垂径定理

垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。

1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。

平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。

这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。

这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。

平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。

3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。

以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。

连接OA和OB。

由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。

△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。

由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。

垂径定理五个条件
垂径定理指的是垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理五个条件即：（1）直径，（2）垂直于弦，推导出：（3）平方弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，可由其中两个条件推出三个结论，即“知二求三”。

这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。

垂径定理是专门讨论同圆中的弧（主要是弧长）、弦和直径（主要是直径所在的直线）这三个元素之间的一种位置（垂直，主要是弦和直径的垂直）关系，与数量（主要是弧、弦被平分，和直径与平分后的弦）关系。

CDABOE C ADOOABM 垂径定理的应用一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心. 二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE ＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ） 考点分析：垂径定理及推论的应用，证明. 典型例题分析类型1. 垂径定理及推论概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是……（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ， 则半径OA 的长为………（ ）A. cm 34B. cm 54C. cm 32D. cm 8图1－2 图1－3 图1－4 图2－14. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.5.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于___cm ，OM 的长为___cm类型2. 垂径定理分类讨论1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<<2.已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB =8cm ，CD =6cm ，求AB 、CD 之间的距离.3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，半径OB =5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度ACBDABD C E.O1.如图3－1，在圆O中，直径AB垂直于弦CD，并且交CD于E，直径MN交CD于F，且OEFDFO2==，求COD∠.2.如图3－2，AB为⊙O的直径，且AB⊥弦CD于E，CD＝16，AE＝4，求OE的长.图3－23.如图3－3，在ABCRt∆中，∠C=900，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心、AC为半径的圆交斜边于D，求AD的长.图3－34.如图3－4，已知：AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300，求CD的长.5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB =2CD =4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.类型4. 垂径定理相关证明1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，．求证：OCM OBN ∠=∠．图4－12．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－23．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N 分别是，的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．图4－3类型5. 垂径定理的综合应用 1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB cm ，则水管中水深是_______cm. 图5－1 2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？图5－2 3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？图5－3【拓展提升】1. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦图6－12.如图6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一动点，C 、D 是⊙O 的两点，有∠CPB ＝∠DPB.求证：PC ＝PD.COABE F D3. 已知：如图6－3，A,是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD ＝800，B 是中点.（1）在CD 上求作一点P ，使得AP+PB 最短；（2）若CD ＝4cm ，求AP+PB 的最小值.图6－34. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.图6－4 变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图6－52：如果弦CD 是动弦，与直径AB 不相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，此时是否有： CE ＝DF ；OE ＝OF.如果有请证明，如果不成立，请说明.。

垂径定理的巧记口诀
垂径定理的巧记口诀可以根据其内容概括为“五二三或知二推三”。

具体来说，垂径定理包含五点内容：过圆心的直径、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的两条弧、平分弦（不是直径）垂直于弦。

其中任取两个作为题设，另外三个作为结论都是成立的。

例如，已知平分于弦的直径，垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧，则弦被直径平分，弦所对的两条弧也被平分。

此外，垂径定理还可以通过实际操作进行巧记。

具体操作如下：在纸上画一圆，标明直径AB；沿AB对折，在两半圆上任找一重合点记为C与D；打开，连接C、D；把AB和CD的交点记作E，圆心记为O，根据轴对称图形的性质可知AB垂直平分CD，通过实际操作得AC 与AD重合，BC与BD重合，CE与DE重合。

由此可得出：若AB是直径，且AB垂直于CD，则AC=AD，BC=BD，CE=DE。

以上是垂径定理的巧记口诀和操作方法，通过这些方法可以更好地理解和记忆垂径定理。

垂径定理
又称“5-2-3”定理其意为：①CD是⊙O直径AB是弦;②CD⊥AB;③AE＝BE;④弧AD＝弧BD;⑤弧AC＝弧BC 在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
(证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧 2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心
6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

如图中，切线长AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°
BO=CO=半径
AO=AO公共边
∴RtΔABO≌RtΔACO（H.L）
∴AB=AC
∠AOB=∠AOC
∠OAB=∠OAC
切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等
切割线定理
（切割线定理）PAT(弦切角定理)
上，一边和圆相交，另。

垂径定理方法总结
垂径定理超厉害好不好！它可不仅仅是一个数学定理，更是解决很多问题的利器呢！那垂径定理到底咋用呢？首先，找到圆的一条弦和过圆心的垂线。

这就像在茫茫大海中找到一艘船和它的航线一样关键。

接着，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一步就如同找到了打开宝藏的钥匙，一下子就能得出好多重要的结论。

在运用垂径定理的过程中，安全性那是杠杠的。

只要找准了弦和直径，按照定理来操作，就不会出错。

稳定性也没得说，就像一座坚固的桥梁，稳稳地连接着各种数学问题。

那垂径定理都用在啥场景呢？在解决圆的相关问题时，它可是大显身手。

比如求弦长、弧长、圆心角等等。

优势那可多了去了，能快速准确地得出答案，让你在数学的海洋中如鱼得水。

举个实际案例吧！比如说有一个圆，已知一条弦长和圆心到弦的距离，让你求圆的半径。

这时候垂径定理就派上用场啦！通过垂直于弦的直径平分弦这个性质，再结合勾股定理，就能轻松求出半径。

哇塞，是不是超厉害？
垂径定理就是这么牛，用起来方便快捷，安全性和稳定性都超高，应
用场景广泛，优势明显。

赶紧把它用起来吧！。

垂径定理1.弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

2.垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。

（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦（5）平行弦夹的弧相等。

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。

2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。

3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ）A 3cmB 2.5cmC 2cmD 1cm2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是( )A 、1.5B 、2C 、2.5D 、33、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O 过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC∆的内部，090,1,6BAC OA BC ∠===，则圆O 的半径为（ ） Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213AOB C第3题图 4、（2011年浙江杭州六模）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4π-8 B . 8π-16 C.16π-16 D. 16π-325.（2011年重庆江津区七校联考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB 弧），点O 是这段弧的圆心，AB =120m ，C 是AB 弧上一点，OC ⊥AB 于D ，CD =20m ，则该弯路的半径为________米6. （2011浙江慈吉 模拟）如图，△ABC 内接于⊙O , ∠B=42°, 则∠OCA=__________.7．（2011年杭州市西湖区）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的宽口AB 是 mm ．8.（2011年北京中考）一个圆形花圃的面积为300лm 2，你估计它的半径为 （误差小于0.1m ）9.（2011年北京四中中考模拟19）在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆，（1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点；C A B OC A BO 第4题O C B A 第6题图 B A 8mm 第7题D C B A O 第5题图（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；10.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．AB与CD间距离为。

圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有： d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。

过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。