高中数学：弧度制学案新课标人教A版必修4 学案

1.1.2 弧度制自主学习知识梳理 1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．23.我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．对点讲练知识点一 角度制与弧度制的换算例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π5＝________度．知识点二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．知识点三 弧长、扇形面积的有关问题例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C.2sin 1D ．2sin 1 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．7．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________.8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.三、解答题9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．10. 如右图，已知扇形OAB 的中心角为4，其面积为2 cm 2，求扇形的周长和弦AB 的长．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad(3)|α|＝lr终边的旋转方向 正数 负数 0解 半径为r ，圆心角n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .对点讲练例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎫2252° ＝2252×π180＝5π8. (2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.变式训练1 (1)5π3 (2)－π8(3)288例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°.∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．变式训练2 －10π＋7π4解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋7π4.例3 解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 变式训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 课时作业 1．D 2.A3．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.]4．D [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．B [设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.] 6．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.7.7π3或10π3解析 －7π6＋7π2＝14π6＝7π3，－7π6＋9π2＝20π6＝10π3. 8．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝7π3， π3－2π＝－5π3，π3－4π＝－11π3. 9．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－34π≤α≤2k π＋3π4，k ∈Z .(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .10．解 设AB 的长为l ，半径OA ＝r ，则S 扇形＝12lr ＝2，∴lr ＝4， ①设扇形的中心角∠AOB 的弧度数为α，则|α|＝lr ＝4，∴l ＝4r ， ② 由①、②解得r ＝1，l ＝4.∴扇形的周长为l ＋2r ＝6 (cm)， 如图作OH ⊥AB 于H ，则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－42＝2r sin(π－2)＝2r sin 2(cm)．。

第一章 三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

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数学必修4学案第一章1.弧度制
一、学习目标：
1、知识与技能：从明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义.
2、过程与方法：学生经历熟练掌握角度制与弧度制的换算.
3、情感态度与价值观：学生经历数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.
二、重点与难点：
重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化。

难点：用弧度制定义的理解。

三、课前学习：
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？从中能发现什么？
四、课中学习：
对课前的学习，进一步分析：
1、复习角度制的定义：
2、正确理解弧度制定义的含义。

3、掌握角度制与弧度制的互换方法。

4、分析例题1，总结方法
5、总结弧度制的作用：
8、第9页，练习1-6,
五、课后反思
对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？
六、作业设计：
P10习题A组4-10
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1.1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要•现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单1位进行度量，并且一度的角等于周角的，记作1 °.360°通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法•在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性•这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的- 对应，为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的•通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性•通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的•进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点三维目标1•通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制.2•通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣• 重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算•教学难点：弧度的概念及其与角度的关系• 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.（类比导入）测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.（情境导入）利用古代度量时间的一种仪器一一日晷，或者利用普遍使用的钟表•实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法一一弧度制.要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系一一弧的度数等于圆心角的度数随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角,相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数. 圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线（有向线段）的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然.推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里我们学习过角的度量,1。

《弧度制》教学设计深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨。

本节课我教学的重点就是弧度制概念，设计的一大亮点就是由一道探究题目，展开本节课的全部教学内容。

一．教学内容解析弧度制在本章的位置：本节知识结构：《弧度制》是人教A版必修4第一章第一节第二课时的知识内容，教学重点是弧度制的概念。

本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础。

二．教学目标设置首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；理解任意角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用。

其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想、归纳推理的思想、以及数形结合的思想，还有提高数学推理论证能力、几何直观能力、数据处理与数值计算能力都提供了很好的契机。

另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；系统的去思考概念产生的必要性，合理性，优越性，概念的内涵和外延；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展。

三．学生学情分析其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础。

能力上，学生经过高中半个多学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内。

弧度制的概念教学是重点也是难点，力求讲清概念的内涵和外延，分析概念生成的必要性、合理性、优越性。

四．教学策略分析本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，围绕这样的问题链展开：引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程。

课题：1.1.2 弧度制一、教材分析： 1、教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教A 版必修4第一章第一节第二课时.本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度” ，并且上节课学了任意角的概念，将角的概念推广到了任意角；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用.通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式.另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便. 2、教材内容分析：新的教育理念认为：数学教学过程就是学生对有关的数学内容进行探索，实践与思考的过程，所以学生应当成为学习活动的主体，教师应成为学习活动的组织者、引导者与合作者.在教学中教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、比较、概括、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过这些活动，掌握基本的数学知识与技能.教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者.教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角，接下来用四点来分析教材的内容：（1） 要弄清1弧度的意义.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单.（2） 通过实例和几何画板演示，来讲述1弧度的含义，这样便于学生概念的理解，通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法在运算中具有优越性；（3） 关于弧度与角度二者的换算，教学时应抓住： 1801π=︒弧度；1弧度︒=)180(π（4） 由例2应让学生知道，无论是利用角度制还是弧度制，都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式，但利用弧度制来推导要简单中些．二、学情分析在本节课中，学生已具备了以下学习条件：1、知识基础：学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了角的概念的推广，也具备角度制下的一些结论，如1度的角、弧长公式和扇形面积公式，这是学习本节课的知识基础.2、心理准备：目前只知道角可以用度为单位进行度量，在寻找另一种的单位制度量角的时候思维受挫是学生学习本节课的内在动机.3、材料基础：教材内容的组织由浅入深、循序渐进.三、教学目标：1、知识与能力：理解1弧度的角的意义及弧度制的定义，能正确进行角度制与弧度制的换算，熟记特殊角的弧度数,了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系.2、过程与方法：运用类比的方法，经历从特殊到一般的研究过程.3、情感态度价值观：在学习过程中感受数学思想方法之美，形成合作交流、独立思考等良好的个性品质，养成良好的思维习惯，提升自主学习能力.四、教学重点与难点：1、教学重点：弧度制的概念,弧度与角度的换算.2、教学难点：弧度制的概念.五、教学策略与手段：采用探究式教学，以问题串的形式引导学生得到弧度制的概念、深入理解概念并应用概念.利用PPT和几何画板课件静态动态相结合，展示1弧度的角，帮助学生深入理解概念.六、教学基本流程：七、教学过程：（一）引入新知情境.港剧中常说“千尺豪宅”,指有钱人住的地方.那么香港的千尺豪宅究竟有多大呢？(1平方英尺=0.093平米)【设计思路】通过生活实例充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理，使学生理解同一个量有不同度量方法，不同的单位制能给解决问题带来方便.问题1.请回忆一下，10的角是怎么定义的？【设计思路】回忆角度制的定义，为引出弧度制的定义做准备问题2. 希腊天文学家托勒密（Ptolemy ，公元100年-170年）把圆周分成360等份，每一份叫做1度的弧，把1度的弧再细分就得到分和秒. 1度的弧所对的圆心角叫做1度的角.他认为半径和弧长应该使用同一个度量单位.由上述定义可得圆周的长度是360度，请计算半径是多少度？已知1度=60分，请计算半径是多少分？【设计思路】在角度制中，角度是60进制.而习惯上,半径的长度单位制使用10进制，用角度单位表示半径会与长度单位产生认知冲突，从而需要引入新的角度单位.通过数学史的介绍，对学生渗透数学文化. （二）新课讲授问题3.是否需要引入一种新的度量角的单位制，使计算变的更方便？如果需要，我们怎么定义这种新的单位制？瑞士数学家欧拉（ Euler ，1707年－1783年）提出用半径r 为单位来度量弧长l 请填空：(1)当弧长等于圆周长时，弧长l =2πr, 弧长l = 个半径r;(2)当弧长等于半个圆周长时，弧长l = ，弧长l = 个半径r;(3)当弧长等于四分之一圆周长时，弧长l = ，弧长l = 个半径r.弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.【设计思路】通过让学生亲自计算，分析，类比，从而比较顺利的引出弧度制的概念.问题4.你能在图中根据定义画出1弧度的角吗？我们知道，在角度制里，角的大小与半径大小无关，那在弧度制里，角的大小是否与半径有关呢？用几何画板演示:当半径变化时，圆心角不变，rl是定值；（比值是一个实数，因此是10进制，比角度的60进制用起来更习惯）因此，圆心角的大小只与弧长与半径的比rl有关，与半径大小无关.学生填表讨论，叙述结论，老师引导评价： 结论：1．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.（这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系）2．如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是r l=||α.即α的值就是弧长中有多少个半径.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 3．π2360=︒弧度，π=︒180弧度. 4. 1801π=︒弧度01745.0≈弧度； 1弧度︒≈︒=30.57)180(π【设计思路】通过对特殊角的探究，得出一般结论，让学生体会由特殊到一般的研究方法. 例1.你能完成下面的换算吗？（1）把下列角度化为弧度 0367'︒= ； （2）把下列弧度化为角度 2 rad= ； （学生板演）解：（1）135673067.52180π'︒=︒=⨯rad=π83rad （2）2弧度=︒≈︒⨯6.114)180(2π【设计思路】规范弧度制与角度制的书写.用弧度制表示角时，“弧度”可略去不写.如2=α表示2弧度的角，3π就表示3π弧度的角；角度表示角时，单位“度”不能省略. 练习： 填写特殊角的度数与弧度数的对应表例2.在角度制中，扇形弧长公式为180n Rl π=，扇形面积公式为2360=n R S π.(其中n 表示圆心角的角度数)那么在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式？（用r 表示半径，l 表示弧长，S 表示扇形面积，α表示圆心角的弧度数，)20πα<<（学生思考，展示推导过程）弧长公式：解：由公式rl=||α及πα20<<可得：R l ⋅=α.扇形面积公式： 解：因为180παn =，180n R l π=，其中n 表示圆心角的度数， 所以2221136021802n R n S R R ππα==⋅⋅=.（用圆心角的弧度数表示扇形面积） 又因为R l=α， 所以有lR S 21=.（用弧长表示扇形面积）【设计思路】弧度制下，扇形弧长公式和扇形面积公式简单明了，这也是引入弧度制的好处. （三）课堂小结：师：通过这节课的学习，你有什么收获？【师生活动】学生小结，再由其他人补充，完善，教师把他们的发言从知识，方法，思想三个方面做一个汇总. （四）课后作业：(1) 必做： 作业本(2) 思考：你能定义一种新的度量角的单位制吗？【设计思路】作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教. 作业是对课堂内容的复习提高，对学有余力的同学，应该引导他们从更高的层次运用知识，培养提出问题，解决问题的能力. （五）板书设计：八、教学反思：弧度制是一节概念课，学生理解起来是比较困难的，这也给上课带来了一定的难度.如何突破难点，让学生接受弧度这一新的单位制，比较顺畅的理解概念并能应用是我备课中重点考虑的问题.基于上述考虑，我在备课中设计了几个环节：（1）引入新知：通过介绍弧度制的数学史，并由学生参与探究，让学生理解弧度制的出现是必然的，从而比较顺利的引出1弧度角的概念及弧度制的定义.（2）概念理解：通过几何画板演示1弧度角的大小，让学生从形的角度直观理解1弧度角的概念.（3）探究活动：让学生填写表格，并提出思考问题，在填表过程中让学生总结归纳出角的弧度绝对值公式以及角度与弧度的换算关系.（4）知识应用：在应用过程中让学生体会引入弧度制的必要性.（5）小结作业：回顾学习过程，提炼解决问题的思想方法.学生通过思考作业自主探究新的度量角的单位制，培养学生的创新精神.。

人教版高中必修四《弧度制》教学设计《人教版高中必修四《弧度制》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教材地位：本节课是人教新课标A版必修四第一章第一节第二课时的内容。

在教材的结构上，本节课为后面内容学习做好了铺垫，之前的学习已经让学生了解了任意角和角度制，然而在后面研究三角函数的时候大多都用弧度制，因此本节内容起着承上启下的重要作用。

只有学生学好这一节才能更好的学习后面的三角函数，解三角形等知识。

在教学内容上弧度制是一个全新的研究角的单位，利用类比的思想方法让学生理解数学研究的互通性。

教学目标：1.知识与技能目标(1)理解1弧度角、弧度制的定义(2)掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的互化。

2.过程与方法目标通过创设情境感知，设置问题启发、培养学生观察分析、类比发现、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观使学生领悟角度制、弧度制都是度量角的单位制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的。

进一步加强学生对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美，从而激发学生的学习兴趣。

重点：(1)弧度制的概念，1弧度角的概念。

(2)弧长，半径，圆心角的联系(3)角度制与弧度制互化难点：弧度制定义的理解和探索弧长，半径，圆心角的联系策略(1)通过学生亲自进行数学实验，发现弧长与半径的比值为同一常数.(2)通过例题分析、进行小组挑战赛游戏、当堂练习，让学生真正掌握两种单位制的互化。

学情分析：1.学生已经学过角度制的有关知识2.学生基础一般3.尊重个体差异，循序渐进，因材施教学法指导：1.观察—归纳—检验—应用2.小组讨论3.学生发言4.当堂训练教学方法：引导发现法：举出实例，由多个标量的不同度量方法来引导学生思考，可能角也有其他的度量方法。

探索发现法：介绍弧度制后，学生分组讨论，共同思考,探讨出弧度制与角度制的互化。

教学过程：创设情景，引入新课说法一说法二身高()m 身高（）尺体重（）kg 体重（）斤鞋子（）cm 鞋子（)码我校占地（）平方米我校占地（）亩(启发式类比探究)通过这四组简单的问题，学生可以很容易的发现实际生活中对于同一个量，我们可以用不同的方法来度量它，请同学再举出一些我们身边的实例。

1.1.2 弧度制一、教学目标①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.二、教学重点、难点重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.三、学习方法：自学完成学案四、学习过程（1）复习引入.1、复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系. 提出问题：①初中的角是如何度量的？度量单位是什么？② 1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？③角的范围是什么？如何分类的？二）概念形成(1)初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1．自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：①角的弧度制是如何引入的？②为什么要引入弧度制？好处是什么？③弧度是如何定义的？④角度制与弧度制的区别与联系?2．学生动手画图来探究：①平角、周角的弧度数②角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？③角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？3．角度制与弧度制如何换算？4．初中学过用角度制计算弧长及扇形面积，现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢？5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系三、应用举例例1：（1）把'3067 化成弧度（精确到0.001）（2）把'3067 化成弧度（用π表示）例2：把radπ53化成度例3：填写下表：度0°30°45°60°90°120°135°150°弧度度180°210°225°240°270°300°315°360°弧度例4：直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴3⑵165例5：已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．归纳小结：我的收获：我的疑问:我还想知道:1．布置作业:练习2.3.2．习题A的4、7正角零角负角正实数零负实数1 / 1。

1.1.2 弧度制问题提出1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？S={β|β=α＋k·360°，k ∈Z}4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制. 探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.思考2：在半径为r 的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？ n r l ⋅=3602π=180rn π 1.1弧度的角把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，读作1弧度. 思考3：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r 圆的一条 半径OA ，绕圆心顺时针旋转到OB ，若弧AB 长为2r ，那么∠AOB 的大小为多少弧度？－2rad思考5：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？|α|＝l r2.角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值|α|＝lr.思考6:半径为r 的圆的圆心与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A ，终边与圆交于点弧AB 的长 πr 2πr r 2r 3πr OB 旋转的方向逆时针逆时针 逆时针逆时针顺时针探究（二）：度与弧度的换算思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？360°、2π弧度、360°＝2π rad思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad 等于多少度？ 1°＝π180rad ≈0.01745 rad 、1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57︒18/ 思考3：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad ”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad 的角. 思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R 之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立了一种一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(弧度数等于这个实数的角)和它对应．探究（三）：弧长公式与扇形面积公式思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α（0＜α＜2π），那么扇形的面积如何计算？l ＝|α|·R ，S ＝12lR ＝12|α|R 23.扇形所在圆的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α（0＜α＜2π），那么扇形的弧长l ＝|α|·R ，扇形面积S =12|α|R 2.思考6：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？)(2Z k k ∈+=παβ终边x 轴上：k π(k ∈z) 终边y 轴上：)(2Z k k ∈+ππ知识运用一、弧度制的概念问题例1.下列命题中，错误的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关[思路点拨]正确理解角度制和弧度制的概念，对每个命题认真分析并作出判断．[解析]根据角度制和弧度制的定义可以知道，A ，B 是正确的；1 rad 的角是(180π)°≈57.30°，∴C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故D 错误． [答案] D[一点通] 准确理解概念是判断的前提，弧度制与角度制的异同：例2.A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径长的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角解析：根据1弧度的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．对照各选项，可知D 为正确答案． 答案：D二、角度与弧度的换算 例3.(1)把202°30′化成弧度；(2)把－512π化成角度；(3)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．[思路点拨] 第(1)(2)小题可直接利用1°＝π180rad ，1 rad ＝(180π)°进行转化；第(3)小题可先统一单位，再比较大小．[精解详析] (1)202°30′＝202.5°＝4052×π180＝98π.(2)－512π＝－(512π×180π)°＝－75°.(3)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×(180π)°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故α＜β＜γ＜θ＝φ.[一点通] ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π rad ＝180°这一关系．②用弧度制表示角时，“弧度”或“rad ”可以省略不写，只写这个角所对应的弧度数即可．但是在用角度表示时，“度”或“°”却不能省略，以防止与弧度混淆．③用弧度作为单位时，常出现π，如果题目中没有特殊的要求，应当保留π的形式，不要写成小数．例4.与π4角终边相同的角的表达式是( )A.45°＋2k πB.π4＋k ×360°C.－315°＋k ×360°，k ∈ZD.4π5＋k π，k ∈Z解析：π4＝45°，∴用角度制表示为k ·360°＋45°，k ∈Z ，用弧度制表示为2k π＋π4，k ∈Z .结合选项，∵45°与－315°终边相同，∴选项C 正确． 答案：C 例5.已知两角和为1弧度，且两角差为1°，这两个角的弧度数分别是多少？解：设两个角的弧度数分别为x ，y .∵1°＝π180 rad ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝π180. 解得⎩⎨⎧x ＝12＋π360，y ＝12－π360. 即所求两角的弧度数分别为12＋π360，12－π360.三、扇形的弧长和面积公式例6.已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路点拨] 设出半径和圆心角，列出周长关系式，构建面积的函数解析式，应用二次函数求最值． [精解详析] 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ，(4分)∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.(8分)∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. (12分)[一点通] 有关扇形的弧长l 、圆心角α、面积S 的题目，一般是知二求一的问题，解此类问题的关键在于灵活运用l ＝|α|·R ，S ＝12lR ＝12|α|R 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．4.弧度制与角度制的比较：(1)从定义上：弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以“度”为单位度量角的单位制．因此，弧度制和角度制一样，都是度量角的方法．(2)从意义上：1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小，而1°是圆的周长的1360所对的圆心角(或该弧)的大小；任意圆心角α的弧度数的绝对值|α|＝lr，其中l 是以角α作为圆心角时所对的圆弧长，r 为圆的半径．(3)从换算上：1 rad ＝(180π)°，1°＝π180rad.(4)从写法上：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写；如果以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去．(5)作角的运算或表示角的集合时，角度制和弧度制不能混用，如2k π＋30°或k ·360°＋π4都是错误的．小结作业1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.2.度与弧度的换算关系，由180°＝rad 进行转化，以后我们一般用弧度为单位度量角.3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点. 作业：1.P10 习题1.1 A 组： 6，7，8，9，10.2.作业本. 课后作业 1.1 920°的弧度数为( )A.163 B .323 C.16π3 D.32π3解析：1 920°＝π180×1 920弧度＝323π弧度．答案：D 2.29π6是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角解析：29π6＝4π＋5π6，∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．答案：B3.若角α为第二象限角，则角α2是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第一或第二象限角解析：∵角α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z ，则角α2是第一或第三象限角．答案：C4.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12倍 B ．2倍 C.13倍 D ．3倍 解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，其弧度数为l r .将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍．答案：D 5.把－114π写成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________．解析：－114π＝－34π－2π＝54π－4π，∴使|θ|最小的θ的值是－34π.答案：－34π6.用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________．解析：y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y 轴右侧角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z。

第一章 三角函数 4-1.1.2弧度制（1）教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

二、由公式：⇒=r l α α⋅=r l比相应的公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积例一 利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

证： 如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221R ππ弧长为l 的扇形圆心角为rad R l∴lR R R l S 21212=⋅⋅=ππ比较这与扇形面积公式 3602R n S π=扇要简单 例二 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165 解： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο ∴)(655101211cm l ππ=⨯=例三 如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r rl l r ∴ 扇形的面积(221cm rl S ==例四 计算4sin π5.1tan解：∵ο454=π∴ 2245sin 4sin==οπ'578595.855.130.571.5rad οο==⨯=•o R S l∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==ο例五 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式⑴π319⑵ ο315- 解：πππ63319+=ππ2436045315-=-=-οοο例六 求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解： ∵ 360π=ο∴ )(471514.3453m R l ≈⨯≈⨯=⋅=πα三、练习： 四、作业：。

§1．1．2 弧度制导学案【学习目标】了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1、写出终边在下列位置的角的集合。

（1）x轴：；（2）y轴：。

复习2、角度制规定，将一个圆周分成份，每一份叫做度，故一周等于度，平角等于度，直角等于度。

（二）自主研讨：（预习教材P6-P9）探究一：弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，这种度量角的单位制称为。

新知：①正角的弧度数是数，负角的弧度数是数，零角的弧度数是。

②角α的弧度数的绝对值lrα=（l为弧长，r为半径）反思：① 1rad等于度，②1︒等于弧度。

试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：二、合作探究1、按要求解答下列各题：（1）把3730'︒化成弧度，（2）把35radπ化成度。

2、用弧度制表示：（1）终边在x轴上的角的集合，（2）终边在y轴上的角的集合。

3、利用弧度制证明扇形面积公式：（1）12S lR=，（2）212S Rα=。

三、交流展示1、把2230'︒化成弧度表示是（）A.4πB.8πC.16πD.32π2、下午正2点时，时针和分针的夹角为（）A.6πB.4πC.3πD.2π3、半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为rad。

4、54π化为度表示是。

四、达标检测（A组必做，B组选做）A组：1、时钟经过一小时，时针转过了( )A.6πrad B.－6πrad C.12πrad D.－12πrad2、若α＝－3，则角α的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、半径为πcm，中心角为120o的弧长为（）A．cm3πB．cm32πC．cm32πD．cm322π4、若扇形的圆心角α＝2，弧长l＝3π，则该扇形的面积S＝（）A. 3πB.32πC. 6πD. 6B组：1、已知集合M =｛x∣x =2π⋅k, k∈Z｝，N =｛x∣x =2ππ±⋅k, k∈Z｝，则（）A．集合M是集合N的真子集 B．集合N是集合M的真子集C．M = N D．集合M与集合N之间没有包含关系2、如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（）A．｛α∣120°<α<330°｝B．｛α∣k·360°－30°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z｝C．｛α∣k·360°＋120°≤α≤k·360°＋330°，k∈Z｝D．｛α∣k·180°＋120°≤α≤k·180°＋330°，k∈Z｝3、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。

1.1.2 弧度制 整体设计教学分析在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的3601,记作1°. 通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 三维目标1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣. 重点难点教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算. 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.推进新课 新知探究 提出问题问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?图1活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl =1. 讨论结果: ①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关. ②能,用弧度制. 提出问题问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?问题②:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的3601;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角. ②α=r 1;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=180πrad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=(πa180)°,n°=n180π(rad). 提出问题问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?的长一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.由上表可知,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是a1这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+3π或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.图2讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k ∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=21lR. ②的长 应用示例例1 下列诸命题中,真命题是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题. 答案:D点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念. 变式训练下列四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小是2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 答案:D例 2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-415π;②332π;③-20;④-32. 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k ∈Z },{β｜β2π=kπ,k ∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为: {β｜2kπ<β<2kπ+2π,k ∈Z }, {β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k ∈Z }, {β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k ∈Z },{β｜2kπ+23π<β<2kπ+2π,k ∈Z }.解:①415π-=-4π+4π,是第一象限角. ②432π=10π+32π,是第二象限角.③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角. ④-23≈-3.464,是第二象限角.点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k ∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与2π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限.变式训练(1)把-1 480°写成2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式; (2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.解:(1)∵-1 480°=-974π=-10π+916π,0≤916π<2π, ∴-1 480°=2(-5)π+916π.(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+916π,k ∈Z .又∵β∈［-4π,0),∴β1=92π-,β2=920π-.例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k ∈Z ,即6θ=2kπ.∴θ=3k π. 又∵0<θ<2π,∴0<3kπ<2π. ∵k ∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、34π、35π.点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k ∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角. 例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. 活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.∴S=21l·r=21(a-2r)·r=-r 2+2a r=-(r-4a )2+162a .∵r>0,l=a-2r>0,∴0<r<2a. ∴当r=4a时,S max =162a .此时,l=a-2·4a =2a,∴α=r 1=2.故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值162a .点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练已知一个扇形的周长为98π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=94π, ∴扇形的弧长为94πr,由已知,94πr+2r=98π+4,∴r=2.∴S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用. 知能训练课本本节练习. 解答:1.(1)8π;(2)67m -;(3)320m .点评:能进行角度与弧度的换算.2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.点评:能进行弧度与角度的换算. 3.(1){α|α=kπ,k ∈Z };(2){α|α=2π+kπ,k ∈Z }. 点评:用弧度制表示终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合. 4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°<tan1.2.点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.注意在用计算器求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之前,要将角模式设置为DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制). 5.3πm.点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性.6.弧度数为1.2.点评:进一步认识弧度数的绝对值公式.课堂小结由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=π rad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.作业①课本习题1.1 A组6、8、10.②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.设计感想本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.。