7.4 多元复合函数与隐函数微分法(gai)
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多元复合函数与隐函数微分法知识分享
du z dv,
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
7.4多元复合函数与隐函数微分法解析
z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为 而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的 混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自 变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
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复合函数微分法和隐函数微分法[精编文档]
![复合函数微分法和隐函数微分法[精编文档]](https://img.taocdn.com/s1/m/be9ff2d668dc5022aaea998fcc22bcd126ff429a.png)
F1
1
1 y
z x
F2
z x x
x2
z
z x
x2 yF1 yzF2 x2 y x2F1 xyF2
z y
F1
z y
y y2
z
F2
1
1 x
z y
z y
xy2F2 xy2 xyF1
xzF1 y2F2
例3：证z 明z(方x, 程y) 满F 足x ：zy
, x
y z x
确定一个单值可导隐函数y=f(x),并求
dy d 2 y dx x0 , dx2 x0
问题：求方程的 dy 有多少种方法？求d 2 y有什么方法？
dx
dx2
构造以x,y为变量的二元函数
F(x,y)=siny+ex-xy-1
(1) Fx ex y, Fy cos y x 连续 (2) F(0, 0) 0
u x
2xyfu
2xyf1
z f1 u, v,u x2 y, v y2
2z x2
2y
f1
x
f1 u
u x
2y
f1
xf11
2 yx
2z
xy
2x
f1
y
f1 u
u y
f1 v
dv dy
2x
f1 y
f11 x2 f12 2 y
例4：设 z
f
y x
,
f
(u) 为可微函数，证明：
f1 1
z x
f2
yz
xy
z x
z
f1
yzf
2
x
1
f1
xyf
2
例3：证z 明z(方x, 程y) 满F 足x ：zy ,
第四节 多元复合函数与 隐函数的微分法高等数学三年专科最新版精品课件
z v
z z u z v . t u t v t
t
又如 z = f (u , v ) , u ( x , y ), v ( x ) ,
u x y
z
则
v
z z u z dv , x u x v d x
z z u . y u y
根据假设，z = f (u , v) 在 (u , v) 偏导数连续，从而
知其可微，所以
z z z u v , u v
①
2 2 ( u ) ( v ) , l i m 0 , 其中 且 0
得 又因一元函数 u 与 v 可导，所以 u 与 v 均连续，
(sin2 x )
x 2 1
x ln(sin2 x ) . 2 x 1 cot 2 x 2 x 1
2
而 u ( x, y)和 设函数 z = f (u , v) 可微， v ( x, y ) 的一阶偏导数都存在， 这时，复合 函数 z = f [u(x , y), v (x , y)] 对 x 与 y 的偏导数都 存在且
z u z v lim lim lim x 0 u x x 0 v x x 0 x
z du z dv . u dx v dx
例 1 设 z u , u sin2 x , v
dz . dx
v
x 1 , 求
x
z
当 z = f (u , v , w ), u ( x , y ) , v ( x , y ) ,
( x , y ) 时 ， 其求导公式可参考关系图如下 .
高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件
x y
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
多元复合函数与隐函数微分法
解 在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明 我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明 我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .
复合函数微分法与隐函数微分法
第九讲 复合函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.一、 多元复合函数微分法1、复合函数的中间变量为多元函数的情形设),,(v u f z =),,(y x u u =),(y x v v =构成复合函数)],,(),,([y x v y x u f z =则,x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ,yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2、复合函数的中间变量为一元函数的情形设函数),(v u f z =,)(t u u =,)(t v v =构成复合函数)](),([t v t u f z =.dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= 导数dtdz 称为全导数.3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3 如果函数),(y x u u =在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数, 函数)(y v v =在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([y v y x u f z =在对应点),(y x 的两个偏导数存在, 且有,x u u z x z ∂∂∂∂=∂∂ .dydv v z y u u z y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:,),(1u v u f f ∂∂=' ,),(2v v u f f ∂∂='vu v u f f ∂∂∂=''),(212 , 这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第二个变量v 求偏导数，同理有2211,f f '''' , 等等. 例1设,sin v e z u =而,,y x v xy u +== 求x z ∂∂和.yz ∂∂ 例2设,sin t uv z +=而,cos ,t v e u t == 求导数.dtdz第十讲 隐函数微分法二、 隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程0),(=y x F来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数, 且,0),(00≠y x F y ,0),(00=y x F 则方程0),(=y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数),(x f y = 它满足),(00x f y = 并有.yx F F dx dy -= 定理5 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 且,0),,(,0),,(000000≠=z y x F z y x F z则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =, 它满足条件),(000y x f z =,并有.,zy z x F F y z F F x z -=∂∂-=∂∂ 例3 求由方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,0=x dx dy dx dy 例4求由方程y z z x ln =所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数.,yz x z ∂∂∂∂ 例5求由方程a a xyz z (333=-是常数)所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数x z ∂∂和.y z ∂∂ 例6设,04222=-++z z y x 求 .22x z ∂∂。
7.4多元复合函数与隐函数微分法
ve u sin t cos t
t
e cos t e sin t cos t
t t
e t (cos t sin t ) cos t .
例 8 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求 和 . x y
解
z z u z v x u x v x
f1( x y , xy) y f 2( x y , xy) ,
z f u f v y u y v y
f1( x y , xy) x f 2 ( x y , xy) .
z z 例１０ 设 z f ( x x y ) , 且 f ( u) 可微 , 求 与 . x y 解 在 z f ( x x 2 y 2 ) 中, 令 u x x 2 y 2 ,
则 Fx 2 x, Fy 2 y ,
F (0,1) 0,
Fy (0,1) 2 0,
2 2 x y 1 0 在点(0,1) 的某邻域 依定理知方程 内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的 函数 y f ( x ) ．
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
7.4 多元复合函数与隐函数微分法
且F ( x0 , y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程
F ( x, y, z) 0在点 P0( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函
数z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
多元复合函数求导 的链式法则
u
x y
z
链式图如右所示
v
x
y
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三种特殊情形：
3/16
1. 【中间变量为一元函数】
若u (t)及v (t)都在点 t 可导， z f (u,v)在对应点
(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z f [ (t), (t)]在
z x
ye xy ez 2
,
z y
xe xy ez 2
.
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三、隐函数微分法
12/16
1. F(x,y)0
【隐函数存在定理】 设方程F ( x, y)=0 确定隐函
数 y f ( x),且函数F ( x, y)存在连续的偏导数，
则当 Fy (x, y) 0 时，有连续导数的函数 y f ( x)，
et(cto ssit)n co t. s
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8/16
• 例7.19， 例7.20，例7.21， • 例7.22 例7.23，例7.25.
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二、全微分形式不变性
9/16
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv; u v
F ( x, y, z) 0在点 P0( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函
数z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
多元复合函数求导 的链式法则
u
x y
z
链式图如右所示
v
x
y
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三种特殊情形：
3/16
1. 【中间变量为一元函数】
若u (t)及v (t)都在点 t 可导， z f (u,v)在对应点
(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z f [ (t), (t)]在
z x
ye xy ez 2
,
z y
xe xy ez 2
.
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三、隐函数微分法
12/16
1. F(x,y)0
【隐函数存在定理】 设方程F ( x, y)=0 确定隐函
数 y f ( x),且函数F ( x, y)存在连续的偏导数，
则当 Fy (x, y) 0 时，有连续导数的函数 y f ( x)，
et(cto ssit)n co t. s
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8/16
• 例7.19， 例7.20，例7.21， • 例7.22 例7.23，例7.25.
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二、全微分形式不变性
9/16
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv; u v
多元复合函数与隐函数的微分法
uz du
z v
dv
.
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由此可见，无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的 函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微 分形式不变性.
例7 利用全微分形式不变性解本节的例3.即：设
z eu sinv, 而u=xy,v=x+y,求
z x
和
z y
.
解 d z d e u s in v e u s in v d u e u c o s v d v .
因 d u d x y y d x x d y , d v d x y d x d y ,
代入后归并含dx及dy的项,得
d z ( e u s i n v y e u c o s v ) d x ( e u s i n v x e u c o s v ) d y ,
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(lnv)cost usint v
c o s tln c o s t ta n ts i n t
例2
设z
u2vsint,
而uet,vcost,求导数
d d
z t
.
解
dz dt
uzddut vzddvt zt
2 u v s in te t u 2 s in t( s in t) u 2 v c o s t
和 z y
.
解
z x
z uz veusinvyeucosv1
u x v x
eu(ysinvcosv) exy[ysin (xy) co s(xy)],
z z u z v eusinvxeucosv1
y u y v y eu(xsinvcosv)exy[xsin(xy)co s(xy)].
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z f [u(x, y), v(x, y)]
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （1）z x ln( x 2 y); （2）z x arctan y . x
解 (1) 由微分运算法则可得
dz ln( x 2 y)dx xdln( x 2 y) ln( x 2 y)dx x d( x 2 y) x 2y
f2(tx, ty) y
另外 z tk f ( x, y), 则 dz k t k1 f ( x, y) dt
因此, 对任何 t 有 f1(tx, ty) x f2(tx, ty) y k t k1 f ( x, y)
令 t 1即得 x fx( x, y) y f y( x, y) k f ( x, y).
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设 z f (u, v) 在 (u, v) 处可微, 函数 u u( x, y), v v( x, y), 在 ( x, y) 处的偏导数都存在, 则 复合函数 z f [ u( x, y), v( x, y)] 在 ( x, y) 处的偏导 数都存在, 且有如下的链式法则
(7 15)
公式的推导 设方程F(x, y) 0 在点(x0 , y0 )的某个邻域内确 定了一个具有连续导数的隐函数 y y( x),则对 y( x) 定义域中的所有x,有 F[x, y( x)] 0,
根据链式法则, 在方程两边对 x 求导, 可得
F F dy 0, x y dx
x
x
arctan
y x
dx
x
1
1
(
y x
)2
d(
y x
)
arctan
y dx x
x
n
y x
xy x2 y2
dx
x2 x2
y2
dy
因此
z x
arctan
y x
xy x2 y2
,
z y
x2 x2 y2
.
三、隐函数微分法
定理7.4 设二元函数 F ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的某 一邻域内具有连续偏导数 , 且
因为Fy( x0, y0 ) 连续, 且 Fy( x0, y0 ) 0,
所以存在 ( x0 , y0 ) 的某个邻域, 在该邻域内Fy 0,
于是
dy Fx . dx Fy
例5 求由方程 x y ex2y 0 所确定的隐函数 y f (x) 的导数. 解 法一 令 F ( x, y) x y ex2 y , 则
x fx( x, y) y f y( x, y) k f ( x, y). 证明 在 z f (tx,ty) 中, 令 u tx , v ty ,
其中 x, y 相对于 t 是常数,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
dz dt
f du f dv u dt v dt
f1(tx, ty) x
ln( x 2 y)dx x dx 2dy x 2y
[ln(x 2 y) x ]dx 2x dy
x 2y
x 2y
因此 z ln( x 2 y) x , z 2x .
x
x 2 y y x 2 y
(2) 由微分运算法则可得
dz arctan y dx xdarctan y
二、一阶全微分的形式不变性
设函数
都可微,
则复合函数 z f [ u( x, y), v ( x, y)]的全微分为
dz z dx z dy x y
z u z v d y u y v y
u dx u d y x y
v dx v d y x y
du dv,
dz z dx z dy x y
F ( x0 , y0 ) 0 , Fy( x0 , y0 ) 0. 则由方程 F(x, y) 0 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内能唯 一地确定一个有连续导数的函数 y f ( x), 它满足条 件 y0 f ( x0 ), 且有
dy Fx( x, y) Fx dx Fy( x, y) Fy
dz f du f dv dt u dt v dt 其中的 dz 称为全导数. dt
(7 14)
例1 设 z f (u,v) 可微, 求 z f ( x y, xy) 的偏导数. 解 在 z f ( x y, xy) 中, 令 u x y , v xy , 则由复合函数求偏导数链式法则可得 z f u f v x u x v x
Fx 1 2xyex2 y , 因此
Fy 1 x2ex2 y ,
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
y
y
例3 若 f ( x, y) 满足 f (tx,ty) t k f ( x, y) ( k 为正整 数 ), 则称 f ( x, y) 是 k 的齐次函数, 证明: k 次齐次函 数 f (x, y) 满足
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
解 在 z f ( x x2 y2 )中, 令 u x x2 y2 ,
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
情形1 z f (u), u u( x, y), 则对 z f [u( x, y)] 有链式法则
z f (u) u , z f (u) u
x
x y
y
(7 13)
情形2 z f (u,v), u u(t), v v(t), 则对 z f [u(t),v(t)] 有链式法则