函数的最大值和最小值优秀课件

注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
。
今义:常指与中学、大学相对的“小学”。
答案：1.求学的人 2.“所以”是特殊的指示代词，
“所”与介词“以”的结合，相当于“用来……的”
3.“从而”是两个词，从，跟随；而，而且 4.不一定
5.一般人，普通人 6.句子中间需要停顿的地方，读
“dòu” 7.“所以”是特殊指示代词，“所”与介词
“以”的结合，相当于“……的原因” 8.在小的方
1、函数的最大（小）值及其几何意义． 2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
语文：2.9师说 课件（苏教 版必修一）
◎作者简介
韩愈（768—824），字退之，唐代河南河阳（今河 南孟州南）人，著名文学家、哲学家，古文运动的倡导者, 后人称韩愈为“韩昌黎”。他的散文题材广泛，内容深刻， 形式多样，语言质朴，气势雄壮，因此后世尊他为唐宋八 大家之首。

x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
f (x)
极小值 极大值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
注意:函数旳不可导点,也可能是函数旳极值点.
2
例6 求出函数 f ( x) 1 ( x 2)3的极值.
解： x (,).
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
(4) 求极值.
定理3(第二充分条件)设 f ( x)在x0 处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
证
(1)
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) 0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
当x 0时， 有f ( x0 x) f ( x0 ) 0,
所以,函数 f ( x)在x0 处取得极大值
例7 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解： f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)( x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
20)
50
x
180 10
R(

5 4a,a 2.
(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max=
5 4a,a 1， 1,a 1.
【解题策略】一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值
【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函 数,所以可以采用配方法和图像法求解.
【解题策略】 (1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间 (, b ]上是减函数,在区间
2a
[ b , )上是增函数,当x=- b 时,函数取得最小值.
2a
2a
(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间 (, b ] 上是增函数,在区间 [ b , ) 上是
点,代入函数解析式求最值.
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,
f a , m a，
①最小值:f(x)min=
f
m
,
a
m
b，
f b, m b.
②最大值:f(x)max=
f f
a, b,
m m
a a
2 2
b， b.
当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), y y2 y1 (即 f ___x_2___x_1____)，
x x2 x1 x
称 f f x2 f x1 为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均

举例说明
函数 f ( x )
1 x
在 (0,∞)内连续。
4
2
-5
5
-2
-4
2.求可导f ( x ) 函数在[a,b]上最值的方法。
例1：求函数 f(x)x42x25在区间[-2，2]
上的最大值与最小值。
解：y' 4x3 4x
令 y ' 0 有 4x34x0 解得：x 1,0,1
当x变化时，y ' ，y的变化情况如下表：
x -2 (-2,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
y'
-
+ 0 - 0+
y 13
4
5
4
13
从上表可看出，最大值是13，最小值是4。
2.求可导f ( x ) 函数在[a,b]上最值的方法。
例1：求函数 f(x)x42x25在区间[-2，2]
函数的最大值与最小值 高三数学选修（Ⅱ）章导数与微分
Maximumvalue&MinimumvalueofFunction
教出：廖维猛
Teachingout:Lwmeng
Lwmeng@ WangchencontryLeiFeiSchoolHunan
• 函数的最大值与最小值
最小值f(x3)
再见! 感谢各位评委莅临指导！
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2.函数 yx 4xx2在上的最大值为（ B ）

是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得h= V ，则
R2
S(R)= 2πR▪ VR2+ 2πR2=
2+V2πR2
R
令
S’(R)=

2V R2
+4πR=0
解得，R=
3
V
2
从而h=VR2
=

(
3
V V
=
)2
3
4V

=2
3
V

2
即
h=2R
因为只有一个极值，所以它是最小值。
时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。
我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情……我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。

次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.

提示：当x＝0时f(0)是函数中的最大值．因为f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减 函数，从而对于x∈R，f(x)≤f(0)都成立，所以f(0)最大．
思考2 函数f(x)对于定义域内的任意元素，都有f(x)≥M，则M是否就是函数的最小值？
提示：不一定，若存在f(x0)＝M，则是，否则，不是．
例1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)画出f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的最小值．
[典例示法]
1.如何去掉绝对值将f(x)写成分段函数？2.由函数图象观察f(x)有最小值吗？最小值是多 少？
提示：1.利用零点区间讨论法分三段去绝对值将f(x)写成分段函数.2.由图象观察f(x)有最小值等于2.
例2 已知函数f(x)＝x＋1x. (1)求证：f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．
[典例示法]
如何证明f(x)在[1，＋∞)上的单调性？[1,4]与[1，＋∞)具有怎样的关系？f(x)在[1,4]上 的单调性是怎样的？最值在何处取得？
提示：用定义法证明f(x)在[1，＋∞)上的单调性．[1,4] [1，＋∞)，f(x)在[1,4]上是增函数，最小值当x ＝1时取得，最大值当x＝4时取得．
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x∈I，都有 f(x)≥M ； ②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M . 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象 最低点 的纵坐标．
[自我小测] 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( × ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( × ) (3)函数f(x)＝－x在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．( √ ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是____1____．

《高数最大值与最小》 PPT课件
通过本课件，我们将深入了解最大值与最小值的定义和概念，学习求解最大 值和最小值的方法，探索实例分析和应用，以及总结回顾这一重要的数学概 念。
问题引入和目标明确
我们将从一个问题开始，引入最大值与最小值的概念，并明确本课件的学习 目标。
最大值和最小值的定义和概念
最大值
练习题解答和讲解
1
练习题1
我们将一起解答一道关于最大值和最小值的练习题，并详细讲解解题思路和方法。
2
练习题2
继续解答另一道练习题，帮助学生理解如何应用求解最大值和最小值的方法。
3
练习题3
我们来尝试解答一个更加复杂的练习题，以提高对最大值和最小值求解方法的掌 握。
实例分析和应用
1 实例1: 投资组合优化 2 实例2: 生产成本最
什么是最大值？我们将阐述最大值的定义和概念，以及它在数学中的重要性。
最小值
什么是最小值？我们将介绍最小值的概念，以及它在各个领域的实际应用。
求最大值和最小值的方法
方法1: 求导数
我们将学习如何通过求导数的方法来找到函数的 极值点，从而求解最大值和最小值。
方法2: 函数图像分析
通过分析函数图像的形状和趋势，我们能够找到 函数的最大值和最小值。
通过实例分析投资组合
小化
3 实例3: 最大化利润
最大化利润是许多企业
优化问题，我们将探讨
以生产成本最小化为例，
的目标，通过实例分析，

如何利用最大值和最小
我们将学习如何应用最
我们将探讨如何应用最
值概念来做出最佳的投
小值的概念来优化生产
大值概念来优化业务决
资决策。
过程，并提高企业效益。

2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单 调性，再求最值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
思考
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
准确理解函数最大值的概念
②存在x0∈I ，使f(x0)＝M.

增，
从而 f
8－4a0＜a≤2，
(x)max＝
02＜a＜3.
综上所述，f
8－4aa≤2，
(x)max＝
0a＞2.
4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙
需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘
米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用
如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0) 为极大值；
如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0) 为极小值；
提出问题
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整
个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在
值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，
只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.
2单调区间取端点,当图象连续不断的函数 fx在[a，b]上单调
时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
跟踪训练
跟踪训练 1. 求下列各函数的最值．
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；
x=x0附近找不到比f (x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我
们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间
上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上
所有的函数值。
问题探究
探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？