山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中高三数学第二次联考试题 理【会员独享】

第三章 导数一．基础题组1.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．4B ．2C ．52D ．3 2.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】已知⎰=211xdx S ，⎰=212dx e S x ，⎰=2123dx x S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为（ ）A ．321S S S <<B ．231S S S <<C ．123S S S <<D ．132S S S << 3.【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试数学（理）试题】曲线)230(cos π≤≤=x x y 与坐标轴所围成图形的面积为（ ）A. 2B. 3C. 2.5D. 44.【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试数学（理）试题】设)(x f 是定义在R 上的函数，其导函数为)(x f '，若)(x f +1()f x '<，()02015f =，则不等式201(4)x xe ef x ->（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．()2014,2015B ．()()02015, -∞+∞ ，C ．()0+∞，D ．()0∞-， 5.【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考数学（理）试题】定积分⎰=6.【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试数学（理）试题】若函数x a x x f ln )(+=不是单调函数，则实数a 的取值范围是_______.7.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项是 .二．能力题组1.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()'f x 满足()'1f x k >>，则下列结论中一定错误的是（ ）A ． 11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭2.【河北省衡水中学2016届高三上学期四调考数学（理）试题】设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ^，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1-3.【河北省衡水中学2016届高三上学期四调考数学（理）试题】设函数()f x 满足()()22xex f x xf x x¢+=，()228e f =，则0x >时()f x （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值4.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】已知函数()ln f x x x x =+，若Z k ∈，且)()2(x f x k <-对任意的2>x 恒成立，则k 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()'1f x f x +>，()02015f =，则不等式()2014xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()(),00,-∞+∞B ．()0,+∞C ．()2014,+∞D ．()(),02014,-∞+∞6.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),22,-∞-+∞B ．()(),44,-∞-+∞C ．()(),66,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞7.【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考数学（理）】由直线3π-=x ，3π=x ，0=y 与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为8.【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()()'1,02016f x f x f -<=，则不等式()20151xf x e >⋅+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 .9.【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈.（Ⅰ）设a b -=2，求)(x f 的零点的个数；（Ⅱ）设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥，试比较ln a 与2b -的大小．10.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】已知函数()1xf x e ax =+-（e 为自然对数的底数）.（1）当1a =时，求过点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()2f x x ≥在（0,1）上恒成立，求实数a 的取值范围.11.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】(本小题满分12分) 已知函数()()2ln x a f x x-=（其中a 为常数）.（1）当a =0时，求函数的单调区间；（2）当0<a <1时，设函数()f x 的3个极值点为123,,x x x ，且123x x x <<.证明：13x x +>12.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】已知函数()f x 满足()()22f x f x =+，且当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求实数a 的值；（2）设0b ≠，函数()()31,1,23g x bx bx x =-∈.若对任意()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使()()12f x g x =，求实数b 的取值范围.13.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】（本小题满分12分）已知函数e e bx ax x f x()12()(2-++=为自然对数的底数). （1）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.14.【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考数学（理）试题】（本小题满分12分）已知函数12()ln .x xe f x e x x-=+（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程; （2）证明：()1f x >.15.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】已知函数()()323257,ln 22f x x x ax bg x x x x b =+++=+++，（,a b 为常数）. （1）若()g x 在1x =处的切线过点（0，-5），求b 的值；（2）设函数()f x 的导函数为()'f x ，若关于x 的方程()()'f x x xf x -=有唯一解，求实数b 的取值范围； （3）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围.三．拔高题组1.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意的1x >，恒有()ln 11x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；（3）证明：()()2222ln 2ln 3ln 21,24123++n n n n N n n n+--+⋅⋅⋅<∈≥+.2.【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考数学（理）】已知函数x x x x f +-=2ln )(． (Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若关于x 的不等式112)(2-+⎪⎭⎫⎝⎛-≤ax x a x f 恒成立，求整数a 的最小值； (Ⅲ)若正实数21,x x 满足+)(1x f 0)(2)(2122212=+++x x x x x f ，证明21521-≥+x x ． 3.【河北省冀州市中学2016届高三上学期一轮复习检测一数学（理）试题】(本题满分12分) 已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =。

数学（理）试题【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知集合{}1,0,1M =-，{}2,N x x a a M ==∈，则集合M N =I A.{}0B. {}0,2-C. {}2,0,2-D. {}0,22. 复数z 为纯虚数，若(3i)i z a -⋅=+ (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 A ．13-B ．3C ．3-D ．133. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x的渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为 A ．223 B ．2 C ．332 D ．24. 如图所示的程序框图，若输入的x 值为0，则输出的y 值为 A ．32 B ．0 C ．1D 5. 已知条件p ：|1|2x+≤，条件q ：x a ≤，且p 是q 不必要条件，则a 的取值范围是 A. 1≥aB ．1≤aC ．1-≥aD ．3-≤a6. 已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z +=2 A ．2- B ．1- C ．0 D ．4 7. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,3()n n a a S n N *+==∈，则6S =A ．44B ．54C ．61(41)3⋅-D ．51(41)3⋅-8. 在三棱锥S ABC -中，AB BC == 2SA SC AC === ,二面角S AC B --的余弦值是 3，则 三棱锥S ABC -外接球的表面积是A. 32π B. 2π D. 6π 9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．510+ B. 210+（第4题图）正视图侧视图C. 6226++D. 626++10. 设,A B 为抛物线22y px =)0(>p 上不同的两点，O 为坐标原点,且OA OB ⊥,则OAB ∆面积的最小值为A ．2pB ．22pC ．24pD ．26p11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (1)f x x x =>的图象上的动点，该图像 在点P 处的切线l 交x 轴于点M .过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是A ．21e B ．122e e + C ．1 12.已知函数2|lg |0()10x x f x xx >⎧=⎨-≤⎩，则方程2(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)13. 1=6=，2)(=-⋅a b a ，则向量与的夹角是___________. 14. 若函数)20)(sin()(πϕωϕω<>+=且x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ326，上是单调减函数，且函数值从1减小到1-，则=)4(πf ___________.15. 抛物线x 4y 2=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，若)01(，-A ，则PAPF 的最小值为___________. 16. 已知数列2sin2πn n a n =，则=+⋅⋅⋅+++100321a a a a ___________. 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ．已知22)(2c b a S -+= （1）求C sin ; （2）若10=+b a ，求S 的最大值. 18．（本小题满分12分） 如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥,BC 090=∠ABC ,BC AB AD 21==,E 是底边BC 上的一点，且BE EC 3=. 现将CDE ∆沿DE 折起到DE C 1∆的位置，得到如图2所示的四棱锥,1ABED C -且AB A C =1. （1）求证：⊥A C 1平面ABED ;（2）若M 是棱E C 1的中点，求直线BM 与平面DE C 1所成角的正弦值.19．（本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知366-==S a ;正项数列}{n b 满足：022121=--++n n n n b b b b ，2042=+b b .（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设,nnn b a c =求数列}{n c 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，21F F 、分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点,B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足OB OF OE 221+=，且21F EF ∆的周长为)12(2+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 是线段2OF 上的一点，过点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于Q P 、两点，若MPQ ∆是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围. 21. ( 本小题满分12分)设函数)1()(+=x ae x f x（其中718.2=e 28．．．），2)(2++=bx x x g ，已知它们在0=x 处有相同的切线.(1) 求函数)(x f ,)(x g 的解析式；(2) 求函数)(x f 在[]1,+t t )3(->t 上的最小值；(3) 若对2-≥∀x ，)()(x g x kf ≥恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CF ABC ∆是边AB 上的高，,.FP BC FQ AC ⊥⊥A B CD E 图1B EADM C 1 图2（1）证明：A 、B 、P 、Q 四点共圆；（2）若CQ =4，AQ =1，PF CB 的长. 23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数)（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值． 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数222)(--+=x x x f （1）解不等式2)(-≥x f ;（2）设a x x g -=)(，对任意),[+∞∈a x 都有 )()(x f x g ≥，求a 的取值范围.2015届高三年级第二次四校联考理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：ADCBA 6-10：DBCDC 11-12：BA 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.3π14. 23 15. 22 16. 5000-三、解答题：17、 (本小题满分12分)解：（1）条件可化为ab c b a C ab 2sin 212222+-+= …2分由余弦定理可得1cos sin 21+=C C ，03cos 8cos 52=++C C …6分 0)1)(cos 3cos 5(=++C C )(1cos 53cos 舍或-=-=C C故54sin =C …8分（2）10)2(5252sin 212=+≤==b a ab C ab S 当且仅当5==b a 时“＝”成立 …12分18、 (本小题满分12分) 解：（1）设121===BC AB AD ，则2,111==D C A C 21221D C AD A C =+Θ ∴AD A C ⊥1 ………2分又Θ21=BE ，231=E C 45222=+=∴BE AB AE∴2122149E C AE A C ==+∴AE A C ⊥1 ………4分 又AD ∩A AE =∴⊥A C 1平面ABED ………5分（2）由（1）知：⊥A C 1平面ABED 且AD AB ⊥,分别以1AC AD AB 、、为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图 ………6分则)0,1,0(),0,21,1(),1,0,0(),0,0,1(1D E C BΘM 是E C 1的中点 ∴)21,41,21(M ∴)21,41,21(-= ………8分设平面DE C 1的法向量为),,(z y x = )1,1,0(),0,21,1(1-=-=D C DE由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001D C n DE n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-021z y y x 令2=y 得)2,2,1(=n ………10分 设直线BM 与平面DE C 1所成角为θ，则94sin ==θ ∴ 直线BM 与平面DE C 1所成角的正弦值为94. ………12分 19、(本小题满分12分) 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d 。

届高三年级第二次四校联考数学（理）试卷命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中【满分分，考试时间为分钟】一、选择题(×＝分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)．已知集合{}|1M x x =>，集合{}2|20N x x x =-<，则M N I 等于 ．{}|12x x <<．{}|01x x <<． {}|02x x <<．{}|2x x >．i 是虚数单位，若21ia bi i+=++(,)a b R ∈，则lg()a b +的值是 ．2-．1- ．0 ．12. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为，则输出的值为. . ... 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a aa a +=+. 1+. 1.3+.3-. 已知a r ＝，b r ＝，且()a a b ⊥-r r，则向量a 与向量b r 的夹角为.6π . 4π .3π.23π. 某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[)[)20,40,40,60[)[)60,80,80,100,若低于分的人数是人,则该班的学生人数是．45．50．55．60. "0"a ≤是“函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充分必要条件．既不充分也不必要条件. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是．28+．60+．56+．30+.将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个 单位长度后,所得到的图像关于轴对称,则m 的最小值是. 6π . 12π . 3π . 56π. 已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于．－ ． ． ．. 设抛物线2:3(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上， 5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为．2248y x y x==或 ．2228y x y x ==或．22416y x y x ==或 ．22216y x y x ==或 . 已知函数21()(0)2xf x x e x =+-<与()()2lng x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是．⎛-∞ ⎝．(-∞．⎛ ⎝．⎛ ⎝ 二、填空题:（本大题共小题，每小题分，共分。

2024届山西高三第二次学业质量评价数学试题考试时间：2024年3月5日下午14：30—16：30试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +>”的否定是（）A ．“ 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +≥”B ．“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +≤”C ．“0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +≤”D ．“0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,e 2sin 2xx x +<”2．已知集合{0,1,2,3}A =，912B x x ⎧⎫=<<⎨⎩⎭，则A B = （）A ．{0,1,2}B ．{2,3}C ．912x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{1,2,3}3．已知3i2ia z +=+为实数，则a =（）A ．1B ．32C ．2D ．32-4．设α，β为不同的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）A ．若αβ⊥，a α⊂，c αβ= ，a c ⊥，则a β⊥B ．若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a bC ．若//a α，b α⊂，则a 与b 异面D ．若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a 与b 相交5．方程4|cos |0t =的实数根的个数为（）A ．9B ．10C ．11D ．126．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =中任取两个不同的数，和为2的倍数的概率为（）A ．35B ．14C ．1112D ．377．已知cos()2cos()αβαβ-=+，tan 0α>，则tan()αβ+的最小值为（）A ．-4B ．-3C D ．28．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与y 轴交于点M ，与双曲线C 的右支交于点P ，且1132F P F M = ，210PF PF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．52B ．32C ．2D 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（）A ．这组数据的众数为1B ．这组数据的极差为2C ．这组数据的平均数为2D ．这组数据的40%分位数为110．已知函数5()24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的一个对称中心为3,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象向右平移38π个单位长度后得到的函数是偶函数C ．()f x 在区间57,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．若()f x 在区间(0,)m 上与1y =有且只有6个交点，则132,5m ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B ==1AA =，点P 在四边形ABCD 内，且正四棱台1111ABCD A B C D -的各个顶点均在球Q 的表面上，14A P =，则（）A ．该正四棱台的高为3B ．该正四棱台的侧面面积是C ．球心Q 到正四棱台底面ABCD 的距离为72D ．动点P 的轨迹长度是332三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．二项式81x ⎫+⎪⎭展开式中常数项为______．13．写出一个过点(3,4)且与圆22:430C x y x +-+=相切的直线方程______．14．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(2,0)F ，过点(2,0)C -的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且A B x x >，若BF 为AFC △的角平分线，则直线l 的斜率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）山西作为汾河文化的发源地，是我国文明古省，有山西老陈醋、平遥古城、杏花村汾酒等文化资源，山西文旅局相关工作人员通过自媒体以图片、短视频、视频等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面为山西饮食文化的代表某校进行了有关是否喜欢吃山西大同刀削面的调查问卷，并从参与调查的同学中随机抽取了男、女各100名同学进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）：性别喜欢情况合计喜欢不喜欢男同学60女同学20合计60140（1）完善列联表并依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关联？（2）用分层随机抽样的方法，从喜欢和不喜欢吃山西大同刀削面的同学中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进一步调查，设其中不喜欢吃山西大同刀削面的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.100.010.001x α2.7066.63510.82816．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AC 与BD 交于点O ，点P 在平面ABCD 内的投影为点O ，若BCD △为正三角形，且12AB AD AC ==，PO OC =．（1）证明：AC ⊥平面PBD ；（2）求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n nn n a +=．（1）探究数列{}n a 的单调性；（2）证明：490n S -<．18．（本小题满分17分）已知F 为椭圆22:12x C y +=的右焦点，过点F 且斜率为1k 的直线与椭圆C 交于点A ，B ，10k ≥且11k ≠．（1）求|AB |的取值范围；（2）过点F 作直线ED 与椭圆C 交于点E ，D ，直线ED 的倾斜角比直线AB 的倾斜角大4π，求四边形AEBD 面积的最大值．19．（本小题满分17分）已知函数()sin ln(1)f x x x ax =++-，且()y f x =与x 轴相切于坐标原点．（1）求实数a 的值及()f x 的最大值；（2）证明：当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>；（3）判断关于x 的方程()0f x x +=实数根的个数，并证明．2024届山西高三第二次学业质量评价数学试题参考答案及多维细目表题号123456答案C B B A C D题号7891011答案CDACDACBC1．【答案】C【解析】依题意全称命题“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，e 2sin 2x x x +>”的否定为特称命题“0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，e 2sin 2xx x +≤”2．【答案】B【解析】由题意可得{2,3}A B = ．3．【答案】B【解析】由3i (3i)(2i)2i (2i)(2i)a a z ++-===++-263i 2i i (6)(23)i415a a a a -+-++-=+，z 为实数，2305a -∴=，解得32a =．4．【答案】A【解析】对于A ，根据面面垂直的性质定理可得A 正确；对于B ，若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b ，或a 与b 异面，故B 错误；对于C ，若//a α，b α⊂，则//a b ，或a 与b 异面，故C 错误；对于D ，若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则//a b ，或a 与b 异面，或a 与b 相交，故D 错误．5．【答案】C【解析】设14|cos |y t =，2y =．在同一直角坐标系内画出14|cos |y t =与2y =当5t π=时，124y y =>=；当6t π=时，124y y =<=．根据图象可得两个函数共有11个交点．6．【答案】D【解析】由题知和为2的倍数的有（1，3），（1，5），（1，7），（3，5），（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（2，8），（4，6），（4，8），（6，8）共12种可能，28123C 7P ∴==．7．【答案】C【解析】cos()2cos()αβαβ-=+ ，cos cos αβ∴+sin sin 2cos cos 2sin sin αβαβαβ=-，3sin sin cos cos αβαβ∴=，又cos cos 0αβ≠，1tan tan 3αβ∴=，即1tan 3tan βα=，1tan tan tan 3tan tan()11tan tan 13ααβααβαβ++∴+===--113tan 2tan αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭．tan 0α>，13tan tan αα+≥=∴当且仅当13tan tan αα=，即tan 3α=等号成立，tan()αβ∴+8．【答案】D【解析】210PF PF ⋅=，21PF PF ∴⊥，11112F O PF F MF F ∴=，即11211FO F F F M PF ⋅=⋅，又1132F P F M =，1112123PF F O F F PF ∴⋅=⋅，即2213PF c =，1PF ∴=，又122PF PF a -=，22PF a ∴=-，又21PF PF ⊥，2221212PF PF F F ∴+=，即22232)4c a c +-=，222)a c ∴-=，2c a -=，1c e a ∴===．9．【答案】ACD【解析】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4．对于A ，该组数据的众数为1，故A 正确；对于B ，极差为413-=，故B 错误；对于C ，平均数为14224228⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对于D ，840% 3.2⨯= ，∴这组数据的40%分位数为第4个数1，故D 正确．10．【答案】AC【解析】由3532848f ππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0，故A 正确；()f x 向右平移38π个单位长度后得(y f x =-335228842x x x ππππ⎡⎤⎫⎛⎫⎤=-+=+=-⎪ ⎪⎢⎥⎥⎭⎝⎭⎦⎣⎦，为奇函数，故B 错误；当57,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则552,342x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间57,88ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ，由()1f x =，得5cos 242x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得4x k ππ=+或2k ππ+，k ∈Z ，()f x 在区间(0,)m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：4π，2π，54π，32π，94π，52π，而第7个交点的横坐标为134π，51324m ππ∴<≤，故D 错误．11．【答案】BC【解析】对于A ，取正方形1111A B C D 的中心1O ，正方形ABCD 的中心O ，连接11AO ，AO ，1OO ，则1O O ⊥平面ABCD ，过点1A 作1A M AO ⊥于点M ，则1A M ⊥平面ABCD ，11AO OM =，11A M OO =，112AB A B == ，1AA =，AB ∴=，11A B =，故11AO OM ==，AO =，AM AO OM ∴=-=1AA = 12A M ===，故A 错误；对于B ，过点1A 作1AW AB ⊥于点W ，则()1112AW AB A B =-=，故1AW ==四棱台1111ABCD A B C D -的侧面面积是(2343)742⨯=，故B 正确；对于C ，正四棱台1111ABCD A B C D -的外接球球心Q 在直线1OO 上，连接AQ ，1AQ ，则1AQ AQ R ==，如图所示．设OQ h =，则112QO OO OQ h =+=+，由勾股定理得222224AQ AO OQ h =+=+，222211116(2)A Q A O O Q h =+=++，22246(2)h h ∴+=++，解得72h =，故C 正确；对于D ，由勾股定理得PM ===，故点P 的轨迹为以M 为圆心，以为半径的圆在正方形内部部分，如图，其中MT MK ==，故DT BK ==，又SM ML ==，由勾股定理得3ST KL ===，由于32ST KL SM LM ==，3SMT LMK π∴∠=∠=，故56SML π∠=，故动点P 的轨迹长度是55363π⨯=，故D 错误．12．【答案】28【解析】81x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为8431881C C rrr g r rr T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令8403r -=，解得2r =，故81x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为28C 28=．13．【答案】3x =或158130x y --=（答案不唯一，写出一个即可得分）【解析】依题意，将圆C 化为标准方程可得22(2)1x y -+=，则圆C 表示以(2,0)C 为圆心，半径1r =的圆，当切线的斜率不存在时，过(3,4)的直线3x =正好与圆C 相切；当切线的斜率存在时，设切线方程为4(3)y k x -=-，则1d ==，解得158k =，此时切线方程为158130x y --=．14．【答案】32±【解析】由题意得抛物线方程为28y x =，故设直线l 的方程为2x my =-，不妨设0m >，联立28y x =，可得28160y my -+=，且0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则10y >，20y >，则128y y m +=，1216y y =，则12AB y y =-，22BC y y ==，由正弦定理得sin sin CF BC CBF CFB =∠∠，sin sin AF ABABF AFB=∠∠，BF 为AFC △的角平分线，即AFB CFB ∠=∠，又CBF ABF π∠+∠=，12y y ∴>，CF BCAF AB=，即2124y AF y y ==-，又由焦半径公式可知111222AF x my my =+=-+=，则21124y my y y =-，即121244my y y y =-=，即16m =，解得3m =，故直线l的斜率为12m =．同理，根据对称性可知，当0m <时，直线l 的斜率为32-．综上所述，直线l 的斜率为32±．15．解：（1）完善列联表如下：性别喜欢情况合计喜欢不喜欢男同学4060100女同学2080100合计60140200零假设为0H ：该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别无关．则220.01200(20604080)9.5 6.63560140100100x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，∴根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为该校同学对山西大同刀削面的喜欢情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．（2）按分层随机抽样的方法从喜欢吃山西大同刀削面和不喜欢吃山西大同刀削面中随机抽取10人，则抽取的人中喜欢吃山西大同刀削面的人数为3，不喜欢吃山西大同刀削面的人数为7，故X 的所有可能取值为0，1，2，3，3037310C C 1(0)C 120P X ===，2137310C C 7(1)C 40P X ===，1237310C C 21(2)C 40P X ===，0387310C C 7(3)C 24P X ===，故X 的分布列为X0123P 11207402140724则1721721()012312040402410E X =⨯+⨯+⨯+⨯=16．证明：（1）由题意可得ABC ADC ≌△△，6ACB ACD π∴∠=∠=，CO BD ∴⊥，即AC BD ⊥．又点P 在平面ABCD 内的投影为点O ，即PO ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，PO AC ∴⊥，又BD PO O = ，BD ，PO ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ．（2）由（1）可得OB ，OC ，OP 两两垂直，建立以O 为原点如图所示的空间直角坐标系，设3CD =，则3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，330,0,2P ⎛ ⎝⎭，30,,02A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，333,0,22PB ⎛=- ⎝⎭ ，3330,22PA ⎛=-- ⎝⎭ ，333,0,22PD ⎛=-- ⎝⎭，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，则有0,2230,22m PA y z m PD x z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩∴直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为|||cos ,|||||m PB m PB m PB ⋅〈〉=⋅13==．17．解：（1）由题意可得211323n n n n a ++++=，故()22211121320333n n n n n n n n n n a a +++-+++-=-=≤，即1n n a a +≤，故数列{}n a 中12a a =，且从第二项起单调递减．（2）证法一：由题意可得22221122333n n n n S +++=+++ ，222231*********n n n n S ++++=+++ ，有221112233333n n n n n n n S S ++⎛⎫-=⨯+++- ⎪⎝⎭ ，即2212333323n n n n n n S +⎛⎫=⨯+++- ⎪⨯⎝⎭ ，令212333n n n H =+++ ，则2311123333n n n H +=+++ ，则有21111133333n n n n n H H +-=+++- ，即有1111121133133223313n n n n n n n H ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=--⨯-，即13144323n n n n H -=--⨯⨯，故213134432323n n n n n n n S -+⎛⎫=⨯--- ⎪⨯⨯⨯⎝⎭2291444323n nn n -+=--⨯⨯，又221404323n n n n -++>⨯⨯，故94n S <，即490n S -<．证法二：不妨设213n n an bn c b -++=，且1n n n a b b +=-，n N *∈，则221333(1)(1)3n n nan m c a n b n c b b +++-+-+--=22(22)2,3nan b a n c a b +-+--=则21,221,20,a b a c a b =⎧⎪-=⎨⎪--=⎩解得1,21,3.4a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩2113243n n n n b -++∴=，那么12n nS a a a =+++ ()()()12231n n b b b b b b +=-+-++- 11n b b +=-213(1)(1)9924434n n n ++++=-<．18．解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，易知(1,0)F ，联立2211,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得()()2222111214210k x k x k +-+-=．()2810k ∆=+> ，211221421k x x k ∴+=+，()2112212121k x x k -=+，12||AB x x ∴=-=)212211122121k k k +==++．又2121[1,3)(3,)k +∈+∞，4242||33AB ⎫⎛∴∈⎪ ⎪ ⎭⎝ ，（2）解法一：设直线AB 的倾斜角为0,,442πππα⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，则1tan k α=．由（1）知)222222sin 1tan 1cos ||2sin 2tan 11cos AB αααααα⎫+⎪+⎝⎭===++222421sin 3cos 2αα=+-． 直线DE 的倾斜角为4πα+，∴同理可知||3cos 24DE πα==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭423sin 2α+． 11||||sin ||242AEBD S AF DF AF π=+ 四边形11||sin ||||sin ||4242EF BF DF BF ππ++⋅||sin ||||44EF AB DEπ=，43cos 23sin 2AEBD S αα∴=⋅⋅=-+四边形93(sin 2cos 2)sin 2cos 2αααα+--．令sin 2cos 22[1,1)(1,4t πααα⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，则21sin 2cos 22t αα-=． 2617AFBD S t t ∴=++四边形，∴当1t =-时，取最大值423．解法二：依题意，11k ≠ ，直线ED 的倾斜角比直线AB 的倾斜角大4π，∴直线ED 的斜率存在．不妨设直线ED 的方程：2(1)y k x =-，且11211tan1411tan 4k k k k k ππ++==--，()()3314,,,D x y E x y ．由（1）同理得2234221||21k ED x k +=-=+， 11||||sin ||||242AEBD S AF DF AF EF π=+⋅四边形11sin ||||sin ||||sin 42424BF DF BF EF πππ++1||||sin 24AB DE π=()()()()2212221211842121k k k k ++=⨯⋅++()()()()222121222212121421k k k k k k k k +++=+++()()()()2212122212121212k k k k k k k k -++=-++又22111112121112,11k k k k k k k k k k ++-=+=--，2222111111 222211111121121123112211AEBD k k k k k k S k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴=⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭四边形)2214321111164923k k k k k +=++++令()224321()64923x f x x x x x +=++++，0x ≥，()()()()2222432212121()64923x x x x x f x x x x x +++--'∴=++++，解方程2210x x --=，得1x =±()f x ∴在区间[0,1+上单调递减，在区间(1)++∞上单调递增．当1x ≠时，1()6f x ≠．1(0)3f = ，x →+∞时，1()6f x →，1()(0)3f x f ∴≤=，42(0)3AEBD S ∴≤=四边形．19．解：（1）由题意知，(0)0f =且(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，(0)20f a '∴=-=，解得2a =，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-，1()cos 21f x x x '=+-+，当0x ≥时，cos 1x ≤，111x ≤+．故()0f x '≤，()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f ≤=．当10x -<<时，令1()cos 21g x x x =+-+，则21()sin (1)g x x x '=--+，sin (0,1)x -∈ ，211(1)x >+，()0g x '∴<()f x '∴在区间(1,0)-上单调递减，则()(0)0f x f ''>=，()f x ∴在区间(1,0)-上单调递增，则()(0)0f x f <=．综上所述，2a =，()f x 的最大值为0．（2）证明：()sin ln(1)2f x x x x =++-，要证1()22f x x +>，即证1sin ln(1)2x x ++>，记1()sin ln(1)2m x x x =++-，当5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1sin 12x ≤≤，ln(1)0x +>，1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->；当5,6x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1m x x x '=++，记1()()cos 1n x m x x x '==++，则21()sin 0(1)n x x x '=--<+，()m x '∴在区间5,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，则536()06256m x m ππ⎛⎫''<=-+< ⎪+⎝⎭，则()m x 在区间5,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，()11()()sin ln(1)ln 122m x m ππππ∴≥=++-=+-，综上所述，当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()22f x x +>．（3）设()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-，1()cos 11h x x x '∴=+-+，当(1,0)x ∈-时，由（1）知()(0)0f x f <=，故()()0f x x f x +<<，故()0f x x +=在区间(1,0)-上无实数根．当0x =时，(0)0h =，因此0为()0f x x +=的一个实数根．当(0,)x π∈时，1()cos 11h x x x '=+-+单调递减，又(0)10h '=>，1()201h ππ'=-<+，∴存在0(0,)x π∈，使得()00h x '=，()h x ∴在区间()00,x 上单调递增，在区间(0,)x π上单调递减，()0(0)0h x h ∴>=，又()ln(1)20h ππππ=+-<-<，()0f x x ∴+=在区间()0,x π上有且只有一个实数根，在区间(]00,x 上无实数根．当[,)x π∈+∞时，()1ln(1)h x x x ≤++-，令()1ln(1)()l x x x x π=++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++，故()l x 在区间[,)π+∞上单调递减，()()ln(1)130l x l ππππ≤=+-+<-<，于是()0f x x +<恒成立．故()0f x x +=在区间[,)π+∞上无实数根，综上所述，()0f x x +=有2个不相等的实数根．。

一．基础题组1. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定积分=-⎰-dx x x 2222（ ） A.5B.6C.7D.83. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数xe xx f cos )(=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 . 【答案】10x y +-= 【解析】试题分析：∵'2sin cos ()()x xx xe xe f x e --=，∴1k =-，(0)1f =，∴1y x -=-，即10x y +-=. 考点：利用导数求曲线的切线.4. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】已知0a >，函数32f(x)x ax bx c =+++在区间[2,2]-单调递减，则4a b +的最大值为 .5. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】设()ln af x x x x=+, 32()3g x x x =--.（Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.6. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。

该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.若1=a ，4=b ，请你分析能否采用函数模型y ＝31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案.二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知函数()f x 对于一切实数x,y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()()110,0,21g 2a f x f x o x ⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭则当，不等式＜ 恒成立时，实数a 的取值范围是 .2. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】2 【解析】3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) 已知函数ln(1)()2x x f x x -=-.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()23g x x x =++,证明：对任意1(1,2)(2,)x ∈+∞ ,总存在2x R ∈,使得12()()f x g x >.试题解析：（1）''2212ln(1)1[ln(1)]ln(1)1()(2)(2)x x x x x x x f x x x --+------==-- .................1分设1()2ln(1)11h x x x x =--+---, 22'22(1)2(1)1(2)()0(1)(1)x x x h x x x ---+-==≥--∴()h x 在(1,)+∞是增函数，又(2)0h = ………………3分 ∴当(1,2)x ∈时, ()0h x < ,则'()0f x <,()f x 是单调递减函数; 当(2,)x ∈+∞时, ()0h x > ,则'()0f x >,()f x 是单调递增函数. 综上知：()f x 在(1,2)单调递减函数，()f x 在(2,)+∞单调递增函数 ……………………6分三．拔高题组1. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】0.50.521log log 1(1)(7)x mx x x +>---对任意x ∈[2,4]恒成立，则m 的取值范围为 .∴当4x =时，max 45y =，∴45m >.考点：1.对数函数的单调性；2.恒成立问题；3.利用导数求函数最值.2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）已知函数(x)1x x e f xe =+.（1）证明：0(x)1f <≤； （2）当0x >时，21(x)1f ax >+，求a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设(x)xe 1x g =+，则'(x)(x 1)e xg =+．当(,1)x ∈-∞-时，'(x)0g <，(x)g 单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，'(x)0g >，(x)g 单调递增． 所以1(x)g(1)1e0g -≥-=->．又0xe >，故(x)0f >．…2分'2(1e )(x)(xe 1)x x x e f -=+ 当(,0)x ∈-∞时，'(x)0f >，(x)f 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，'(x)0f <，(x)f 单调递减． 所以(x)f(0)1f ≤=． 综上，有0(x)1f <≤．…5分3. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）已知)0()(>-=a e x x f ax．（1）曲线y=f （x ）在x=0处的切线恰与直线012=+-y x 垂直，求a 的值；（2）若x ∈[a ，2a]求f （x ）的最大值； （3）若f （x 1）=f （x 2）=0（x 1＜x 2），求证：．【答案】（1）13a =；（2）当ln a a a >，即a e <时，max ()()f x f a a e ==-，当ln 2a a a a ≤≤，即2e a e ≤≤时，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，当2ln a a a <，即2a e >时，2max ()(2)2f x f a a e ==-；（3）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对()f x 求导，将0x =代入得到切线的斜率，由已知切线与直线210x y -+=垂直得出方程，解出a 的值；第二问，先对()f x 求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知[,2]x a a ∈和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出max ()ln f x a a a =-，因为12()()0f x f x ==，所以数形结合，得max ()0f x >，解得a e >，数形结合得出两组点的横坐标的关系21ln x x a a a ->-，又利用12()()0f x f x ==，得出11x a x e =，22x ax e =，进行转换得到所求证的不等式.（3）由（2）知，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，∵12()()0f x f x ==，∴max ()(ln )ln 0f x f a a a a a ==->， ∴ln 1a >，得a e >，∴()0f a a e =->，且(ln )0f a a >. 得21ln x x a a a ->-，又11x a x e =，22x ax e =，∴1211()(ln )12x x a a a a a x e e e x a--=<=. 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.两条直线垂直的充要条件；3.利用导数判断函数的单调性；4.利用导数求函数的最值.4. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()(1)g x k x =-.（1）若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；（2）若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >，方程''()()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1x k x =？若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由. 试题解析：⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分5. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （1）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（2）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分6. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()一个交点，所以关键是()y f x =的图像，对()f x 求导，令'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定k 的位置；第二问，先将2=a 代入，得到()f x 解析式，作差法比较大小，得到新函数()h x ，判断()h x 的正负即可，通过对()h x 求导，可以看出()h x 在(0,)+∞上是增函数且(1)0h =，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式1211ln+>+k k k ，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当1n =时不等式成立，再假设当n k =时不等式成立，然后利用假设的结论证明当1n k =+时不等式成立即可.①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． ……………………………8分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk k k n 11ln )1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………………………12分。

【高三】山西省康杰中学临汾一中忻州一中长治二中2021届高三第二次联考2021届高三年级第二次四校入学考试理综试题命题：康杰中学临汾一中长治二中忻州一中本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分，共300分后，考试时间150分钟第ⅰ卷（选择题共126分）可能将使用的相对原子质量h=1c=12n=14o=16na=23s=32cu=64ba=137一、选择题：(本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有关酶和atp的观点恰当的就是a．所有酶均在核糖体上合成b．检测蛋白酶的催化作用需用双缩脲试剂检验反应物与否全然水解c．有机物氧化分解释放出的能量少部分转移到atp中d．在atp中a代表腺苷，p代表磷酸基团，t代表三个高能磷酸键2．以下是某种分泌蛋白的合成过程示意图，下列相关叙述中正确的是a．此过程存有水生成，主要出现在细胞核中b．①上面所有的碱基都需要与③上相应的碱基配对c．④构成后即为步入高尔基体加工，然后排泄出来细胞d．①上通常可以相继结合多个②3．右图a、b、c代表相同的种群，未知a和b原本属同一物种，都以物种c做为食物来源。

由于地理隔绝，且经过若干年的演化，现在不太确切a和b与否还属同一物种。

以下有关观点恰当的就是a．若a和b在一起还能进行自由交配，则他们就一定不存在生殖隔离b．a和b的关系一定为竞争c．若a和b仍然为同一物种，则它们具有共同的基因库d．a和b种群基因频率的定向发生改变，引致了它们朝着一定方向演化4．下列有关生物实验方法的描述正确的是a．用32p、35s同时标记噬菌体，侵染未标记的大肠杆菌，证明了dna就是遗传物质b．孟德尔设计的测交实验属于假说一演绎法的演绎内容c．使用差速离心法将大肠杆菌的各种细胞器分后返回d．探究促进生根的最适naa浓度需要做预实验，其目的是减小实验误差5．右图就是人体某非政府结构示意图，①②③④分别则表示人体内相同部位的液体。

2011届高三年级第二次四校联考数学试题（理科）本试卷分必考题和选考题两部分第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}{}13|,3|2≤≤-=-==x x N x y x M ，且N M 、都是全集I 的子集，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}13|≤≤-x xB ．{}13|≤≤-x xC ．{}33|-<≤-x xD ．{}31|≤<x x2．已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为 （ ） A ．-1B ．-2C ．12D ．23．已知向量的夹角为6π2,3== （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．直线sin 20x α+=的倾斜角的取值范围是 （ ）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃ 5．曲线)0(12≠+-=a ax ax y 在点(0，1)处的切线与直线012=++y x 垂直，则=a（ ）A ．31B ．31-C ．21D ．21-6．已知22x ,10,x ,10,R mx q R x mx q ∃∈+≤∀∈++>∨p ：：若p 为假命题，则实数m的取值范围为 （ ）A ．2≥mB ．2m ≤-C ．2,m 2m ≤-≥或D ．22≤≤-m7．已知幂函数()m f x x =的图像过点1A 22（，），则不等式2|)(|f ≤x 的解集是（ ）A ．}20|{≤<x xB ．}40|{≤≤x xC ．{|x x ≤D ．}44|{≤≤-x x8．设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是 （ ）A ．27B ．3C ．818D ．729．若定义在R 上的偶函数)()2()(x f x f x f =+满足，且当x x f x =∈)(]1,0[时，，则函数x x f y 4log )(-=的零点个数为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．设1,1,>>∈b a R y x 、，若2==yx b a ，a+b=4，则2x +1y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．设)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数R y x ∈、，都有)()()(y x f y f x f +=⋅，若))((,211*∈==N n n f a a n ，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围为 （ ）A ．)2,21[B ．]2,21[C ．]1,21[D ．)1,21[12．已知抛物线bx c bx ax y -=++=y 2与直线交于A,B 两点，其中a b c >>，0a b c ++=，设线段AB 在X 轴上的射影为11A B ，则||11B A 的取值范围是（ ）A ．)323(，B ．），（∞+3 C ．），（30 D ．），（32 2第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4个小题。

山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届高三上学期第二次联考数学（理）一、选择题：共11题1．已知集合，集合，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算.=，，所以.选A.2．i是虚数单位，若，则的值是A.-2B.-1C.0D.【答案】C【解析】本题考查复数的概念与运算，对数运算.==,所以, ,所以=.选C.3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出S的值为A.64B.73C.512D.585【答案】B【解析】本题考查流程图.第一次,,;第二次,; 第三次,；所以输出.选B.4．已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查等差数列和等比数列的性质.因为成等差数列，所以a1+2a2；即a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，解得q=；而数列的各项都是正数，所以q=；所以=q2=.选C.5．已知||＝1，||＝，且，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积运算.因为,所以；所以，可得，所以向量与向量的夹角为.选B. 【备注】等价于6．某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是___.A.45B.50C.55D.60【答案】B【解析】本题主要考查频率分布直方图,意在考查考生利用“频率/组距”将纵轴上的数据准确换算成频率,从而计算频数的能力. 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2,则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为 m,则=0.3,m=50.7．是“函数在区间内单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题考查函数的单调性、充要条件.当时，，其在区间内单调递增；当时，，其在区间内单调递增；当时，在区间内有增有减；即“函数在区间内单调递增”等价于；所以是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件.选C.8．将函数的图像向左平移个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则的最小值是A. B. C. D.【解析】本题考查三角变换，三角函数的图像. 函数图像向左平移()个单位后,可得，因为为偶函数,所以；因为，所以的最小值是.选A.【备注】辅助角公式:9．已知=，则等于A.－5B.5C.90D.180【答案】D【解析】本题考查二项式定理的应用.因为=；因为,所以.选D.【备注】二项展开式的通项公式：.10．设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为A.或B.或C.或D.或【解析】∵抛物线C方程为y2=3px(p＞0),∴焦点F坐标为( ,0),可得|OF|=,∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴设A(0,2),可得AF⊥AM,Rt△AOF中,|AF|= ,∴sin∠OAF= ,∵根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于A点,∴∠OAF=∠AMF,可得Rt△AMF中,sin∠AMF= ,∵|MF|=5,|AF|=,∴,整理得4+= ,解之可得p= 或p=,因此,抛物线C的方程为或,故选 C.11．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查指数、对数函数，函数与方程.由题意得：存在，使得成立，即在区间上有解；构造函数，而单增，且当时，；当，时，；由零点存在定理可得：在区间上有零点，即在区间上有解；当时，，解得；所以的取值范围是.选B.二、填空题：共4题12．定积分= .【答案】【解析】本题考查定积分的几何意义.表示以原点为圆心,以4为半径的圆的面积的,所以=.13．已知满足约束条件，求的最小值是.【答案】【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域(如图三角形所示)，：；表示到区域内点的距离的平方；当圆D与直线相切时，取得最小值；，所以的最小值为.【备注】体会数形结合思想.14．若三棱锥P-ABC的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 .【答案】【解析】本题考查空间几何体的结构特征与体积. 三棱锥P-ABC如图所示，其四个顶点全部位于正方体的顶点处，其中为正方体的对角线；而正方体的外接球半径，即三棱锥的外接球半径；所以此三棱锥的外接球的体积.【备注】体会数形结合思想.15．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2016＝______.【答案】【解析】本题考查数列求和.由题意得，，，，而，所以；当为奇数时，数列{a n}是以为首项、为公比的等比数列，当为偶数时，数列{a n}是以为首项、为公比的等比数列，所以+=+= +=.【备注】等比数列中，.三、解答题：共8题16．Δ中,角所对边分别是,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.【答案】====.由余弦定理:==≥=.∴，当且仅当时有最大值,∴.【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，余弦定理，三角形的面积公式.===；由余弦定理得=≥，∴，而，∴.【备注】三角函数常考查：诱导公式，三角恒等变换，正余弦定理，三角形的面积公式等.17．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 (男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X) .附表及公式.【答案】(1)由表中数据得的观测值.所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)设事件为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为，由几何概型；即乙比甲先解答完的概率为.(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种；其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，，的分布列为：.【解析】本题考查独立性检验，古典概型，几何概型. (1)，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；(2)基本事件满足的区域为，由几何概型可得；(3)可能取值为，，，，可得的分布列与.【备注】统计与概率的相关知识: 独立性检验,古典概型，频率分布直方图，二项分布，随机变量的分布列与数学期望.18．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA.(1)求证：BE⊥平面PAC；(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.【答案】(1)证明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB.由∠BCA=90°，可得AC⊥CB；又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，而BE?平面PBC，∴AC⊥BE；∵PB=BC, E为PC中点，∴BE⊥PC；∵PC∩AC=C，BE⊥平面PAC.(2)如图，以B为原点、BC所在直线为轴、BP为轴建立空间直角坐标系.则，. 设平面的法向量.由得，即,(1),(2)取，则,.，，；所以直线与平面所成角的正弦值.19．已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆标准方程;(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点,问:在轴上是否存在点,使为定值？若存在,试求出点的坐标和定值,若不存在,说明理由.【答案】(1)由，①又以原点为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为且与直线相切,所以,代入①得c=2,所以.所以椭圆的方程为.(2)由得,设,所以,根据题意,假设轴上存在定点,使得为定值,则有=...要使上式为定值,即与k无关,则应,即,此时为定值,定点为.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离、平面向量的数量积、根与系数的关系、方程思想.(1)由椭圆的离心率可得，根据以原点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切，利用点到直线的距离公式即可求得a的值，进而求出c、b，可得椭圆方程;(2) 由，消去y可得关于x的一元二次方程，设,则可得，根据题意,假设轴上存在定点,使得为定值,化简求解即可.20．已知函数(1)求曲线在处的切线方程;(2)证明：.【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e；故曲线在处的切线方程为;(2)证明：由(1)知，f(x)＝e x ln x＋e x-1，从而f(x)>1等价于x ln x>x e-x－设函数g(x)＝x ln x，则g′（x)＝1＋ln x，所以当x∈时，g′（x)<0；当x∈时，g′（x)>0；故g(x)在上单调递减，在上单调递增；从而g(x)在(0,＋∞)上的最小值为g＝－.设函数h(x)＝x e-x－，则h′（x)＝e-x(1－x)；所以当x∈(0,1)时，h′（x)>0；当x∈(1,＋∞)时，h′（x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,＋∞)上单调递减；从而h(x)在(0,＋∞)上的最大值为h(1)＝－.因为g (x)min＝g＝h(1)＝h(x)max，所以当x>0时，g(x)>h(x)；即f(x)>1.【解析】本题考查导数的几何意义，导数在研究函数中的应用. (1)由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故切线方程为；(2) f(x)>1等价于x ln x>x e-x－;求导可得g(x)min＝g＝h(1)＝h(x)max，所以当x>0时，g(x)>h(x)；即f(x)>1.【备注】合理构造函数，体会分类讨论思想、化归与转化思想.21．已知△ABC中，AB=AC,D为△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E, 延长AD交BC的延长线于F.(1)求证：∠CDF=∠EDF；(2)求证：.【答案】证明：、B、C、D四点共圆，∴∠CDF=∠AB C.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB且∠ADB=∠ACB，∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC,∴∠CDF=∠EDF由得∠ADB=∠ABF，又∵∠BAD=∠FAB，所以△BAD与△FAB相似；，；又,，根据割线定理得，所以.【解析】本题考查四点共圆，圆周角定理，三角形相似，切割线定理.【备注】常考查：三角形相似，圆周角定理，弦切角定理，切割线定理等.22．已知曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.(2)若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.【答案】∵曲线的参数方程为(α为参数)∴曲线的普通方程为曲线表示以为圆心，为半径的圆.将代入并化简得：即曲线的极坐标方程为.∵直线的直角坐标方程为，∴圆心到直线的距离为；∴弦长为.【解析】本题考查曲线的参数方程，直线的极坐标方程.【备注】极坐标与参数方程常考查：极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，相交弦长等内容. 体会化归与转化思想、数形结合思想.23．已知函数的解集为.(1)求的值；(2)若，成立，求实数的取值范围.【答案】，所以，，或，又的解集为. 故.等价于不等式，=，故，则有，即，解得或.即实数的取值范围【解析】本题考查绝对值不等式.【备注】常考查绝对值不等式的求解：转化为分段函数或利用绝对值的几何意义.考查考生的运算求解能力.。

2025届山西省长治市第二中学高三第二次联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．12．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．43．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B ．31- C ．221-D ．324．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．343π+D ．8343π+5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．2236．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-D ．()()1,00,1-7．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺8．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864C ．－4864D ．12809．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．10．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；A ．0B ．1C ．2D ．311．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 12．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A ．3172B ．210C ．132D ．310二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

精品题库试题理数1. (2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B.16π C.9π D.1.A1.设球的半径为R,由题意可得(4-R)2+()2=R2,解得R=,所以该球的表面积为4πR2=.故选A.2. (2014湖北,8,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.2.B2.圆锥的体积V=πr2h=πh=,由题意得12π≈,π近似取为,故选B.3. (2014陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D.3.D3.如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC=,∴对角面ACC1A1为正方形,∴外接球直径2R=A1C=2,∴R=1,∴V球=,故选D.4.(2014安徽,7,5分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.184.A4.根据题意作出直观图如图,该多面体是由正方体切去两个角而得到的,根据三视图可知其表面积为6+2××()2=6×+=21+.故选A.5.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm25.D5.由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为S=3×5+2××4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2).6.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，6）已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（）（A）1 （B）（C）（D）36. A6. 取边长为的边的中点, 并与其对棱的两个端点连接,7.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，5）某几何体的三视图如下图所示，则它的表面积为（）（A）（B）（C）（D）7. B7. 该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为半径为3母线长为5的圆锥，下半部为底面半径为3高为5的圆柱，所以其表面积为.8.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，5) 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据．可得这个几何体的表面积为( )A.B.C.D. 128. B8. 从三视图中可以看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为底面是边长为2的正方形，故其表面积为.9. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，11) 三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB＝6，则该球的体积为()9. B9. 三棱锥P－ABC的外接球与高为6底面边长为3的正三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P－ABC补成高为6底面边长为3的正三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为3，设底面ABC的外接圆圆心为O1, 连接OA, O1A、OO1, 则O1A =, OO1=3，所以OA2=O1A2+=，所以该求的体积为.10. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，3) 下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 510. A10. 根据三视图可知，该几何体由两部分组成，上半部为底面边长分别为3和2的长方形高为x的四棱锥，下半部为高为1底面边长分别为3和2的长方形的长方体，所以其体积为，解得x=2.11. (2014山西太原高三模拟考试（一），10) 在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC, AB=BC=,SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是, 若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是( )11. D11. 取线段AC的中点E, 则由题意可得SE⊥AC, BE⊥AC, 则∠SEB即为二面角S-AC-B的平面角, 在△SEB中, SE=, BE=1, 根据余弦定理, 得, 在△SAB和△SCB中, 满足勾股定理, 可得SA⊥AB, SC⊥BC, 所以S、A、B、C都在同一球面上，则该球的直径是SB, 所以该球的表面积为.12. (2014山西太原高三模拟考试（一），8) 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为( )A. （32+) ㎝3B. （32+) ㎝3C. （41+) ㎝3D. （41+) ㎝312. C12. 该三视图对应的几何体为由上中下三部分构成的组合体，其中上半部是长宽高分别为3、3、1的长方体；中半部为底面直径为1高为1的圆柱；下半部为长宽高分别为4、4、2的长方体，其体积为.13.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，3) 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D. 13.B13. 由三视图知，原几何体是一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且腰长为2，所以该三棱柱的体积.14. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，6) 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（）A. 6B. 12C. 18D. 2414. C14. 根据三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该四棱锥的高为4，因为体积为24，所以底面积.15. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），8) 点, ，，在同一个球的球面上，，, 若四面体体积的最大值为, 则该球的表面积为( )15. C15. 如图，当平面时，四面体体积的最大. 此时，，所以，设球半径为R，则,即，从而，故.16. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，6) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.16. D16.原几何体如图中三棱锥，由已知正视图、侧视图和俯视图均是三角形，可知该几何体有一个侧面垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形，则这个几何体的外接球的球心在高线上，且是等边三角形的中心，所以这个几何体的外接球的半径为，所以这个几何体的外接球的表面积为.17. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，9) 正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.B.C.D.17. D17. 设球半径为，如图所示，可得，解得，所以表面积为.18. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，7) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 6B. 2C. 3D.18.D18. 由三视图知，原几何体的体积为.19. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 5) 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）19.D19.该几何体是一三棱柱，qi 其体积为=4.20. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，8) 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A. B. C. D.20. C20. 由三视图知，原几何体是一个三棱柱，其底边为边长为2的等边三角形，高为2，所以球心在三棱柱上下两底面的中心的连线的中点，球的半径为，球的表面积为.21.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，7）三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，AB BC，又SA=AB= BC=1，则球O的表面积为( )(A) (B)(C) 3(D) 1221. C21. 三棱锥S－ABC的外接球与高为1底面边长为1等腰直角三角形的直三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P－ABC补成高为1底面边长为1等腰直角三角形的直三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为，设底面ABC的外接圆圆心为O1, 连接OA, O1A、OO1, 则O1A =, OO1=，所以OA2=O1A2+=，所以该求的体积为.22.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，8）若某棱锥的三视图(单位：cm) 如图所示，则该棱锥的体积等于（）A．10 cm3B．20 cm3C．30 cm3D．40 cm322. B22. 根据三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥，其中PA⊥PB，底面ABCD为矩形且与侧面PAB垂直，过点P作线段AB的垂线，则该垂线即为四棱锥的高，其长度为cm，而矩形ABCD的边长AD=5，AB=5，所以其体积为cm3.23.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，4）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．48cm3B．98cm3 C．88cm3D．78cm323. B23. 该三视图对应的几何体为长、宽、高分别为6 cm、3 cm、6 cm的长方体截去一个三棱锥后所得的几何体，其体积为6×3×6－98 cm3.24.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 11) 如图所示，棱长为6的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为l的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是( )( A) 222(B) 258 (C) 312 (D) 32424. C24. 表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的表面积．则S=6×36-12+6×4×6-6×6=312．故选C．25.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 4) 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为矩形，俯视图上半部分为半，圆，则该几何体的体积为( )(A) (B) (C) (D)25. C25. 根据三视图可知，该几何题是由半圆柱和直三棱柱构成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2；直三棱柱的底面是腰长为的等腰直角三角形，故该几何体的体积为.26.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，9) 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A． B．C．D．26.26. 由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即，故选.27.(2014湖北武汉高三2月调研测试，8) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为27. D27. 根据几何概型，===，其中“＝” 当且仅当时成立. 故选D.28. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 7) 某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是（）A.B.C.D.28. B28. 由三视图知，原几何体是由一个半圆柱与一个半圆锥构成，其体积为.29. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 4) 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.29. C29.由已知，元几何体为四棱柱，其底面边长为，侧视图的高为，底面积为，又因为棱柱的高为3，侧面积为，故原几何体的表面积为.30. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 3) 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：）, 则该几何体的体积为（）．A． B. C． D.30.C30.由三视图可知，该几何体是由三个棱长为1的正方体加半个正方体构成，所以体积为31.(2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，8) 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm) ，则该几何体的体积为（）(A) 120 (B) 80 (C) 100(D) 6031. C31.画出直观图可知，原几何体的体积.32. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）32. C32. 原几何体是由一个圆柱与一个圆锥构成，其体积为.33.(2014江苏,8,5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2,体积分别为V1、V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是________.33.33.设圆柱甲的底面半径为r1,高为h1,圆柱乙的底面半径为r2,高为h2.由题意得==,∴=.又∵S甲侧=S乙侧,即2πr1h1=2πr2h2,∴==,故==·=×=.34.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=________.34.34.如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=S1h1,V2=S2h2,∴==.35.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.35.π35.该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成,故体积V=π×12×4+×π×22×2=π(m3).36.13．(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，13) 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是。