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数学人教B必修5第三章3.5。
2 简单线性规划1．体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用，会求解简单的线性规划问题．2．经历在线性约束条件下求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程，提高用线性规划解决实际问题的能力．线性规划中的基本概念简单线性规划应用问题的求解步骤：（1）设：设出变量x ，y ,写出约束条件及目标函数．（2)作：作出可行域．(3）移：作一组平行直线l ，平移l ，找最优解．(4）解:联立方程组求最优解,并代入目标函数，求出最值．（5)答：写出答案．总之：求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线,解方程组，求最值．【做一做1】如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么2x－y 的最大值为（ )．A ．2B ．1C ．－2D ．－3 【做一做2】配制A,B 两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示（单位:千克)：药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20千克，原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为______百元．一、图解法求最值的实质剖析：设目标函数为z＝Ax＋By＋C(AB≠0），由z＝Ax＋By＋C 得y＝－错误!x＋错误!.这样，二元一次函数就可以视为斜率为－错误!，在y轴上截距为错误!,且随z变化的一组平行线．于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B＞0时，z的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．（1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．（2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误．二、常见的线性规划问题类型剖析:（1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．(2)线性规划问题的常见类型有：①物资调运问题例如已知A1,A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?②产品安排问题例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管,怎样下料能使损耗最小?题型一求线性目标函数的最值问题【例1】设z＝2y－2x＋4，式子中x,y满足条件错误!试求z的最大值和最小值．分析：作出线性约束条件下的可行域,然后作出与直线2y－2x＝0平行的直线，通过平移直线，在可行域内求出最大值和最小值．反思：求目标函数z＝ax＋by＋c(ab≠0，c≠0）的最值，与求目标函数z＝ax＋by（ab≠0)的最值的方法是一样的，因为在z＝ax＋by＋c中,c为非零常数，故仍可设t＝ax＋by，只要求出t＝ax＋by的最值，则z＝ax＋by＋c的最值即可求得，在本题中,通过平移直线，得到y轴上的截距的最值，也就得到了t的最值．题型二求非线性目标函数的最值问题【例2】已知错误!求:（1）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值;（2）z＝错误!的取值范围．分析：（1)中z＝x2＋y2－10y＋25＝（x－0)2＋(y－5)2的几何意义为平面区域内的点（x，y)到（0，5）的距离的平方；(2)z＝错误!＝2·错误!的几何意义为平面区域内的点(x，y）与(－1，－错误!）连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义,再利用数形结合知识求解．反思：（1)对形如z＝（x－a)2＋(y－b）2型的目标函数均可化为求可行域内的点（x,y）与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．（2）对形如z＝错误!（ac≠0)型的目标函数,可先变形为z＝错误!·错误!的形式,将问题转化为求可行域内的点(x，y)与(－错误!,－错误!）连线斜率的错误!倍的范围、最值等,注意斜率不存在的情况．题型三简单的线性规划问题【例3】某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位,售价0.4元,学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?分析:根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l0,通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点,便得最优解,再进一步求最值．题型四最优整数解的问题【例4】电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲每集播放时间为21分钟,其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每集播放时间为11分钟,其中广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间（包含广告时间）．电视台每周应播放两套片集各多少集,才能获得最高的收视率？分析：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，它们每集的广告时间都是1分钟，则x＋y不少于6分钟．我们还应注意到片集一共的播放时间里要包括广告时间，不超过86分钟．反思：如果遇到问题是求最优整数解,可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图,打好网格的办法求得．题型五易错辨析【例5】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx（a≠0)满足1≤f(－1）≤2,2≤f(1)≤4，则f（－2)的范围是（）．A ．［3，12]B ．（3，12)C ．(5，10)D ．[5,10］错解:由于f (－2)＝4a －2b ，要求f (－2）的范围，可先求a 与b 的范围．由f （－1)＝a －b ，f （1)＝a ＋b ，得错误!两式相加得32≤a ≤3，又－2≤b －a ≤－1.③ ②式与③式相加得0≤b ≤错误!。
课程：管理运筹学管理运筹学作业第二章线性规划的图解法P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2)Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。
（1）Min f＝6X1+4X2约束条件：2X1+X2>=1,3X1+4X2>=3X1, X2>=0解题如下：如图1Min f＝3.6X1=0.2, X2=0.6本题具有唯一最优解。
图1（2）Max z＝4X1+8X2约束条件：2X1+2X2<=10-X1+X2>=8X1,X2>=0解题如下：如图2：Max Z 无可行解。
图2（3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。
图3（4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。
图4(5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22-X1+X2<=4X2<=62X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图5：Max Z =66；X1=4 X2=6本题有唯一最优解。
图5(6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8X1+2X2<=122X1+X2<=162X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图6Max Z =30.669X1=6.667 X2=2.667本题有唯一最优解。
图6Q3：将线性规划问题转化为标准形式（2）min f＝4X1+6X2约束条件：3X1-2X2>=6X1+2X2>=107X1-6X2=4X1,X2>=0解题如下：1）目标函数求最小值化为求最大值：目标函数等式左边min改为max，等式右边各项均改变正负号。
管理运筹学第三版课后答案【篇一：管理运筹学(第三版)课后习题答案】ss=txt>1、解：ax= 150 x= 7012目标函数最优值 103000b 1，3 使用完2，4 没用完 0，330，0，15c 50，0，200，0含义： 1 车间每增加 1 工时，总利润增加 50 元3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时，总利润不增加。
d 3 车间，因为增加的利润最大e 在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变f 不变因为在 [0,500]的范围内g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条j 不发生变化允许增加的百分比与允许减少的百分比之和没有超出100% k 发生变化 2、解：a 4000 10000 62000b 约束条件 1：总投资额增加 1 个单位，风险系数则降低 0.057约束条件 2：年回报额增加 1 个单位，风险系数升高 2.167 c 约束条件 1 的松弛变量是 0，约束条件 2 的剩余变量是 0约束条件 3 为大于等于，故其剩余变量为 700000 d 当 c不变时，c在 3.75 到正无穷的范围内变化，最优解不变21当 c不变时， c在负无穷到 6.4 的范围内变化，最优解不变12e 约束条件 1 的右边值在 [780000,1500000]变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）f 不能，理由见百分之一百法则二 3 、解：a 18000 3000 102000 153000b 总投资额的松弛变量为 0基金 b 的投资额的剩余变量为 0c 总投资额每增加 1 个单位，回报额增加 0.1基金 b 的投资额每增加 1 个单位，回报额下降 0.06 d c不变时， c 在负无穷到 10 的范围内变化，其最优解不变12c不变时， c在 2 到正无穷的范围内变化，其最优解不变21e 约束条件 1 的右边值在 300000 到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为 0.1约束条件 2 的右边值在 0 到 1200000 的范围内变化，对偶价格仍为-0.06 + = 100% 故对偶价格不变900000 900000 f4、解：a x=1x= 1.52x= 03x= 1 最优目标函数 18.548.5b 约束条件 2 和 3 对偶价格为 2 和 3.5c 选择约束条件 3，最优目标函数值 22d 在负无穷到 5.5 的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化e 在 0 到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化 5、解：a 约束条件 2 的右边值增加 1 个单位，目标函数值将增加 3.622b 才有可能大于零或生产2c 根据百分之一百法则判定，最优解不变15 65d + 100 % 根据百分之一百法则二，我们不能判定? 30 ? 9.189因为111.25 15其对偶价格是否有变化第 4 章线性规划在工商管理中的应用1、解：为了用最少的原材料得到 10 台锅炉，需要混合使用 14 种下料方4286398505479691180剩余758设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9， x10，x11，x12，x13，x14，则可列出下面的数学模型： min f＝x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 s．t． 2x1＋x2＋x3＋x4 ≥ 80x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥ 350 x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋x12＋x13≥ 420x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14 ≥ 10x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：x1＝40，x2＝0，x3＝0，x4＝0，x5＝116.667，x6＝0，x7＝0，x8＝0， x9＝0，x10＝0，x11＝140，x12＝0，x13＝0，x14＝3.333 最优值为 300。
（目标管理）目标函数的几种极值求解方法目标函数极值求解的几种方法题目：,取初始点,分别用最速下降法,牛顿法,共轭梯度法编程实现。
壹维搜索法：迭代下降算法大均具有壹个配合点,这就是得到点后需要按某种规则确定壹个方向,再从ft发,沿方向于直线（或射线）上求目标函数的极小点,从而得到的后继点,重复之上做法,直至求得问题的解,这里所谓求目标函数于直线上的极小点,称为壹维搜索。
壹维搜索的方法很多,归纳起来大体能够分为俩类,壹类是试探法：采用这类方法,需要按某种方式找试探点,通过壹系列的试探点来确定极小点。
另壹类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线, 通过求逼近函数的极小点来预计目标函数的极小点。
本文采用的是第壹类试探法中的黄金分割法。
原理书上有详细叙述,于这里介绍壹下实现过程：⑴置初始区间[]及精度要求L>0,计算试探点和,计算函数值和,计算公式是：,。
令k=1。
⑵若则停止计算。
否则,当>时,转步骤⑶;当时,转步骤⑷。
⑶置,,,,计算函数值,转⑸。
⑷置,,,,计算函数值,转⑸。
⑸置 k=k+1 返回步骤⑵。
1.最速下降法实现原理描述：于求目标函数极小值问题时,总希望从壹点ft发,选择壹个目标函数值下降最快的方向,以利于尽快达到极小点,正是基于这样壹种愿望提ft的最速下降法,且且经过壹系列理论推导研究可知,负梯度方向为最速下降方向。
最速下降法的迭代公式是,其中是从ft发的搜索方向,这里取于点处最速下降方向,即。
是从ft发沿方向进行的壹维搜索步长,满足。
实现步骤如下：⑴给定初点,允许误差,置 k=1。
⑵计算搜索方向。
⑶若,则停止计算；否则,从ft发,沿方向进行的壹维搜索,求,使。
⑷,置 k=k+1 返回步骤⑵。
2.拟牛顿法基本思想是用不包括二阶导数的矩阵近似牛顿法中的 Hesse 矩阵的逆矩阵,因构造近似矩阵的方法不同,因而ft现了不同的拟牛顿法。
牛顿法迭代公式：,是于点处的牛顿方向, 是从ft发沿牛顿方向进行搜索的最优步长。
§1 线性规划模型一、线性规划课题：实例1：生产计划问题假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。
每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。
每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。
甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。
问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。
f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2s.t 9x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1,x2≥0归结出规划问题：目标函数和约束条件都是变量x的线性函数。
形如： (1) min f T Xs.t A X≤bAeq X =beqlb≤X≤ub其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…f n]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。
lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。
二．线性规划问题求最优解函数：调用格式： x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…)[x, fval, exitflag, outpu t]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
六．优化工具箱（Optimization Toolbox ）简介6．1 优化工具箱的功能及应用步骤1． 基本功能（1） 求解线性规划和二次规划问题；（2） 求解无约束条件非线性的极小值问题；（3） 求解带约束条件非线性的极小值问题；（4） 求解非线性方程组；（5） 求解带约束的线性最小二乘问题；（6） 求解非线性最小二乘逼近和曲线拟合问题。
2． 应用步骤（1） 根据所提出的最优化问题，建立数学模型，确定变量、约束条件合目标函数；（2） 对数学模型进行分析研究，选择合适的最优求解方法；（3） 根据最优化方法的算法，选择最优化函数，编程计算。
6．2优化工具箱的函数使用方法求解线性规划问题（1） 基本模型1122min ..T C xA x b s t A x b lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩其中x 为向量，A 1, A 2为常数矩阵，C, b 1, b 2 ,lb, ub 均为常数向量。
（2） 数linprog 调用x=linprog(C,A1,b1); %决策变量无上下约束条件，并且只含有“≤“约束条件； x=linprog(C,A1,b1,A2,b2); %决策变量无上下约束条件；x=linprog(C,A1,b1,A2,b2,lb,ub); %决策变量有上下约束条件；[x,fv]=linprog(…); %要求在迭代中同时返回目标函数值； [x,fv,ef]=linprog(…); %要求返回程序结束标志；[x,fv,ef,out]=linprog(…); ％要求返回程序的优化信息；（3） 例子例1 求线性规划问题123min 546z x x x =---subject to首先输入系数C=[-5; -4; -6]A= [1 -1 1;3 2 4;3 2 0]b=[20; 42; 30]lb=zeros(3,1)调用linprog函数[x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,[],[],lb) 输出结果：>> [x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,[],[],lb) Optimization terminated successfully. x =0.000015.00003.0000fv =-78.0000ef =1out =iterations: 6cgiterations: 0algorithm: 'lipsol'例1 求线性规划问题max z=2x1+3x2-5x3s.t. x1+x2+x3=72x1-5x2+x3>=10,x1,x2,x3>=0.首先输入系数C=[-2; -3; 5]A=[-2 5 1]b=-10Aeq=[1 1 1]beq=7lb=zeros(3,1)调用linprog 函数[x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb)输出结果：>> [x,fv,ef,out]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated successfully.x =6.42860.57140.0000fv =-14.5714ef =1out =iterations: 7cgiterations: 0algorithm: 'lipsol'求解二次规划问题（4） 基本模型 11221min2..T T x Hx C x A x b s t A x b lb x ub +≤⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩ 其中x 为向量，H,A 1, A 2为常数矩阵，C, b 1, b 2 ,lb, ub 均为常数向量。
最小二乘问题常用的那些优化方法题外话：从开始学习Slam十四讲第六章的时候就开始想写一个文档整理一下这些年遇到的优化算法，一周学一章，现在都学到第9章了，总算半整理半引用整理出来了...如果学一个东西是不断坑自己+自己去填坑的过程，下一次应该不会摔的那么疼了吧对于一个最小二乘问题的求解，根据目标函数可分为线性最小二乘和非线性最小二乘；对于非线性最小二乘问题，通常是进行泰勒展开将问题线性化，求解线性增量方程或是直接迭代找到最优值；对于线性最小二乘问题，通常是直接进行展开、求导等于零，构造\(A\vec{x}=\vec{b}\)的解方程问题，使用直接分解法或是迭代法求解；写完后发现文档较长，还是列一下有些什么东西吧：•梯度下降与其扩展算法（随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及批梯度下降）•牛顿法与其优化算法（拟牛顿法、BFGS、LBFGS、高斯牛顿法以及列文伯格-马夸尔特法)•求解线性最小二乘问题的那些：1）直接分解（LU、LUP、Cholesky分解求解方阵线性方程组问题，QR分解解决欠定方程组问题以及超定方程组的最小二乘解）；2）迭代法（雅各比迭代、高斯赛德尔迭代、SOR以及超级好用的共轭梯度）•一些自己觉得不错的博客介绍；非线性最小二乘问题对于非线性最小二乘问题，通常会将目标函数进行泰勒展开，并将问题转换为一个线性求解问题：设有一个最小二乘问题：\[\min_{\vec{x}}F(\vec{x})=\frac{1}{2}||f(\vec{x})||_2 ^2\tag{1} \]有\(\vec{x}\in {R^n}, f\)是非线性函数，求解这个问题的常规思路是：1.给定某个初始值\(\vec{x}_0\)2.对于第k次迭代，寻找一个增量\(\Delta\vec{x}_k\)，使得\(||f(\vec{x}_k+\Delta\vec{x}_k)||_2^2\)3.\(\Delta\vec{x}_k\)足够小，则停止4.否则，令\(\vec{x}_{k+1}=\vec{x}_k +\Delta\vec{x}_k\)，返回第2步将非线性最小二乘问题求解的目标：从寻找最优值转换为寻找最小的\(\Delta\vec{x}_k\)，当函数下降到\(\Delta\vec{x}_k\)很小的时候，则等价为已找到最优值。
一、引言在数学和优化领域中，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法。
在实际应用中，我们通常希望最大化某个目标函数，但是单纯形法是针对最小化问题进行设计的。
当我们需要求解最大化问题时，需要将目标函数做一定的转换，使其转化为最小化问题，然后再通过单纯形法进行求解。
二、目标函数最大值转换为最小值的方法要将目标函数最大值转换为最小值，需要进行以下步骤：1. 改变符号：需要将最大化目标函数的符号取反，即将目标函数中的所有系数乘以-1，这样就将最大化问题转化为最小化问题了。
2. 添加人工变量：接下来，为了满足单纯形法的要求，需要对问题的约束条件进行调整。
具体而言，需要为每个约束条件添加一个人工变量，以将问题转化为标准形式。
这些人工变量将帮助我们找到最小化问题的初始可行解。
3. 单纯形法求解：一旦将最大化问题转化为最小化问题并转换为标准形式，就可以使用单纯形法进行求解了。
通过不断迭代和调整基本变量，最终可以找到最小化问题的最优解。
三、示例分析为了更好地理解将目标函数最大值转换为最小值的方法，我们可以通过一个具体的示例来进行分析。
假设有以下线性规划问题：Maximize 3x + 4ySubject tox + y ≤ 52x + 3y ≤ 12x, y ≥ 0我们需要将目标函数的符号取反，即将其转化为最小化问题：Minimize -3x - 4y需要为每个约束条件添加一个人工变量，以将问题转化为标准形式：x + y + s1 = 52x + 3y + s2 = 12x, y, s1, s2 ≥ 0现在，我们可以使用单纯形法进行求解。
通过迭代计算、选取入基变量和出基变量，最终可以找到最小化问题的最优解。
四、总结通过以上分析，我们可以得出结论：将目标函数最大值转换为最小值是一种常用的线性规划问题转化方法。
通过将目标函数的符号取反，并对约束条件添加人工变量，可以将最大化问题转化为最小化问题，并使用单纯形法进行求解。
python牛顿法求函数最小值牛顿法是一种求解方程根或最小值的方法，也被称为牛顿-拉弗森方法。
它使用函数的一阶和二阶导数来逼近函数的局部极小值点或者多项式的解。
在本文中，我们将探讨如何用Python实现牛顿法来求解函数的最小值。
先推荐一本学习Python的书籍：《Python编程快速上手-让繁琐工作自动化》牛顿法原理对于求解单个变量函数最小值的情况，牛顿法的原理可以简述如下：假设f(x)是要求解的函数，x0是初始值，假设我们已知f(x)的一阶和二阶导数，那么可以通过以下公式来随着迭代次数n的增加不断逼近x的最小值点：x(n+1) = x(n) - (f'(x(n)) / f''(x(n)))换句话说，我们可以得到一个关于x的方程，如下所示：f'(x) = 0通过不断迭代求解，x的值会趋近于f(x)的最小值点。
请注意，此方法的收敛性和初始值有很大关系，因此需要谨慎选择初始值，以免导致更新计算结果发散。
使用牛顿法求解函数最小值下面我们使用Python编写一个牛顿法收敛于目标函数最小值的例子。
此处我们将使用SciPy库中的optimize.newton函数，该函数使用Newton-Raphson方法求解单变量非线性方程的根（或最小值）。
首先，让我们定义函数f(x)。
在这个例子中我们将使用以下函数：f(x) = x^3 - 2x^2 + 2我们可以在Python中实现如下：def f(x):return x**3 - 2*x**2 + 2接下来，我们需要找到f(x)的一阶和二阶导数，这可以通过SymPy库来实现。
SymPy不仅可以求函数的导数，还可以将导数计算式子从字符串表示转换为Python表达式。
import sympy#定义符号xx = sympy.symbols('x')#定义函数f(x)fx = x**3 - 2*x**2 + 2#求f(x)的一阶和二阶导数f_prime = sympy.diff(fx, x, 1)f_second = sympy.diff(fx, x, 2)#打印函数对应的一阶和二阶导数print(f'f(x)的一阶导数为：{f_prime}')print(f'f(x)的二阶导数为：{f_second}')上面的输出应该显示：f(x)的一阶导数为：3*x**2 - 4*xf(x)的二阶导数为：6*x - 4现在我们已经有所有必要的信息，可以使用SciPy.optimize库的optimize.newton函数求解函数最小值了。
