全微分、复合函数微分法

f u′v ⋅ x 2 +
f v′v
⋅
1 x
代入 (*) 式, 得到
∂2z ∂y∂x
=
2 xf u′ + 2 xy ( f u′u ⋅ x 2 +
f v′u ⋅
1) x
−
1 x2
f v′ −
= df (x0) =
f ′(x0)dx
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定义 : (全微分 ) 设函数 z = f ( x, y)在点 M 0 ( x0 , y0 )的某邻域
有定义 .如果存在常数 a1 , a2 , 使得函数改变量 可以表示成
∆ f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆ x, y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 )
连续,则f ( x, y)在点M 0 ( x0 , y0 )处可微 .
[证] f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 + ∆y) + f ( x0 , y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) = fx′(x0 +θ∆x, y0 + ∆y) ⋅ ∆x + fy′( x0, y0 +τ∆y) ⋅ ∆y
于是 , 有
lim ∆
( x , y )→( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 ) = 0
即
lim
( x, y)→( x0 , y0 )
f (x, y) =
f ( x0 , y0 )
所以 , f在点 ( x 0 , y 0 )连续 .
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定理 2： (可微的必要条件 )
若函数 f ( x , y )在点 M 0 ( x0 , y0 )可微 , 则 函数在这点的偏导数存 在，且
= a1 ⋅ ∆ x + a2 ⋅ ∆ y + o(ρ) (当ρ → 0)
( 其中, ρ = d ( M , M 0 ) = ∆x 2 + ∆y 2 )
则称函数
f在点
M
可微
0
.并且将
a1 ⋅ ∆x + a2 ⋅ ∆y
称为
f在点
M
处的全微分
0
.记作
dz |M0 = df ( x0 , y0 ) = a1 ⋅ ∆x + a2 ⋅ ∆y
∂ ∂
z x
M0
dx
+
∂ ∂
z y
M 0 dy
可微的充分条件
设函数 f ( x , y)的各偏导数在点 M 0 ( x0 , y0 )处 连续 , 则 f ( x , y)在点 M 0 ( x0 , y0 )处可微 .
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全微分的几何意义
z = f (x, y)
S
z
R
S1
⎧y ⎩⎨z
( ∆xu)2 + ( ∆xv )2
∆x
∆x
lim o ( ρ ) = lim o ( ρ ) ⋅ lim ( ∆xu )2 + ( ∆xv )2 = 0
∆x→0 ∆x
ρ →0 ρ ∆x→0 ∆x
∆x
于是 ,由(3)式得到
这也∆lixm就→0 是∆∆xx公z =式∂∂uf
⋅
∆l(ix1m→)0
∆:∆xxu∂∂xz+
关于 x , y的偏导数存在 , 并且有
链
∂z = ∂f ⋅ ∂u + ∂f ⋅ ∂v (1) ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z = ∂f ⋅ ∂u + ∂f ⋅ ∂v (2)
式 法 则
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
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[证] 将 y固定 , 给 x改变量 ∆x, 相应地 , u和 v有 偏增量 ∆ x u = u( x + ∆ x , y ) − u( x , y ) ∆ xv = v(x + ∆x, y) − v(x, y)
M0
+
∂z ∂y
dy
M0
M0
R2S1
=
Q0N1
=
∂z ∂x
M0
dx
P1S1 = P1R2 + R2S1 14
二、复合函数微分法
定理 1 : ( 链式法则 ) 设二元函数 z = f ( u, v )可微 , 二元函数
u = u( x , y ), v = v ( x , y )关于 x , y的偏导数 存在 , 则复合函数 z = f [u( x , y ), v ( x , y )]
= =
y0 f(
x,
y)
曲线P0
N
R1 Q1
N R2
P1 N1
⎧x ⎩⎨z
= =
x0 f(
x,
y)
曲线P0R
P0 y
Q0 M ( x0 + dx, y0 + dy)
切平面在点
M0
P1R2
=
Q1R1
=
∂z ∂y
dy
o M0( x0, y0 ) 的竖坐标增量x
P1 S1
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=
∂z ∂x
dx
从而函数 z = f (u, v )有相应的改变量
∆z = f (u + ∆xu, v + ∆xv) − f (u,v)
由 f ( u , v )可微知
∆xz
=
∆z
=
∂f ∂u
∆xu +
∂f ∂v
∆xv
+
o(ρ)
(ρ → 0)
其中 ρ = (∆xu)2 + (∆xv)2
用 ∆ x除上式各项 , 得
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= lim ρ→0
∆x⋅∆y
( ∆ x ) 2 + ( ∆ y ) 2 = lim
∆x ⋅∆y
ρ
ρ→0 (∆x)2 + (∆y)2
=
lim
∆x→ 0 ∆y→ 0
∆x ⋅∆y (∆x)2 + (∆y)2
这个极限不存在！所以，函数在(0, 0)点 不可微.
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定理3 : (可微的充分条件 ) 设函数 f ( x, y)的各偏导数在点 M 0 ( x0 , y0 )处
y→0
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2
可微与连续的关系
如果函数 f ( x , y ) 在点 M 0 ( x 0 , y0 )可微 , 则 函数在这点连续 .
可微的必要条件
若函数 f ( x , y)在点 M 0 ( x0 , y0 )可微 , 则函数 在这点的偏导数存在， 且
dz
M0
=
df
( x0 ,
y0 ) =
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∆xz = ∂f ⋅ ∆xu + ∂f ⋅ ∆xv + o (ρ)
(3)
∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
由于已知 u( x, y), v( x, y)对x的偏导数存在 ,因此
当∆x → 0时, 有∆xu → 0, ∆xv → 0, 从而 ρ → 0
o(ρ) = o(ρ) ⋅ ρ
∆x
ρ ∆x
= o(ρ) ⋅ ρ
[( ∆x )2 + (∆y )2 ]sin 1
= lim
(∆x )2 +(∆y )2
ρ→0
ρ
= lim ρ sin 1 = 0
ρ→0
ρ
f x′( x, y) = 2x sin
1− x2 + y2
x cos
x2 + y2
1 x2 + y2
lim
x→0
fx′( x,
y)不存在！所以 ,
fx′( x,
y)不连续！
第三讲 多元函数微分法
一、全微分 二、复合函数微分法
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一、全微分
回忆： 一元函数的微分概念
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) = a ⋅ ∆x + o(∆x) (∆ x → 0)
dy x=x0 = df ( x0 ) = a ⋅ ∆x
a = f ′(x0),
dy x= x0
∴ lim f ( x, y) = 0 = f (0,0) x→0 y→0
在 ( 0 , 0 )点可导 : f x′ (0,0) = f y′ (0,0) = 0 但是 , 在(0, 0)点不可微 :
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1
∆f Q lim
ρ→0
− [ f x′ (0 ,0 ) ⋅ ∆ x + ρ
f y′ ( 0,0 ) ⋅ ∆ y ]
M0
= lim ∆ x z = a .同理 b = ∂ z
∆ x→0 ∆ x
∂y
M0
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注意：偏导数存在是可微的必 要条件
⎧
[例1] 函数
f
(
x,
y)
=
⎪ ⎨
⎪ ⎩
在 ( 0 , 0 )点连续 :
xy ,
x2 + y2 0
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
Q 0 ≤ xy ≤ y x2 + y2
( x, y)→( x0 , y0 )
( x, y)→( x0 , y0 )
代入函数增量表达式 , 得到
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f ( x0 , y0 ) = f x′( x0 , y0 )∆x + f y′( x0 , y0 )∆y + α∆x + β∆y