人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)

1.1.2 弧度制【课前准备】1．课时目标（1）理解弧度的概念，能正确进行弧度与角度的互化；（2）熟记特殊角的弧度数；（3）熟悉在弧度制下，终边相同的角，象限角，轴上角的表示方式及其应用；（4）了解角的集合与实数集R 之间可以建立一一对应的关系；（5）掌握在弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式及应用．2．基础预探（1）把长度等于半径长的弧所对的________叫做1弧度的角，用符号________表示，读作________．（2）正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．（3）如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|=________．（4）换算公式1︒=________rad ≈0.01745rad ，1rad=（________）º≈57.30º=57º18′． 一般互化公式：π180︒=________． （5）弧长公式：l =________；扇形面积公式：S =________=________．其中α为圆心角的弧度数．【知识训练】1．若角α终边在第二象限，则π－α所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．半径为π cm ，中心角为120o 的弧长为（ ）A ．31πcmB ．31π2cmC ．32πcmD ．32π2cm 3．把－411π表示成θ+2kπ（k ∈Z ）的形式，且使得|θ|最小的θ的值是________． 4．弧长为3π，圆心角为135º的扇形半径为 ；面积为________．5．集合M ＝{x |x ＝k π2+π4，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k π4+π2，k ∈Z }，则集合M 与N 的关系为________．6．设角α1=－570º，α2=750º，β1=53π弧度，β2=－37π弧度. （1）将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；（2）将β1、β2用角度制表示出来，并在－720º～0º之间找出与它们有相同终边的所有角．【学习引领】弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及 运算．1．注意弧度制与角度制与对应关系我们已经知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，所以弧又与圆心角有联系：弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角与弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数都有正数、0、负数之分．这样，圆心角、弧都被赋予了方向，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反过来也对．这就是说，圆心角与弧是一一对应的．2．注意弧度制与实数的对应关系角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系．对于角度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角可以取度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的；但是对于弧度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数只可以取弧度数，即每一个角都有惟一的一个实数（弧度数）与之对应．反过来，不论是角度制，还是弧度制，每一个实数（可以弧度数，也可以是度数、分数、秒数）也都有惟一的一个角与它对应．3．注意角度制与弧度制之间的换算关系如果圆心角所对的弧长l =2πr （即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数1r ＝2πr r＝2π，即一个周角的角度数为360︒＝2π弧度，即180︒=π弧度，由此可得角度制与弧度制之间的换算公式：1︒＝π180弧度≈0.0174，1弧度＝180︒π≈57.30︒＝57︒18'． 4．注意弧度制与角度制的单位区别弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；同时，不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．5．注意弧度制与角度制的进位制区别分析角度制和弧度制下度量角的方法，我们看出，在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制，不便于计算，而在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以弧度制更容易找出与角对应的实数．另外，在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单．6．注意弧度制与角度制在同一表达式混合使用由于有弧度制与角度制两种单位制，在表示与角时，若涉及到几项的和差形式，则要求所所有项选用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°－π3（k ∈Z ）或者2k π－60°（k ∈Z ）一类的写法．【典例导析】题型一：有关弧度的概念问题例1．下列各命题中，假命题是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180º一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径的长短有关点评：本题主要考查了弧度了基本概念．对于概念类的题目，要从定义入手，仔细分析每一句话，并注意与概念叙述的异同点．变式练习1：下列诸命题中，真命题是（ ）A ．1弧度是1︒的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1︒的弧与1︒的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位题型二：弧度数与角度数的相互转换问题例2．将下列各角化成2k π+α（k ∈Z ），且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：（1）－1725º；（2）364π．点评：用弧度制表示终边相同角2k π+α（k ∈Z ）时，2k π是π的偶数倍，而不是整数倍．同时，α为弧度，不能写成2k π+（ ）º（k ∈Z ）的形式．变式练习2：已知α＝1690º，（1）把α写为2kπ＋β，k ∈Z ，β∈[0，2π）的形式；（2）求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈（－4π，－2π）．题型三：单角与相关倍数角的象限判定问题例3．已知α是第二象限角，则3是第几象限角？点评：其实，对于单角与其他倍数角的关系的快捷正确判断，都可以利用先确定单角的取值范围，再利用其他倍数角的取值情况加以分类讨论，特别要注意分类讨论时取整数k 的取值的讨论．变式练习3：已知α是第二象限角，则2是第几象限角？题型四：有关扇形的公式问题例4．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？点评：本题考查弧长公式及扇形面积公式的运用，考查弧度制下的弧长公式和扇形面积公式及应用，考查平面几何知识在三角问题中的应用．这里我们要注意的是在使用有关的公式时，圆心角的单位必须是弧度，如果是用角度表示的，则应先换算成弧度，再代入公式．变式练习4：一个扇形的周长等于它所在圆的周长，那么这个扇形的圆心角是多少？如果其半径等于2，那么它的面积等于多少？【随堂练习】1．把－1125°化成α＋2k π（0≤α＜2π，k ∈Z ）的形式是（ ）A ．－π4 －6πB ． 7π4 －6πC ．－π4 －8πD ．7π4－8π 2．角α的终边落在区间（－3π，－52π）内，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4πcm 2D ．2πcm 24．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是________．5．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤（2k +1）π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于________．6．在直径为10cm 的轮上有一长为6cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后点P 转过的弧长．【课后作业】1．下列各角中与240°角终边相同的角为（ ）A ．2π3B ．－5π6C ．－2π3D ．7π62．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为（ ）A ．70 cmB ．670cmC ．（25π-3cm D ．35π3cm 3．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为________．4．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从A （1，0）出发依逆时针方向等速沿圆周旋转，已知点P 在1秒内转过的角为θ（0<θ<π），经过2秒到达第三象限，经过14秒后，恰好回到A 点，则θ的值为________．5．已知π＜α＋β＜4π3，－π＜α－β＜－π3，求2α－β的取值范围． 6．有两种正多边形，其中一正多边形的一内角的度数与另一正多边形的一内角的弧度数之比为144：π，求适合条件的正多边形的边数．参考答案【课前准备】2．基础预探（1）圆心角 rad 弧度（2）正数 负数 0（3）r l （4）π180 180π这个角的角度数这个角的弧度数 （5）αR21lR 21αR 2； 【知识训练】1． A【解析】取一个特殊角α=32π，则π－α=31π，其为第一象限角.2． D【解析】由于α=120o =32π，则l =αr =32π2.3． －3π4 【解析】由于－411π=－2π－3π4=－4π+5π4，那么满足条件的θ的值是－3π4. 4．4 6π【解析】弧长l ＝3π，圆心角α＝3π4，由弧长公式l ＝α·r 得：r ＝l α＝3π3π4＝4，面积S ＝12lr ＝6π. 5．M ⊂≠N【解析】在M 中，x ＝2k ＋14π，其中2k ＋1是奇数，在N 中，x ＝k ＋24π，其中k ＋2是整数，所以M ⊂≠N ；或用列举法：M ＝{…，－π4，π4，3π4，5π4，…}，N ＝{…，π4，π2，3π4，π，…}，由此可知M ⊂≠N .6．【解】（1）∵180º＝π弧度，∴－570º＝－180570π＝－619π，∴α1=－2×2π+65π， 同理α2=2×2π+61π，∴α1在第二象限，α2在第一象限； （2）∵53π=53×180º＝108º，设θ＝k ·360º+β1（k ∈Z ），由－720º≤θ<0º， ∴－720º≤k ·360º+108º <0º，∴ k ＝－2或k ＝－1，∴在－720º～0º间与β1有相同终边的角是－612º和－252º，同理β2=－37π=－360º－60º=－420º，且在－720º～0º间与β2终边相同的角是－420º和－60º． 【典例导析】例1：D【解析】角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就象度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，又长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，∴360︒=2π rad ，∴180︒=π rad ，故选择答案：D ．变式练习1：D【解析】根据弧度的定义可以判断，1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.例2：【解】（1）∵－1725º=－5×360º+75º=－10π+125π， ∴－1725º与125π角的终边相同，又∵125π是第一象限角，∴－1725º是第一象限角； （2）∵364π=20π+34π，∴364π与34π角的终边相同，又∵34π是第三象限角，∴364π是第三象限角． 变式练习2：【解】（1）由于α的弧度数为π180×1690＝169π18，∴169π18＝8π＋25π18， ∴α＝4×2π＋25π18（k ＝4，β＝25π18）； （2）由（1）可知－4π＜2k π＋25π18＜－2π，k ∈Z ，得k ＝－2，θ＝－4π＋25π18＝－47π18． 例3：【解】因为α是第二象限角，所以2k π+π2<α<2k π+π，k ∈Z ， 即2π3k +π6<3α<2π3k +π3，k ∈Z ， 当k =3n （n ∈Z ）时，2n π+π6<3α<2n π+π3，n ∈Z ，即3α是第一象限角； 当k =3n +1（n ∈Z ）时，2n π+5π6<3α<2n π+π，n ∈Z ，即3α是第二象限角； 当k =3n +2（n ∈Z ）时，2n π+3π2<3α<2n π+5π3，n ∈Z ，即3α是第四象限角； 综上所述：3α是第一、二、四象限角． 变式练习3：【解】因为α是第二象限角，所以2k π+π2<α<2k π+π，k ∈Z ， 即k π+π4<2α< k π+π2，k ∈Z ， 当k =2n （n ∈Z ）时，2n π+π4<2α<2n π+π2，n ∈Z ，即2α是第一象限角； 当k =2n +1（n ∈Z ）时，2n π+5π4<2α<2n π+3π2，n ∈Z ，即2α是第三象限角； 综上所述：2α是第一或第三象限角． 例4：【解】设扇形的圆心角为θ rad ，∵扇形的弧长是rθ，∴扇形的周长是2r ＋rθ，由题意可知2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝π－2（弧度）≈180°－2×57°18′≈65°24′，∴扇形的面积S =21r 2θ=21r 2（π－2）． 变式练习4：【解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，依题意有2r ＋rα＝2πr ，即2＋α＝2π，所以α＝（2π－2）弧度； 如果其半径等于2，那么它的面积S ＝12r 2α＝12×2×（2π－2）＝2π－2． 【随堂练习】1． D【解析】－1125°=－1801125π=－425π=－π4 －6π=7π4 －8π. 2． C 【解析】由于－3π=－4π+π，－52 π=－4π+23π，则区间（－3π，－52 π）表示的象限为第三象限，则角α所在象限是第三象限.3． A【解析】由于α=2，l =4，可得R =αl =2，则S =21αR 2=4.4．1或4【解析】由扇形的弧长公式l ＝θ·r 和面积公式S ＝12θr 2知：2r ＋θr ＝6，12θr 2＝2，联立后解得：θ＝1或θ＝4.5．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}【解析】由数轴画图可知：对于集合A ：当k ＝－1或k ＝0时，有－2π≤α≤－π或0≤α≤π，从而A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}.6．【解】∵轮子以每秒5弧度的角速度旋转，∴P 点在以O 为圆心、半径为OP ＝4cm 的圆上以同样的角速度在旋转，5秒钟转的弧度数为5×5＝25 rad ，又r ＝4cm ，∴l ＝∣α∣·r ＝25×4＝100（cm ）．【课后作业】1． C【解析】由于240°=4π3，则与240°角终边相同的角的集合为{α|α=2k π+4π3，k ∈Z }，当k =－1时，得α=－2π3. 2． D【解析】由于α=6035×2π=7π6 ，R =10，可得l =αR =35π3. 3．22【解析】设圆内接正方形的边长为a ，圆的半径为R ，则2R ＝2a ，则圆弧所对的圆心角为α＝a R ＝2，故所对的圆周角为22. 4．4π7或5π7【解析】∵0<θ<π，又有2θ∈（2k π＋π，2k π＋3π2）（k ∈Z ），∴k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π（n ∈Z ），∴θ＝n π7，π2<n π7<3π4，72<n <214，∴n ＝4或n ＝5，故θ＝4π7或θ＝5π7； 5．【解】设2α－β＝A （α+β）+B （α－β）（A 、B 为待定系数），则2α－β＝（A +B ）α+（A －B ）β，两边比较系数得：A +B ＝2，A －B ＝－1，解之得：A ＝12，B ＝－32， ∴2α－β＝12（α+β）－32（α－β）， 又π2＜12（α+β）＜2π3，－3π2＜32（α－β）＜－π2，即π2＜－32（α－β）＜3π2， ∴－π＜12（α+β）－32（α－β）＜π6，∴－π＜2α－β＜π6． 6．【解】设符合条件的正多边形的边数分别为m 、n （m 、n ≥3，且m 、n ∈N ）， 则它们对应的正多边形的内角分别为m m ︒⋅-180)2(和nn π)2(-rad ， 据题意：m m 180)2(-：2π(n )n-=144：π， ∴2π(n )n-×144=m m 180)2(-×π，∴4（1－n 2）=5（1－m 2），4－n 8=5－m 10，m 10=1+n 8，m 10=n n 8+，10m =8+n n ，m =10（1－88+n ）=10－880+n ， ∵m ∈N ，∴880+n 是自然数，n +8是80的约数，∵m ≥3，∴880+n ≤7，∴n +8≥780， 又n ≥3，且n +8是80的约数，∴n +8可取16、20、40、80，当n +8=16时，n =8，m =5； 当n +8=20时，n =12，m =6；当n +8=40时，n =32，m =8； 当n +8=80时，n =72，m =9；故所求的正多边形有四组，分别是：正五边形和正八边形；正六边形和正十二边形；正八边形和正三十二边形；正九边形和正七十二边形．。

1 / 21.1.2弧度制(学生学案)例1：(课本P7例1)按照下列要求,把'6730︒化成弧度: (1) 精确值；精确到0.001的近似值. 变式训练1：将下列角度转化为弧度： （1）22°30′= （rad ）；（2）－210°=_____（rad ）；（3）1 200°= （rad ）. 例2：(课本P7例2)将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 变式训练2：航海罗盘的圆周被分成32等份，把每一等份所对的圆心角的大小分别用度与弧度表示出来. 例3(课本P8例3).利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 变式训练3：一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这扇形的面积为( ) A.2R 2 B.2 C. 12R 2 D.R 2 例4(课本P8例4).利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小. 变式训练4：5弧度的角所在的象限为( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 课堂练习(课本P9练习NO ：1；2；3；4；5) 【课时必记】 1、1弧度规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 2、角度制与弧底制的互化： 10=180π弧度； 1弧度=(π180)0 （一般保留分数，不化简，除特殊要求精确数） 31.－300°化为弧度是( ) A.－43π B.－53π C.－74π D.－76π 2.下列转化结果错误的是( ) A.60°化成弧度是π3 B.－103π化成度是－600° C.－150°化成弧度是－76π D.π12化成度是15° 3.若α＝－10，则α为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( ) A.A ＝B B.A ⊆B C.B ⊆A D.以上都不对 5.下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ²360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ²360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z ) 6.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin 2 C.2sin 1 D.2sin 1 7.把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.－34π B.－2π C.π D.－π 8.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝______________. 9.如果圆心角为2π3的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为________. 10.如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________. 11. 如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ. 12.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是30，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【课本作业】【课外完成】：1、（课本P9习题1.1 A组 NO：4）3、（课本P9习题1.1 A组 NO：6）4、（课本P9习题1.1 A组 NO：7）5、（课本P9习题1.1 A组 NO：8）B组：1、（课本P9习题1.1 B组 NO：2）2、（课本P9习题1.1 B组 NO：3）（直接做在书上）2 / 2。

1.1.2 弧度制一、【课前导学】 1．弧度角的定义：思考：圆的半径为r ，圆弧长为r π、2r 、3r 的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：弧度角π是什么？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算： 规定：说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。

3．角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈5．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？ 圆的半径为r ，圆心角为n 所对弧长为： 扇形面积为 ：6．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？ 二、【典例示范】例1 （1）'3067︒化成弧度．（2）35πrad 化成度。

例2 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

OAB例3 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。

（1）π319； （2）o 315-； （3）o 1485-．（练习）写出阴影部分的角的集合：例4 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。

（2）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？例5 如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。

1502101.1.2 弧度制（作业）一、选择题 1．π43sin的值是（ ）． A ． 22-B ． 22C ． 21-D ． 212．一条弦长等于半径的21，则此弦所对圆心角（ ）． A ．等于6π弧度 B ．等于 3π弧度 C ．等于21弧度 D ．以上都不对 3．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是（ ）．A ．B ．C ．16D ．324．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的关系是（ ） （A ）A B = （B ）A B ⊆ （C ）A B ⊇ （D ）以上都不对5．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B ＝（ ）（A ）φ （B ）{}|44αα-≤≤（C ）{}|0ααπ≤≤ （D ）{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤二、填空题6．把化为的形式是 . 7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。

1.1.2 弧度制一、学习目标1.弧度的角及弧度的定义；2.掌握角度与弧度的换算公式；3.熟练进行角度与弧度的换算；4.理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。

二、自主学习1．度量角的单位制(1)角度制;规定周角的为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制;在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作．这种以作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°＝；1°＝rad＝0.017 45 rad；1 rad＝＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个数；任一负角的弧度数都是一个数；零角的弧度数是．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？3．390°可以写成360°＋π6吗？三、合作探究探究1：角度制与弧度制的互化1．(1)把112°30′化为弧度； (2)－5π12rad 化为度．类题·通法1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可． 2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．跟踪训练1．将下列角度与弧度互化．(1)20°；(2)11π12；(3)8 rad探究2 用弧度制表示角的集合2．把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3； (2)－1 485°.类题·通法用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数；(2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π)(3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位．跟踪训练2 (1)用弧度表示终边落在x轴的非正、非负半轴上，y轴的非正、非负半轴上，x轴上，y轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合．探究3：弧长公式与面积公式的应用3．(1)已知扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积．(2)已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角的弧度数．类题·通法1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想．跟踪训练3 扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S最大，最大值是多少？四、自主小测1．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( )A.163B.323C.16π3D.32π33．－29π12的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．5．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm ，则扇形的面积是________．6．(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.7．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．参考答案二、自主学习1．(1)1360(2)圆心角 弧度 弧度2．(1)π rad π180180°π (2)0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 5π4 3π2 7π42π (3)正 负 03．|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12 12|α|r 2 [问题思考]1．提示：相同．在公式|α|＝l r中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad 约为115°.3．提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．三、合作探究探究1：角度制与弧度制的互化1．解：(1)∵1°＝π180rad ， ∴112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8rad. (2)∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，∴－5π12 rad ＝－5π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－75°. 跟踪训练1 解：(1)20°＝20×π180＝π9， (2)11π12＝1112×180°＝165°. (3)8 rad ＝8×⎝⎛⎭⎫180π°≈8×57.30°＝458.40°. 探究2 用弧度制表示角的集合2．解：(1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z . 跟踪训练2 解：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{β|β＝2k π＋π，k ∈Z }； 终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2k π＋3π2，k ∈Z ；终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }； 所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝k π＋π2，k ∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z ； 第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z ； 第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z ； 第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z . 探究3：弧长公式与面积公式的应用3．解：(1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|×r ＝π6×1＝π6(cm)S ＝12|α|×r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2) 故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2， 消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0，解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2， 圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度． 跟踪训练3 解：设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ，∵S ＝12(C －2R )×R ＝－R 2＋C 2R ＝－(R －C 4)2＋(C 4)2， ∴当R ＝C 4，即θ＝C －2R R ＝2时，扇形有最大面积C 216. 四、自主小测1．【答案】D【解析】根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．2．【答案】D【解析】∵1°＝π180弧度，∴1 920°＝1 920×π180 rad ＝32π3rad. 3．【答案】D【解析】－29π12＝－2π－5π12，因为－5π12是第四象限角，所以－29π12是第四象限角．4．【答案】4【解析】由l ＝|α|×r ，得弧度数为4.5．【答案】80π cm 2【解析】设扇形的弧长为l .∵72°＝72×π180 rad ＝2π5rad ， ∴l ＝|α|×r ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)． 6．解：(1)∵－1 480°＝－1 480π180＝－74π9＝－10π＋16π9， 又0≤16π9<2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π. (2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z . 又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9，令k ＝－2，则β＝－20π9， ∴β的值是－2π9，－20π9. 7．解：∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }． ∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝⎛⎭⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2.∴2012°＝503π45∈S .。

1.1.2弧度制[目标] 1.知道弧度制．2.记住1弧度的角的概念及弧长公式、扇形的面积公式． 3.能进行弧度与角度的互化．[重点] 弧度与角度的互化．[难点] 1弧度角的概念的理解．知识点一角的单位制[填一填][答一答]1．扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？提示：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关．2．在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？提示：1度的角等于周角的，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1度的角都是相等的．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的．知识点二任意角的弧度数与实数的对应关系[填一填](1)正角：正角的弧度数是一个正数．(2)负角：负角的弧度数是一个负数．(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.[答一答]3．判断下列说法是否正确：(1)在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系(×)(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应(√)(3)用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同(×)4．角α＝6这种表达方式正确吗？提示：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省去了．知识点三角度与弧度的互化[填一填][答一答]5．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？提示：不能．因为角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法，应写成α＝2kπ＋，k∈Z或k·360°＋30°，k∈Z.知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式[填一填]扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为圆心角，则扇形弧长为l＝αR，周长为l＋2R，扇形面积S＝lR＝αR2.[答一答]6．角度制下的弧长公式和扇形面积公式是什么？与弧度制下的公式相比哪个更优化一些？提示：角度制下：弧长公式l＝，扇形面积公式S＝.运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前提是α为弧度制.类型一弧度制的概念[例1]有关角的度量给出以下说法：①1°的角是周角的，1 rad的角是周角的；②1 rad的角等于1度的角；③180°的角一定等于π rad的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．其中正确的说法是________．[解析]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为1 rad＝°≈57.30°≠1°，故②不正确．[答案]①③④解决概念辨析问题的关键是准确理解概念，如本题中要准确理解1弧度角的概念．知道角度制与弧度制的关系．[变式训练1]下列说法中，错误的是(D)A．半圆所对的圆心角是π radB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：由弧度制的定义知D说法错误．故选D.类型二角度制与弧度制的互化命题视角1：角度制与弧度制的换算[例2]将下列角度与弧度进行互化：(1)36°；(2)－112°30′；(3)；(4)－.[解](1)36°＝36× rad＝rad；(2)－112°30′＝－112.5°＝－112.5× rad＝－rad；(3)＝°＝°＝105°；(4)－＝°＝°＝－396°.将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以[变式训练2](1)－630°化为弧度为－π；(2)－π＝－157°30′；(3)α＝－3 rad，它是第三象限角．解析：(1)－630°＝－630×＝－π.(2)－π＝－π×°＝－157°30′.(3)根据角度制与弧度制的换算，1 rad＝°，则α＝－3 rad＝－°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．命题视角2：用弧度制表示终边相同的角[例3](1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)在[0,4π]中找出与角终边相同的角．[解](1)因为－1 480°＝－1 480× rad＝－π rad，所以－π＝－10 π＋π，其中α＝π.(2)因为π＝×180°＝72°，所以终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°＝；当k＝1时，θ＝432°＝.所以在[0,4π]中与角终边相同的角为，.用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋2kπ(k∈Z)，这些角所组成的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.[变式训练3]将下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角．(1)－1 725°；(2)870°.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，所以－1 725°＝－10π＋.所以－1 725°与的终边相同，故－1 725°是第一象限角．(2)870°＝π＝＋4π，角870°与终边相同，故870°是第二象限角．类型三弧长公式与扇形面积公式[例4](1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2 C.D．2sin1(2)①已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．②已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．[分析](1)求弧长⇒圆心角和弦长⇒构造三角形⇒利用三角函数．(2)扇形圆心角的弧度数或扇形的面积⇒l＝αR或S＝lR.[解析](1)如图，过点O作OC⊥AB于C，延长OC，交于D，则∠AOC＝∠BOC＝1 rad，且AC＝AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝＝.∴圆心角所对的弧长l＝α·OA＝，故选C.(2)解：①设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，依题意有①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝rad.②设扇形弧长为l，因为72°＝72×＝(rad)，所以l＝αR＝×20＝8π(cm)．所以S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)．[答案](1)C(2)见解析涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.[变式训练4]已知一扇形的周长为8 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝8，l＝8－2r，S＝lr＝r(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4(0<r<4)．当r＝2时，S max＝4 cm2，此时l＝4 cm，α＝2.所以当半径长为2 cm，圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为4 cm2.1．2 100°化成弧度是(A)A.B．10π C. D.解析：2 100°＝2 100×＝.2．角－π的终边所在的象限是(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：－π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.3．与角－终边相同的角是(C)A. B. C. D.解析：与角－终边相同的角的集合为{α|α＝－＋2kπ，k∈Z}，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C.4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是2 rad.解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为＝2 rad.5．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝，∴α＝＋(－3)×2π，α角与的终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2kπ＋α，k∈Z，α与终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.又∵γ∈，∴－<2kπ＋<，当k＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋＝－.——本课须掌握的三大问题1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．。

1.1.2 弧度制预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角是如何定义的？(2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1弧度的角是如何定义的？(3)阅读教材“探究”的内容，思考：①如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是多少？②既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是如何换算的？2．归纳总结，核心必记(1)度量角的两种制度(2)(3)角度制与弧度制的换算(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表(5)设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则(1)在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？(2)比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？(3)在具体的运算中，“弧度”二字和单位符号“rad”可以略去不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？(4)你认为式子“α＝k·360°＋π3，k∈Z”正确吗？课堂互动区知识点——弧度的概念 讲一讲1．有关角的度量给出以下说法：①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π；②1 rad 的角等于1度的角； ③180°的角一定等于π rad 的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位． 其中正确的说法是________． 类题·通法(1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系． (2)角度制和弧度制的比较：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．③无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值． ④用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法． 练一练1．下列说法正确的是( )A ．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B ．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C ．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D ．－120°的弧度数是2π3知识点2——角度与弧度的换算 讲一讲2．把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.类题·通法角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数．练一练2．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．知识点3——扇形的弧长公式和面积公式的应用 讲一讲3．(1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________cm 2.(2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？类题·通法弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． 练一练3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————— 1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式 (1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad ；(3)1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. 3．本节课要重点掌握以下规律方法 (1)弧度制的概念辨析，见讲1； (2)角度与弧度的换算，见讲2；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用，见讲3. 4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．参考答案预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题． (1)【答案】1度的角等于周角的1360. (2)【答案】把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)①【答案】|α|＝lr .②【答案】π＝180°.2．(1)1360 弧度 半径长 rad(5)παR 180 αR παR 2360 12 12αR 2 [问题思考](1)【答案】不相等．这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同． (2)【答案】无关． (3)【答案】不能省略．(4)【答案】不正确，在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．课堂互动区知识点——弧度的概念 讲一讲1．【答案】①③④【解析】由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°≠1°，故②不正确． 练一练 1．【答案】B知识点2——角度与弧度的换算 讲一讲2．解：(1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°；(4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°. 练一练2．解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，α2＝750°＝750π180＝25π6.∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝25π6＝2×2π＋π6，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k ·360°＋108°(k ∈Z )， 则由－720°≤θ＜0°，得－720°≤k ·360°＋108°＜0°(k ∈Z )， 解得k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°； β2＝－π3＝－13×180°＝－60°，设γ＝k ·360°－60°(k ∈Z )，则由－720°≤k ·360°－60°＜0(k ∈Z )， 得k ＝－1或k ＝0，∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°. 知识点3——扇形的弧长公式和面积公式的应用 讲一讲3．(1)【答案】4【解析】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4. 故扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 cm 2.(2)解：设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是lR ＝2(π－1)，扇形的面积是12lR ＝(π－1)R 2.练一练3．解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ， 则l ＋2r ＝30， 故l ＝30－2r ， 从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r＝－r 2＋15r＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254 cm 2.。