2018-2019学年北师大版必修一3.4.2换底公式作业

3.4．2 换底公式1. 能推导出对数的换底公式．(重点)2. 会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 换底公式阅读教材P 83～P 86有关内容，完成下列问题．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( )(2)log 52＝log －3 2log －3 5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2. (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 【解析】 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.【答案】 D[小组合作型]1681(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.【精彩点拨】 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】 (1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.1. 换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．2. 换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m＝m nlog a b .[再练一题]1. 化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) 【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56log 23·32log 32＝54.1836【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以18为底的对数． 【尝试解答】法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a， 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9) ＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18 18×2＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a.法二：∵18b＝5， ∴lo g 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18 5×9log 18 4×9＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.法三：∵log 189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 9×5 lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： 1 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； 2 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； 3 注意一些派生公式的使用.[再练一题]2. 若本例条件不变，求log 92545(用a ，b 表示)．【解】 由18b＝5，得log 185＝b ，∴log 92545＝log 1845log 18925＝log 185＋log 189log 189－log 1825＝b ＋aa －2b.[探究共研型]探究 1 设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .试写出y 关于x 的函数关系式．【提示】 依题意得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ，其中x ≥1，x ∈N .探究 2 探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)【提示】 依题意得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x≤a ×12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ≤12⇒x (2lg 3－1)≤－lg 2⇒x ≥0.301 01－2×0.477 1≈6.572，∴x min ＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题． (1)写出该城市x 年后的人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出y 与x 的函数关系式，再利用对数求值． 【尝试解答】 (1)由题意y ＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x ∈N ＋)． (2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2， ∴x＝log 1.0121.2＝lg 1.2lg 1.012≈0.079 20.005 2≈15，故大约15年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤[再练一题]3. 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90)t，两边取常用对数，得lg 12＝ t2lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.【答案】 131. 若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b aB.a bC ．a bD ．b a【解析】 log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .【答案】 B2. log 2125·log 3 18·log 5 19＝________.。

3.4.2 换底公式本节教材分析我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.三维目标1．知识与技能①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的运算性质.②让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观：让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.教学重点：对数运算的性质与对数换底公式的应用．教学难点：对数概念的理解，对数换底公式的推导及应用．教学建议：1. 先给学生证明公式，让学生明白如何证明，如何应用.2. 注意公式的灵活性与限制范围.强调.3. 通过实例说明换底公式的意义.新课导入设计导入一:问题：你能根据对数的定义推倒下面的换底公式吗？,0>a .且,0,1>≠c a 且.log log log ,0,1a b b b c c c a =>≠教师直接点题.导入二：前面我们学得是同底的对数问题，那么不同底的对数，应该如何处理呢？这就是本节课研究的主要内容，教师板书课题.2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ） A ．2B ．3C ．7D ．8 【答案】C【解析】【分析】先确定集合M 中元素，可得非空子集个数．【详解】由题意{(1,1),(1,2),(2,1)}M =，共3个元素，其子集个数为328=，非空子集有7个． 故选：C ．【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有n 个元素的集合其子集个数为2n ，非空子集有21n -个．2．记集合(){}22,16A x y x y =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14π B ．1π C ．12π D ．24ππ- 【答案】C【解析】【分析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M 落在区域2Ω内的概率，只要求A 、B 所表示区域的面积，然后代入概率公式21P Ω=Ω区域的面积区域的面积，计算即可得答案． 【详解】根据题意可得集合22{(,)|16}A x y x y =+…所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合{(,)|40B x y x y =+-„，0x …，0}y …表示的平面区域即为图中的Rt AOB ∆，14482AOB S ∆=⨯⨯=， 根据几何概率的计算公式可得81162P ππ==， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积． 3．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，则λμ+的值为( )A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】B【解析】【分析】 设BM tBC =u u u u v u u u v ，通过12AN AM =u u u v u u u u v ，再利用向量的加减运算可得122t t AN AB AC -=+u u u v u u u v u u u v ，结合条件即可得解.【详解】设BM tBC =u u u u v u u u v， 则有()()11111122222222t t t AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -==+=+=+-=+u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .又AN AB AC u u u v u u u v u u u vλμ=+，所以122t tλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有11222t t λμ-+=+=. 故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.4．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =--C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+ 【答案】A【解析】【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切， 易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x=?.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.5．等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE ⊥DE ，进一步可得AE ＝DE ，此时E ﹣ABD 为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB 中点O ，连接DO ，EO ，则∠DOE 为二面角D ﹣AB ﹣E 的平面角，为θ，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE ∈[，π），所以θ≥∠DAE 不成立．（3）不正确；对于（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，P 到BC 的距离为：d P ﹣BC ， 因为＜1，所以点P 的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C ．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.6．若()12n x -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】【分析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rr n r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可 【详解】()12n x -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440nC =，∴4n =-（舍）或5n =.【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题7．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D【解析】【分析】 先将2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化为2cos 26π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果.【详解】 因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.8．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点,5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B ．10C ．10D 【答案】A【解析】【分析】根据单位圆以及角度范围，可得m ，然后根据三角函数定义，可得sin ,cos θθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：2215m ⎛+= ⎝⎭，又θ为锐角所以0m >，5m =根据三角函数的定义：sin 55θθ== 所以4sin 22sin cos 5θθθ== 223cos 2cos sin 5θθθ=-=- 由sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以43sin 24525210πθ⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 故选：A【点睛】 本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.9．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128【答案】B【解析】【分析】 列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环.【详解】第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 10．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．643πB ．2563πC ．4363πD 2048327π 【答案】B【解析】由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得2215825872BC =+-⨯⨯⨯= ，ABC V 的外接圆圆心2sin 33BC r r B ==∴=三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2d SA == 则外接球的半径()22764533R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 11．函数()2ln x f x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x =+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 12．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B.32C ．1 D.23【解析】 原式＝lg 16lg 27×lg 3lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23.【答案】 D2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．1＋3a －a 2【解析】 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.【答案】 A3. (2016·石景山高一检测)若x ＝60，则1log 3x ＋1log 4x ＋1log 5x的值为() A ．1 B.12C ．2D ．以上都不对【解析】 原式＝log x 3＋log x 4＋log x 5＝log x 60＝log x x ＝1.【答案】 A4．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( )A.12 B ．9C ．18D ．27【解析】 由题意得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝log 442＝2，∴lg m lg 3＝2，即lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.【答案】 B5．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c【解析】 B 中log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，A 、C 、D 中由对数的运算法则知不成立．【答案】 B二、填空题6．计算：log 43·log 3432＝________.【解析】 原式＝lg 3lg 4·lg 432lg 3＝54lg 22lg 2＝58. 【答案】 587．若m log 35＝1，n ＝5m ＋5－m ，则n 的值为________． 【解析】 ∵m log 35＝1， ∴m ＝1log 35＝log 53， ∴n ＝5m ＋5－m ＝5log 53＋5－log 53＝3＋5log 513＝3＋13＝103. 【答案】 1038．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________.【解析】 因为⎩⎨⎧ p ＝lg 2lg 6，q ＝lg 5lg 6，故lg 2lg 5＝p q ， 故1－lg 5lg 5＝p q ，则lg 5＝q p ＋q . 【答案】 q p ＋q三、解答题9．求下列各式的值：(1)(2016·西城高一检测)log 427·log 258·log 95；(2)(2016·济南高一检测)log 225·log 3116·log 519.【解】 (1)原式＝lg 27lg 4·lg 8lg 25·lg 5lg 9＝3 lg 32lg 2·3lg 22lg 5·lg 52 lg 3＝98.(2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－lg 3·－lg 5＝16.10．已知x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z .(1)求使2x ＝py 的p 的值；(2)求证：12y ＝1z －1x . 【导学号：04100059】【解】 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log3klog 34， ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .[能力提升]1．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于() A ．1 B ．－2C ．－103D ．－4【解析】 由(lg x )2－lg x 2－3＝0，即(lg x )2－2lg x －3＝0，解得lg x ＝3或lg x ＝－1，故x ＝103或x ＝10－1＝110.不妨令a ＝103，b ＝110，故log a b ＋log b a ＝log 103110＋log 110103＝－13－3＝－103.【答案】 C2．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝________.【解析】 原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5lg 3·lg 9lg 25·lg 5 ＝1＋lg 2lg 5－lg 2－lg 2lg 5－lg 5lg 3·2lg 32lg 5·lg 5 ＝1－lg 2－lg 5＝1－1＝0.【答案】 03．某城市为加快现代化都市的建设，决定从2007年起逐年增加城市化面积．若每年的新增绿地亩数比上一年递增10%，则该市实现绿地面积翻两番大约是在哪一年？(参考数据：lg2＝0.301 0，lg1.1＝0.041 4)【解】 若设该市2006年年底有绿地面积a ，则经过1年，即2007年的绿地面积是a ＋a ·10%＝a (1＋10%)；再经过一年，即2008年的绿地面积是a (1＋10%)2；经过3年，即2009年的绿地面积是a (1＋10%)3，…，经过x 年的绿地面积是a (1＋10%)x ，依题意，a (1＋10%)x＝4a ，即(1＋10%)x ＝4，∴x ＝log 1.14＝2lg2lg1.1≈15.∴大约经过15年，也就是到2022年该市的绿地面积将翻两倍．。

4.2 换底公式知识点一：对数的换底公式 1．log 3264的值是 A.65 B.56 C ．2 D.12 2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于A ．9 B.19 C ．25 D.1253.log 89log 23的值是 A.23 B ．1 C.32 D ．2 4．log 25·log 38·log 59的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 5.1145111193log log等于A ．lg3B ．－lg3 C.1lg3 D ．－1lg36．设N ＝1log 23＋1log 53，则A ．N ＝2B ．N ＝－2C ．N ＜－2D ．N ＞27．log 3125·log 7181·log 5149的值是__________．8．计算：(1)log 23·log 27125； (2)log 2125·log 318·log 519；(3)log 43·log 925·log 58.知识点二：换底公式的简单应用9．已知(11.2)a ＝1 000，(0.011 2)b ＝1 000，那么1a －1b等于A ．1B ．2C ．3D ．410．若lg2＝m ，log 310＝1n ，则log 56等于A.m ＋2n m ＋1B.mn 1－mC.m ＋n 1－mD.mn 1＋m11．设a ＞1，b ＞1，p ＝log b (log b a )log b a，则a p 等于A ．1B ．log a bC ．log b aD ．b 12．(易错题)已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于 A.a b －1 B.32(b －1) C.3a 2(b ＋1)D.3(a －1)2b13．已知log 23＝a ，log 25＝b ，试用a 、b 表示log 295、log 315.知识点三：对数的实际应用14．抽气机每次抽取容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)15．2009年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长率8%，那么经过多少年后国民生产总值是2009年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)能力点一：利用换底公式化简、求值 16.log 2716log 34的值为A ．2 B.32 C ．1 D.2317．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 518的值等于A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a 18．log 2125·log 38·15log 27的值是__________． 19．已知log 73＝a ，log 74＝b ，则log 4948的值为__________(用a 、b 表示)． 20．利用对数的换底公式化简下列各式： (1)log 56·log 67·log 78·log 89·log 910；(2)(log 25＋log 415)(log 52＋log 2512)．21.求(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)的值．22．(易错题)(1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a 、b 表示log 1456； (2)已知log 32＝a,3b ＝5，用a 、b 表示log 330； (3)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.23．求(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )·log 9n32的值．能力点二：综合应用24．设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，那么 A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b D.2c ＝1a ＋2b 25．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 26．若y ＝log 56·log 67·log 78·log 89·log 910，则有 A ．y ∈(0,1) B ．y ∈(1,2)C ．y ∈(2,3)D ．y ＝1或y ＝227．已知2log x 25－3log 25x ＝1，则x 的值是__________．28．若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b＝__________.29．已知log m 7log m 56＝a ，log n 8＝blog n 56(m ，n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝__________，71a＝__________.30．已知常数a(a ＞0且a ≠1)，变量x ，y 之间有关系：log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若y 有最小值8，求a 的值．31．已知a ＞0且a ≠1，若log 2a ＋log a 8＝4，则： (1)判断函数f(x)＝x a ＋3的奇偶性； (2)计算log a 27·log 364的值； (3)判断函数g(x)＝a x 的单调性．答案与解析基础巩固1．A 2.D 3.A 4.B5．C 原式＝lg 14lg 19＋lg 15lg 13＝lg4lg9＋lg5lg3＝2lg22lg3＋lg5lg3＝lg2＋lg5lg3＝1lg3.6．D ∵N ＝log 32＋log 35＝log 310， ∴3N ＝10＞9＝32.由y ＝3x 是R 上的增函数，知N ＞2. 7．－16 原式＝log 325－1·log 781－1·log 549－1 ＝－log 325·log 781·log 549 ＝－lg25lg3·lg81lg7·lg49lg5＝－2lg5lg3·4lg3lg7·2lg7lg5＝－16.8．解：(1)原式＝lg3lg2·3lg53lg3＝lg5lg2＝log 25.(2)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝－2lg5lg2·－3lg2lg3·－2lg3lg5＝－12.(3)原式＝lg3lg4·lg25lg9·lg8lg5＝lg32lg2·2lg52lg3·3lg2lg5＝32.9．A 由(11.2)a ＝1 000，得a ＝log 11.21 000； 由(0.011 2)b ＝1 000，得b ＝log 0.011 21 000.∴1a －1b ＝1log 11.21 000－1log 0.011 21 000＝log 1 00011.2－log 1 0000.011 2＝log 1 00011.20.011 2＝log 10001 000＝1.10．C ∵lg2＝m ，log 310＝1lg3＝1n，lg3＝n ， ∴log 56＝lg6lg5＝lg2＋lg31－lg2＝m ＋n1－m .11．C 由换底公式，得p ＝log b (log b a )log b a＝log a (log b a)，∴a p ＝log b a ，故选C. 12．C ∵log 89＝log 2332 ＝23log 23＝a ， ∴log 23＝32a.又log 25＝b ，∴lg3＝log 23log 210＝log 23log 25＋1＝32a b ＋1＝3a 2(b ＋1). 点评：换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，使用的关键是选择谁为底数，换底的目的是实现对数式的求值、化简、证明．本题中已知与未知对数式的底数不同，所以为了求出未知对数式，就要利用换底公式，将未知换成已知对数式的底数．若将底数换成谁都搞不清楚，该类问题就会无从入手，或乱换一气使运算量加大，甚至导致错解．13．解：∵log 23＝a ，log 25＝b ， ∴log 295＝log 29－log 25＝2log 23－log 25＝2a －b ， log 315＝log 215log 23＝log 23＋log 25log 23＝a ＋ba.14．解：设抽n 次可使容器内的空气等于原来的0.1%，则 a·(1－60%)n ＝a ×0.1%(设原来容器中的空气体积为a)． 即0.4n ＝0.001.∴n ＝log 0.40.001＝lg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%. 15．解：设经过x 年后国民生产总值是2009年的两倍． 经过1年，总产值为a(1＋8%)， 经过2年，总产值为a(1＋8%)2， …经过x 年，总产值为a(1＋8%)x . 由题意得a(1＋8%)x ＝2a ， 即1.08x ＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x ＝lg2， 即x ＝lg2lg1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)． 方法二：(用换底公式)∵1.08x ＝2， ∴x ＝log 1.082＝lg2lg1.08≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2009年的2倍．能力提升16．D 原式＝13log 316log 34＝13log 416＝23. 17．D log 518＝lg18lg5＝lg2＋2lg31－lg2＝a ＋2b1－a. 18．18 原式＝－2lg5lg2·3lg2lg3·3lg3－lg5＝18.19.a ＋2b 2 ∵log 73＝a ，log 74＝b ，∴log 4948＝log 748log 749＝log 7(3×16)2＝log 73＋log 7422＝a ＋2b2.20．解：(1)原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝log 510.(2)原式＝(lg5lg2＋lg 15lg4)(lg2lg5＋lg 12lg25)＝(lg5lg2－lg52lg2)(lg2lg5－lg22lg5)＝1－12－12＋14＝14.21.解：原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)·(2log 32＋32log 32＋log 32)＝(53log 23)(92log 32)＝152log 23·log 32＝152. 22．解：(1)由log 23＝a ，log 37＝b 得log 23·log 37＝log 27＝ab. ∴log 1456＝log 256log 214＝log 2(7×8)log 2(2×7)＝log 27＋log 28log 22＋log 27＝3＋log 271＋log 27＝3＋ab 1＋ab .(2)∵3b ＝5，∴b ＝log 35.又∵log 32＝2，∴log 330＝12log 3(2×3×5)＝12(log 32＋log 33＋log 35)＝12(a ＋b ＋1)． (3)∵18b ＝5，∴log 185＝b. 又∵log 189＝a ，∴log 182＝1－log 189＝1－a. ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b1＋1－a ＝a ＋b2－a. 点评：用已知对数表示新的未知对数，一般方法是运用对数的运算法则及有关公式，将所求对数式转化为含有已知对数式的代数和的形式．只有将未知对数式的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，才好利用运算性质．但要注意运算性质只有在同底的情况下才能运用，当底数不同时，要用换底公式，一般要换成已知对数的底数(如第(1)(3)小题)．23．解：∵log an b m ＝log a b m log a a n ＝mlog a b nlog a a ＝mn log ab.(当m ＝n 时，log an b n ＝log a b)． ∴原式＝(log 23＋log 2232＋log 2333＋…＋log 2n 3n )·log 32321n＝·12nlog 332 ＝nlog 23·12n log 325＝52log 23·log 32＝52.24．B 设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则a ＝log 3k ＝1log k 3，b ＝log 4k ＝1log k 4，c ＝log 6k ＝1log k 6，所以1a ＝log k 3，1b ＝logk4，1c ＝log k 6.由log k 3＋12log k 4＝log k 6，得1a ＋12b ＝1c ，即2a ＋1b ＝2c. 25．A ∵2.5x ＝1 000，∴x ＝log 2.51 000， 1x ＝1log 2.51 000＝log 1 0002.5. 同理，1y ＝log 1 0000.25，∴1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25 ＝log 1 0002.50.25＝log 1 00010＝13.26．B ∵y ＝log 56·log 67·log 78·log 89·log 910＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝lg2＋lg5lg5＝1＋lg2lg5， ∵0＜lg2lg5＜1，∴1＜1＋lg2lg5＜2，即y ∈(1,2)． 27．25－1或2523 ∵log x 25＝1log 25x，∴原等式即为2log 25x －3log 25x ＝1.∴3(log 25x)2＋log 25x －2＝0. 令log 25x ＝t ，则3t 2＋t －2＝0， 解得t ＝－1或t ＝23.当t ＝－1时，log 25x ＝－1. ∴x ＝25－1.当t ＝23时，log 25x ＝23，∴x ＝2523，故x 值为25－1或2523.28．1 由2a ＝5b ＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510， ∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg2＋lg5＝1.29．1 56 由换底公式，得log m 7log m 56＝log 567＝a ，b ＝log n 8log n 56＝log 568. ∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1.∵log 567＝a ，∴1a＝log 756. ∴71a＝7log 756＝56. 拓展探究30．解：log a x ＋3log x a －log x y ＝3，∴log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3，log a y ＝log 2a x －3log a x ＋3， ∴y ＝a [(logax)2－3logax ＋3]＝a [(logax －32)2＋34]．当log a x ＝32时，(log a x －32)2＋34有最小值34，∴当y 有最小值时，a ＞1.从而y min ＝34a ＝8. ∴a ＝438＝24＝16.31．解：∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4.∴log 22a －4log 2a ＋3＝0.(log 2a －1)(log 2a －3)＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3.∴a ＝2或a ＝8.(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f(x)＝x 8＋3也是偶函数．∴f(x)＝x a ＋3为偶函数．(2)当a ＝2时，原式＝log 227·log 364＝lg27lg2·lg64lg3＝3lg3lg2·6lg2lg3＝18； 当a ＝8时，原式＝log 827·log 364＝lg27lg8·lg64lg3＝3lg3lg8·2lg8lg3＝6.(3)∵g(x)＝2x或g(x)＝8x，且2与8都大于1，∴g(x)＝a x在R上是增函数．。

高中数学 3.4.2《换底公式》测试北师大版必修1例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为[ ]解 B 由已知有[ ] A．b＞a＞1B．1＞a＞b＞0C．a＞b＞1D．1＞b＞a＞0解 A 由已知不等式得故选A．[ ]故选A．[ ]A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2)2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，[ ]A．m＞p＞n＞qB．n＞p＞m＞qC．m＞n＞p＞qD．m＞q＞p＞n例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____；(2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____．由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．例1-6-45已知log1227=a，求log616的值．例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小：例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足3log x a+log a x-log x y=3(1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y；(2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．解 (1)由换底公式，得即 log a y=(log a x)2-3log a x+3当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以y=a r2-3t+3(2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3．值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．。

A组4.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,则下列各式:①(log a x)n=n log a x;②(log a x)n=log a x n;③log a x=-log a;④=log a;⑤log a x;⑥=log a;⑦log a x n=n log a x;⑧log a=-log a.其中成立的有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:根据对数的运算法则及换底公式得③⑥⑦⑧正确,①②④⑤不正确.答案:B5山东济宁一中高一期中)已知log89=a,log25=b,则lg 3等于() A. B.C. D.解析:∵log89=a,∴=a.∴=a.∴lg 3=lg 2.又∵log25=b,∴=b.∴=b.∴lg 2=.∴lg 3=,故选C.答案:C6.若m log35=1,n=5m,则n的值为.解析:∵m==log53,∴n=5m==3.答案:37.设2a=5b=m,且=2,则m=.解析:∵a=log2m,b=log5m,∴=log m2+log m5=log m10=2,∴m2=10.又∵m>0,∴m=.答案:8.设10a=2,10b=3,则log1815=(用a,b表示).解析:由10a=2,10b=3,得a=lg 2,b=lg 3.故log1815=.答案:9.已知x,y为正数,且3x=4y,求使2x=py的p的值.解:设3x=4y=k(显然k≠1),则x=log3k,y=log4k,由2x=py,得2log3k=p log4k=p·.∵log3k≠0,∴p=2log34.10:(log43+log83)+log535-2log5+log57-log51.8.解:根据对数的换底公式和运算性质可得(log43+log83)·,log535-2log5+log57-log51.8=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=1+log57-2log57+2log53+log57-2log53+1=2,所以(log43+log83)+log535-2log5+log57-log51.8=.B组1.计算log2·log3·log5的值为()A.-20B.-5C.5D.20解析:原式=-log225·log332·log59=-=-=-20.答案:A2f(3x)=1+2x·log23,则f(21 007)的值等于()A.2 013B.2 014C.2 015D.2 017解析:令3x=t(t>0),则x=log3t,f(t)=1+2·log3t·log23=1+2·=1+,所以f(x)=1+,故f(21 007)=1+=2 015.答案:C3.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且log x m=24,log y m=40,log xyz m=12,则log z m的值为()A.60B.C.D.解析:由已知log m x=,log m y=,log m xyz=,所以log m x+log m y+log m z=,即log m z=,所以log z m=60,故选A.答案:A4.已知2x=3,log4=y,则x+2y=.解析:∵2x=3,∴x=log23.∵log4=y,∴y=log48-log43=log23,∴x+2y=log23+2=3.答案:35.(信息题)已知a n=log(n+1)(n+2)(n∈N+),观察下列运算:a1a2=log23·log34=2;a1·a2·a3·a4·a5·a6=log23·log34·…·log78=·…·=3,……定义使a1·a2·…·a k为整数的k(k∈N+)叫作企盼数.试确定当a1·a2·…·a k=2 016时,企盼数k=.解析:a1·a2·…·a k=·…·=log2(k+2)=2 016,解得k=22 016-2.答案:22 016-26.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为0.50μ0时,该种汽车已使用的年数为(结果精确到1,参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1).解析:由0.90μ0=μ0(e-λ)2,得e-λ=.又0.50μ0=μ0(e-λ)t,则=()t,两边取常用对数,得lglg 0.90,故t=≈13.答案:137.已知log1227=a,求log616的值(用a表示).解:∵由log1227=a,得=a,∴lg 2=lg 3.∴log616=.8拓展探究)已知log a x+3log x a-log x y=3(a>1).(1)若设x=a t,试用a,t表示y;(2)若当0<t≤2时,y有最小值8,求a和x的值.解:(1)由换底公式,得log a x+=3(a>1),所以log a y=(log a x)2-3log a x+3,当x=a t时,log a x=log a a t=t,所以log a y=t2-3t+3.所以y=(t≠0).(2)y=,因为0<t≤2,a>1,所以当t=时,y min==8,所以a=16,此时x==64.。

1．下列四个命题中，真命题是( )．A ．lg 2lg 3＝lg 5B ．lg 23＝lg 9C ．若log a (M ＋N )＝b ，则M ＋N ＝b aD ．若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N解析 A 项错用对数运算法则，错误；B 项lg 32＝lg 9错误运用对数运算法则；C 项M ＋N ＝a b 指数对数之间关系用错；因此选D 项． 答案 D2．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )．A ．1B ．lg 5 C.1lg 5 D ．1＋lg 2解析 原式＝lg 6lg 5·lg 7lg 6·lg 8lg 7·lg 9lg 8·lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝1lg 5.答案 CA ．lg 3B ．－lg 3C.1lg 3 D ．－1lg 3答案 C4．已知 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________.解析 由 ＝49(a ＞0)，得 ＝23，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，答案 35．若log 32＝log 23x，则x ＝________.解析 由log 32＝log 23x，得log 32＝x log 23，所以x＝log 32log 23＝lg 2lg 3lg 3lg 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 32＝(log 32)2. 答案 (log 32)26．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值．解 ∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363，1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.综合提高 限时25分钟A ．lg 15 B ．lg 5C ．lg 215 D ．lg 25解析 ∵lg 22＋lg 52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1052＋lg 2510＝(1－lg 5)2＋2lg 5－1＝lg 25，答案 B8．计算log 2125·log 3132·log 519的值为( )．A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析 原式＝－log 225·log 332·log 59 ＝－lg 25lg 2·lg 32lg 3·lg 9lg 5 ＝－2lg 5lg 2·5lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝－20. 答案 A9．若m log 35＝1，n ＝5m ＋5－m，则n 的值为________．答案 103 10．已知a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N ＋)，观察下列运算：a 1a 2＝log 23·log 34＝2；a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 8lg 7＝3. …定义使a 1·a 2·…·a k 为整数的k (k ∈N ＋)叫做企盼数．试确定当a 1·a 2·…·a k ＝2 010时，企盼数k ＝________.答案 22 010－211．2011年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，那么约经过多少年后国民生产总值是2011年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年) 解 设经过x 年后国民生产总值是2011年的2倍，则2a ＝a ×(1＋8%)x，∴2＝1.08x ，两边取对数得：lg 2＝x lg 1.08，∴x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9. 所以约经过9年后国民生产总值是2011年的2倍．12．(创新拓展)(1)计算：log 23·log 34·log 45·log 52；(3)已知lg 2＝a ，l g 7＝b ，求log 89.8的值．解 (1)原式＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·lg 2lg 5＝1.(3)log 89.8＝lg 9.8lg 8＝lg 72×210lg 23＝2lg 7＋lg 2－13lg 2＝2b ＋a －13a .。