定义域不相同，所以不是同一个函数． (2)例如f (x )＝3x 与g (x )＝5x的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数． (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 的定义域都是R ，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．例2 (2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y ＝f(x)的图象的是( )[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D 中图象能表示y 是x 的函数．例3．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( A )A ．{－2,0,4}B ．{－2,0,2,4}C ．{y |y ≤－94}D ．{y |0≤y ≤3}例4.下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．{y|－1≤y ≤1}B ．RC ．{y|2≤y ≤3}D ．{－1,0,1}[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．关键能力·攻重难题型一 函数的值域1、函数21,12y x x =-+-≤<的值域是( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．[0,1]D ．[1,5)[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．[解析] 由21,12y x x =-+-≤<，可知当x ＝2时，min 413y =-+=-；当x ＝0时，max 1y =，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．[归纳提升] 二次函数2(0)y ax bx c a =++>的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．题型二 同一个函数2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y ＝x x与y ＝1； (2)y ＝x 2与y ＝x ；(3)y ＝x ＋1·1－x 与y ＝1－x 2.[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否函数概念理解有误1、设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，集合N ＝{y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M 到N 的函数关系的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[错解]函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D ．[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x 在值域中是否有相应的y 值与之对应．[正解] 图(1)定义域M 中的(1,2]部分在值域N 中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B ．[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A 、值域与数集B 之间的关系．学科素养求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用1．分离常数法求函数y ＝3x ＋2x －2的值域． [分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y ＝a ＋c x ＋b的形式再求函数的值域．[解析] ∵y ＝3x ＋2x －2＝(3x －6)＋8x －2＝3＋8x －2， 又∵8x －2≠0，∴y ≠3.∴函数y ＝3x ＋2x －2的值域是{y |y ∈R ，且y ≠3}． [归纳提升] 求y ＝ax ＋c x ＋b 这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为。
第三章 函数第三章 第一课时 函数的概念【基础知识·一定要看】1．函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有__________的数 f x 和它对应，那么就称:f A B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y f x ，x A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {|}f x x A 叫做函数的值域. 2．求函数定义域的常用方法： （1）分母不为零；（2）偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）0的0次没有意义；（4）对数的真数大于零；（还没学）3．相同函数：个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．4．分段函数：如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 一、选择题1．在下面四个图中，可表示函数 y f x 的图象的可能是（ ）A． B． C． D．2．函数1()f x x的定义域是（ ） A．[2,0)(0,)B．[2,) C．RD．(,0)(0,)3．下列每组中的两个函数是同一函数的是（ ）A．1y 与0y x ; B．y y x ;C．y x 与2y;D．y x 与y4． 23,12,1x x f x x x ，则(2)f 等于（ ）A．-2 B．0C．1D．65．函数 2112f x x x， 0,4x 的值域（ ）A． 0,4 B． 1,5 C． 1,4D．1,526．已知 2146f x x ，则 5f 的值为（ ） A．26B．20C．18D．167．已知函数 2,32,3x x f x x x .则 3f f （ ）A．1 B．4 C．9 D．16二、填空题8．函数()1f x 的定义域为 . 9．若 234f x x Bx ，且 112f ，则B = . 10．已知函数()y f x 的表达式4()1f x x，若()2f a ，则实数 a . 11．二次函数 22f x x x ， 1,1x ，则函数 f x 在此区间上的值域为 . 三、解答题12．已知函数 1f x ax x过点（1，5），求a 的值.第三章 第二课时 函数的表示方法【基础知识·一定要看】1．函数的三种表示方法：①待定系数法：若已知f （x ）的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.②换元法：设t ＝g （x ），解出x ，代入f （g （x ）），求f （t ）的解析式即可. 3．常见的几种基本初等函数①正比例函数(0)y kx k ②一次函数(0)y kx b k ③反比例函数(0)ky k x④二次函数2(0)y ax bx c a 一、选择题1．已知(21)44f x x ，则(1)f 的值为（ ） A．2B．4C．6D．82．函数 y f x 的图象如图所示，则 9f （ ） A．5 B．4C．3D．23．已知 212f x x x ，则 f x （ ） A．2xB．21xC．21xD．22x4．已知 f x 是反比例函数，且(3)1f ，则 f x 的解析式为（ ） A． 3f x xB． 3f x xC． 3f x xD． 3f x x5．若函数 f x 和 g x 分别由下表给出： 则 1g f （ ） A．4 B．3C．2D．16．已知 32f x x ，则 21f x 等于（ ） A．32xB．61x C．21xD．65x7．已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x ，则()f x 的解析式为（ ） A．()32f x xB．()32f x xC．()23f x xD．()23f x x二、填空题8．已知 22143f x x ，则 f x .9．已知函数 f x 对于任意的x 都有 212f x x f x ，则 f x . 10．已知等腰三角形的周长为18，底边长为x ，腰长为y ，则y 关于x 的函数关系式为 . 三、解答题11．已知函数 224f x x x ． （1）求 0f ； （2）求 f x 的解析式．第三章 第三课时 函数的性质【基础知识·一定要看】1．函数的单调性 ①单调函数的定义 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的②证明函数单调性的步骤第一步：取值．设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个自变量，且12x x ； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 2．函数的奇偶性 ①函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有 f x f x ，那么 f x 称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有 f x f x ，那么 f x 称为奇函数． ②奇偶函数的图象与性质偶函数：函数()f x 是偶函数 函数()f x 的图象关于y 轴对称； 奇函数：函数()f x 是奇函数 函数()f x 的图象关于原点中心对称；若奇函数()y f x 在0x 处有意义，则有(0)0f .③用定义判断函数奇偶性的步骤第一步：求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否_______________，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；第二步：求()f x ，若 f x f x ，则()f x 是奇函数；若()f x =()f x ，则()f x 是偶函数；若()()f x f x ，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()()f x f x 且 f x f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数.1．若函数 1y a x b ，x R 在其定义域上是增函数，则（ ） A．1aB．1aC．0bD．0b2．函数 f x 在R 上是减函数，则有（ ） A． 25f fB． 25f fC． 25f fD． 25f f3．下列函数中，既是偶函数又在 0, 上单调递增的函数是（ ） A．y xB．1y xC．21y xD．1y x4．若偶函数 f x 在 ,1 上是减函数，则（ ） A． 2.513f f f B． 1 2.53f f f C． 3 2.51f f fD． 31 2.5f f f5．函数 f x 是定义在 0, 上的增函数，则满足 1213f x f的x 的取值范围是（ ） A．12,33B．12,33C．12,23D．12,236．函数22y x x 单调减区间是（ ） A．1,2B． 1,C．1,2D． ,【填空】7．已知 f x 是偶函数， 12f ，则 11f f .8．函数()y f x 是定义在R 上的增函数，且 29f m f m ，则实数m 的取值范围是 .9．函数()y f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，3()f x x x ，则(2)f .10．已知 y f x 在定义域 0,1上是减函数，且 121f a f a ，则实数a 的取值范围 .11．已知函数2()()2f x x m .（1）若函数()f x 的图象过点（2，2），求函数y ()f x 的单调递增区间； （2）若函数()f x 是偶函数，求m 值.12．已知函数 1f x x x（1）判断 f x 的奇偶性并说明理由； （2）判断 f x 在 0,1上的单调性并加以证明.第三章 第四课时 函数的应用一、选择题1．据调查，某存车处（只存放自行车和电动车）在某天的存车量为400辆次，其中电动车存车费是每辆一次2元，自行车存车费是每辆一次1元．若该天自行车存车量为x 辆次，存车总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是（ ） A． 4000400y x x B． 8000400y x x C． 4000400y x xD． 8000400y x x2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（ ）A．69P VB．96P VC．69P VD．96P V3．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：3()360T t t t ，时间的单位是小时，温度的单位是C ，0 t 表示中午12时，其后取值为正，其前取值为负，则上午8时的温度为（ ） A．18CB．8CC．0CD．4C二、填空题4．若某一品种的练习册每本2.5元，则购买x 本的费用y 与x 的函数关系是 . 5．某社区超市的某种商品的日利润y （单位：元）与该商品的当日售价x （单位：元）之间的关系为21221025x y x ，那么该商品的日利润最大时，当日售价为 元.三、解答题6．某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本 （元）是印数 （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？x x7．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y (℃)，从加热开始计算的时间为 min x ．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min 后温度达到60℃．(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？。
《函数的表示方法》教案教学目标1、知识目标：(1) 掌握函数的三种常见的表示方法；(2) 了解函数表示形式的多样性用其转化;(3)根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用.2、能力目标：(1) 使学生掌握函数的三种常用表示方法的选用；(2) 使学生初步认识用函数的知识解决具体问题；(3) 使学生初步了解数形结合的思想方法．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．教学重难点：重点：对函数图象的分析．难点：通过函数的解析式分析函数的图象．教学过程：一．复习引入1、函数的概念；2、函数的定义域和对应法则；问题1：初中时我们是如何作函数y = 2x + 1的图象的？师生互动:教师提出问题，学生思考后回答问题．设计意图：通过对旧知识的回顾，为新知识的学习做好认知铺垫．二．概念形成投影出P38人口普查实例．问题2：所列表格能否表示一个函数？为什么？1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．问题3：y = 2x + 1的图象能否表示一个函数？为什么？2、图象法：如果图形F是函数y=f(x)的图象，则图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫做图象法．问题4：我们在作作函数y = 2x + 1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y = 2x + 1这种表示方法则叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？3、解析法：如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法． 师生互动：教师逐一提出问题，学生思考后回答，依次引入函数的三种常见的表示方法． 设计意图：通过生活中的实际问题，使学生进一步认识到，数学源于生活；通过对学生熟悉的问题1引入函数的三种常见的表示方法，使学生感受到本课所学的知识仅仅是以前所学知识的概括与深化．三．概念深化问题5：三种表示函数的方法各有优缺点．请你认真思考、对比，或与周围的同学研究、探讨一下，然后谈谈你的看法，供其他同学参考和借鉴．4、三种表示函数的方法各有优缺点：(1) 用解析法表示函数关系优点：简间明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算．缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算．(2) 用列表法表示函数关系优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便．缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律．(3) 用图象法表示函数关系优点：形象直观．可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化．缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．师生互动：教师提出问题，让学生充分思考、探讨、交流，然后发表意见．设计意图：通过对函数三种表示方法的优缺点比较，使学生进一步理解概念，并在今后的学习中学会根据情况选择恰当的表示方法.四．应用举例例1作函数y 的图象．例2 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
3.1.2函数的表示法（第2课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)深圳市坪山高级中学钟南林一、教学目标1.明确函数的三种表示方法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.二、教学重难点1.函数的三种表示方法，分段函数的概念.2.如何根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三、教学过程1.复习导入1.1函数三种表示方法定义及优缺点1.2分段函数的定义及特点(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．【设计意图】在上节课的基础上进一步掌握比较函数三种不同表示方法的优缺点，为本节课在具体情境中选取何种函数的表示方法作铺垫，同时对分段函数的特点进一步深化，为在具体实例中应用分段函数做好准备。
2.探究典例例1 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表问题1：上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？【预设的答案】4个；测试序号；{1，2，3，4，5，6}【设计意图】让学生体会列表法不单单是表示一个函数，让学生体会列表法表示多个函数，进一步理解函数的定义.问题2：上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？【预设的答案】用解析法并不能很好的表示出对应的解析式，可以类似例题4用图像法表示。
【设计意图】在问题1的基础上继续追问，让学生进一步深化函数三种表示方法的优缺点.问题3：若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？【预设的答案】表格上并不能很好的看出每位同学的成绩变化情况，用图像法较好【设计意图】让学生体会用表格区分三位同学的成绩变化并不直观，引导学生用图像法分别表示出三个同学的成绩和班级平均分对应的函数图像，让学生体会在实际需要中选择恰当的方法表示函数是需要给予关注的.问题4：试根据图象对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析？【预设的答案】王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提升.【活动预设】让学生动手将每个同学的成绩与测试序号之间的函数关系分别用图像（均为6个离散的点）表示出来，学生分组讨论，能从图像上得出哪些结论，每组派代表进行发言，.【设计意图】让学生动手做出每位同学成绩对应的散点图，让学生进一步理解函数定义域与值域的对应关系，并体会如何能更好的表示出每位同学成绩变化情况。
第二课时函数的表示方法课标要求素养要求1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养.2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y 是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式. (2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题提示解析法、图像法和列表法.1.函数的三种表示方法函数的定义中，对应关系有哪三种表达形式(1)解析法：在函数y ＝f (x )中，如果f (x )是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法.(2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. (3)图像法①函数图像：一般地，将函数y ＝f (x )，x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x ，y )组成的集合F 称为函数的图像，即F ＝{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }.②图像上点的坐标与函数的关系：如果F 是函数y ＝f (x )的图像，则图像上任意一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )；反之，满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在函数图像F 上.③图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ④作函数图像的方法ⅰ.描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. ⅱ.变换作图法 图像的变换不简单b.对称：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x ).求解y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )的关系时需利用该结论. c.其他：y ＝f (x )―――――――――――――――→保留x 轴上方图像，再把x 轴下方图像翻折到上方y ＝|f (x )|；y ＝f (x )――――――――――――――――――――――――――――――→删掉y 轴左侧的图像，保留y 轴右侧的图像，并把y 轴右侧的图像翻折到左侧，得到y 轴左侧的图像y ＝f (|x |).2.分段函数与常数函数(1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.(2)常数函数：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等.教材拓展补遗[微判断]1.任何一个函数都可以用列表法表示.(×)提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示. 2.任何一个函数都可以用图像法表示.(×)提示 有些函数是不能画出图像的，如f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q .3.函数的图像一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(×) 提示 反例：f (x )＝1x 的图像就不是连续的曲线. 4.分段函数是一个函数.(√)5.函数f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋1(x ∈N )的图像相同.(×) 提示 两函数的定义域不同，则图像不同.6.若f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )＝3x －1.(√) [微训练]1.函数f (x )＝3x －1，x ∈[1，5]的图像是( ) A.直线 B.射线 C.线段D.离散的点解析 ∵f (x )＝3x －1为一次函数，图像为一条直线，而x ∈[1，5]，则此时图像为线段.故选C. 答案 C 2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <1且x ≠－1，x －1，x >1，则f (2)＝( ) A.0B.13C.1D.2解析f(2)＝2－1＝1.故选C.答案 C3.下列函数中不满足f(2x)＝2f(x)的是()A.f(x)＝|x|B.f(x)＝x－|x|C.f(x)＝x＋1D.f(x)＝－x解析验证法.若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)，故选C.答案 C[微思考]1.是否所有的函数都有三种表示方法呢？提示不是，有些函数无法写出其解析式.2.函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图像的依据是什么？提示要检验一个图形是否为某个函数的图像，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为在此定义域内的函数图像；若无交点或多于1个交点，则不是函数图像.题型一三种表示法的应用无论用哪种方式表示的函数，都必须满足函数的概念【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来.解(1)列表法：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图像法：(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}. 规律方法 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象，图像法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.【训练1】 将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x ∈N *)的函数关系.解 这个函数的定义域为{x |1≤x <10，x ∈N *}. ①解析法：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫10－x 42. 将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋254，x ∈{x |1≤x <10，x ∈N *}. ②列表法：一段铁丝长x (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和S (cm 2) 418174298134258134298174418题型二求函数解析式方向1换元法(配凑法)、方程组法求函数解析式换元法要注意新元的取值范围，否则易弄错函数定义域【例2－1】求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).解(1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.(2)法一(换元法)：令t＝x＋1，t≥1，则x＝(t－1)2，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1. 因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①－2×②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝13x2－2x.规律方法 1.已知f[g(x)]＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法，即从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.方向2用待定系数法求函数解析式【例2－2】(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝16x－25，求f(x)；(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).解(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴⎩⎨⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝253，∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1. 规律方法 待定系数法求函数解析式：已知所要求的f (x )的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f (x )的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.【训练2】 (1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).解 (1)法一(换元法) 令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1. 法二(配凑法)f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1， ∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，令t ＝x －1x ，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴用1x 代替x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝23x －x3(x ≠0). 题型三 分段函数求值问题解决此问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段就用哪一段的解析式【例3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52. 解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12.【迁移1】 (变换所求)例3条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值.解 当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.【迁移2】 (变换所求)例3的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围. 解 当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； 当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； 当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈∅. 综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}. 规律方法 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 当出现f [f (x 0)]的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.【训练3】 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >10，f [f （x ＋5）]，x ≤10，则f (5)的值是( )A.24B.21C.18D.16(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，若f (a )<－3，则a 的取值范围为()A.(－3，＋∞)B.[－3，＋∞)C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析 (1)f (5)＝f [f (10)]，f (10)＝f [f (15)]＝f (18)＝21，∴f (5)＝f (21)＝24.故选A. (2)当a ≤－2时，a <－3，∴a <－3；当－2<a <4时，a ＋1<－3，a <－4，此时不等式无解； 当a ≥4时，3a <－3，a <－1，此时不等式无解，故选C. 答案 (1)A (2)C题型四 分段函数的图像与应用坚持定义域优先的原则，注意定义域内各分界点，应不重不漏 【例4】 (1)已知f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式为________.(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2).①用分段函数的形式表示函数f (x )；②画出函数f (x )的图像；③写出函数f (x )的值域.(1)解析 当0≤x ≤1时，f (x )＝－1； 当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝－1，2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－2，此时f (x )＝x －2. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.答案 f (x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2(2)解 ①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1， 当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x . 所以f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.②函数f (x )的图像如图所示.③由(2)知，f (x )在(－2，2]上的值域为[1，3).规律方法 1.由分段函数的图像确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型. (2)设函数式：设出函数的解析式.(3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式. (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 2.作分段函数图像的注意点作分段函数的图像时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图像在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点. 【训练4】 已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 （－1≤x ≤1），1 （x >1或x <－1）.(1)画出f (x )的图像； (2)求f (x )的值域.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图像，如图所示.(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1].一、素养落地1.通过本节课的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.2.函数三种表示法的优缺点3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.二、素养训练1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝()x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 234 5A.2C.4D.5解析由表可知f(11)＝4.答案 C2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是()A.f(x)＝x2＋6xB.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3D.f(x)＝x2＋6x－10解析法一设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A. 答案 A3.已知函数f (x )由下表给出，则f [f (3)]＝________.x 1 2 3 4 f (x )3241解析 1. 答案 14.已知f (x )是一次函数，若f [f (x )]＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________. 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b . 又f [f (x )]＝4x ＋8，∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－8.∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8. 答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 5.已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2). (1)画出f (x )图像的简图； (2)根据图像写出f (x )的值域. 解 (1)f (x )图像的简图如图所示.(2)观察f (x )的图像可知，f (x )图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f (x )的值域是[－1，3].基础达标一、选择题1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （2）的值为( )A.1516 B.－2716 C.89D.18解析 当x >1时，f (x )＝x 2＋x －2，则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f （2）＝14.当x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （2）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.故选A. 答案 A2.已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.4B.14C.16D.116解析 根据题意令1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16.答案 C3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，则函数f (x )的图像是( )解析 当x ＝－1时，y ＝0，即图像过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图像过点(1，2)，B 错.故选A. 答案 A4.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图像是如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f [g (2)]＝( )x123f (x ) 2 3 0A.3B.2C.1D.0解析 由题图知g (2)＝1，∴f [g (2)]＝f (1)＝2.故选B. 答案 B5.设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则()A.x ＝－x |sgn x |B.x ＝－x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 对于选项A ，右边＝－x |sgn x |＝⎩⎨⎧－x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝x ，显然不正确；对于选项B ，右边＝－x sgn |x |＝⎩⎨⎧－x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝x ，显然不正确；对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎨⎧|x |，x >0，0，x ＝0，－|x |，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确.故选D. 答案 D 二、填空题6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f {f [f (－2 018)]}＝________.解析 f (－2 018)＝0，∴f [f (－2 018)]＝f (0)＝π， ∴f {f [f (－2 018)]}＝f (π)＝π2＋1. 答案 π2＋17.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，若f (x 0)＝8，则x 0＝______.解析 当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍).当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或4. 答案 －6或48.已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________. 解析 由表中对应值，知f [g (1)]＝f (3)＝1.当x ＝1时，f [g (1)]＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不满足条件； 当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，满足条件； 当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3，不满足条件； 所以满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是2. 答案 1 2 三、解答题9.求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x ). (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x ).(4)若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，求f (x ).解 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2(x ≥1). (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2). (4)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，①∴用1x 代替x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝2x ＋12，②①×2－②得3f (x )＝4x －2x ＋12， ∴f (x )＝43x －23x ＋16(x ≠0).10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈（0，2），3，x ∈[2，＋∞）.(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (4)的值；(2)求函数的定义域、值域.解 (1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32＝－34，f (4)＝3.(2)作出图像如图所示.利用数形结合易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.能力提升11.已知f (x )＝x 2－bx ＋c 且f (1)＝0，f (2)＝－3.(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f ⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1的表达式及其定义域. 解 (1)由⎩⎨⎧f （1）＝0，f （2）＝－3，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－3，解得b ＝6，c ＝5， 故f (x )＝x 2－6x ＋5.(2)由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝1x ＋1－6x ＋1＋5，由x ＋1>0得x >－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1的定义域为(－1，＋∞). 12.给定函数f (x )＝4－x 2，g (x )＝3x ，x ∈R . (1)画出函数f (x )，g (x )的图像；(2)∀x ∈R ，用m (x )表示f (x )，g (x )中的较小者，记为m (x )＝min{f (x )，g (x )}，请分别用图像法和解析法表示函数m (x ).解 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图像，如图.(2)结合函数m (x )的定义，可得到m (x )的图像如图.由4－x 2＝3x ，得x ＝－4或x ＝1， 结合m (x )的图像， 得m (x )的解析式为m (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，x <－4，3x ，－4≤x ≤1，4－x 2，x >1.。
