《简单的三角恒等变换》学案4(人教A版必修4)

3.2 简单的三角恒等变换问题导学 一、求值问题活动与探究1已知sin α＝－817且π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tan α2的值．迁移与应用若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A ．35 B ．45 C ．74 D ．341．解给值求值问题，其关键是找岀已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式或变换所求式．2．给值求值的重要思想是建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．二、三角函数式的化简活动与探究2已知π＜α＜3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α．迁移与应用化简sin 4α4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α得( )A ．sin 2αB ．cos 2αC ．sin αD ．cos α(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求岀值的应求岀值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角； ②降幂或升幂．三、三角恒等变换的综合应用活动与探究3已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12．(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．迁移与应用已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1． (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解决关于三角函数的综合应用题，首先运用三角恒等变换将函数化成一个角的三角函数式，而后结合三角函数的图象与性质进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、对称性或图象的平移、伸缩变换等．解决此类问题的关键在于灵活地选取公式进行三角变换，化成一个角的三角函数．当堂检测1．已知cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sin θ2＝( )A ．105B ．－105C ．155D ．－1552．设f (tan x )＝tan 2x ，则f (2)＝( )A ．45B ．－43C ．－23D ．43．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos α＝－35，则tan α2等于( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－124．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．5．化简：sin 22x ＋2cos 2x cos 2x ＝________．答案：课前预习导学 【预习导引】 1．1－cos α2±1－cos α2 1＋cos α2 ±1＋cos α2 1－cos α1＋cos α±1－cos α1＋cos α预习交流1 提示：符号由α2所在象限决定．2．a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α·a a 2＋b 2＋cos α·b a 2＋b 2 sin(α＋φ) a a 2＋b 2 b a 2＋b 2预习交流2 提示：可以由sin φ和cos φ的符号来确定φ所在象限，由sin φ或cos φ的值确定角φ的大小．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：已知条件中的角α与所求结论中的角α2成二倍关系，解答本题可根据半角公式求值．解：∵sin α＝－817，π＜α＜32π，∴cos α＝－1517．又π2＜α2＜34π， ∴sin α2＝1－cos α2＝1＋15172＝41717，cos α2＝－1＋cos α2＝－1－15172＝－1717， tan α2＝sin α2cos α2＝－4． 迁移与应用 D 解析：由θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34． 活动与探究2 思路分析：先用二倍角公式“升幂”，再根据α2的范围开方化简．解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0．∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2．迁移与应用 A 解析：4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝4cos 2⎝⎛⎭⎫π4－αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2α，原式＝sin 4α4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α．活动与探究3 思路分析：(1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式．再求解．(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．解：(1)由已知f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4． 所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22． (2)由(1)知，f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35． ∴cos α－sin α＝325，平方得1－sin 2α＝1825．∴sin 2α＝725．迁移与应用 解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π．(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3．于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1．【当堂检测】1．D 解析：∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2．∴sin θ2＜0．由cos θ＝1－2sin 2θ2，得sin θ2＝－1－cos θ2＝－⎝⎛⎭⎫1＋15×12＝－155． 2．B 解析：由f (tan x )＝tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ，知f (x )＝2x1－x 2，∴f (2)＝2×21－22＝－43．3．A 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝1＋cos α2＝55．∴tan α2＝sinα2cos α2＝2．4．－19 解析：在△ABC 中，B ＋C 2＝π2－A 2，sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－A 2＋cos 2A ＝cos 2A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝－19． 5．2cos 2x 解析：原式＝4sin 2x cos 2x ＋2cos 2x cos 2x ＝2cos 2x (2sin 2x ＋cos 2x )＝2cos 2x (2sin 2x ＋1－2sin 2x )＝2cos 2x ．。

3．2 简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。

二、预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：Cos(α+β)= Cos(α-β)=sin(α+β)= sin(α-β)=tan(α+β)= tan(α-β)=sin2α= tan2α=cos2α=2、阅看课本P139---141例1、2、3。

三、提出疑惑：课内探究学案一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

二、学习过程：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？3、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例2）请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例3）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。

1、例3的过程中应用了哪些公式？2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值．三、反思、总结、归纳：sin α/2= cos α/2= tan α/2=sin αcos β= cos αsin β=cos αcos β= sin αsin β=sin θ+sin φ= sin θ-sin φ=cos θ+cos φ= cos θ-cos φ=四、当堂检测：课本p143 习题3.2 A 组1、（3）（7）2、（1）B 组2课后练习与提高一、选择题：1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32 B ．－31 C ．31 D ．322．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2B ．－3πC ．3πD ．3π2二、填空题4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．5．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题6．已知f （x ）=－21+2sin 225sin xx ，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式；（2）求f （x ）的最小值．课后练习参考答案：一、选择题：1．C 2． B 3． D二、填空题：4．41 5．－97 三、解答题6．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sin x x x x x x x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x －1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89．。

3.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一 半角公式思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？答案为：结果是cos α=2cos2α2- 1=1- 2sin 2α2=cos 2α2- sin 2α2. 思考2 根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.答案为：∵cos2α2=1＋cos α2，∴cos α2=± 1＋cos α2， 同理sin α2=±1－cos α2，∴tan α2=sinα2cosα2=± 1－cos α1＋cos α.思考3 利用tan α=sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案为： tan α2=sin α2cos α2=sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2=sin α1＋cos α，tan α2=sin α2cos α2=sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2=1－cos αsin α.梳理知识点二 辅助角公式思考1 asin x ＋bcos x 化简的步骤有哪些？ 答案为：(1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ=a a 2＋b2，sin θ=b a 2＋b2(或sin θ=a a 2＋b2，cos θ=b a 2＋b2).一般θ为特殊角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x＋sin θcos x)(或a 2＋b 2(sin θsin x＋cos θcos x)).(3)化简、逆用公式得asin x ＋bcos x=a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或asin x ＋bcos x=a 2＋b 2cos(x- θ)). 思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？ 答案为：θ所在的象限由a 和b 的符号确定. 梳理 辅助角公式：asin x ＋bcos x=a 2＋b 2sin(x ＋θ).(其中tan θ=b a)类型一 应用半角公式求值例1.已知sin θ=45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.反思与感悟(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).跟踪训练1.已知sin α=- 817，且π<α<3π2，求sin α2，cos α2和tan α2.类型二 三角恒等式的证明例2.求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ=1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.跟踪训练2 证明：sin α＋11＋sin α＋cos α=12tan α2＋12.类型三 利用辅助角公式研究函数性质例3.已知函数f(x)=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x∈R ). (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3 已知函数f(x)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g(x)=12sin 2x- 14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)=f(x)- g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x 的集合.类型四 三角函数在实际问题中的应用例4.如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.反思与感悟此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).1.若cos α=13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B.- 63 C.±63 D.±332.已知tan θ2=3，则cos θ等于( )A.45B.- 45C.415D.- 353.函数f(x)=sin 2x ＋3sin xcos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A.1B.2C.32D.34.函数f(x)=sin x- cos x ，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为 .5.化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α.(180°<α<360°)1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式asin x ＋bcos x=a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b)同象限；②tan φ=b a (或sin φ=b a 2＋b 2，cos φ=aa 2＋b2). 3.研究形如f(x)=asin x ＋bcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x±cos x=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4；sin x±3cos x=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等.课时作业一、选择题1.若cos α=- 45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A.- 12B.12 C.2 D.- 22.若tan α=2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A.1B.2C.3D.4 3.已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A.-1－cos α2B. 1－cos α2C.- 1＋cos α2D. 1＋cos α24.在△ABC 中，若sin Asin B=cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形5.设函数f(x)=3cos 2ωx＋sin ωxcos ωx＋a(其中ω>0，a∈R )，且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6，则ω的值为( )A.12B.- 13C.- 23D.2π3 6.设a=12cos 6°- 32sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=1－cos 50°2，则有( ) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a 7.已知sin θ=m －3m ＋5，cos θ=4－2m m ＋5(π2＜θ＜π)，则tan θ2等于( )A.- 13B.5C.- 5或13D.- 13或5二、填空题8.设5π＜θ＜6π，cos θ2=a ，则sin θ4的值为 .9.sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为 .10.函数f(x)=sin(2x- π4)- 22sin 2x 的最小正周期是 .三、解答题11.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α=- 435，- π2<α<0，求cos α的值.12.求证：tan 3x 2- tan x 2=2sin xcos x ＋cos 2x .13.已知cos 2θ=725，π2<θ<π，(1)求tan θ的值； (2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)的值.四、探究与拓展14.已知A ＋B=2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是 ，最小值是 .15.已知函数f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x- 3cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性.。

【课题】 3.2简单的三角恒等变换（一）
【学习目标】: 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

【学习重点】：利用公式进行简单的恒等变形。

【学习难点】: 认识三角变换的特点，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
【教学用具】： 直尺、三角板
【学法指导】：自主学习；合作探究；能力提升（启发、引导、讨论）
【课时】：
【教学过程】：
一、复习：
三角函数的和（差）公式，倍角公式
二、典例精析
例1、试以cos α表示
222sin ,cos ,tan 222α
αα． 例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。

例3、求证：
（１）、
()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕ
θϕ
θϕ+-+=．
三、课堂练习
P142页1、2、3题。

四、总结提升
要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
五、课后作业
《习案》三十三
【板书设计】
【我的反思】。

3. 2简单的三角恒等变换学习目标、细解考纲1.引导学生以已有的公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练.2.学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点.3.培养学生化归和整体转化思想，注重方程思想和消元思想的培养．4．通过简单的三角恒等变换的学习，提升学生逻辑推理和运算求解的核心素养.一、自主学习—————（素养催化剂）1．预习学习半角公式2．预习学习积化和差、和差化积公式二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1、已知,31cos =αα是第四象限角，求2tan ,2cos ,2sin ααα的值变式1：(教材改编）已知α是第四象限角，,51cos sin =+αα求2tan α的值例2、求证：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin变式2：求证：2cos 2sin2sin sin βαβαβα-+=+变式3：求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=例3、如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值变式4：(教材改编）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为2π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记α=∠COP ，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例4、设(){}*,2|,cos sin N k k n n x x f x ∈=∈+=ααα，利用三角变换，估计()αf 在6,4,2=x 时的取值情况，进而对x 取一般值时()αf 的取值范围作出一个猜想.四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

3.2《简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】1．会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2．使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解析： 解：点评：⑴以上结果还可以表示为：1cos sin221cos cos22αααα-=+=1cos tan 21cos ααα-=+并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 解析： 证明：点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值． 解析： 解： 课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3πC ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________． 9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14． 求证：cos 2x +cos 2（x +α）－2cos x cos αcos （x +α）=sin 2α．15． 求函数y =cos3x ·cos x 的最值．参考答案 例1解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评：⑴以上结果还可以表示为：sin2cos2αα==tan 2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2：解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．拓展提升一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xxx x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x－1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ）， 将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos 2C A -=22．12．证明：由已知得 ⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x=21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。

3．2简单的三角恒等变换[目标] 1.记住三角恒等变换常用公式． 2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明．[重点] 三角恒等变换常用公式．[难点] 三角恒等变换的化简与求值．知识点一降幂公式与半角公式[填一填][答一答]1．半角公式中“±”号如何选取？提示：符号由所在象限决定．2．已知sinθ＝，且<θ<3π，则sin＝－，cos＝－，tan＝2.解析：∵sinθ＝，<θ<3π，∴cosθ＝－＝－，∵<<，∴sin＝－＝－＝－.cos＝－＝－＝－.tan＝＝2(或tan＝＝＝2)．知识点二常见的三角恒等变换[填一填]1．a sinα＋b cosα＝(sinα·＋cosα·)＝sin(α＋φ)．(其中令cosφ＝，sinφ＝)2．sin2α＝，cos2α＝，sinαcosα＝sin2α.[答一答]3．如何确定上述辅助角公式中的φ值？提示：可以由sinφ和cosφ的符号来确定φ所在的象限，由sinφ或cosφ的值确定角φ的大小．4．填空：(1)sinα±cosα＝sin.(2)sinα±cosα＝2sin.(3)sinα±cosα＝2sin.类型一半角公式的应用[例1](1)设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于()A. B．C．－D．－(2)若sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝________.[解析](1)由题知，5π<θ<6π，cos＝a，则π<<π，则sin＝－＝－.故选D.(2)∵sin(π－α)＝－，α∈，∴sinα＝－，cosα＝－，又∵∈，∴sin＝cos＝－＝－.[答案](1)D(2)－已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可.[变式训练1]已知α∈(－，0)，cosα＝，则tan＝(D)A．3B．－3C.D．－解析：因为α∈(－，0)，且cosα＝，所以∈(－，0)，tan＝－＝－＝－，故选D.类型二三角恒等式的化简与证明[例2]已知π<α<，化简：＋.[解]原式＝＋，∵π<α<，∴<<.∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos.三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：(1)发现差异——观察角、名、形三方面的差异；(2)寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系；(3)合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化.[变式训练2]化简得(A)A．sin2αB．cos2αC．sinαD．cosα解析：∵4sin2tan＝4cos2tan＝4cossin＝2sin＝2cos2α，∴原式＝＝＝＝sin2α.类型三三角恒等变换的应用命题视角1：三角恒等变换与三角函数性质的结合[例3]函数f(x)＝sin2x＋sin x cos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[解析]由题意知，f(x)＝sin2x＋(1－cos2x)＋1＝sin＋，所以最小正周期T＝π.令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故单调递减区间为(k∈Z)．[答案]π[＋kπ，＋kπ](k∈Z)讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)，y＝A tan(ωx＋φ)的形式才能进行讨论.[变式训练3]已知函数f(x)＝sin x－cos，则函数的值域为[－1,1]，对称轴方程为x＝π＋kπ(k∈Z)．解析：f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x－sin x＝sin x－cos x＝sin则函数f(x)的值域是[－1,1]．令x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的对称轴方程为x＝π＋kπ(k∈Z)．命题视角2：三角恒等变换与平面向量的结合[例4]在平面直角坐标系xOy中，点A(cosθ，sinθ)，B(sinθ，0)，其中θ∈R.(1)当θ＝时，求向量的坐标；(2)当θ∈时，求||的最大值．[解](1)由题意得＝(sinθ－cosθ，－sinθ)，当θ＝时，sinθ－cosθ＝sin－cos＝，－sinθ＝－sin＝－，所以＝.(2)因为＝(sinθ－cosθ，－sinθ)，所以||2＝(sinθ－cosθ)2＋(－sinθ)2＝1－sin2θ＋2sin2θ＝1－sin2θ＋1－cos2θ＝2－sin.因为0≤θ≤，所以≤2θ＋≤.所以当2θ＋＝时，||2取到最大值，||2＝2－×＝3，即当θ＝时，||取到最大值.三角恒等变换与平面向量的坐标运算相结合是常见的题型，这种题型往往体现了三角恒等变换的工具性．[变式训练4]已知A，B，C是△ABC三内角，向量m＝(－1，)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1，则角A＝(D)A. B. C. D.解析：∵m·n＝1，∴(－1，)·(cos A，sin A)＝1，即sin A－cos A＝1，∴2＝1，∴sin＝.∵0<A<π，∴－<A－<，∴A－＝，∴A＝.命题视角3：三角恒等变换的实际应用[例5]有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？[分析]→→→[解]画图如图所示，设∠AOB＝θ(θ∈(0，))，则AB＝a sinθ，OA ＝a cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，即S＝2a cosθ·a sinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.∵θ∈(0，)，∴2θ∈(0，π)，当2θ＝，即θ＝时，S max＝a2，此时，A，D距离O点都为a.解决实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解.求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决.[变式训练5]某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为 1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解：如图，连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－(1－cos2θ)＋sin2θ＝(sin2θ＋cos2θ)－＝cos－.当2θ－＝0，即θ＝时，S max＝(m2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为m2.1．已知cosα＝－，<α<π，则sin等于(D)A．－ B.C．－D．解析：∵<α<π，∴<<，∵cosα＝－，∴sin＝＝.2．下列各式中，值为的是(B)A．sin15°cos15°B．cos2－sin2C. D．解析：A中，原式＝sin30°＝；B中，原式＝cos＝；C中，原式＝×＝tan60°＝；D中，原式＝cos30°＝，故选B.3．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是(C)A. B．C. D．解析：y＝sin2x＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋.故函数值域为. 4．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，则cos2α＝.解析：∵(cosα＋sinα)2＝，∴sinαcosα＝－，而sinα>0，∴cosα<0.∴cosα－sinα＝－＝－.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝－×＝.5．证明：＝tan＋.证明：∵左边＝＝＝＝＝tan＋＝右边．∴等式成立．——本课须掌握的三大问题1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式a sin x＋b cos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝(或sinφ＝，cosφ＝)．3．研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a，b应熟练掌握．。

简单三角恒等变换复习一、公式体系1、和差公式及其变形：（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ⇔ )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ⇔ )cos(sin sin cos cos βαβαβα±=μ （3）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=± ⇔ 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-2、倍角公式的推导及其变形：（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=⇔ααα2sin 21cos sin =⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±（2）ααααααααα22sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔1cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααααα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα2cos 22cos 1=+ 【因为α是2α的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2cos 2cos 12αα=+因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα2cos 24cos 12=+】αααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=⇔ ⇔把1移项得αα2sin 22cos 1=- 或αα2sin 22cos 1=- 【因为α是2α的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2sin 2cos 12αα=-因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα2sin 24cos 12=-】二、基本题型1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：注意角的关系，如)4()4(,)(,)(πβαπβααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 （1）已知βα,都是锐角，135)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值（2）已知,40,1312)45sin(,434,53)4cos(πββππαπαπ<<-=+<<=-求)sin(βα+的值 （提示：βαπαπβπ++=--+)4()45(，只要求出)sin(βαπ++即可）2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数（1）已知βα,都是锐角，10103cos ,55sin ==βα，求角βα+的弧度3、)(βα+T 公式的应用（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0000+++的值（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2cos 等 （1）已知2tan =α，求αααααααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值5、切化弦，再通分，再弦合一（1）、化简：① )10tan 31(50sin 0+ ② 035sin 10cos )110(tan ⋅-（2）、证明：x xx x x tan )2tan tan 1(cos 22sin =+6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合 化简4cos 2sin 22+-1、sin 20cos 40cos 20sin 40+o o o o的值等于（ ）A .14 B .2 C .12D .42、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） A .3- B .3 C .13- D .133、cos5πcos52π的值等于（ ）A ．41B ．21 C ．2 D ．44、 已知02A π<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ）A .425B .725C .1225D .24255、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于 （ ）A ．1813 B.223 C.2213 D.1836、sin165º= （ ） A ．21B ．23C ．426+D ．426- 7、sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）A ．23 B ．21 C ．23 D ．21- 8、已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-9、化简2sin （4π－x ）·sin （4π+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 10、sin12π—3cos 12π的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ．2 D ． 2 sin125π11、)( 75tan 75tan 12的值为︒︒-A ．32B ．332C ． 32-D ．332-。

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。