复合函数求导法.

复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。

2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。

3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。

4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。

5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ 复合函数求导公式 复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。

 设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。

复合函数导数的基本公式14个复合函数的导数是微积分学中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

在计算复合函数的导数时，有一些基本公式可以帮助我们简化计算过程。

下面将介绍14个复合函数导数的基本公式，并给出相关的解释和证明。

1.常数函数求导法则：若数k为常数，f(x)=k，则有(f(g(x)))'=0，即常数函数的导数为零。

2.幂函数导数公式：若f(x)=x^n，其中n为正整数，则有(f(g(x)))'=n*x^(n-1)*g'(x)。

这个公式可以通过对幂函数进行微分得到。

3.指数函数导数公式：若f(x)=e^x，则有(f(g(x)))'=e^g(x)*g'(x)。

这个公式可以通过对指数函数进行微分得到。

4.对数函数导数公式：若f(x) = ln(x)，则有(f(g(x)))' = g'(x)/g(x)。

这个公式可以通过对对数函数进行微分得到。

5.三角函数导数公式：若f(x) = sin(x)，则有(f(g(x)))' = cos(g(x)) * g'(x)。

若f(x) = cos(x)，则有(f(g(x)))' = -sin(g(x)) * g'(x)。

若f(x) = tan(x)，则有(f(g(x)))' = sec^2(g(x)) * g'(x)。

这些公式可以通过对三角函数进行微分得到。

6.反三角函数导数公式：若f(x) = arcsin(x)，则有(f(g(x)))' = g'(x)/sqrt(1 - g^2(x))。

若f(x) = arccos(x)，则有(f(g(x)))' = -g'(x)/sqrt(1 -g^2(x))。

若f(x) = arctan(x)，则有(f(g(x)))' = g'(x)/（1 + g^2(x))。

复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。

在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。

设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。

我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。

根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。

Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。

Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。

下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。

1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。

根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。

例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。

例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。

例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。

复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。

复合函数偏导求法：运用链式求导法。

运用链式求导时，对一个变量求导，其余变量当成常数对待。

复合函数求导规则
复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。

法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

链式法则
链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。

复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。

偏导数求法
当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。

如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那么称函数f(x,y)在域D可导。

此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。

简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

复合函数的求导法则例9 (E07) 求函数x y sin ln =的导数.解 设,ln u y =.sin x u =则dx du du dy dx dy ⋅=x u cos 1⋅=xx sin cos =.cot x =例10 (E08) 求函数102)1(+=x y 的导数.解 设.1,210+==x u u y 则 x u dxdu du dy dx dy 2109⋅=⋅=.)1(202)1(109292+=⋅+=x x x x 注：复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数)]}([{x f y ψϕ=的导数时，要从外层, 逐层推进.先求f 对大括号内的变量u 的导数)]),([(x u ψϕ=再求ϕ对中括号内的变量v 的导数)),((x v ψ=最后求ψ对小括号内的变量x 的导数. 在这里，首先要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数;其次,在逐层求导时,不要遗漏, 也不要重复. 熟练之后可以不设中间变量的字母, 心中记住,一气呵成.例11 (E10) 求函数32)sin (x x y +=的导数.解 ])sin [(32'+='x x y )sin ()sin (3222'++=x x x x ])(sin sin 21[)sin (322'⋅++=x x x x ).2sin 1()sin (322x x x ++=例12 求函数 )1(sin 2x e y -=的导数.解一 设中间变量, 令.1,sin ,,2x w w v v u e y u -====于是x w v u x w v u y y '⋅'⋅'⋅'=')1()(sin )()(2'-⋅'⋅'⋅'=x w v e u )1(cos 2-⋅⋅⋅=w v e u)1cos()1sin(2)1(sin 2x x e x --⋅-=-.)1(2sin )1(sin 2x e x -⋅--=解二 不设中间变量.)1()1cos()1sin(2)1(sin2-⋅-⋅-⋅='-x x e y x .)1(2sin )1(sin2x e x -⋅--= 例13 (E09) 求函数)2(21ln 32>-+=x x x y 的导数.解 ),2ln(31)1ln(212--+=x x y )2(2131)1(112122'-⋅-⋅-'+⋅+⋅='∴x x x x y )2(31211212--⋅+⋅=x x x .)2(3112--+=x x x例14 求函数 )0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y 的导数.解 '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a x a x a x y arcsin 22222'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'-+-⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x a x a x x a x arcsin 2)(2222222 2222222212)(21221⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'-⋅+-=a x a x a x a x a x x a2222222222121xa a x a x x a -+---= .22x a -=例15 求函数x x x y ++=的导数.解 )(21'++++='x x x x x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+++++=)(21121x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=)211(21121x x x x x x .812422x x x x x x x x x x +⋅+++++=例16 求导数 x y x sin log =).1,0(≠>x x解 在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换底公式,将其变形为.ln sin ln xx y = 这时x x x x x y 2ln sin ln 1ln cot -⋅='.ln sin sin ln sin ln cos 2xx x x x x x x ⋅⋅⋅-⋅=例17 求导数 .log /1x x x e y +=解 .ln 1ln ln log xx e e x == )()(log /1'+'='∴x x x e y '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x e x ln 1ln 1'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x e x x x x ln 1ln 1ln 12 .ln 1ln 1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x x 例18 (E11) 求函数)0(>++=a a a x y xa a a x a 的导数.解 )(ln )(ln 1'⋅⋅+'⋅+='-x a a x aa a a a x a a x a y x a a .ln ln 211a a a a a ax x a xa a a x x a a a ⋅++=-- 例19 设 ,0),1ln(0,)(⎩⎨⎧≥+<=x x x x x f 求 ).(x f ' 解 当0<x 时, ;1)(='x f 当0>x 时, ])1[ln()('+='x x f ;11)1(11x x x +='+⋅+=当0=x 时, ,1)01ln(0lim )0(0=+-+='-→-h h f h ,1)01ln()]0(1ln[lim )0(0=+-++='+→+hh f h 即.1)0(='f 所以.0,110,1)(⎪⎩⎪⎨⎧>+≤='x xx x f例20 (E12) 求函数⎩⎨⎧+=,1,2)(2x x x f 2110<<≤<x x 的导数. 解 求分段函数的导数时，在每一段内的导数可按一般求导法则求之，但在分段点处的导数要用左右导数的定义求之.当10<<x 时, ,2)2()(='='x x f当21<<x 时, ,2)1()(2x x x f ='+='当1=x 时,2122lim 1)1()(lim )1(11=--=--='--→→-x x x f x f f x x 121lim 1)1()(lim )1(211--+=--='++→→+x x x f x f f x x 2)1(lim 11lim 121=+=--=++→→x x x x x 由2)1()1(='='-+f f 知, .2)1(='f 所以 .21,210,2)(⎩⎨⎧<<≤<='x x x x f例21 (E13) 已知)(u f 可导，求函数)(sec x f y =的导数.解 )(sec )(sec ])(sec ['⋅'='='x x f x f y x x x f tan sec )(sec ⋅⋅'=注：求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义，此例中, )(sec x f '表示对x sec 求导，而])(sec ['x f 表示对x 求导.例22 求导数)],(tan[)(tan x f x f y +=且)(x f 可导.解 ).()]([sec )(tan sec 22x f x f x f x y '⋅+'='例23 求导数),ln cos ln (sin x x f y += 且)(x f 可导.解 )ln cos ln (sin )ln cos ln (sin '+⋅+'='x x x x f y)ln cos ln (sin x x f +'=])(ln ln sin )(ln ln [cos '-'⋅x x x x.ln sin ln cos )ln cos ln (sin x x x x x f -⋅+'=。