行列式的概念
一、选择题
1. 下列选项中错误的是( ) (A)
b
a d c d
c b a -
= ; (B)
a
c
b d d
c b a =
;
(C)
d
c b a d
c
d b c a =
++33; (D)
d
c b a d
c b a -----
=.
答案:D
2.行列式n D 不为零,利用行列式的性质对n D 进行变换后,行列式的值( ).
(A)保持不变; (B)可以变成任何值; (C)保持不为零; (D)保持相同的正负号. 答案:C
二、填空题
1.
a
b b a log 1
1
log = .
解析:
0111log log log 1
1log =-=-=a
b a
b
b a b
a . 2.
6
cos
3sin
6sin
3
cos
π
π
ππ
= . 解析:
02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6
cos 3
sin
6sin
3
cos
==-=πππππππ
π
π
3.函数x x x
x
x f 1213
1
2)(-=中,3x 的系数为 ; x
x x
x x x g 2
1
1
12)(---=中,3x 的系数为 . 答案:-2;-2.
阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案:1.
5. 三阶行列式11342
3
2
1-中第2行第1列元素的代数余子式
等于 . 答案:5.
6.若
02
1
8
2=x
,则x = . 答案:2. 7.在
n
阶行列式ij
a D =中,当i ),,2,1,(0n j i a ij L ==,则D = . 答案:nn a a a Λ2211. 8.设a ,b 为实数,则当a = ,b = 时, 01 0100=---a b b a . 解析:0)()1 (1 010022=+-=--=---b a a b b a a b b a 故0,0==b a . 三、解答题 1.用行列式的定义计算. (1) 1 100001001011 010; 解:原式=1 000101 01)1(1010000011) 1(1412 1++-?+-? 11 0010 100-=- - = (2) 000000h g f e d c b a . 原式=0 000 0g f e d b h f e d c a - =0 0000 g f bd h f d f e c a +??? ? ? ?- =bdfg adfh - 2. 设行列式λλλ 01010101-=D , 3 512321 132=D ,若21D D =,求λ的值. 解:由对角线法则,得()()0,1122 1=-+=D D λλ 若21D D =,则()()0112 =-+λλ 于是1-=λ或1. 四、证明题 1.(略) 行列式的性质 一、选择题 1.设行列式x x x D 01 010 1 1-=, 1 133512 322=D ,若21D D =, 则x 的取值为 ( ). (A)2,-1; (B)1,-1; (C)0,2; (D)0,1. 答案:B 2.若333 32 31 232221 13 1211 ==a a a a a a a a a D , 则33 32 3331 23222321 13 121311 1525252a a a a a a a a a a a a D +++==( ). (A)30; (B) -30; (C)6; (D)-6. 答案:C 二、填空题 1.若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8,x ,19,则x = . 解析:1820190,4x x ?-+?==. 2. 2016 201420182016 = . 解析: 42 0222016 20142 22016 201420182016== = . 3.行列式c b d c a b c b a D =,则312111A A A ++= . 解析:312111A A A ++0111==c b c a c b . 4.行列式x x x x x D 3121 3 2 31232 154-= 的展开式中,4 x 的系数 为 ;3 x 的系数为 . 解析:x x x x x x x x x x D 3121 3 1 23232153121 3 2 31232 154-- =-= x x x x 312 1 312512585 103215--- = 含4 x ,3 x 的项仅有主对角线上元素之积项,故4 x ,3 x 的 系数分别为15,-3. 三、解答题 1.计算下列行列式 . (1) 3 214214314324 321; 解:各行加到第一行,得 原式= 321421431432111110 3 2142143143210 101010= =1604 004 001210111110 1 230121 12 10111110 =---=------. (2)4 4 4 4 33332222 5432154321543215432111111; 解:原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288. (3) 4936251636 25169 25 169 416 941; 原式= 022 22222297531694113 1197119 7 5975316941== . (4) 000000 x y y x y x x y ; 原式=x y x y x x x y y y x y 000 00 00 0-- =2 22 2 2 )(y x x y y x x x y y x y --=-. (5)xy z zx y yz x 11 1; 原式=) (0 )(0 1 x z y x z x y z x y yz x ------ =))()((11) )((x z z y y x y z x z x y ---=---. (6)2 00 01200000 0130012000101--; 原式=3 1012 010140 1 312010142 000130120010 12 ---=--=-- =203 1124 =---. (7) 4 32 1111 1 11111 1 111111x x x x ++++; 解:原式= 4 321111 1 0010011x x x x x x x ---+ = 4 3211141 312110 0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++ + = 3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. 2.设4 32 2 321143113 151-= D ,计算44434241A A A A +++的值. 其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式. 解:44434241A A A A +++61 11 1321143113 151=-= . 3. 已知1 142 1 1 3 110111253------= D ,求 41312111M M M M +++. 解:41312111M M M M +++ =41312111)1(1)1(1M M M M --?+--? = 1 1411 1 3 1 10111251-------=0. 4.计算下列n 阶行列式. (1) 2 111 21112Λ M M M ΛΛ ; 解:原式= 2111 21111Λ M M M ΛΛ +++n n n =2 111 21111)1(Λ M M M ΛΛ+n =11 00010111) 1(+=+n n Λ M M M ΛΛ . (2)x y y y y x y y y y x y y y y x Λ M M M M ΛΛΛ ; 解:原式=[]x y y y y x y y y y x y y n x Λ M M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]y x y x y x y n x ----+Λ M M M M Λ Λ Λ0 00 0001111 )1( =[]1 ) ()1(---+n y x y n x . (3)),,2,1,0(0 1 001 11110 21 n i x x x x i n ΛΛ M M M M ΛΛ Λ=≠. 解:原式= n n i i x x x x Λ M M M M ΛΛΛ00 00000011101211 ∑ =- =)1 (121∑=-n i i n x x x x Λ. 四、证明题 1.设a ,b ,c 是互异的实数,证明01 11 3 3 3 =c b a c b a 的充分必要条件是a+b+c=0. 证明:3 33 3 3 3 3 3 001111 a c a b a a c a b a c b a c b a ----= = 3 33 3a c a b a c a b ---- =2 22 211) )((a ac c a ab b a c a b ++++-- =))()((2 2 ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0, 由于a ,b ,c 是互异的实数,故要上式成立,当且仅当a+b+c=0. 2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c d a a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++ 证明:左边43 32 21 02320 363a b c d r r a a b a b c r r a a b a b c r r a a b a b c -+++-+++-+++ 4332100 020 03a b c d r r a a b a b c a a b r r a a b -++++-+4 43 00020 00a b c d a a b a b c r r a a a b a +++-=+ =右边 克莱姆法则 一、选择题 1.方程组??? ??=++=++=++1 ,1,1321 321321x x x x x x x x x λλλ , 有唯一解,则( ). (A)1-≠λ且2-≠λ; (B) 1≠λ且2-≠λ; (C) 1≠λ且2≠λ; (D) 1-≠λ且2≠λ. 解析:由克莱姆法则,当0)1)(2(1111 1 12 ≠-+=λλλ λ λ ,即 1≠λ且2-≠λ,选B. 2.当≠a ( )时,方程组?? ? ??=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解. (A) -1 ;(B) 0 ;(C) -2 ;(D) 2. 解析:由克莱姆法则, 当0)2(21 20 121 001 21210≠-=--=-a a a a a a 即2≠a ,选D. 三、解答题 1.用克莱姆法则下列解方程组. (1)?? ? ??=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x 解: 031 12221 1 21 ≠=---=D , 由克莱姆法则知,此方程组有唯一解, 31 1 3 22 31 221=---=D , 61 3 223 11212=-=D ,93 323312213==D , 因此方程组的解为 11==D D x ,22==D D y ,33==D D z . (2)..2 3342,223,3232,124321432143214321???????=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x 解:043 3 4 212312132112 1≠=---= D 由克莱姆法则知,此方程组有唯一解, 833 4 21232213311211=---= D , 23 322122121 3211112-=---= D , 23 2421 2 31233211213=--= D ,22 3 4 222313 13211214=-=D . 因此方程组的解为 211== D D x ,2122-==D D x ,2133==D D x ,2 1 44==D D x . 2.判断线性方程组??? ??=-+=+-=-+0 285,042, 022321 321321x x x x x x x x x 是否有非零解 解:因为系数行列式2 85 122 42 12 8 5 421 122 ----=---=D =0305 00 960 4 2 122 18 960 42 1≠-=--=----, 所以,方程组只有零解. 3.已知齐次线性方程组??? ??=+-=++=-+0 2,0,0321 321321x x x x x kx x kx x 有非零解,求k 的值. 解:因为齐次线性方程组有非零解,所以该方程组的系数行列式 必为零,即 3 210110 1 11 1 211 112 k k k k k k --+--=-- =)21)(1()1(32 k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得,k =-1或k =4. 4.当μ取何值时,齐次线性方程组??? ??=--+-=-+-=-++0 )1(02)3(0)1(42321 321321x x x x x x x x x μμμ有非 零解 解:由齐次线性方程组有非零解的条件可知, 01 11 213 1 42=------μ μμ,解得3,2,0=μ. 第一章综合练习 一、判断题 1. n 阶行列式n D 中的n 最小为 2.( ╳ ) 2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数,则D 必为整数.( √ ) 3. 413223144433221144 41 3332232214110 000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳ ) 二、选择题 1.若1 1 131--+= x x x D ,2 1 1122-+= x x D ,则1D 与2D 的大 小关系是( ). (A)21D D <; (B)21D D >;(C)21D D =;(D)随x 值变化而变化. 答案:C 2.行列式 {})2,1,1,,,(-∈d c b a d c b a 的所有可能值中, 最大的是( ). (A) 0; (B)2; (C)4; (D)6. 答案:D 三、填空题 1. ? ???40cos 20sin 40sin 20cos = . 解析: ??-??=? ???40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos 2 160cos = ?=. 2.若y y x x y x -= -1 12 2,则x+y = . 解析:由y y x x y x -=-1 122,得xy y x 22 2-=+ 即0)(2 =+y x ,从而x+y =0. 3.已知 111, 01 12==y x x ,则y = . 解析:由11 1, 01 12==y x x ,得x =2,x-y =1,从而y =1 4. 若222222222 6 4 2 5 31 C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析:24 2312=- =C . 5.设x x x x x x f 1 11 12 3111212)(-= ,则4 x 的系数为 ;3 x 的 系数为 . 解析:当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4 x ,系数为2;含3 x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积,系数为-1. 答案:2,-1. 6.设0 123411222641232 21115 4321=D , 则(1)333231A A A ++= ; (2)3534A A + ; (3)5554535251A A A A A ++++ . 解析:0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A 于是0333231=++A A A ,03534=+A A . 5554535251A A A A A ++++1 111111222641232 21115 4321= 01 111133333641232 211154321==. 即0555*******=++++A A A A A . 四、解答题 1.计算下列行列式. (1) 4 43 42 41 4433323134 23222124131211 1y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++; 解:原式= 1 41 31 21 41413121 31 413121 21413121 1y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+ = 00 000000001 413121 41 31 211=------+x x x x x x y y y y y y y x . (2)432 11111 11111 1 111111x x x x ++++; 解:原式= 4 321111 1 0010011x x x x x x x ---+ =4 3211141 312110 0000001x x x x x x x x x x x x x ---+++ + =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++. (3) 2007 000 0020060002005000200 01000Λ ΛΛM M M M M ΛΛ. 解:原式=!2006)1(20072 2005 2006?-?=!2007- 2.已知1 23452 2211 273 12451112243150 D ==, 求(1)434241A A A ++;(2)4544A A +. 解:27)(21114544434241=++?+?+?A A A A A 0)()(24544434241=++++A A A A A 得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式. (1)n n n n n n n D Λ M M M Λ ΛΛ22 2 333222111=; 解:(利用范德蒙行列式计算) 1 1221333 21 111!--==n n n T n n n n n D D Λ M M M Λ ΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ !2)!2()!1(!Λ--=n n n . (2) 2 111 21112Λ M M M ΛΛ ; 解:原式= 2111 21111Λ M M M ΛΛ +++n n n =2 111 21111)1(Λ M M M Λ Λ +n =1100010111) 1(+=+n n Λ M M M ΛΛ . (3)m x x x x m x x x x m x D n n n n ---= Λ M M M Λ Λ 2 1 2121 解:将第2列,L ,第n 列分别加到第一列,并提取第一列的 公因子,得 m x x m x x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++= Λ ΛM M M Λ ΛΛ Λ221221221 m x x x m x x x m x x x n n n n ---+++=Λ M M M Λ Λ Λ2 22211 11 ) ( m m m x x x n ---+++=Λ M M M ΛΛΛ0 1 01001) (21 1 21))((---+++=n n m m x x x Λ (4)n n n n n a a a a a a b b b b b D 1 3221 13210 000 000-----=Λ M M M M M Λ Λ Λ (其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠) 解: 12211000 00000)1(-+----=n n n n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ 1 2 22 1 122100 000 00------+n n n n n a a a a a b b b b a Λ M M M M ΛΛ Λ 121-+? =n n n n n D a a b a a a Λ ??? ? ??==∑=n i i i n a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题 1.试证:如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零. (提示:用范德蒙行列式证明) 行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ,求x 。 解:由行列式的加法性质,原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算:(化三角形法) 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D = 行列式的计算 (四)升级法(加边法) 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解:1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 (二)箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解:把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列,得: 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑ 授课时间 第 周 星期 第 节 课次 2 授课方式 (请打√) 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课时 安排 2 授课题目(教学章、节或主题): 第二讲 行列式按行(列)展开及计算 教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次): 熟练掌握行列式按行(列)展开;掌握运用行列式的定义与性质计算行列式;熟悉一些典型行列式的计算;熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点: 重点:行列式按行(列)展开;利用行列式的定义与性质计算行列式 难点:行列式的计算 教 学 基 本 内 容 备注 一、行列式按行(列)展开 引理 一个n 阶行列式,如果其中第i 行所有元素除),(j i 元ij a 外都为零, 那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积. 定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 ) ,2,1(,),2,1(,22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i =++==++= (按行(列)展开法则) 推论 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠++=,2211 或 .,2211j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠++= 例1、3 2 3 1 11024315211 14----= D 解 法 1:241227 1 51271031251 13 4 312014 260211 14-=?-=---=----=------= D 解法2:244 8 224 8 1112021 2 3 5 010******** 14-=-= ---=-----= D 例2、设2 1 3 12 1014112 5 1 014---=D ,(1)求41312111A A A A +--;(2)444342412A A A A +-+。 解:(1)041312111=+--A A A A (2)4444444342414443424133422A A A A A A A A A A -=-+-+=+-+ 61 11 13 1 011121 13=--=---= 二、行列式的计算 例3、n n n n n b a a a a b a a a a b a D +++= 2 1 2212 1 1,其中021≠n b b b 解:n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D D +++==+ 2 1 2 212112 11 0001=n n b b b a a a 0 0100100112121--- 线性代数(A 卷) 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ; 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5. 设A 为正交矩阵,则A = ; 线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-,试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1 ||2 A = ,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ? 3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵,求:111().A B ---+ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果! 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项: 1. 考前请将密封线内填写清楚; 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 ); 3.考试形式:开(闭)卷; 4. 本试卷共五大题,满分100 分,考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题(每小题 2 分,共 40 分)。 题 封 答1.设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵,则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2+ E =0,其中 E 是 n 阶单位矩阵,则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵,且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. -2n A. -2 D. 1 B. -2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵,且行列式det(A)=0 ,则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量,其对应分量成比例 C. 存在一个行向量,它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5.设向量组a1,a2, a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是【】名A.a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓 C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1- a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7.设 a 为 m n 矩阵,则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A . A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数( i =1, 2, 3),且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量,则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1,η2,η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系, 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1, η2, η3 线性表示的向量组 B. 与 η1, η2 , η3 等秩的向量组 C.η 1-η2, η2- η3, η3- η1 D. η 1, η1-η3, η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ,则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解, 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2 大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-L L ,故 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 1,1,,2 i i r r i n n --=-= L 0111111 1 1 n ----L L M O L 1,,1 j n c c j n +=-= L 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2 011102120 n n n D n n --= --L L M O L 11,2,,1 111111120 i i r r i n n n +-=----= --L L L M O L 1 2,,1 0012 01231 j c c j n n n n +=---= ---L L L M O L =1 2(1) 2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有 D n = x D 1-n +(-1) 1 +n a n 1 11 11n x x x -----O O = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1,221 1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n +K + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++L 方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍,K ,第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 2112 1 010010000n n n n x x x a xa a a x a -----++K K K M M M M K 线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题(共30分) 一、单项选择题(共 10小题,每小题2分,共20分) 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =,则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ,ij M 是A 中元素ij a 的余子式,则313233M M M -+=( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列各式恒成立的是( ) (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足( ) (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是..n 阶矩阵A 可逆的充要条件为( ) (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵,C 为n 阶可逆矩阵,B AC =,则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B ) (C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是( ) (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解,12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解,则( ) (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题(共 10小题,每小题1分,共10分 )注:正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵,则有22()()A B A B A B +-=-。( ) 12. 当n 为奇数时,n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。( ) 第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0,1,1,2,则||A E λ-= 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值,则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ;||A = -2 ;A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值,则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵,||A d =,则*AA 的特征值是,,,d d d ???(共n 个) 二、选择题 1.设1λ,2λ为n 阶矩阵A 的特征值,1ξ,2ξ分别是A 的属于特征值1λ,2λ的特征向量,则( D ) (A )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (B )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 (C )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (D )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值,则1 A -有一个特征值等于 ( C ) A 、2; B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的( B ) A 、充分条件; B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件; 三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解:A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时,解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ,故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时,解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ,故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解:B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时,解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? : 东 北 大 学 考 试 试 卷(A 卷) 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称:线性代数 (共2页) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A , ()3323214,3,32αααααα+-+=B , 且A 的行列式1||=A ,求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B =? ???? ??-413031002),,(321ααα, 所以,24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α,????? ??=1122α,????? ??=a 213α线性相关,向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示,求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以,.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间,试在 V 上定义内积运算,使V 成为欧几里得空间,并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵,数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵,即V 对线性运算封闭,所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积:[A,B]=222212121111b a b a b a ++, 显然满足:[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注:内积和正交基都是不唯一的. 2-1 行列式习题答案 2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一.选择题 1.若行列式x 5 22 31521- = 0,则 = x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ,则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] (A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13, 5 -) (D )(5,13--) 3 . 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 3 4.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A ] (A )665144322315 a a a a a a (B )6553443226 11a a a a a a (C ) 34 6542165321a a a a a a (D ) 26 654413 3251a a a a a a 5.若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] (A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负 6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2.排列36715284的逆序数是 13 3.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s 单位:理学院应用数学物理系计算数学教研室 批准:日期:年月日任课教员:刘静 课程名称:线性代数 章节名称:第一章行列式 课题:第三讲行列式按行按列展开 目的、要求: 1. 行列式的按行按列展开法则; 2. 掌握行列式的计算方法。 难点、重点:行列式按行按列展开法则及其应用。 器材设备:多媒体设备 课前检查 教学内容课堂组织 教学内容: 本讲主要介绍: 1. 行列式的按行(列)展开法则; 2. 掌握行列式的计算方法。 教学方法与思路: 1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念; 2. 对于三阶行列式,容易验证: 1112132223212321232122231112 13 32 33 31 33 31 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+ 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 由此容易想到:一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n -1 阶行列式来计算? 3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法,从而给出一个引理; 4. 进而介绍行列式的按行(列)展开法则。 教学中运用多媒体手段,讲解、板书与教学课件相结合,以讲解为主。 教学步骤: 教学内容、方法、步骤 教学内容课堂组织 1. 介绍余子式和代数余子式的概念; 2. 引理; 3. 行列式的按行(列)展开法则; 4. 应用举例。 5. 小结并布置作业。 212 n n n nn a a a 中仅含下面形式的项 a M =1 0n ij n nj nn a a a a 行依次与第i-1行,第i-2行,……,第21,1,11,,1 (1)i j j i j i n ij nj n j nn a a a M a a a +-----=- 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式 ⑤上(下)三角形行列式: 第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是零. n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解,充分应用了行列式的各种性质. 方法1 利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理,将行列式化成对角行列式. n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B . 将最后一行逐行换到第2行,共换了2n -次;将最后一列逐列换到第2列,也共换了2n -次. n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B . 例2.2 计算n 阶行列式: 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素. 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来. 例2.3 计算n 阶行列式: 12111 1111 1 1n n a a D a ++= + 行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0,则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵,B 是m ×n 矩阵,如果AC T B 有意义,则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵,下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵,下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A) 《 线性代数A 》试题(A 卷) 试卷类别:闭卷 考试时间:120分钟 考试科目:线性代数 考试时间: 学号: 姓名: 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一.单项选择题(每小题3分,共30分) 1.设A 经过初等行变换变为B ,则( ).(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <; () B ()()r A r B =; ()C ()()r A r B >; () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2.设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =,则( )。 () A A 中有一行元素全为零; () B A 有两行(列)元素对应成比例; () C A 中必有一行为其余行的线性组合; () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4.下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是( ) () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠; () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ; 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5.设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???,若矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( )。 ()A 1; () B 11n -; () C 1-; () D 11 n -. 6.四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于( )。 ()A 12341234a a a a b b b b -; ()B 12341234a a a a b b b b +; () C 12123434()()a a b b a a b b --; () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7.设A 为四阶矩阵且A b =,则A 的伴随矩阵* A 的行列式为( )。 ()A b ; () B 2b ; () C 3b ; () D 4b 8.设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=,n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=( ) () n A I ; ()3n B A I +; ()3n C A I --; ()D 3n A I + 9.设A ,B 是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是( )。 ()A A 与B 的秩相同; ()B A 与B 的特征值相同; () C A 与B 的特征矩阵相同; () D A 与B 的行列式相同; 《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念,熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义,掌握计算行列式(三、四阶)的方法;掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵,则有: 若是阶行列式,为常数,则有: ⒊了解零矩阵,单位矩阵,数量矩阵,对角矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,初等矩阵的定义及性质。 ⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质,掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵,则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法,会用伴随矩阵法求逆矩阵,会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵: 用伴随矩阵法求逆矩阵:(其中是的伴随矩阵) 可逆矩阵具有以下性质: ⒍了解矩阵秩的概念,会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后,所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵,且,则。 解:答案:72 因为,且 所以 例2设为矩阵,为矩阵,则矩阵运算()有意义。 解:答案:A 因为,所以A可进行。 关于B,因为矩阵的列数不等于矩阵的行数,所以错误。 关于C,因为矩阵与矩阵不是同形矩阵,所以错误。 关于D,因为矩阵与矩阵不是同形矩阵,所以错误。 例3 已知 求。 分析:利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解:因为 得。 例4 设矩阵 求。 解:方法一:伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则= 方法二:初等行变换法 注意:矩阵的逆矩阵是唯一的,若两种结果不相同,则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析:利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解: 。 第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是零. n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解,充分应用了行列式的各种性质. 方法1 利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理,将行列式化成对角行列式. n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B . 将最后一行逐行换到第2行,共换了2n -次;将最后一列逐列换到第2列,也共换了2n -次. n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B . 例2.2 计算n 阶行列式: 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素. 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来. 例2.3 计算n 阶行列式:行列式经典例题及计算方法
第2讲行列式按行(列)展开及计算
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