行列式按行(列)展开

实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三 个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数 和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换， 即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以 按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。

则根据归纳假设得证: Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) ( x i x j )
( x i x j ).
n i j 1
n i j 2
作

业
P26 4(4), 9 补充： 利用范德蒙德行列式计算4阶行列式
1 1 1 1 16 8 2 4 D 81 27 3 9 256 64 4 16
D = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + ain Ain + anj Anj .
i , j 1,2,
, n
推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元 素的代数余子式乘积之和为零。 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j
1 1
例2 求解方程
1 x 0. x2
2 3 4 9
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
推论
行列式中任一行或列的元素与另一行 或列对应元素的代数余子式乘积之和 为零。即
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j
j 1
3
定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素 与其代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai 3 Ai 3
a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j ( j 1,2, 3)

1 −1 0 例 2： D = ⋮ 0 0
a 1− a
1
0
1
⋯
2
0 0 0 ⋮
0 0 0 ⋮
−1 ⋮ 0 0
a 1− a
⋮ 0 0
⋯
2
⋯ ⋱
求D=?
⋯ 1 − a n−2 a n −1 −1 1 − a n −1 ⋯
0 0 0
分析：特点是 行作和为 分析：特点是n行作和为 0，0，0……1，再展开 ， ， ， 即可降阶！ 即可降阶！
或 D , 当i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0, 当i ≠ j; k =1 1, 当i = j , δ ij = 其中 0, 当 i ≠ j ;
n
例1
设
3 −5 2 1 1 1 0 −5 D= , −1 3 1 3 2 −4 −1 − 3
D的( i , j )元的余子式和代数余子 式依次记作 M ij 和Aij， 求
调，这样数 aij 就调成(1, j )元，调换的次数为 i − 1. ⋯ 列调换， 再把第 j列依次与第 j − 1列、第 j − 2列、 、第1列调换， 这样数 aij 就调换成(1,1)元，调换的次数为 j − 1 .
总 ， i + j − 2次 换 把 aij调 (11)元 所 之 经 调 ， 数 成 , ， 得 的 列 D = (−1)i+ j−2 D1 = (−1)i+ j D1， D中1,1)元 行 式 而 1 ( 的 余 式 是 中 i, j)元 余 式 ij . 子 就 D ( 的 子 M
⋯
0 0 0
1 0 0
解：D
1 × r 2 + r 1 , ⋯ ,1 × r n + r 1

证明过程
• 利用归纳假设和余子式的性质，证明$D_{n+1}$ 可以按第$n+1$行（或第$n+1$列）展开。
证明过程
3. 结论
通过数学归纳法，证明了行列式可以按任意一行（或列）展开。
04
Байду номын сангаас行列式按一行(列)展开的 实例
实例一：二阶行列式
定义
01
二阶行列式表示为$|begin{matrix} a & b c & d
行列式按一行(列)展 开
目录
• 行列式按一行(列)展开的定义 • 行列式按一行(列)展开的公式 • 行列式按一行(列)展开的证明
目录
• 行列式按一行(列)展开的实例 • 行列式按一行(列)展开的应用
01
行列式按一行(列)展开的 定义
定义与性质
定义
行列式按某一行（或列）展开，是指 将该行列式拆分成若干个二阶子行列 式之和。
• 应用：用于计算高维向量的外积和混合积，以及解决线性方程组等数学问题。
05
行列式按一行(列)展开的 应用
在线性代数中的应用
计算行列式的值
行列式按一行或一列展开，可以方便地计算行列式的 值。
矩阵的逆运算
行列式按一行或一列展开，可以用于计算矩阵的逆运 算。
线性方程组的求解
行列式按一行或一列展开，可以用于求解线性方程组。
数值分析
行列式按一行或一列展开，可以用于数值分析中的矩阵运算和数值逼近。
THANKS
感谢观看
3. 将上述求和结果作 为分子，分母保持不 变，得到按选定行 （或列）展开后的行 列式。
02
行列式按一行(列)展开的 公式
展开公式