新人教A版必修4高中数学正切函数的图像与性质学案

1．4.3 正切函数的性质与图象预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的性质与图象y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R周期 最小正周期为π奇偶性 奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)内递增[点睛] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋k π，2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠k π＋5π6，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．答案：[0,1]正切函数的定义域[典例] (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .求函数y ＝11＋tan x 的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z. 因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .与正切函数有关的周期性、奇偶性问题[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.(2)定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．[活学活用] 1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋3的最小正周期是( )A ．4B ．4πC ．2πD ．2解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－5正切函数的单调性及应用1．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间．解：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z.题点二：比较大小2．比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－12π5的大小．解：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5，∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5.题点三：求最值或值域3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]． 所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．层级一 学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的定义域是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的最小正周期为( )A.π4B ．π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4与函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期相同，则ω＝( )A ．±1B ．1C ．±2D ．2解析：选A g (x )的最小正周期为π，则π|ω|＝π，得ω＝±1.4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是_____________________________________． 解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得． 答案：⎝⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递增区间是_________________________________．解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°，又∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上是增函数，∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5，又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 10．已知f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )． ∴f (x )的周期是π2.(2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称， ∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)， ∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)．令⎪⎪⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)，解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3.层级二 应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C ．⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tanx ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3，得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B. 5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z)6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．解析：函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.11 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]． 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z.所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。

一、教学目标
1、知识目标
（1）理解余弦函数的图象与性质
（2）理解正切函数的图象与性质
2、能力目标
（1）引导学生自己由所学的知识推导未知的知识，根据正弦函数的图象、诱导公式推导出余弦函数的图象，并自己总结其性质
（2）引导学生仿照对正弦函数的研究，自己利用三角函数线得出正切函数的图象，并研究它的性质
（3）培养学生利用所学知识解决问题的能力，以及发现问题，研究问题的能力
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想
（2）培养学生触类旁通的推理能力
（3）培养学生实践出真知的辨证唯物思想
二、教学重点、难点
本节重点是理解余弦函数和正切函数的图象和性质，难点余弦函数和正切函数的图象和性质。

[来源:学*科*网]
三、教学方法
引导学生进行推理，鼓励学生自主学习
四、教学过程。

第一章 三角函数三角函数 1．4 三角函数的图象与性质 1．4.3 正切函数的性质与图象1．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．基础梳理 一、 正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数． 练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z，在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增． 二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交． 思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？ 分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝ 3. ∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C )A ．2πB ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C ) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是(D )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4的值域为⎦⎥⎤3，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z) D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B.2．tan 600°的值是(D ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C )A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A)A ．f (0)>f (－1)>f (1)B ．f (0)>f (1)>f (－1)C ．f (1)>f (0)>f (－1)D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ， ∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫1－3π4，∴1－3π4，－1，0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2xtan x 的定义域为(A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R且x ≠k π－π4，k ∈Z 8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .(2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2， 即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.1．正切函数单调区间的求法：求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，再由不等式k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z)求得x 的范围即可．2．比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小．如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小．3．解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集．。

正切函数的性质与图像一教材分析：《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。

一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

二教学目标（一）知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。

2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。

3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。

（二）过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（三）情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三教学重点利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.四教学难点正切函数的单调性和值域五学法与教法学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。

§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。

正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x 的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

数学必修4学案 第三章 1.4.3 正切函数的性质与图象.
一、学习目标：
1、知识与技能：理解正切函数中的自变量取值范围；掌握正切线的画法；
2、过程与方法：类比正弦函数图象的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图象
3、情感态度与价值观：对正切函数的性质有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性.
二、重点与难点：
重点：正切函数的性质与图象。

难点：熟练运用正切函数的性质与图象分析问题
三、课前学习：
观察单位圆的三角函数线的变化，从中能发现什么？
四、课中学习：
对课前的实验的数据，进一步分析：
1、观察正切函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
2、正确理解正切函数引出的奇、偶函数定义的含义。

3、正切函数的图象
4、根据正切函数的图象推导出正切函数的性质，解释函数y=x, y=
x 1 都是奇函数。

5、总结正确理解正切函数引出的单调性、奇偶性w 。

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6、利用三角函数的简图画正切函数图像。

五、课后反思
对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？
六、作业设计：
P45的练习1、2、3、4、5、6。

1.4.3 正切函数的性质与图象整体设计教学分析本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路:(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的性质与图象?(一)请同学们分组探究,完成以下任务：1.由正切函数的定义，探究正切函数的定义域？2.由正切函数的诱导公式，探究正切函数的周期？3.由函数奇偶性的定义，探究正切函数的奇偶性？教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.讨论后回答问题（教师板书三条性质）1． 定义域： 根据正切函数的定义tanα=x y ,显然,当角α的终边落在y 轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为kπ+2π,k∈Z ,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+2π,k∈Z },而不是{α≠2π+2kπ,k∈Z },这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质2. 周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R ,x≠2π+kπ,k∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π. 3.奇偶性x≠2π+kπ,k∈Z ，定义域关于原点对称 由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R ,可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.提问4：正切函数的单调性如何呢？（提示：利用正切线）（教师引导复习正切线给出区间(2π-,2π)） 正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π-+k π,2π+k π),k ∈Z 内都是增函数. 教师利用多媒体回顾正弦函数图像的画法。

1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．二、教学目标（一）知识与技能1．理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；2．能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；3．能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题．（二）过程与方法1．通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；2．利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质；3．经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力；4．在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；5．通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题．（三）情感态度与价值观在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣．通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣．三、学情分析学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，三角函数线，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．四、教学重难点教学重点：正切函数的性质，用单位圆中的正切线作正切函数图象．教学难点：1．利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性；2．利用正切线及正切函数的奇偶性、单调性作⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 图象； 3．正切函数性质的简单应用．五、教学用具直尺，三角板，圆规，多媒体设备（PPT ）．六、教学过程（一）复习回顾（0.5分钟）回忆：在前面已经学习了哪几种三角函数的图象和性质?研究了它们的哪些性质?学生自由发言，互相补充，之后教师作口头梳理．设计意图：复习巩固已学知识，为后面教学作铺垫．（二）问题引入（4.5分钟）思考1：我们是先研究的正余弦函数的图象还是性质?能否采用同样的方法研究正切函数的图象与性质呢?学生口答后，教师指出：本节课我们将不从图象研究性质，而是从一个“全新”的角度来研究正切函数的性质．(给出课题，同时板书课题)设计意图：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面，同时培养学生的类比思维能力，引出这节课的课题和明确研究方向．思考2：我们学过有关正切函数的哪些性质？学生简单的口答后，提问学生回顾正切函数的定义、诱导公式、正切线等，教师在PPT 上给出单位圆，引导学生进行回顾，同时板书正切函数的定义域并强调用集合或区间表示．设计意图：为后面研究正切函数的性质、画图象作铺垫．思考3：要研究一个函数的性质，我们一般从哪些方面入手？学生自由发言，互相补充，之后教师给出下一个问题．思考4：在这众多的性质中，我们先研究哪个性质更好呢？教材中是先研究的哪个性质？（周期性）学生自由发言，教师稍作等候后对给出不同回答的同学进行提问，并做补充解释，让学生明白先研究周期性的原因：如果一个函数具有周期性，那么当研究清楚该函数在一个周期内的性质之后，就可以推广到整个定义域上，可以降低探究难度．在本节中，对探究单调性和图象等有所帮助．．设计意图：周期性是学生刚刚接触到的一个函数性质，相对其他性质还比较陌生，这样设计能让学生进一步体会到周期性在函数性质研究中的地位与作用．（三）探究新知1．性质（共12分钟）（1）周期性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有周期性？→周期是多少？→如何得到的？（tanx π)tan(x =+）→正切函数的周期是π．学生自由口答，教师可视情况进行提问，引导学生结合周期性的定义对正切函数的周期是π做一强调，指出与正余弦函数周期的不同，并板书性质．（2）奇偶性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有奇偶性？→是奇函数还是偶函数，为什么？→I x x x ∈∀=-，tan )tan(，→定义域关于原点对称→正切函数是奇函数．学生自由口答，若学生没提到检验定义域，则教师提醒学生要先检验定义域是否关于原点对称，并师生共同完成正切函数定义域的检验，为直观起见，可借助数轴．设计意图：强调判断奇偶性要先看定义域，同时先探究奇偶性对探究单调性有所帮助． （3）单调性（5分钟）思考5：既然正切函数的周期是π，那么我们只需要研究一个长度为多少的区间上的单调性？选择哪个区间好呢？ 学生思考后自由回答，若回答不准确，则教师引导学生选择包含原点的区间⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，因为原点附近的角是我们常见的角．思考6：这个区间能否根据我们已经得到的某一条性质进一步缩小呢？学生自由口答，教师较有指向性的提问，能使学生很容易发现“由于正切函数是奇函数，只需要探究它在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性”． 思考7：如何探究正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性？已掌握的有关正切函数的知识中，可以用来比较正切值大小是什么？给学生充足的时间相互探讨，由于已学过的有关正切函数的知识只有“定义、诱导公式和正切线”，所以学生在简单的讨论交流之后应该很容易想到是正切线．教师引导学生借助正切线探究正切函数在单调性⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性，再根据奇偶性将结论推广到⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，再根据周期性将结论推广到整个定义域．设计意图：正切函数单调性的探究是本节课的难点，在本节课中利用已经得到的奇偶性和周期性，将需要研究的单调区间一步步缩小，之后再利用奇偶性和周期性，还原出正切函数在定义域上的单调情况，让学生体会到函数性质之间的联系，培养学生“从特殊到一般”“从局部到整体”的数学思维．另外，当明确了单调性之后，值域也能很容易得到．（4）值域（1分钟）正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的值域是R→正切函数的值域是R→无最大值和最小值． 2．图象（共11分钟）猜想：根据我们已经探究出的正切函数的性质，请同学们先猜想、想象一下正切函数的图象会如何呢？学生想象，稍后教师提问一名学生，让他口头表述自己想象的正切函数的图象，之后教师引导学生画图验证猜想．设计意图：猜想图象可使学生对性质进行整合，培养学生的想象能力．思考8：利用已知的性质，如何画函数的图象？可以先画怎样的一个区间内的图象？ 教师较有提示性的提问，学生很容易做出回答：由于正切函数的是周期为，所以只需要画出一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象．由于在探究单调性时就选取的⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，所以学生也能很容易想到先画出⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的函数图象． 类比正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线绘制()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ图象．（1）教师借助PPT ，引导学生按照下列步骤作图：（5分钟）①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆； ②选取特殊角：34606-4-3-ππππππ，，，，，，，分别在单位圆中作出正切线，以6π为例进行详细的步骤说明；③描点；（纵坐标是相应的正切线）④连线：当x 趋近于22-ππ或时，图象的走势如何？思考之后学生自由回答，教师引导学生理解22-ππ==x x 和是正切函数的两条渐进线．思考9：有时不需要画出正切函数精确的图象，只需画出简图，只需确定哪些点或线就能画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=22-,tan ππ，x x y 的简图？ 学生可看出有三个点很关键（0，0），），（14--π，），（14π，还有两条渐近线：2π-=x ，2π=x ．即“三点两线”．学生回答之后，教师板演画出草图．思考10：如何得到函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的图象？整个定义域上的图象呢？ 学生自由回答，根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象左右平移，得到正切函数()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，称为“正切曲线”．教师板演画出⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的草图．这时，学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比，自己找出问题，加以体会．设计意图：培养学生运用类比的方法解决问题的能力，形成对正切函数图象的感知．（2）观察图象，验证、丰富性质（4分钟）从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线()Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；图象关于原点中心对称，得到它的哪一性质——奇函数；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,22-ππππ，，没有减区间． 设计意图：形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图象，分析各个性质在图象上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图象，函数的图象是其性质的直观反应，培养学生的识图能力，利用正切函数的图象进一步加深对性质的理解，体会“数形结合”的思想，同时，由渐近线感知无限逼近的思想．追问：在整个定义域上是增函数吗？注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增．设计意图：避免一些错误认识，进一步加深对正切函数单调性的理解．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？ 通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，，02π，无对称轴． 强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x 轴的交点．3．例题分析（8分钟）例1．求函数y ＝tan （2πx ＋3π）的定义域、周期和单调区间． 教师板演讲解，说明可将2πx ＋3π作为一个整体来处理，而不必设元，并写出解题过程，以规范学生的解题步骤． 设计意图：巩固正切函数的定义域、周期性和单调性，渗透换元的思想．例2．比较大小()︒167tan 1︒173tan ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-411tan 2π 513tan π 学生思考后，举手发言，说明理由．教师提醒学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较，并结合正切函数的图象加以说明．设计意图：深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想．练习：（5分钟）1．观察正切函数的图象，写出使不等式3tan ≥x 成立的x 的集合．2．求函数x y 3tan =的定义域、值域、周期和单调区间．（学生板演）（四）小结1．正切函数的性质与图象；2．性质有助于更有效的作图，图象有助于更直观的研究性质；3．数形结合的思想方法；设计说明：从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结．（五）布置作业习题1．4，A组，8，9题，B组2题：其他题完成在书上．七、板书设计。

1.4.3 正切函数的性质与图象自主学习正切函数的图象和性质(1)图象：如下图所示．(2)仔细观察正切函数的图象，完成下列问题．(1)正切函数的图象有________条渐近线，它们的方程为x＝__________(k∈Z)．相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．(2)正切函数的图象是中心对称图形，对称中心有________个，它们的坐标是__________(k∈Z)；正切函数的图象不是轴对称图形，不存在对称轴．(3)函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________.对点讲练与正切函数有关的定义域问题例1求函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．回顾归纳求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．变式训练1 求下列函数的定义域．(1)y＝11＋tan x；(2)y＝lg(3－tan x)．正切函数的单调性及周期性例2 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间及周期．回顾归纳 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．变式训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调区间及周期．例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小．(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π5与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7；(2)tan 2与tan 9.回顾归纳 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z .故在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上都是增函数． 变式训练3 比较下列两组函数值的大小．(1)tan(－1 280°)与tan 1 680°；(2)tan 1，tan 2，tan 3.一、选择题1．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π32．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )3．下列函数的最小正周期为2π3的函数是( ) A ．y ＝tan 3x B ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫6x －π7 C ．y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1 D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π3 4．下列函数中，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( ) A ．y ＝tan|x | B ．y ＝|tan x | C ．y ＝|sin 2x | D ．y ＝cos 2x5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4二、填空题6．不等式tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4≥－1的解集是____________． 7．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的对称中心的坐标是____________． 8．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4－5的单调递增区间是________________． 三、解答题9．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．10．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心．1.4.3 正切函数的性质与图象知识梳理(2)自主探究(1)无数 k π＋π2 (2)无数 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 (3)π|ω| 对点讲练例1 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0， 即－1≤tan x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 变式训练1 解 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋tan x ≠0，x ≠π2＋k π (k ∈Z )．∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z . (2)由3－tan x >0，得tan x < 3.根据正切函数图象，得－π2＋k π<x <π3＋k π (k ∈Z )， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＋k π<x <π3＋k π，k ∈Z . 例2 解 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ， ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z . 周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝2π. 变式训练2 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数， ∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z . ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z )． 周期T ＝π2. 例3 解 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π5 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π7＝tan π7， 又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 而－π2<－π5<π7<π2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5<tan π7， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65π<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π. (2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而π2<2<9－2π<π. 由于函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是增函数， ∴tan 2<tan(9－2π)，即tan 2<tan 9.变式训练3 解 (1)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)，tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°)＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在()－90°，90°上是增函数， ∴tan(－20°)<tan 60°，即tan(－1 280°)<tan 1 680°.(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0， ∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2， 且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.课时作业1．B 2.A 3.D 4.B5．A [由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4. ∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0.] 6.⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π2，k π2＋3π8 (k ∈Z ) 解析 由k π－π4≤2x －π4<k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π2≤x <k π2＋3π8，k ∈Z . 7.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )解析 由x ＋π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2－π3(k ∈Z )． ∴对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )． 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π3，π12＋k π3，k ∈Z 9．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1. ∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lg －x ＋1－x －1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0. ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．10．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π， ∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ， 解得2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z . ∴函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。

1.4.3正切函数的性质与图象（2）一、三维目标:知识与技能: 1. 熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题； 2. 掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题。

过程与方法: 渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。

情感态度与价值观: 培养认真学习的精神。

二、学习重、难点：重点: 正切函数的图象和性质的运用。

难点: 灵活应用正切函数的性质解决相关问题。

三、学法指导: 认真阅读教材,对教材的内容进行分析。

四、知识链接：B 问题1：作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。

B 问题2：回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。

五、学习过程：典型习题：（一）函数要素问题：B1.求定义域：（1）tan 3y x = （2）tan()4y x π=- （3）y =C2.求值域：求tan y x = []4,4x ππ∈-的值域 。

C3.已知：[]3,4x ππ∈-，求2()tan tan 2f x x x =++的最值及相应的x 的值。

（二）函数的图像及性质问题 A1.若tan(2)13x π-≤,那么x 的取值范围是（ ）A.)(247211221z k k x k ∈+≤<-ππππ B.)(2412z k k x k ∈+≤<-ππππ C.)(247211221z k k x k ∈+≤≤-ππππ D.)(2412z k k x k ∈+≤≤-ππππ B2.(,)22x ππ∈-时，求函数tan y x =的图象关于（ ）对称 A 、x 轴 B 、y 轴 C 、 原点 D 、y=xB3.函数tan sin y x x =-是 （ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数又不是偶函数B4.tan(2)4y x π=+的周期是 单调增区间是 。

六、达标检测： A1.函数tan()4y x π=+）的定义域为 。

B2.已知24παπ<<，则|tan |log 31)31(α= 。

(第二课时)正切函数的图象和性质
一、教学目标
（1）了解利用正切线画出正切函数图象的方法； （2）了解正切曲线的特征； （3）了解正切函数的性质 2、能力目标
理解并掌握利用正切函数的图象和性质解题 3、情感目标
（1）掌握“类比”的学习方法；
（2）渗透数形结合，换元法等基本数学思想方法。

二、教学重、难点
重点：正切函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）。

难点：利用正切线画出函数)2,2(,tan π
π-∈=x x y 的图象，并使直线2
π
±=x 确实
称为此图象的两条渐进线。

关键：充分利用图形讲清正切曲线的特性，通过一定的训练使学生正确了解图象性质（例如
定义域必须去掉Z k k x ∈+=
,2
ππ
各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调
性表现为在每一单调区间内只增不减等）。

三、教学方法
结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。

适当借助多媒体等教学辅助手段。

四、教学过程。

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 正切函数的图像与性质学案新人教A 版必修4【学习目标】掌握正切函数的图象和性质。

【重点难点】能正确应用正切函数的图象性质解决有关问题。

【学习内容】问题情境导学一、正切函数图像的画法复习1、正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？预习1、正切函数tan y x = 的最小正周期为______2、正切函数tan y x =的定义域为____________；值域为_____________。

3、正切函数tan y x =在每一个开区间________ __内为增函数。

4、正切函数tan y x =为___________函数。

（填：奇或偶）？想一想（1）我们知道做周期函数的图像一般先做出长度为一个周期的区间上的图像，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图像，那我们先选择哪一个区间来研究正切函数呢？（2）我们用五点法能简便地画出正弦、余弦函数的图像的简图，你能类似地画出函数tan y x =，)2,2(ππ-∈x 的简图吗？ 看一看（1）正切函数tan y x =，)2,2(ππ-∈x 的图像画法 ①作出直角坐标系，并在直角坐标系y 轴左侧作单位圆。

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线。

③描点（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应正切线）④连线。

（2）函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2,ππ的图像画法①根据正切函数的周期性，只要把上述图像向左、右扩展，就得到正切函数tan y x =，z k k x R x ∈+≠∈,2,ππ的图像，我们把它叫做正切曲线。

x yy 2π- 2π②正切函数的简图可以用三点两线法，这里的三点分别为（)0,πk ，（)1,4ππ+k ，)1,4(--ππk ，两线为2ππ±=k x ，z k ∈做简图时，只需先做出一个周期中的两条渐近线2π±=x ，然后描出三个点)0,0(，)1,4(π，)1,4(--π用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可。

正切函数的性质⎩⎨⎧π教学内容精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

§1.4.3正切函数的性质与图象导学案主编：段小文 审核：彭小武 班级 姓名【学习目标】1、掌握正切函数的图象和性质。

2、能正确应用正切函数的图象和性质解决有关问题。

【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习1、正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 复习2、正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？（二）自主探究（预习教材P42-P45）1、正切函数tan y x = 的最小正周期为______；tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为________。

2、正切函数tan y x =的定义域为____________；值域为_____________。

3、正切函数tan y x =在每一个开区间________ __内为增函数。

4、正切函数tan y x =为___________函数。

（填：奇或偶）二、合作探究1、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围。

①tan 0x >，②tan 0x =，③tan 0x <，④tan x >2、求函数3tan(2)4y x π=+的定义域、周期和单调区间。

三、交流展示1、函数tan()3y x π=+的定义域（ ）A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭ 2、函数4tan(3)4y x π=+的周期是（ ） A ．23π B ．2π C ．3π D ．6π 3、比较1317tan()tan()45ππ--与的大小。

四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1、函数tan()4y x π=-的定义域是 。

2、函数tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 3、下列函数不等式中正确的是（ ）A ．43tantan 77ππ> B ．23tan tan 55ππ< C ．1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312tan()tan()45ππ-<- 4、求函数tan()26x y π=-的单调区间。

正切函数的图象和性质（一）教材分析：学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。

（二）素质教育目标： 1. 知识目标：（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象； （2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2. 能力目标：（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3. 德育目标：培养研究探索问题的能力； （三）教学三点解析：1. 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；2. 教学难点：性质的研究；3. 教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数； （四）教学过程设计 1．设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。

2．探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。

下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制tan y x =图象． （1）用正切线作正切函数图象○1分析一下正切函数tan y x =是否为周期函数？ s i n ()s i n()t a n ()t a n ()c o s ()c o sx x f x x x f x x x ππππ+-+=+====+- ∴tan y x = 是周期函数，π是它的一个周期．我们还可以证明，π是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数tan y x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的图象．作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． ③描点。

（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）． ④连线．图1根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．图2（2）正切函数的性质请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性． ①定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭②值域：R③周期性：正切函数是周期函数，周期是π．④奇偶性：tan()tan x x -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称． ⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数．强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数c. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三 3．例题分析【例1】求函数tan()4y x π=+的定义域．分析：我们已经知道了tan y z =的定义域，那么tan()4y x π=+与tan y z =有什么关系呢？令4z x π=+，我们把tan()4y x π=+说成由tan y z =和4z x π=+复合而成。

课堂导学三点剖析1.正切函数的图象和性质. 【例1】 已知函数y=tan )621(π-x ,（1）作此函数在一个周期开区间上的简图； （2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 思路分析：解决本题的关键是利用换元法（令x 21-6π=z ）将问题转化到正切函数y=tanZ 的图象和性质上处理，在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法. x-π32 … -6π 3π π65 … π34 x 21-6π -2π (4)π- 0 4π (2)π tan （x 21-6π）-∞…-11…+∞描点作线画图：（2）∵x 21-6π≠2π+kπ,k ∈Z . ∴x≠π34+2kπ,从而函数的定义域是{x ∈R ｜x≠34π+2kπ,k ∈Z }. 函数的周期是T=21π=2π. 又∵-2π+kπ＜x 21-6π＜2π+kπ,k ∈Z ,∴-π32+2kπ＜x ＜34π+2kπ.故函数的单调增区间是（-π32+2kπ，34π+2kπ），k ∈Z ；无减区间. （3）由x 21-6π=2π+kπ，k ∈Z 得x=ππk 234+, 故函数图象的渐近线为x=34π+2kπ,k ∈Z ； 再由x 21-6π=2πk ，k ∈Z ，得x=3π+kπ,故函数图象的对称中心为（3π+kπ，0），k ∈Z . 2.正切函数图象与性质的应用【例2】求满足下面条件的x 的集合3tan(2x-3π)+3＞0. 思路分析：本题可将2x-3π看作一个整体，利用y=tanx 的图象及单调性求解. 解：原不等式可化为tan （2x-3π）＞3-，设z=2x-3π.如下图，在（-2π，2π）上满足tanz ＞3-的角的范围是-3π＜z ＜2π,所以在整个定义域上有-3π+kπ＜z ＜2π+kπ,k ∈Z ,即-3π+kπ＜2x-3π＜2π+kπ,k ∈Z . 解得2πk ＜x ＜125π+2πk ,k ∈Z .所以原不等式的解集是 {x ｜2πk ＜x ＜125π+2πk ,k ∈Z }. 温馨提示本题是运用整体换元思想与数形结合思想解决的.首先将2x-3π看作一个变量Z ，然后结合正切函数的图象得到Z 的范围，最后用2x-3π替换Z ，解得x 即可. 3.对正切函数的定义域及其单调区间的理解. 【例3】若A={x ｜tanx ＞0}，B={x ｜33tan tan -+x x ≥0}， 试求A∩B.解：由B 得⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥,033tan ,0tan x x ∴tanx≥33. ∴A∩B={x ｜tanx≥33}， 而正切函数在每一个区间（kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z )上是增函数， 所以tanx≥33的解为 kπ+6π≤x ＜kπ+2π,k ∈Z ， 故A∩B={x ｜kπ+6π≤x ＜kπ+2π,k ∈Z }.温馨提示 由tanx≥33易解得x≥kπ+6π，k ∈Z.此种解法认为正切函数是增函数，是错误的.正切函数应在每一区间（kπ-2π,kπ+2π），k ∈Z 上是增函数. 各个击破类题演练1求下列函数的定义域 （1）y=tan （2x-3π）; (2)y=xtan 11+.解：（1）函数的自变量x 应满足：2x-3π≠kπ+2π,k ∈Z , 即x≠2πk +π125(k ∈Z ). 所以,函数的定义域为{x ｜x≠2πk +125π,k ∈Z }. (2)要使函数y=xtan 11+有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+).(2,0tan1Zkkxxππ即x≠kπ-4π，且x≠kπ+2π(k∈Z).∴函数的定义域为，{x｜x∈R且x≠kπ-4π,x≠kπ+2π,k∈Z}.变式提升1y=｜tanx｜的最小正周期为（）A.2πB.πC.2πD.4π解析：作出y=｜tanx｜的图象，如下图所示.故y=｜tanx｜的周期为π.答案：B温馨提示（1）y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期都是y=sinx,y=cosx的周期缩短了一半，而y=｜tanx｜的周期与y=tanx的周期相同，同学们不要盲目地由y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期是由原函数的周期缩短了一半推到y=｜tanx｜的周期是2π.（2）注意正切函数的定义域、单调性.尽管y=tanx在每一个开区间(kπ-2π,kπ+2π)(k∈Z)内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数.类题演练2求函数y=xtan3-的定义域.解：⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥-).(2,0tan3Zkkxxππ∴tanx≤3,如右图∴kπ-2π＜x≤kπ+3π(k ∈Z ). ∴函数的定义域为{x ｜kπ-2π＜x≤kπ+3π,k ∈Z}.变式提升2 在区间（-23π，23π）范围内，函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：在同一坐标系中，首先作出y=sinx 与y=tanx ，在（-2π，2π）内的图象，须明确x ∈（0，2π）时，有sinx ＜x ＜tanx （利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明），然后利用对称性作用x ∈（-23π，23π）的两函数的图象如下图，由图象可知它们有三个交点. ∴应选C.答案：C类题演练3以下三个描述不正确的是（ ） ①正切函数为定义域上增函数②正切函数存在闭区间［a,b ］,使y=tanx 为其上增函数 ③正切函数存在闭区间［a,b ］,使y=tanx 为其上减函数A.0个B.1个C.2个D.3个 解析：只有②正确. 答案：C 变式提升3比较tan1,tan2,tan3,tan4的大小. 解：tan2=tan （2-π),tan3=tan(3-π), tan4=tan(4-π), 又∵-2π＜2-π＜3-π＜4-π＜1＜2π,且y=tanx 在（-2π，2π）上是增函数. ∴tan(2-π)＜tan(3-π)＜tan(4-π)＜tan1. 即tan2＜tan3＜tan4＜tan1.。