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函数的最大值和最小值ppt

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高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1

高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1

(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最 大值
M是函数y＝f(x)的 最小值
第五页，共42页。
1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数 的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
第二十页，共42页。
2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的 最大值为 2，求 a 的值． 解析： 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性： 设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
第三页，共42页。
2．二次函数的最值 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线， 当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2， 当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
第八页，共42页。
3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大 值为________． 解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)， 在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
第二十八页，共42页。
②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单 调递减，

高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值

高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值

o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).

高等数学课件5第五节(2)函数的最大值最小值ppt

高等数学课件5第五节(2)函数的最大值最小值ppt
故 在 x2 2 2 处 达 到 最 大 利 润.
例7. 由直线 y 0, x 8 及抛物线 y x2 围成一个 曲边三角形, 在曲边 y x2 上求一点, 使曲线在该 点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形 面积最大．
解: 如图,
y
设所求切点为P( x0, y0 ),
解: 设A点到水面的垂直距离为AO h1,
B点到水面的垂直距离为BQ h2 , OQ l. 设OP x,
则光线从 A 到 B 所需要的传播时间为 A
T( x) h12 x2 h22 (l x)2 , x [0, l]. h1
v1
v2
Ox P
T( x) 1 x 1 l x v1 h12 x2 v2 h22 (l x)2
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142, 最小值 f (1) 7.
例2. 求函数 f ( x) x2 3x 2 在 [3,4] 上的 最大值与最小值.
解:
x2 3x 2,
f
(
x)
x2
3
x
2,
x [3,1] [2,4] x (1,2).
解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 b2 ), b(0,d) 6
令 W 1 (d 2 3b2 ) b 1 d
6
3
从而有
2
h
d 2 b2
d 3
dh b
即
d :h:b 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求
结果就是最好的选择 .
A 若 f ( x0 ) 0 且 f ( x0 ) 0, 则 f ( x)在 x0(

5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)

5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)
最小值．
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值

0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1

所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1

所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，

同济第五版高数3-5极值最值.ppt

同济第五版高数3-5极值最值.ppt

• 对于应用问题 有时可根据实际意义判别 对于应用问题,有时可根据实际意义判别 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数 上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极 大 值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件 第二充分条件) 定理 (第二充分条件 处具有二阶导数,且 设 f (x)在 x0 处具有二阶导数 且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？ 下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在 的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧 下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但 函 数 f ( x )在 该 点 连 续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .

《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT

《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT
有几个?举例说明.
1
提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也
没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=2x+1,x∈[-1,+∞).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最
小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x∈[-2,2],
最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=±2两个.
提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成
立.
(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对
∀x∈I,都有f(x)≤M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.
其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
第2课时
函数的最大(小)值
-1-
首页
课标阐释
1.理解函数的最大值和最小值的
概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求
一些简单函数的最值(或值域).
3.能利用函数的最值解决有关的
实际应用问题.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、函数的最大(小)值的定义
1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图
(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.
提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①∀x∈I,都有f(x)≥M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.

函数的最大值和最小值[1].ppt1

函数的最大值 和最小值
一、复习提问:
用导数来确定函数的极值步骤： （1）先求函数的导数 f / (x);（注意定义域） （2）再求方程 f /(x) = 0 的根； （3）列出导函数值符号变化规律表；
f’(x)符号
f (x)
+ 增函数
(-∞,a)
a
（a,b）
0
极大值
0 + 减函数 极小值 增函数
b
a 2 b 3 29 当x 0时.最大值为 3 ，求得b 3.
小
函数最小值为 16a b 29 可 可 - -1 0 0 + 2 能 能 f(x) a 2 3 小
-1 (-1,0)
0
(0,2)
2 (2,4)
4 3
f/(x)
五、练习题: 已知函数 y x3 3x 2 9 x a
f/(x)
-
0 4
+
0 5
-
五、练习题:
• 求下列函数在指定区间上的最大值与最小值：
( 1 ) y x 12 x 16 , x [ 3 ,3 ]
3
先求函数的导数 y 3( x 4 ) 驻点为x1 2、x2 2.
-3 (-3,-2)
/
2
-2 (-2,2)
2
(2,3)
-2 (-2,-1)
/
2
-1
(-1,1)
1
(1,2)
2
f/(x) f(x)
-1
+
0 11
0 -1
+
11
当x 1或2时，函数有最大值 11 ； 当x 2或1时，函数有最小值 1。
(3)求函数 f ( x ) 5 x 2 x 3 4 x的值域．

函数的极值,最大值与最小值PPT课件

(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .

函数的最大值与最小值》课件

最优决策
在资源分配、投资决策等场景中，企业需要找到 最优决策，这通常涉及到最大化或最小化某个目 标函数。
在物理中的应用
能量最小化
01
在物理问题中，能量通常是最小化的目标，例如在弹性力学中，
物体的变形能就是最小化的目标。
振动分析
02
在分析物体的振动时，通常需要找到振幅的最大值和最小值，
这涉及到求函数的极值问题。
率至关重要。
电流的最大值和最小值取决 于电路中的电阻、电压和电
感等参数。
通过分析电路中的电流最大值 和最小值，工程师可以优化电 路设计，提高电路的性能和稳
定性。
THANKS
感谢观看
凹凸性判定法
在极值点处，函数的凹凸性发生改变。
如果函数在某点之前为下凸，之后为上凸，则该点为极大值点；如果函数在某点之前为上凸，之后为下 凸，则该点为极小值点。
凹凸性可以通过绘制函数图像或计算二阶导数来判断。
特殊函数的极值判定法
对于一些特殊函数，如常数函数、一次函数、二次函数等，可以根据函数的特性直接判断极值点。
商品价格的最优策略分析
在商品价格最优策略分析中，企业需要确定商品 价格的最大值和最小值，以实现利润最大化。
企业பைடு நூலகம்以根据市场需求、竞争状况、成本等因素， 制定最优的商品价格策略。
商品价格的最优策略需要考虑市场需求的变化、 竞争对手的价格策略以及成本等因素。
电路中的电流最大值与最小值分析
在电路分析中，电流的最大值 和最小值对于电路的安全和效
二阶导数判定法
01
二阶导数大于0的点可能是极 小值点，二阶导数小于0的点 可能是极大值点。
02
在二阶导数等于0的点两侧， 判断函数的凹凸性，如果凹凸 性发生改变，则该点为极值点 。

第五节函数的极值与最大最小值


(2) 最大值
M m f(x1),a f(x2), x ,f(xm), f (a), f (b)
最小值
m m f (x1), fi (x2n ),,f(xm), f (a), f (b)
特别:
• 当 f (x) 在 [a,b]内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
得
x0

ma mn
是区间唯一的驻点，
故 f ( x0 ) 为区间(0, a)之间的最大值
fma x f(m m n)a m m nn(m a n)m n
例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若 目 标 函 数 只 有 点,则 唯该 一点 驻的 函 数 值 即 为 所 求 的 最 小（ ）或 值最 ．
例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于
观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角 最大) ?
例6. 设 x1是, x任2 意两正数，满足： x 1 x 2 a (a 0 )
求 x1m x2n 最大值。
解: 设 f (x) xm(ax)n
0xa
即求 f (x) 在 ( 0, a ) 内的最大值
f'(x ) x m 1 ( a x )n 1 [ m ( m a n )x ]令 f'(x)0

o
x0
x
求极值的步骤:
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值.
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-
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调 性，再求最值．
-
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
-
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
-
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
-
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
-
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
-
变式练习
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值．
【解析】 原函数变为
y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3
2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2)
(x＞2)
-
利用单调性求函数的最值
求函数 y＝xx＋ －21 x∈[2,3]上的最值． 【思路点拨】 定义法判断函数的单调 性―→求最值 【解析】 函数 y＝xx＋ －21＝x－x－1＋1 3＝1＋x－3 1 设 2≤x1<x2≤3， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－3 1－x2－3 1 ＝(x13－(x12)－(xx2－1) 1) -
∵2≤x1<x2≤3 ∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0 ∴f(x1)－f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) ∴函数 y＝xx＋ －21在[2,3]上是减函数 ∴f(x)的最小值为 f(3)＝33－＋12＝52. f(x)的最大值为 f(2)＝22＋ －21＝4.
-
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要 方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时， 单调性几乎成为首选方法．
-
变式练习
函数解析式为“y＝x2－2x” ，求 函数的在定义域 [2,4)上的最值．
-
课堂小结
（1）掌握函数最大值、最小 值的概念。
（2）熟悉ning (=^ ^=)
-
其对称轴为x＝3，开口向上， ∴f(x)在[－2,2]上为减函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝ f(－2)＝20.
-
在求二次函数的最值时，要注意定义 域．定义域若是区间[m，n]，则最大(小) 值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是 在区间[m，n]内还是在区间左边或右边， 在区间的某一边时应该利用函数单调性求 解．
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
-
思考
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
函数的最大值和最小值
-
缺钱花啊！！
赶时间？？
-
二次函数图象
一次函数图象
-
1．函数的最大值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I ，都有f(x)≤M， ②存在x0∈I，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最大值 ．
-
准确理解函数最大值的概念 (1)对于定义域内全部元素，都有 f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值 都必须满足不等式． (2)定义中M首先是一个函数值，它是 值域的一个元素，注意对②中“存在” 一词的理解