同济大学《高等数学》8.4节 多元复合函数的微分法

word 完美格式第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。

下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy +=，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=sin cos u u e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂, (3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。

多元函数知识点总结同济一、多元函数的定义在解释多元函数之前，先来回顾一下一元函数的定义。

在一元函数中，我们通常用一个变量来表示自变量，用另一个变量来表示因变量，即y=f(x)。

而在多元函数中，我们需要考虑多个自变量和一个因变量之间的关系，这时我们就需要用到多元函数。

多元函数可以表示为：z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn为自变量，z为因变量。

二、多元函数的性质1. 定义域和值域：在一元函数中，我们只需要考虑一个自变量的取值范围和对应的因变量取值范围。

而在多元函数中，则需要考虑多个自变量的取值范围以及对应的因变量取值范围，这就对定义域和值域提出了更高的要求。

2. 奇偶性：多元函数的奇偶性要根据每个自变量的奇偶性来判断，需要更加复杂的计算方法。

3. 函数的周期性：多元函数的周期性通常需要根据各个自变量的周期性来共同确定。

4. 函数的对称性：对于多元函数，除了考虑自变量和因变量之间的对称性外，还需要考虑自变量之间的对称性，对称性的判断更加复杂。

5. 导数和积分：多元函数的导数和积分需要根据各个自变量分别进行求导和积分，并考虑它们之间的关系。

以上是多元函数的一些基本性质，对于多元函数的研究来说，这些性质是基础且重要的。

在具体的应用中，我们需要根据实际问题的特点来综合考虑这些性质。

三、多元函数的极限1. 多元函数的极限定义：多元函数的极限定义与一元函数的极限定义类似，不同之处在于需要考虑多个自变量同时趋于某个值时，因变量的变化情况。

多元函数f(x1,x2,…,xn)在点(x01,x02,…,x0n)处的极限为A，即lim┬(x→(x0₁,x0₂,...,x0n))⁡f(x1,x2,…,xn)=A，当且仅当对于任意ε>0，存在δ>0，使得0＜√((x1-x0₁)²+(x2-x0₂)²+…+(xn-x0n)²)＜δ时，都有|f(x1,x2,…,xn)-A|＜ε成立。

高数多元函数微分学教案第四讲多元函数的复合求导法则第四讲多元复合函数的求导法则授课题目：§8.4 多元复合函数的求导法则教学目的与要求：掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

教学重点与难点：重点与难点：求多元复合函数的偏导数．讲授内容：回顾一元复合函数求导的连锁法则．一、多元复合函数的求导法则1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =?(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz +=. 证明设t 获得增量,t ?则u =?(t )和v =ψ(t )获得对应的增量u ?，,v ?由此函数z =f (u , v )相应地获得增量z ?．因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它点(u , v )处可微, 于是)(ρo v v z u u z z ++=?)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +?++?+= )()()()(ρo t o vz u z t dt dv v z dt du u z ++??+?+=, ?to t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ?++??+???+???=??)()()(ρ ?dt du v z dt du u z t z dt dz t ??+??==??=→?0lim 注：0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+?=??+??=?→?→?dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ. 推广：设z =f (u , v , w ), u =?(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [?(t), ψ(t ), ω(t )]对t的导数为；dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ??+??+??=. 上述dtdz 称为全导数．例1 设)arctan(2y x z -=，24,3t y t x ==，求全导数dtdz 解 dtdy y z dt dx x z dt dz += ＝22)(11y x -+（t y 8231?-?）＝243)163(1643t t t -+- 提问：设z =f (t , v )，v =ψ(t )，则dt dz ＝？例2 设x y y x z sin ,2=+=，求全导数dx dz 解 dt dy y z dt dx x z dt dz +=dtdy y z x z +??= x xx x y x sin 2cos 2cos 212+=+=2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =?(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有xv v z x u u z x z +=??, yv v z y u u z y z +=??.例3 设v u z ln 2=，y x u =，y x v -=3, 求x z ??和yz ?? 解 311ln 22??+?=+=??vu y v u x v v z x u u z x z )3(3)3ln(2222y x y x y x y x-+-=)1(1)(ln 222-?+-=+=??v u yx v u y v v z y u u z y z )3()3ln(22232y x y x y x y x ----= 推广：设z =f (u , v , w ), u =?(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则xw w z x v v z x u u z x z ++=??, yw w z y v v z y u u z y z ++=??. 提问：(1)设z =f (u , v ), u =?(x , y ), v =ψ(y ), 则=??xz ？=??y z ？（提示: x u u z x z =??, dydv v z y u u z y z +??=??.） (2)设z =f (u , x , y ), 且u =?(x , y ), 则=??xz ？=??y z ？（提示: x f x u u f x z ??+=??, y f y u u f y z ??+=??.） 3、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =?(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有例4 设y x v y x a u v u e z ax -=+=-=cos ,sin ),(，求x z ??和y z ??解 ==),,(v u x f z )(v u e ax-， xv v f x u u f x f x z ++??=?? xe x a e v u ae ax ax ax sin cos )(++-= ]2sin )1[(2ay x a e ax ++=ax ax ax e e e yz 2)1(1=--?=?? 例5 设y z x z v u f xy x f z =，）可微，求（，其中在＝,),( 解设xy v x u ==,xv v f dx du u f x z +???=??21f y f '+'=? 2f x yv v f y z '==??? 例6 设)(22y x u +=?，其中?可导，求证0=??-??xu y y u x 证设22y x z +=，则u=)(z ?0)(22)(='?-?'?=??-??z x y y z x xu y y u x ?? 例7 设),,,(y x u f z =其中f 具有对各变量的连续的二阶偏导数，yxe u =，求y x z 2 解21f e f xz y '+'=??y f e f e y f y x z y y ?'?+'+?'?=2112232111311)(f xe f e f e f xe f y y y y ''+''+'+''+''= 二、全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dv vz du u z dz ??+??=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =?(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy yz dx x z dz ??+??=dy yv v z y u u z dx x v v z x u u z )()(+++= )()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ??++??+= dv v z du u z ??+??=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例8 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解 dv vz du u z dz ??+??== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (ydx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .课堂练习：习题8－4：1，4，6，8（1），10，11，12（2）课外作业：习题8－4 P 31-2、4、11。