高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修习题：第一章§应用案巩固提升 含答案

[A 基础达标]

1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至( )

A．甲 B．乙

C．丙 D．丁

解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.

2．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cosglt＋π3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1

s时，线长l等于( )

A.gπ B.g2π

C.gπ2 D.g4π2

解析：选D.因为周期T＝2πgl，所以gl＝2πT＝2π，则l＝g4π2.

3．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：

x 1 2 3

y 10 000 9 500 ？

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )

A．10 000元 B．9 500元

C．9 000元 D．8 500元

解析：选C.因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取3π2，φ可取π，即y＝500sin3π2x＋π＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.

4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(

)

A．[0，5] B．[5，10]

C．[10，15] D．[15，20]

解析：选C.由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z.当k＝1时，得t∈[3π，5π]，

而[10，15]⊆[3π，5π]，故在[10，15]上是增加的．

5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP︵的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )

解析：选C.由l＝αR可知α＝lR，结合圆的几何性质可知d2＝Rsin α2，所以d＝2Rsin α2＝2Rsin l2R，又R＝1，所以d＝2sin l2，故结合正弦图像可知，选C.

6.

如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π

解析：t＝0时，θ＝12sinπ2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1π.

答案：12，1π

7．(2015·高考陕西卷)

如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(π6x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ．

解析：根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.

答案：8

8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针匀速地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝ ，其中t∈[0，60]．

解析：秒针1 s转π30弧度，t s后秒针转了π30 t弧度，如图所示，(1)当t＝0时，d＝0，(2)当0＜t＜30时，由sin πt60＝d25，所以d＝10sin πt60；(3)当t＝30时，d＝10；(4)当30＜t＜60时，sin2π－πt302＝d25，

即sinπ－πt60＝d10，

所以d＝10sinπ－πt60＝10sinπt60；(5)当t＝60时，d＝0.

综上可知当0≤t≤60时，均有d＝10sinπt60.

答案：10sin πt60

9.

将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O距离为r cm，求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期，当φ＝π6，r＝ω＝1时，说明其图像与函数y＝sin t图像有什么关系？

解：过P作x轴的垂线(图略)，设垂足为M，则MP就是正弦线．

所以y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝2πω.

当φ＝π6，r＝ω＝1时，y＝sint＋π6，其图像是将y＝sin t的图像向左平移π6个单位长度得到的，如图所示．

10.

如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像．

(1)经过多长时间，小球往复振动一次？

(2)求这条曲线的函数解析式；

(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？

解：(1)由题图可知，周期T＝27π12－π12＝π，

所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.

(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，

从题图中可以看出A＝4，T＝2×7π12－π12＝π.

即2πω＝π，即ω＝2，将t＝π12，s＝4代入解析式，

得sinπ6＋φ＝1，解得φ＝π3.

所以这条曲线的函数解析式为s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．

(3)当t＝0时，s＝4sin π3＝23(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是23

cm.

[B 能力提升]

1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|

A．f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N＋)

B．f(x)＝9sinπ4x－π4(1≤x≤12，x∈N＋)

C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N＋)

D．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋7(1≤x≤12，x∈N＋)

解析：选A.由A＋B＝9，－A＋B＝5，得A＝2，B＝7，

又T＝2(7－3)＝8.

所以ω＝2πT＝2π8＝π4，

所以f(x)＝2sinπ4x＋φ＋7，

由f(3)＝9，得sin3π4＋φ＝1.

所以3π4＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)．

又因为|φ|

所以φ＝－π4，所以f(x)＝2sinπ4x－π4＋7.

2．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|＝3，P0为圆周上一点，且∠AOP0＝π6，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时

针方向作匀速圆周运动．

(1)1秒钟后，点P的横坐标为 ．

(2)t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为 ．

解析：(1)1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为－3.

(2)由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，

则此时点P的横坐标为2cosπt＋π6，

所以点P到直线l的距离为

3－2cosπt＋π6，t≥0.

答案：(1)－3 (2)3－2cosπt＋π6(t≥0)

3.

一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：

(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；

(2)点P的运动周期和频率；

(3)如果ω＝π6 rad/s，l＝2，φ＝π4，试求y的最值；

(4)在(3)中，试求小球到达x轴的非负半轴所需的时间．

解：(1)y＝lsin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．

(2)由解析式得，周期T＝2πω，频率f＝1T＝ω2π.

(3)将ω＝π6

rad/s，l＝2，φ＝π4代入解析式，

得到y＝2sinπ6t＋π4，t∈[0，＋∞)．

得最小正周期T＝2πω＝2ππ6＝12.

当t＝12k＋1.5，k∈N时，ymax＝2，

当t＝12k＋7.5，k∈N时，ymin＝－2.

(4)设小球经过时间t后到达x轴非负半轴，

令π6t＋π4＝2π，得t＝10.5，

所以当t∈[0，＋∞)时，t＝12k＋10.5，k∈N，

所以小球到达x轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k，k∈N.

4．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据平均值如下表：

y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0

t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24

(1)试画出散点图；

(2)观察散点图，从y＝At＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段．

解：(1)散点图如图．

(2)由散点图可知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b函数模型较为合适．

由图可知A＝1.4－1.0＝0.4＝25，T＝12，b＝1，ω＝2πT＝π6，

此时解析式为y＝25sinπt6＋φ＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有π6