江苏省泰兴市第三高级中学2020届高三数学开学初考试 (理)缺答案

2020届江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学高三上学期10月月考数学试题一、填空题1．已知集合{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，若A B ⊆，则a 的取值范围为：_______. 【答案】[)0,+∞【解析】根据A B ⊆,列式解得. 【详解】因为{}1|0A x x =-<<，{}|B x x a =≤，且A B ⊆, 所以0a ≥. 故答案为:[0,)+∞. 【点睛】本题考查了子集关系,属于基础题.2．若幂函数()kf x x =的图像过点()4,2，则()9f =____.【答案】3【解析】根据(4)2f =解得12k =,由此可得12()f x x =,然后可得(9)f . 【详解】因为幂函数()kf x x =的图像过点()4,2,所以(4)2f =,即42k =, 所以222k =,所以21k =,所以12k =, 所以12()f x x =,所以12(9)9f =122(3)3==, 故答案为:3. 【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,属于基础题.3．函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期是_________.【答案】π【解析】利用降幂公式化简再求最小正周期即可. 【详解】1()sin cos sin 22f x x x x =⋅=,故最小正周期是22ππ=.故答案为：π 【点睛】本题主要考查了降幂公式与三角函数最小正周期,属于基础题型.4．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴非负半轴，则“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的_________________条件.（从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”中选填） 【答案】充分不必要【解析】根据第一象限角,y 轴非负半轴上的角以及第二象限的角的正弦值都大于零可得. 【详解】由α的终边在第一象限可以推出sin 0α>,由sin 0α>,可以推出α的终边在第一象限或者在y 轴非负半轴上或者在第二象限, 所以“α的终边在第一象限”是“sin 0α>”的充分不必要条件. 故答案为: 充分不必要. 【点睛】本题考查了充分必要条件,正弦函数的符号法则,属于中档题.5．已知向量a v 、b v 的夹角为60o，2a =v ，1b =v ，则a b -=v v ____.【解析】利用||a b -=r r 可得.【详解】因为222()24221cos ,1a b a a b b a b -=-⋅+=-⨯⨯⨯<>+r r r rr r r 144132=-⨯+=,所以||a b -=rr故答案为. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模,属于基础题.6．已知为角的终边上的一点，且，则实数的值为____.【答案】【解析】由三角函数的定义，即可求解得值，得到答案. 【详解】由三角函数的定义可知，解得，又由，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.7．曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3-【解析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1xxae ax e =++'则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．8．已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是_____. 【答案】2【解析】当02x <<时，22(2)8a a a +=-++，求出1a =；当2a ≥时，282(2)8a a -+=-++无解.从而()11f f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此能求出结果.【详解】解：由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知， 当2a ≥，则()()2f a f a ≠+， 所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+=⎪⎝⎭. 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数值的求法，属于基础题.9．平行四边形ABCD 中，已知6,5,2AB AD CP PD ===u u u r u u u r ，12AP CP ⋅=-u u u r u u u r，则AB AD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】6【解析】以,AB AD u u u r u u u r 为基底表示,AP CP u u u r u u u r ，代入12AP CP ⋅=-u u u r u u u r ，即求AB AD ⋅u u u r u u u r.【详解】平行四边形ABCD 中，2CP PD =uu r uu u r，122,333AP AD DP AD AB CP CD AB ∴=+=+==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，212223339AP CP AD AB AB AD AB AB ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r g g .6,5,12AB AD AP CP ==⋅=-u u u r u u u rQ ，222126,639AD AB AD AB ∴-=--⨯∴=u u ur u u u r u u u r u u u r g g .故答案为：6. 【点睛】本题考查平面向量基本定理和数量积的运算，属于基础题.10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()22f x x x =--，则当[]4,6x ∈时，()y f x =的最小值为_________.【答案】-1【解析】先根据()()2f x f x +=-推出周期为4,再根据奇函数推出[0,2]x ∈时的表达式,再根据周期性推出[4,6]x ∈时的表达式,再用二次函数求最小值, 【详解】因为()()2f x f x +=-, 所以(22)(2)f x f x ++=-+,所以(4)[()]()f x f x f x +=--=,即(4)()f x f x +=, 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数, 设[0,2]x ∈,则[2,0]x -∈-,所以22()()2()2f x x x x x -=----=-+, 因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数, 所以22()()(2)2f x f x x x x x =--=--+=-, 所以当[4,6]x ∈时,4[0,2]x -∈,所以22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+2(5)1x =--, 所以当5x =时,函数()f x 取得最小值1-. 故答案为:1-. 【点睛】本题考查了函数的周期性,奇偶性,二次函数求最小值,属于中档题.11．如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，4BC =，1CD =，2AB AD =，AC 是BCD ∠的角平分线，则BD =_____．21【解析】设出AD x =，根据ACB ACD ∠=∠，利用余弦定理建立等式解出=3AD 再求出ACB ACD ∠=∠的值，在BCD V 中利用余弦定理，解出BD 的值． 【详解】设AD x =，则2AB x =,2164AC x =-又AC 是BCD ∠的角平分线，即ACB ACD ∠=∠,222cos cos 2AC AC CD ADACB ACD BCAC CD+-∠==∠=⋅3x ⇒=即3AD =2AC =，=60o ACB ACD ∠=∠，=120o BCD ∠2241241cos12021o BD =+-⨯⨯=故填21【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为________．【答案】(－∞，－1)∪(0,1)【解析】【详解】因为()21f xx⎛⎫⎪+⎝⎭′＝()()()()222121x f x xf xx'+-+，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以()21f xx⎛⎫⎪+⎝⎭′＜0，令g(x)＝()21f xx+，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．13．已知函数()ln,111,122x xf xx x>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<，且()()f m f n=，则n m-的最小值是_____.【答案】32ln2-【解析】根据分段函数在两段上都单调,可得1,1m n≤>,且2ln1m n=-,所以2ln1n m n n-=-+,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.【详解】因为函数()f x 在(,1]-∞上递增,在(1,)+∞上也递增,且m n <时,()()f m f n =, 所以1,1m e n ≤≥>,所以11()22f m m =+,()ln f n n =, 所以11ln 22m n +=,即2ln 1m n =-, 所以2ln 1n m n n -=-+,1e n ≥>, 令()2ln 1(1)h x x x e x =-+≥>, 则22()1x h x x x-'=-=, 当(1,2)x ∈时,()0h x '<,当(2,)x ∈+∞时,()0h x '>, 所以()h x 在(1,2)上递减,在(2,)+∞上递增,所以2x =时,()h x 取得最小值(2)22ln 2132ln 2h =-+=-. 即n m -的最小值是:32ln 2-. 故答案为: 32ln 2-. 【点睛】本题考查了构造法,利用导数求函数的最小值,属于中档题.14．在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为：____________. 【答案】2【解析】根据积化和差公式得11sin sin cos cos()22B C A B C =+-11cos 22A ≤+,再化成辅助角的形式可解得最大值. 【详解】由积化和差公式可得,1sin sin [cos()cos()]2B C B C B C =-+--1[cos()cos()]2A B C π=----11cos cos()22A B C =+-11cos 22A ≤+,当且仅当BC =时,等号成立,sin sin A B C+11cos 22A A ≤++11)2A A =+1312(cos)332222A A=++,令cos332ϕ==,112sin332ϕ==,则tan4ϕ==,取arctan4ϕ=,所以sin sinA B C+31(sin cos cos sin)22A Aϕϕ≤++31sin()22Aϕ=++31222≤+=,当arctan24Aπ=-,22AB Cπ==-时,等号成立.故答案为:2【点睛】本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题.二、解答题15．已知函数()2π2cos214f x x x⎛⎫=-++⎪⎝⎭.(1)求函数()f x的最小正周期;(2)求函数()f x在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】(1) T＝2π4＝π.2;(2)取值范围为2⎡⎤⎣⎦.【解析】试题分析：(1)利用和角公式化简之后即可求出周期,(2)根据x的范围,求出4x＋π3的范围,然后结合三角函数的图象解答.试题解析：(1)由题意知,()f xx-cosπ42x⎛⎫+⎪⎝⎭cos 4x＋sin 4x＝2sinπ43x⎛⎫+⎪⎝⎭, ∴函数()f x的最小正周期T＝2π4＝π.2(2)∵-π6≤x≤π4,∴-π3≤4x＋π3≤4π3,∴-π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1,≤2sin π43x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤2,∴函数()f x 的取值范围为2⎡⎤⎣⎦.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 3sin B C =，tan A =ABC ∆的面积为.（1）求cos2A 的值； （2）求ABC ∆的周长.【答案】（1）79（2）8【解析】（1）由tan A =和22sin cos 1A A +=可得sinA 和cosA ，再由二倍角公式即得cos2A ；（2）由面积公式1sin 2bc A =bc 的值，再由sin 3sin B C =和正弦定理可知b 和c 的值，用余弦定理可计算出a ，即得ABC ∆的周长． 【详解】解：（1）因为sin tan cos AA A ==sin A A =，02A π<<.因为22sin cos 1A A +=，所以sin A =，1cos 3A =，则217cos 22cos 12199A A =-=⨯-=.（2）由题意可得，ABC ∆的面积为1sin 23bc A ==，即12bc =. 因为sin 3sin B C =，所以3b c =，所以6b =，2c =.由余弦定理可得a ===.故ABC ∆的周长为8a b c ++=. 【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，以及二倍角公式，属于常考题型．17．已知函数16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）(1,1)-； （2）15[,)2+∞. 【解析】（1）由于函数是定义在R 上的奇函数，故可根据()00f =求得a 的值.再利用指数函数的值域，来求得()f x 的值域.（2）将原不等式分离常数，转化为()max 313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，然后通过换元法求得右边函数的最大值，由此求得t 的取值范围. 【详解】（1）由()00f =解得3a =，反之3a =时，()16133x f x +=-+ 23113131x x x-=-=++ ()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，符合题意，故3a =据此()()1301xf x f x +=>-，()()1,1f x ∈-，即值域为()1,1-⑵()2131x f x =-+在[]1,2x ∈显然是单调增函数，()14,25f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为正数， 所以()313331x xx t +≥-⋅-，故()max313331x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦，令[]31,2,8xm m -=∈，则()()3133231x xx m +-⋅=-- 24m m m m +⋅=-随m 的增大而增大， 最大值为152，∴所求范围是15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的值域求法，考查不等式恒成立问题的解决策略.属于难题.如果一个奇函数在0x =处有定义，则必有()00f =，偶函数没有这个性质.对于含有参数的不等式恒成立问题，往往通过分离常数法来解决.在分离常数的过程中要注意不等号的变化.18．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.【答案】（1）23142,073()15,7x x x p x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元【解析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分07x <<和7x ≥两种情况，得到()P x 与x 的关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案. 【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为6x 万元. 依题意得，当07x <<时，2211()6224233p x x x x x x =---=-+-， 当7x ≥时，33()6(6ln 17)215ln e e p x x x x x x x=-++--=--，23142,073()15,7x x x p x e lnx x x ⎧-+-<<⎪⎪∴=⎨⎪--≥⎪⎩； （2）当07x <<时，21()(6)103p x x =--+，∴当6x =时，()p x 的最大值为(6)10p =（万元），当7x ≥时，333221()15ln ()e e e xp x x p x x x x x -=--∴'=-+=， ∴当37x e ≤<时，()p x 单调递增，当3,()x e p x ≥单调递减， ∴当3x e =时，()p x 取最大值33()15ln 111p e e =--=（万元），1110>Q ∴当320x e =≈时，()p x 取得最大值11万元，即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元. 【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用导数求最值问题.19．设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，集合(){}|A x f x x ==．（1）若{}1,2A =，()00f >，且方程()0f x =的两根都小于-1，求实数a 的取值范围；（2）若{}2A =，求函数()f x 在区间[]22-,上的最大值M （结果用a 表示）．【答案】（1）136a <≤-（2）()max 12,0041162,4a a f x a a ⎧<<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩或.【解析】(1)根据{}1,2A =,可得132b ac a=-⎧⎨=⎩,由二次函数的图象列式可解得;(2)根据{}2A =,可得144b ac a =-⎧⎨=⎩,再讨论二次函数的图象开口方向和对称轴可解得.【详解】（1）因为{}1,2A =，所以1和2是()210ax b x c +-+=的两根，所以由韦达定理得11212b ac a-⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得132b a c a =-⎧⎨=⎩，因为()00f >，所以20c a =>，即0a >，此时2222(1)498b ac a a a =--=-=V 0> ,又因为方程()0f x =的两根都小于-1，所以()2401210b ac ba f abc ⎧-≥⎪⎪-<-⎨⎪-=-+>⎪⎩， 将13,2b a c a =-=代入得()()2213801321320a a a a a a a ⎧--≥⎪->⎨⎪--+>⎩，所以26101516a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩,解得136a <≤- （2）因为{}2A =，所以()210ax b x c +-+=有两个相等的两根2，故12222bac a-⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得144b a c a =-⎧⎨=⎩，此时2222(1)41688b ac a a a =--=-=V 0>,所以()()2144f x ax a x a =+-+，对称轴为411222a x a a-==-， ①当0a <时，则1222a->，()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()max 22f x f ==；②当104a <<时，则1222022a -+-<=，()()max 22f x f ==； ③当14a ≥时，则1222022a -+-≥=，()()max 2162f x f a =-=-， 综上：()max12,0041162,4a a f x a a ⎧<<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩或．【点睛】本题考查了二次方程实根的分布,解一元二次不等式,分类讨论思想,二次函数在指定区间上的最值,属于中档题.20．已知函数()251f x x x =-+，()xg x e =．（1）求函数()()f x yg x =的极小值；（2）设函数()()()'y f x a g x a R =+⋅∈，讨论函数在(],4-∞上的零点的个数；（3）若存在实数[]0,2t ∈，使得对任意[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求正整数m 的最大值．【答案】（1）3e-；（2）分类讨论，详见解析；（3）4. 【解析】(1)求导后,利用导数可求得极小值; (2)转化为讨论25xx a e-=-在(],4-∞上的解的个数,再利用导数可解决; (3) 转化为对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511xx x e -+≤恒成立后,构造函数利用导数可解得, 【详解】（1）()()251xf x x x yg x e-+==，x ∈R . 则()()22261(25)(51)76'()x x x x xx x x e x x e x x y e e e -----+-+==-=-，令'0y >，得16x <<；令'0y <，得1x <或6x >（或列表求） ∴函数()()f x yg x =在(),1-∞单调减，在()1,6单调增，在()6,+∞上单调减， ∴函数()()f x y g x =在1x =处取得极小值3e-； （2）()()'250xy f x a g x x a e =+⋅=-+⋅=， ∵0x e >，∴25xx a e-=-， 设()25x x h x e -=-，则()27'x x h x e -=，令()'0h x >，则72x >. ∴()25xx h x e -=-在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调减，在7,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调增，且x →-∞，()h x →+∞，min()h x =72722h e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()443h e -=-.∴当43a e ->-或722a e -=-时，()h x a =有1解， 即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为1个；当74223e a e ---<≤-时，()h x a =有2解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为2个；当722a e -<-时，()h x a =有0解，即()()'y f x a g x =+⋅在(],4-∞上的零点的个数为0个．（3）∵0x e >，存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()xf x t g x x +⋅≤⎡⎤⎣⎦恒成立，∴存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式()()xt xf x g x ≤-恒成立. ∵min0t =，∴对任意的[]1,x m ∈，不等式()()10f x g x ≤-恒成立. 即对任意的[]1,x m ∈，不等式()2511xx x e -+≤恒成立． 设()()251xG x x x e =-+，[)1,x ∈+∞，∴()()()2'2551xxG x x e x x e =-+-+()()()23441xxx x e x x e =--=-+，可求得()G x 在(),1-∞-上单调增，在()1,4-上单调减，在()4,+∞上单调增，则()()251xG x x x e =-+在[)1,4上单调减，在()4,+∞上单调增，当4m ≤时，()()251xG x x x e =-+在[1,]m 上递减,所以()()max 131G x G e ==-≤恒成立；当4m >时，()()251xG x x x e =-+在[1,4]上递减,在(4,]m 上递增,所以()()(){}max max 1,G x G G m =，因为()131G e =-≤， ()4431G e =-≤，而()551G e =>；所以()2511x x x e -+≤在[1,]m 上不恒成立,∴正整数m 的最大值为4． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极小值,利用导数讨论函数的零点的个数,利用导数处理不等式恒成立问题,本题属于难题.。

省泰中附中春学期初三年级第三次模拟测试数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B 铅笔，并请加黑加粗．第一部分 选择题（共18分）一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列防控疫情的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的为（ ▲ ）A ．21a -B ．24a +C ．221a a ++D ．244a a --3ABC 的边AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ▲ ）A ．B ．C ．D ．4．已知一组数据的方差])7()7()7()711()78()73[(612222222-+-+-+-+-+-=c b a s ，则cb a ++的值为（ ▲ ） A ．22B ．21C ．20D ．75．如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心，CE 长为半径作弧EF ，交CD 于点F ，连接AE ，AF ．若AB =6，∠B =60°，则阴影部分的面积是（ ▲ ） A ．632π+ B ．633π+ C ．933π-D ．932π-ADBCF EABCCBA CBAABC6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a , b )，若ab >0，则称点P 为“同号点”. 下列函数的图象中不存在．．． “同号点”的是（ ▲ ） A.1y x =-+B.22y x x =-C.2y x=-D.21y x x=+第二部分 非选择题（共132分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．单项式23x y 的系数是 ▲ ．8．习总书记指出：善于学习，就是善于进步。

江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三数学 三角函数的性质复习导学案（艺术生）【基本训练】 1． xxy tan 1tan 1+-=的定义域是__________．2．x y sin 25.0-=的值域是__________．3．函数)62cos(π+=x y 的周期为________；函数)43tan(π-=x y 的周期是_____； 函数)32sin(3π+=x y 的周期为______．4．x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为 ．5．已知sin y a x b =+的最大值为3，最小值为1-，求a b ，的值．【典型例题讲练】例1 求函数)cos 21(log )(sin x x f x +=的定义域．例2 求下列函数的值域：⑴);1(tan 3≤=x x y ⑵);2(cos 3sin π≤+=x x x y⑶)3(1sin cos 2π≤++=x x x y ； ⑷3sin 1()sin 2x f x x -=+．例3 求函数x x x x x y cos sin sin 3)3sin(cos 22+-+=π的最小正周期．10 三角函数的性质（2）【考点及要求】能判断三角函数的奇偶性（对称性）和单调性，能求一些简单函数的单调区间.【基础知识】【基本训练】1．判断函数的奇偶性：①x y cos lg =； ②)23sin(x y +=π．2.函数)4tan(π+=x y 的对称中心是_________,)32sin(π-=x y 的对称轴方程是_________．3．x y 2cos =的单调递减区间为___________________；)sin(2x y -=的单调递增区间为___________________；x y tan =的单调递减区间为__________ _______．4．若)(x f 是奇函数，当0>x 时，,sin )(2x x x f -=则0<x 时 =)(x f5.若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意实数x 都有=+)6(x f π),6(x f -π则________)6(=πf ．例2 求下列函数的单调区间:);323sin(21)1(x y -=π )4cos()2(π--=x y ．例3 已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数,其图象关于点)0,43(πM 对称,且在区间]2,0[π上是单调函数,求ϕ和ω的值.09-10 三角函数的性质【课堂检测】1．已知函数)3sin(πω+=x y 的最小正周期为3，则ω= ．2．不等式1tan -<x 的解集是 ，不等式1cos sin >-x x 的解集是 ．3. 函数x x y 2cos )23sin(+-=π的周期为_______；1cos 22+=x y 的周期为_______．4. 函数2cos 3cos ++=x x y 的值域是 ．5．x y 2sin =的对称轴方程为____________， )2cos(π+=x y 的对称中心坐标为____________．6．求下列函数的单调区间. （1）)34sin(x y -=π； （2）)cos (sin sin )(x x x x f -=．7．已知)sin(3)sin()(θθ-++=x x x f 为偶函数，求θ的值.8．思考：求x x x x y cos sin cos sin ++=的值域．（1cos 3cos sin 2sin 22+++=x x x x y 的值域）．09-10 三角函数的性质【课后作业】1. 求下列函数的定义域. （1）--=)2sin 2lg(x y x cos 21- ； （2）216sin x x y -+=．2．设函数),52sin(2)(ππ+=x x f 若对任意R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值是_______．。

一．填空题：（每小题5分，共14题，总分70分）1. 函数f(x)＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 2. 若幂函数y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫9，13，则f(25)＝________． 3. 曲线y ＝12x －cosx 在x ＝π6处的切线方程为________．4. 已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________．5. 对于定义在R 上的函数f(x)，给出下列说法： ① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； ② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数； ③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； ④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数． 其中，正确的说法是________．(填序号)6. 已知函数f(x)＝alog 2x －blog 3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，则f(2 014)的值为________． 7. 已知函数f(x)＝mx 2＋x ＋m ＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．8. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos (α－π6)＝____________．9.已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．10. 函数f(x)＝sin2x ·sin π6－cos2x ·cos 5π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为_________．11. 已知直线y ＝a 与函数f(x)＝2x 及g(x)＝3·2x 的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为________．12. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝__________．13. 已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________． 14. 若关于x 的方程|x|x －1＝kx 2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．二．解答题：（共6小题，总分90分）15.（本题14分）已知α、β均为锐角，且sin α＝35，tan (α－β)＝－13.(1) 求sin (α－β)的值； (2) 求cos β的值．16. （本题14分）已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．17.（本题15分）已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2.(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的奇偶性； (3) 求函数f(x)的值域．18. （本题15分）已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；(2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值．19.（本题16分）已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x>40.(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20. （本题16分）已知函数R m x x x m x f ∈++--=,ln 32)1(21)(2（1）当0=m 时，求函数)(x f 的单调增区间；（2）当0>m 时，若曲线)(x f y =在点)1,1(P 处的切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求实数m 的值1. (2013·山东)函数f(x)＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________．2. (必修1P 89练习3改编)若幂函数y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫9，13，则f(25)＝________． 答案：153. (选修22P 26习题5)曲线y ＝12x －cosx 在x ＝π6处的切线方程为________．答案：x －y －π12－32＝04. (2013·新课标)已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________． 答案：a>b>c5. (必修1P 43练习4)对于定义在R 上的函数f(x)，给出下列说法： ① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； ② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数； ③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； ④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数． 其中，正确的说法是________．(填序号) 答案：①③6. 已知函数f(x)＝alog 2x －blog 3x ＋2，若f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，则f(2 014)的值为________． 答案：07. (必修1P 54测试6改编)已知函数f(x)＝mx 2＋x ＋m ＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－14，0 8. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos (α－π6)＝____________．答案：09. (2013·江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)10. 函数f(x)＝sin2x ·sin π6－cos2x ·cos 5π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为_________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π1211. (2013·徐州期初)已知直线y ＝a 与函数f(x)＝2x 及g(x)＝3·2x 的图象分别相交于A 、B两点，则A 、B 两点之间的距离为________．答案：log 2312. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝__________．答案：－101013. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________．14. 若关于x 的方程|x|x －1＝kx 2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________． 答案：k<－415. (2013·常州期末)已知α、β均为锐角，且sin α＝35，tan (α－β)＝－13.(1) 求sin (α－β)的值；(2) 求cos β的值． .16.已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：(1) 因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，所以图象关于x ＝－1对称，即－m2＝－1，即m ＝2.又f(1)＝1＋m ＋n ＝3，所以n ＝0，所以f(x)＝x 2＋2x. 又y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称， 所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)， 所以g(x)＝－x 2＋2x.(2) 由(1)知，F(x)＝(－x 2＋2x)－λ(x 2＋2x)＝－(λ＋1)x 2＋(2－2λ)x. 当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x ＝2－2λ2（λ＋1）＝1－λλ＋1，因为F(x)在(－1，1]上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ<0，1－λλ＋1≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>0，1－λλ＋1≥1，所以λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x 显然成立． 综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]． 17. 已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2. (1) 求函数f(x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的奇偶性； (3) 求函数f(x)的值域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1＋x>0，得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2) 由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数．(3) f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2， 设t ＝1－x 2，由x ∈(－1，1)，得t ∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，t 21<t 22， 所以lgt 1＋(t 21－1)<lgt 2＋(t 22－1)， 所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t ∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．18. (2013·苏州期末)已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；(2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值．19. 已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x>40.(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1) 当0<x ≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40； 当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104. 20.略。

江苏省常州市高级中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里2．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．–1D ．13．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(12)eB ．(0,2eC ．(11,1)e+D ．1,12()e+ 4．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．25．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ） A ．18- B ．18C ．2-D ．26．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A B ．C ．D ．7．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A ．12B ．2C D8．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3-B ．2C ．3D ．2-9．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a -=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ）A ．52B ．322C ．3D ．210．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A ．13-B ．13C ．12-D ．1211．二项式22()nx x+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180B ．90C ．45D ．36012．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝ ． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ． 4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．第4题第6题5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为 ．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ．9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为 ． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ． 12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式eax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD ≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ， F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B 为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan ∠AOB ＝23，cos ∠AOD ＝5，现一艘科考船以海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，2)，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”． （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围； （3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)． （1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知为a ，b 非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1． （1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<，则A U B ＝ ． 答案：(1，4)考点：集合的并集运算解析：∵集合A ＝{}24x x <<，B ＝{}13x x <<， ∴A U B ＝(1，4)． 2．若i 1iaz =++（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值为 ． 答案：2 考点：复数 解析：∵(2)i i 1i 2a a a z +-=+=+是实数，∴实数a 的值为2． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ． 答案：60考点：分层抽样 解析：12512006030012001000⨯=++．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．答案：10 考点：伪代码解析：第一步：i ＝1，S ＝1；第一步：i ＝2，S ＝3； 第一步：i ＝3，S ＝6；第一步：i ＝4，S ＝10；故输出的结果为10．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：22223323A A P A ==． 6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为 ．考点；三角函数的图像与性质 解析：首先222[()]33πππω=--，解得ω＝1， 又222326k k πππϕπϕπ+=+⇒=-+，k Z ∈，∵22ππϕ-<≤， ∴6πϕ=-，故()2sin()6f x x π=-，所以()2sin()226f πππ=-=．7．已知数列{}n a 为等比数列，若12a =，且1a ，2a ，32a -成等差数列，则{}n a 的前n 项和为 ． 答案：122n +-考点：等比数列的前n 项和公式，等差中项解析：∵1a ，2a ，32a -成等差数列，∴22a ＝1a ＋32a -＝3a ，故q ＝2，∴12(21)2221n n n S +-==-- 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ．答案：2考点：双曲线的简单性质解析：由题意知a =，则c =，离心率e ＝2c a ==． 9．若正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A —B 1CD 1的体积为 ． 答案：83考点：正四面体的体积计算解析：可知三棱锥A —B 1CD 1是以V ＝38123⨯=． 10．已知函数2, 0()(), 0x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，()(2)g x f x =-，若(1)1g x -≥，则实数x 的取值范围为 ． 答案：[2，4]考点：函数与不等式 解析：首先2, 0()2, 0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，由()(2)g x f x =-知(1)(3)g x f x -=-，当()1f x ≥，解得11x -≤≤，故(1)(3)1g x f x -=-≥，得131x -≤-≤， ∴24x ≤≤，故实数x 的取值范围为[2，4]．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA u u u r ⊥OB uuu r，若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y ﹣10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ． 答案：6考点：直线与圆综合解析：取AB 中点D ，设D 到直线l 的距离为d ，易知：d 1＋d 2＝2dOA u u u r ⊥OB ⇒u u u rD 轨迹为：22max 13x y d +=⇒=⇒d 1＋d 2的最大值为6．12．若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax bx +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ． 答案：[﹣2，+∞)考点：函数与不等式（恒成立问题） 解析：当0x ≤时，显然成立，b R ∈； 当0x >时，[,)a e ∀∈+∞，ln ln ()ax bx e x ax b b x ex f x +≤⇒≤+⇒≥-=1()ex f x x -'=，易知：max 1()()2f x f e==-，故2b ≥-； 综上，实数b 的取值范围为[﹣2，+∞)．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，且231λμ+=，延长AP 交边BC 于点D ，若BD ＝2DC ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．答案：94-考点：平面向量数量积解析：A ，P ，D 共线，不妨令3AP mAD =u u u r u u u r又2BD DC =u u u r u u u r，故12233AD AB AC AP mAB mAC AB AC λμ=+⇒=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此121182311844AP AB AC λμλλμμ⎧=⎪=⎧⎪⇒⇒=+⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩u u u r u u u r u u u r ， 则7184PB AB AP AB AC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故11719()()84844PA PB AB AC AB AC ⋅=-+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．14．在△ABC 中，∠A ＝3π，D 是BC 的中点．若AD ≤2BC ，则sinBsinC 的最大值为． 答案：38考点：解三角形综合解析：22222213222a bcbc AD a a +=+=+≤ 22113sin sin sin 228bc a B C A ⇒≤⇒≤=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⏊PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF//平面PCD ；（2）平面PAB ⏊平面PCD ．证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ．(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面P AD ．因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ．又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ．因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ．16．（本题满分14分）已知向量m u r ＝(cos x ，sin x )，n r＝(cos x ，﹣sin x )，函数1()2f x m n =⋅+u r r ．（1）若()12x f =，x ∈(0，π)，求tan(x ＋4π)的值；（2）若1()10f α=-，α∈(2π，34π)，sin 10β=，β∈(0，2π)，求2αβ+的值．解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12．因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3，所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3．(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45．因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210，所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4．17．（本题满分14分）如图，港口A 在港口O 的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为危险），其中OB ＝tan∠AOB ＝23，cos∠AOD 海里/小时的速度从O 出发沿OD 方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； （2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x 小时出发，求x 的最小值．解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)．(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0．因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400| 42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险． 答：若快艇立即出发有触礁的危险．(2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k | 12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12．由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝50 5，OE ＝505，此时两船的时间差为50 5105－50 550＝5－ 5，所以x ≥5－ 5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． 18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(﹣2，0)和(1，，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B 是椭圆C 左顶点，求点M 的坐标；（3）若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32，所以M (－1，±32)．(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． 因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1．①因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． 19．（本题满分16分）已知函数2e ()xf x x ax a=-+(a ∈R)，其中e 为自然对数的底数．（1）若a ＝1，求函数()f x 的单调减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，且(2)()f f a >，求a 的取值范围；（3）证明：对任意a ∈(2，4)，曲线()y f x =上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)．(2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立， 所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )＞f (2)，不符题意． ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意． 综上，a 的取值范围为(2，4)．方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx(4－x )－e 2， 0＜x ＜4．因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)． 所以，a 的取值范围为(2，4)．(3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点．因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0，所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． 20．（本题满分16分）若数列{}n a 满足n ≥2时，0n a ≠，则称数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(n N *∈)为{}n a 的“L 数列”． （1）若11a =，且{}n a 的“L 数列”为12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求数列{}n a 的通项公式； （2）若3n a n k =+-(k ＞0)，且{}n a 的“L 数列”为递增数列，求k 的取值范围； （3）若11n n a p-=+，其中p ＞1，记{}n a 的“L 数列”的前n 项和为n S ，试判断是否存在等差数列{}n c ，对任意n N *∈，都有1n n n c S c +<<成立，并证明你的结论． 解：（1）由题意知，112n n n a a +=，所以12n n na a +=， 所以(1)121123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==L L L即数列{}n a 的通项公式为(1)22n n n a -=（2）因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立．因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0， 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意．当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意． 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)．（3）存在满足条件的等差数列{}n c ，证明如下：因为11111111k k kkk a p p a p p p-+-+==+++，k N *∈， 所以2111111(1)()1111n n nn S p p p p p p -=+-++++++++L ， 又因为1p >，所以110p->， 所以2111111(1)()n n n n n S p p p p p p p-<<+-++++L ， 即11(1)n n n n S p p p p<<+-， 因为111(1)n p p p -<，所以1n n n S p p+<<， 设n n c p=，则111n n n n c c p p p ++-=-=，且1n n n c S c +<<， 所以存在等差数列{}n c 满足题意．江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题本试卷共40分，考试时间30分钟． 21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝1 1 0a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，a ∈R ．若点P(1，1)在矩阵A 的变换下得到点P′(0，﹣2)． （1）求矩阵A ；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q′的坐标．解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2， 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0．(2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2，所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：曲线C ：(x ﹣1)2＋y 2＝1，直线l ：0x +=圆心C(1，0)到l 的距离设为d ，12d =故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为112++，即32+．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：3322)a b a b +≥+．证明：因为a ，b 为非负实数，3322)a b a b ab +-+=+55]-若a b ≥≥，从而55≥，得55]0-≥，若a b <<，从而55<，得55]0->，综上，3322)a b a b +≥+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，AB ⏊AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⏊AC 1． （1）求AA 1的长；（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B —A 1C —A 的大小相等，并说明理由．解：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又AB ，AC ⊂平面ABC ，故AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，又AB ⊥AC故以A 为原点，{AB uuu r ，AC u u u r ，1AA u u u r}为正交基底建立空间直角坐标系设AA 1＝a ＞0，则A 1(0，0，a )，C(0，4，0)，B 1(3，0，a )，C 1(0，4，a )，1B C u u u r ＝(﹣3，4，﹣a )，1AC u u u u r＝(0，4，a )因为B 1C ⊥AC 1，故11=0B C AC ⋅u u u r u u u u r ，即2160a -=，又a ＞0，故a ＝4，即AA 1的长为4；（2）由（1）知：B(3，0，0)，B 1(3，0，4)，假设存在，设1BP BB λ==u u u r u u u r(0，0，4λ)，(0,1)λ∈， 则P(3，0，4λ)，则CP u u u r＝(3，﹣4，4λ)AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，又AC I AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C所以AB ⊥平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C 的法向量为AB uuu r＝(3，0，0) 设PC 与平面AA 1C 1C 所成角为α，则sin cos ,CP AB α=<>=u u u r u u u r，设平面BA 1C 的法向量为n r＝(x ，y ，z )，平面AA 1C 的法向量为AB uuu r ＝(3，0，0)由（1）知：1AC u u u r＝(0，4，﹣4)，BC uuu r ＝(﹣3，4，0)，AC u u u r ＝(0，4，0)， 1340440n BC x y n AC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r，令3y =，则n r ＝(4，3，3) 设二面角B —A 1C —A 的大小为β，则cos cos ,n AB β=<>=r u u u r ，因为αβ=，则22298sincos 1162517αβλ+=+=+，无解，故侧棱BB 1上不存在符合题意的点P ．23．（本小题满分10分）口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n ＋1(n N *∈)次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为n P ．（1）求1P ；（2）证明：1n n P P +<．解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35， 所以1212222344()5555125P C =⨯+⨯⨯=； （2）证明：累计取出白球次数是n +1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n +1次取出的是白球，概率为12()5nn n C +⨯前n+1次取出n 次白球，第n +2次取出的是白球，概率为1123()55nn n C ++⨯⨯ 前2n ﹣1次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为112123()()55nn n n C +--⨯⨯ 前2n 次取出n 次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为1223()()55nn n n C +⨯⨯ 则111112122323()()()()55555nn n n nn n n n n n P C C C +++-+-=⨯+⨯⨯++⨯⨯+L 11011121212232333()()()[()()]555555n n n n n n nn n n n n nC C C C C ++--+-⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯L 因此2011111221222333()[()()]5555n n n n n n n n n n n P P C C C C ++++++++-=⨯+⨯++⨯+⨯L 1011112122333()[()()]5555n n n nn n n n nC C C C +--+--⨯+⨯++⨯+⨯L 101111221222333(){[()()]5555n n n n n n n n n C C C C +++++++=⨯+⨯++⨯+⨯L01+1+1+222+12+12+23333[()()+()]}5555n n n n n n n n n n n C C C C C +-+⨯++⨯+⨯⨯L 则11111212221222333()[()()()]5555n n n n n n n n n n n n P P C C C ++++++++++-=⨯⨯-⨯-⨯ 1111222122233()()()555n n n nn n n n C C C +++++++=⨯-- 11112122233()()()555n n n n n n C C ++++++=⨯- 因为11111212221212121212133231()55555n n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++++++++-=-+=-=-， 所以11121231()()()0555n n n n n n P P C ++++-=⨯⨯-<，因此1n n P P +<．。

开始输出S结束i ≤8i ←3 N YS ←S +2i （第5题图）i ←i ＋2S ←4 江苏省苏州市某中学2020届高三数学第三次模拟考试试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{014}{2024}A B ==-，，，，，，，则A B = ．2．已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ． 3．抛物线216y x =的准线方程为 ．4．某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成A B C D ，，，四组，对应的行政村个数分别为257510050，，，，若用分层抽样抽取50个行政村，则B组中应该抽取的行政村数为 ．5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 ．6．中国古典乐器一般按“八音”分类，如图，在《周礼·春官·大师》中按乐器的制造材料对乐器分类，分别为“金、石、木、土、革、丝、匏、竹” 八音，其中“土、匏、竹”为吹奏乐器，“金、石、木、革”为打击乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“一音”，则不是吹奏乐器的概率为 ．7．已知函数2log (3)0,()302x x f x x x -<⎧=⎨-⎪⎩，，≥，若1()2f a =，则实数a 的值是 ．8．已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，若276a b +=，459a b +=，则63a b +的值是 ．9．已知12x x ，为函数()e sin x f x x =的两个极值点，则12||x x -的最小值为 ．10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1443AB AD AA ===，，，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(3)(4)16C x y +++=，若对于直线10x my ++= 上的任意一点P ，在圆C 上总存在Q 使π2PQC ∠=，则实数m 的取值范围为 ． 12．如图，在平行四边形ABCD 中，323AB AD BAD π==∠=，，，E 为BC 的中点，若线段DE 上存在一点M 满足1()3AM AB mAD m =+∈R ，则AM BD ⋅的值是 ． 13．在ABC △中，设角A B C ，，对应的边分别为a b c ，，，记ABC △的面积为S ，若tan 2tan A B =，则2Sa 的最大值为 ． 14．已知函数3()3 (0)f x x ax a =->，其图象记为曲线C ，曲线C 上存在异于原点的点0P ，使得曲线C 与其在0P 的切线交于另一点1P ，曲线C 与其在1P 的切线交于另一点2P ，若直线01P P 与直线02P P 的斜率之积小于9-，则a 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）E CA BD M（第12题图）（第6题图）已知平面向量(2cos 1)θ=，a ，(13sin )θ=，b ． （1）若∥a b ，求sin 2θ的值；（2）若⊥a b ，求tan()4θπ+的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．已知PA AB =，D E ，分别为PB BC ，的中点．（1）求证：AD ⊥平面PBC ；（2）若点F 在线段AC 上，且12AF FC =，求证：AD ∥平面PEF ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222 1 (0)x y E a b a b +=>>：的左右焦点分别为1F 和2F，左准线方程为2x =-． （1）求椭圆E 的方程； （2）设不经过1F 的直线l 与椭圆相交于A B ，两点，直线11l AF BF ，，的斜率分别为12k k k ，，，且122k k k +=，求k 的取值范围．18．（本小题满分16分）（第16题图）如图，在一个圆心角为90︒，半径为10米的扇形草地上，需铺设一个直角三角形PQR 的花地，其中RQP ∠为直角，要求P R Q ，，三点分别落在线段BC AC ，和弧AB 上，且(0)PQ RQ λλ=>，PQR △的面积为S ．（1）当2λ=且QR AC ⊥时，求S 的值；（2）无论如何铺设，要求S 始终不小于20平方米，求λ的取值范围．CAR19．（本小题满分16分）已知在每一项均不为0的数列{}n a 中，13a =，且1n n nta pa a +=+（p t ，为常数，*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）当0t =时，求n S ；（2）当122p t ==，时，①求证：数列2lg 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；②是否存在正整数m ，使得不等式2n S n m -<对任意*n ∈N 恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）定义：函数()f x 的导函数为()f x '，函数()f x '的导函数为()f x ''，我们称函数()f x ''称为函数()f x 的二阶导函数．已知2()e (3)x p x x =+，()e 2x q x ax =++． （1）求函数()p x 的二阶导函数；（2）已知定义在R 上的函数()g x 满足：对任意x ∈R ，()0g x ''>恒成立．P 为曲线()y g x =上的任意一点．求证：除点P 外，曲线()y g x =上每一点都在点P 处切线的上方； （3）试给出一个实数a 的值，使得曲线()y p x =与曲线()y q x =有且仅有一条公切线，并证明你的结论．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 2：矩阵与变换（本小题满分10分）求曲线221C x y +=：在矩阵21 11T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换作用下得到的曲线1C 的方程．B ．选修4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的方程为22cos 3ρρθ=+，曲线2C 的方程为2()4x t t y t =+⎧⎨=-⎩，为参数，．（1）将1C 和2C 的方程化为直角坐标方程；（2）若P 和Q 分别为1C 和2C 上的动点，求PQ 的最小值．C ．选修45：不等式选讲（本小题满分10分）已知x y ，均为正实数，且有2x y >，求证：2224432x y xy x y++-≥+．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22 (0)C x py p =>：在点(1)P P y ，处切线的斜率为12，抛物线的准线与对称轴交于T ，直线PT 与抛物线交于另一点Q ． （1）求抛物线C 的方程；（2）设M 为抛物线C 上一点，且M 在P 与Q 之间运动，求MPQ △面积的最大值．23．（本小题满分10分） 集合01010{|1010101201}mmn m i i i A t t a a a a i m a n ===⋅+⋅++⋅===∑，其中或，，，，，，记集合n A 的元素个数为n P ． （1）求1234P P P P ，，，； （2）求证：41n P -能被3整除．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．{04}， 2 3．4x =- 4．15 5．34 6．587．48．129．π 10．4π11．34m >12．76- 13．3814．)+∞ 解答与提示：1．根据交集定义可知，{04}A B =，．2．由3i (3i)(1+i)12i 1i 2z ++===+-可知，||z = 3．4x =-．4．由题意7525050x=，所以15x =． 5．执行第一次循环105S i ==，；执行第二次循环207S i ==，；执行第三次循环349S i ==，，终止循环．所以34S =．6．由枚举法知从8音中任取不同1音共有8种不同的取法，不含吹奏乐器的有5种，由古典概型得58P =．7．0x <时，因为2()log 31f x >>，所以1()2f a =无解．从而要使1()2f a =，3122=，解得4a =．8．因为{}{}n n a b ，成等差数列，所以2763263745()()()()2()a b a b a a b b a b +++=+++=+，所以636()18a b ++=，得6312a b +=．9．()e (sin cos )sin()04x x f x x x x π'=++=，所以()4x k k π=π-∈Z ，所以12||x x -的最小值为π．10．分别以三种面上最大圆为圆柱的底面的圆柱体积为12129πππ，，，所以最大体积为12π，所以此圆柱与原长方体的体积比为12484ππ=． 11．由题意过P 总可以作圆C 的切线，所以圆C 与直线10x my ++=相离，4>，解得34m >． 12．因为1()(1)223AM AD DE AD DB AB AD AB AB mAD λλλλ=+=++=-+=+， 所以1213m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以157()()366AM BD AB AD AD AB ⋅=+⋅-=-．13．法一：由tan 2tan A B =角化边得22233a b c =+，所以223()()3b ca a+=，111sin 222S bc A bc bc ==故2212S bc a a =． 令22(),()b cm n a a==，则33m n +=，2S a =238S a =． 法二：不妨设2a =，则22312b c +=，以BC 为x 轴，BC 中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则(10)(10)B C -，，，． 设()A x y ，，由22312b c +=可得2219()24x y -+=，而2121244h S h a ⨯==（h 是顶点A 到底边BC 的高），所以max 32h =，所以21348S h a =≤．法三：在ABC △中，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ． 由tan 2tan A B =，得2BH AH =．设CH h AH x ==，，则2BH x =. 222133322(2)48x h xhS a x h xh ⋅⋅==+≤（当且仅当2x h =时取“=”）． 14．2()33f x x a '=-，设000111222(,())(,())(,())P x f x P x f x P x f x ，，， 则01320000(3)(33)()P P l y x ax x a x x --=--：，即2300(33)2y x a x x =--，联立23003(33)23y x a x x y x ax ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，，得102x x =-，同理21024x x x =-=，则32000(46412)P x x ax -，，0220213P P k x a =-， 又012033P P k x a =-，所以由02019P P P P k k ⋅<-，得2200(213)(33)9x a x a --<-，令200t x =>，则2278(1)0t at a -++<在(0)+∞，上有解，由0∆>得)a ∈+∞．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分） 解：（1）因为(2cos 1)θ=，a ，(13sin )θ=，b ，且∥a b ， 所以(2cos )(3sin )110θθ-⨯=． ···················· 3分 所以3sin21θ=，即1sin 23θ=． ··················· 5分 （2）因为(2cos 1)θ=，a ，(13sin )θ=，b ，且⊥a b ， 所以2cos 113sin 0θθ⋅+⋅=，即2cos 3sin θθ=-． ············· 8分 若cos 0θ=，则|sin |1θ=，不满足上式，舍去． ······ 10分所以cos 0θ≠，所以2tan 3θ=-， ·················· 12分所以21tan 113tan()241tan 51()3θθθ-+π++===---．··············· 14分 16．（本小题满分14分） 解：（1）因为BC ⊥平面PAB ，AD ⊂平面PAB ，所以BC AD ⊥． ······ 2分因为PA AB =，D 是PB 的中点，所以AD PB ⊥． ············ 4分 又因为PB BC B =，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AD ⊥平面PBC ． ···· 6分 （2）连结DC ，交PE 于点G ，连结FG DE ，．如图．因为D E ，分别是PB BC ，的中点，所以DE 为BPC △的中位线， ··········· 8分从而DEG CPG △△，可得12DG DE GC PC ==， ····10分 因为12AF FC =，所以AF DG FC GC=，所以AD FG ∥． ·· 12分 又因为FG ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，所以AD ∥平面PEF ． ··· 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）由2e =可知2c a =，又左准线方程为2x =-，即22a c-=-，联立解得2a =，1c =，椭圆方程为2212x y +=． ············4分 （2）①由（1）可知，12(10)(10)F F -，，，． 设直线1122()()l y kx m A x y B x y =+：，，，，， 联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消y 得222(21)4(22)0k x kmx m +++-=， ······· 6分由韦达定理可知12221224212221km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，A因为点A 和点B 不重合，且直线l 的斜率存在，所以222(4)4(21)(22)0km k m ∆=-+->，得2221k m +>． ········ 8分 因为1111y k x =+，2221yk x =+，由条件122k k k +=，可得2121211y y k x x =+++，即2121211kx m kx mk x x ++=+++， 化简得12()(2)0m k x x -++=． ··················· 10分 若m k =，则直线(1)l y k x =+：过点1F ，不符合条件，因此1220x x ++=，故242021km k -+=+，得12m k k=+， ········ 12分 代入2221k m +>可知22121()2k k k +>+，得212k >，所以2(()k ∈-∞+∞，，． ················· 14分 18．（本小题满分16分） 解：（1）以C 为原点，CB CA ，所在直线分别为x y ，轴建立平面直角坐标系． 因为2PQ RQ =且QR AC ⊥，所以点Q 在直线2y x =上．又因为点Q 在圆22100x y +=上，所以Q ． ·········· 3分此时112022S PQ RQ =⋅=⨯=， 所以当2λ=且QR AC ⊥时，S 的值为20平方米． ············ 6分（2）法一：过Q 作QM AC ⊥，垂足为M ，作QN BC ⊥，垂足为N ，所以RMQ PNQ △△，并且相似比为1:λ，所以:1:Q Q x y λ=， ······ 8分 又因为点Q 在圆22100x y +=上，代入计算得2222210010011Q Q x y λλλ==++，． · 10分 设QR x =，则QP x λ=，所以2122S QR QP x λ=⋅=， ····················· 12分当R 与M 重合时，2221001x QM λ==+，此时2x 取得最小值， 所以min 2210050=211S λλλλ=⋅++， ···················· 14分 要使S 始终不小于20平方米，则250201λλ+≥，解得122λ≤≤，所以λ的取值范围为1[2]2，． 答：要使S 始终不小于20平方米，λ的取值范围为1[2]2，． ······ 16分法二：过Q 作QM AC ⊥，垂足为M ，作QN BC ⊥，垂足为N ，所以RMQ PNQ △△，并且相似比为1:λ，所以:1:Q Q x y λ=， ······ 8分又因为点Q 在圆22100x y +=上，代入计算得2222210010011Q Q x y λλλ==++，． · 10分 设RQ 由MQ 逆时针转过的角RQM ∠的大小为α，当M 与A 重合时设1RQM α∠=，当P 与B 重合时设2RQM α∠=，则12ααα<<，此时cos MQRQ α=，所以222100(1)cos RQ λα=+， ····· 12分所以222502(1)cos PQR S RQ λλλα==+△， ················ 14分所以min 250201S λλ=+≥，解得122λ≤≤，所以λ的取值范围是1[2]2，．答：要使S 始终不小于20平方米，λ的取值范围为1[2]2，． ······ 16分法三：以C 为原点，CB CA ，所在直线分别为x y ，轴建立平面直角坐标系． 设Q 点坐标为00()x y ，，①当QP 斜率不存在时，0QR x =，0QP y =，00y x λ=，又因为点Q 在圆22100x y += 上，代入计算得2021001x λ=+，20215021S x λλλ==+． ·············· 8分 ②当QP 斜率存在时，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为00()y k x x y =-+，令0y =，00y x x k =-，所以P 点坐标为00(0)y x k-，． 直线QR 的方程为001()y x x y k=--+，令0x =，00x y y k =+，所以R 点坐标为00()xy k+0，．因为(0)PQ RQ λλ=>，所以222PQ RQ λ=，所以22222200000000[][]y x x x y x y y k k λλ--+=++-（）（）， 整理得222002211(1)(1)y x k kλ+=+，所以22200y x λ=，又因为00x y λ，，都为正数，所以00y x λ=， ·························· 10分点Q 在圆22100x y +=上，代入计算得2021001x λ=+，2122S PQ QR QR λ=⋅=，又22220000021[()](1)x RQ x y y x k k=++-=+， 所以202222211100501(1)(1)(1)2211S x k k k λλλλλ=+=+=+++， ········ 12分20k >，所以211+1k >，所以2501S λλ>+． 由①②得2501S λλ+≥， ······················· 14分所以min 250201S λλ=+≥，解得122λ≤≤，所以λ的取值范围是1[2]2，．答：要使S 始终不小于20平方米，λ的取值范围为1[2]2，． ······ 16分法四：设CPR α∠=，QPR θ∠=，其中sin θ=cos θ=Q 到AC 边的距离为Q x ，到BC 边的距离为Q y .则sin()Q y PQ θα=⋅+sin()RQ λθα=⋅+， ··············· 8分 cos cos()Q x PR PQ αθα=-+cos cos()RQ αλθα=⋅-⋅+2cos RQ α=⋅-RQ =sin()RQ θα=⋅+，所以Q Q y x λ=． ·························· 10分以下同法三． 19．（本小题满分16分） 解：（1）当0t =时，1n n a pa +=，因为0n a ≠，所以0p ≠，所以数列{}n a 是以3为首项、p 为公比的等比数列． ·········· 2分当1p =时，13n S na n ==；当1p ≠时，1(1)3(1)11n n n a p p S p p--==--．综上所述，3 13(1)11n n n p S p p p=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，，，． ·················· 4分（2）①当122p t ==，时，122n n n a a a +=+，所以22144(2)222n n n n n n a a a a a a +++++==，22144(2)222n n n n n na a a a a a +-+--==． 若存在*2k k ∈N ≥，，使得2k a =，则121222k k a a a --===，，，，与13a =矛盾．所以2n a ≠，所以21212(2)02(2)n n n n a a a a ++++=>--， ···············5分 所以21212(2)2lg lg 2lg 2(2)2n n nn n n a a a a a a +++++==---． ················ 7分 又因为112lglg502a a +=≠-，所以2lg 02n n a a +≠-，所以数列2lg 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以lg5为首项、2为公比的等比数列． ·······8分 ②由①可知1122lg lg52lg52n n n n a a --+=⋅=-，所以12252n n n a a -+=-，所以11222(51)51n n n a --+=-． ······················· 10分由1242051n n a --=>-，得111212222511112551515n n n n n n a a ---+--==<--+≤，112(2)5n n a a +-<-， 所以当2n ≥时，12121111112(2)(2)(2)5555n n n n n a a a a -----<-<-<<-=， 13分所以12211112(2)(2)(2)1555n n n S n a a a --=-+-++-++++≤（当且仅当1n =时取“=”），所以11()5552(15)14415nn n S n ---=-<-≤， ··········· 15分 又因为121S m -=<，且*m ∈N ，所以m 的最小值为2． ········ 16分20．（本小题满分16分）解：（1）2()e (23)x p x x x '=++，2()e (45)x p x x x ''=++． ··········· 3分 （2）设00(())P x g x ，，则曲线()y g x =在点P 处的切线方程为000()()()y g x x x g x '=-+．设000()()[()()()]G x g x g x x x g x '=--+，则0()()()G x g x g x '''=-，()()0G x g x ''''=>． 所以()G x '在()-∞+∞，上递增．又000()()()0G x g x g x '''=-=， 所以当0x x <时，()0G x '<；当0x x >时，()0G x '>． 所以()G x 在0(]x -∞，递减，在0[)x +∞，递增．所以0x x x ∀∈≠R ，，0()()0G x G x >=．所以000()'()()()g x g x x x g x >-+． 所以除点P 外，曲线()y g x =上每一点都在点P 处切线的上方． ······ 8分（3）给出2a =，此时()e 22xq x x =++． 因为2'()e (23)x p x x x =++，所以(0)3p '=．又(0)3p =，所以曲线()y p x =在x ＝0处的切线为33y x =+．因为()e 2xq x '=+，所以(0)3q '=．又(0)3q =，所以曲线()y q x =在x ＝0处的切线为33y x =+．从而两曲线有一条公切线33y x =+． ················ 10分 下面证明它们只有这一条公切线．①先证明x ∀∈R ，()()p x q x ≥，当且仅当0x =时取“=”． 设()()()h x p x q x =-，则()()()h x p x q x '''=-，所以22()e (45)e =e (2)0xxxh x x x x ''=++-+≥，当且仅当2x =-时取“=”． 所以()h x '在(,)-∞+∞上递增．又(0)(0)(0)0h p q '''=-=， 所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>． 所以()h x 在(0]-∞，递减，在[0)+∞，递增．所以x ∀∈R ，()(0)0h x h =≥，当且仅当0x =时取“=”．所以x ∀∈R ，()()p x q x ≥，当且仅当0x =时取“=”． ········ 13分 ②再证明它们没有其它公切线．若它们还有一条公切线()y t x =，它与曲线()y p x =切于点11(())x p x ，，与曲线()y q x =切于点22(())x q x ，，显然12x x ≠，11()()p x t x =，22()()q x t x =．因为()e 0xq x ''=>，由（2）知x ∀∈R ，()()q x t x ≥，当且仅当2x x =时取“=”．因为12x x ≠，所以111()()()q x t x p x >=．又由①知11()()p x q x ≥，矛盾．故它们只有这一条公切线．综上，当2a =时，曲线()y p x =与曲线()y q x =有且仅有一条公切线． ·· 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．A ．选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分10分） 解：设曲线C 上任一点()P x y ，对应曲线1C 上的点111()P x y ，， 则1121 11x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得112x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，，所以11112x x y y y x =-⎧⎨=-⎩，， ········· 4分带入C 的方程，得221111()(2)1x y y x -+-=，即2211112651x x y y -+=．所以曲线1C 的方程为222651x xy y -+=． ·············· 10分B ．选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：（1）设()A x y ，为1C 上任一点，则有222x y ρ=+，cos x ρθ=， ······2分 所以由22cos 3ρρθ=+得2223x y x +=+，即22(1)4x y -+=， ······ 4分2()4x t t y t =+⎧⎨=-⎩，为参数，，消t 得60x y +-=． ··············· 6分 （2）圆心到直线的距离5222d ==， 所以PQ 的最小值为5222-．··················· 10分 C ．选修4 5：不等式选讲（本小题满分10分）证：因为0x >，0y >，20x y ->， ··················· 2分所以2222244(2)22x xy y x y x y x y-++=-+--， ············ 4分 2231111(2)3(2)32222x y x y x y x y x y x y=-++-⋅⋅=----≥， 当且仅当21x y -=时取等号，所以2224432x y xy x y ++-≥+． ····· 10分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）由22x py =得212y x p =，1y x p '=， 所以当1x =时，112p =，得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =． ··················· 3分 （2）由抛物线C 的准线1y =-可知1(01)(1)4T P -，，，，直线PT 的方程为514y x =-， ···················· 5分代入24x y =得(44)Q ，，设2()4m M m ，，由条件可知14m <<，当MPQ △面积取最大值时，抛物线在M 处的切线平行于直线PT ，则524m =，52m =，所以525()216M ，，M 到直线PT9=，又||PQ =，所以max 127()232MPQ S ∆==． ········ 10分23．（本小题满分10分） 解：（1）1{1}A =，得11P =；2{112}A =，，得22P =； 3{1111221}A =，，，得33P =；4{111111212121122}A =，，，，，得45P =．所以12341235P P P P ====，，，． ··················· 3分 （2）由题意， 集合n A 中t 的各位数字之和为n ，对于2n A +中的每个数t ，各位数字之和为2n +，若t 的首位为1，则其余各位数字之和为1n +，总个数为1n P +；若t 的首位为2，则其余各位数字之和为n ，总个数为n P ，所以21n n n P P P ++=+． ······ 6分 下面用数学归纳法证明41n P -能被3整除． 1．当1n =时，33P =能被3整除； 2．假设n k =时，41k P -能被3整除；则当1n k =+时，434241414441232k k k k k k k P P P P P P P ++++-=+=+=+， 因为41k P -能被3整除，所以43k P +也能被3整除，所以当1n k =+时，结论成立综上可知，41n P -能被3整除． ··················· 10分。

昆山震川高级中学高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合，若，则实数a的值是_________．2.已知i是虚数单位．若，则的值为_________．3.已知一组数据，，2，，，则该组数据的方差是_________．4.函数的定义域是_________．5.已知一个算法的流程图如图，则输出的结果S的值是_________．6.从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_________．7.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线为_________．8.已知，，则_________．9.若函数且满足对任意，都有，若，则函数在上的零点之和是_________．10.如图，在长方体中，对角线与平面交于E点．记四棱锥的体积为，长方体的体积为，则的值是_________．11.若的内角满足，则的最小值是_________．12.如图，在中，，，CD与BE交于点P，，，，则的值为_________．13．在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 是圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上两点，且AB =√2，点P 的坐标为（2，1），则|2PA →−PB →|的取值范围为 ．14．已知函数f （x ）＝﹣x 3+ax 2+4x +1在（0，2]上是增函数，函数g （x ）＝|lnx ﹣a |﹣2lnx ，若∀x 1，x 2∈[e ，e 3]（e 为自然对数的底数）时，不等式|g （x 1）﹣g （x 2）|≤5恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本小题满分14分）已知向量，．当时，求tan2x 的值；设函数，且，求的最大值以及对应的x 的值．16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，，D ，E 分别是AC ，的中点．求证：平面；若，求证：平面平面．图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前、后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左、右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，已知，梯形ABFE的面积是面积的倍．设．求屋顶面积S关于的函数关系式；已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为为正的常数，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为现欲造一栋上、下总高度为的别墅，试问：当为何值时．总造价最低？18.（本小题满分16分）已知圆与椭圆相交于点，，且椭圆的离心率为．求r值和椭圆C的方程；过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于两点．若，求直线l的方程；设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问：是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．已知函数的图象上的动点P到原点O的距离的平方的最小值为．求m的值；设，若函数有两个极值点，且，证明：参考公式：20.（本小题满分16分）在等比数列中，已知，设数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；证明：数列是等差数列；是否存在等差数列，使得对任意，都有若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由．昆山震川高级中学高三数学周三测试（附加题） 2020-6-321.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵，，且，求矩阵M．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为为参数，，圆C的参数方程为为参数，若直线l与圆C恰好相切，求的正切值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）如图，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，，Q为棱的中点．求直线与平面所成角的正弦值；求二面角的余弦值．23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，在抛物线上．求p的值；设动直线l交抛物线于A，B两点异于点，且满足，试求点C到直线l距离的最大值．答案1.【答案】9【解析】【分析】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．根据即可得出，从而可得出a的值．【解答】解：，，，，．故答案为9．2.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算和复数相等的概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘方运算化简，然后利用复数相等求出a，b，进而得答案．【解答】解：，，，则，故答案为．3.【答案】【解析】【分析】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．计算平均数和方差即可．【解答】解：一组数据，，2，，，则该组数据的平均数是，方差是．故答案为．4.【答案】【解析】【分析】本题考查了求函数的定义域问题，解题时应根据使得函数有意义的条件求解定义域，属于基础题.由函数的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，求出函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，，解得或．故函数的定义域为：．故答案为．5.【答案】11【解析】【分析】本题考查循环结构流程图，属于基础题．写出每次循环时S，n的值，并注意判断条件，即可得到答案．【解答】解：开始，第一次循环，，，第二次循环，，，第三次循环，，，不满足条件，退出循环，输出11．故答案为11．6.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数，利用列举法求出第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除包含的基本事件有8种，由此能求出第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率．【解答】解：从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，基本事件总数，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除包含的基本事件有：，，，，，，，，共8种，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为．故答案为．7.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，离心率和渐近线，属基础题．在双曲线中，要注意条件的应用．双曲线的离心率为，而渐近线中要求，结合找关系即可，在双曲线中有，代入数据，计算可得答案．【解答】解：，又因为在双曲线中，，所以，解得，故，所以双曲线的渐近线方程为，即故答案为．8.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于一般题．将已知两式两边平方相加即可求解．【解答】解：由，，两式两边平方相加得，即，所以．9.【答案】5【解析】【分析】本题考查函数的对称性及函数的零点与函数图象的关系，属于中档题．数形结合是解题关键．【解答】解：由，可得函数的图象关于对称，令得，作出函数在上的图象，如图所示，函数在上的零点即为函数的图象与函数的交点横坐标，由图可知，图象有A、B、C、D、E，5个交点，其中A和E，B和D关于对称，设横坐标从小到大依次为，，，，，则．故答案为5．10.【答案】【解析】【分析】本题考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．连接交于点F，证明E是的重心，那么点E到平面的距离是的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接交于点F，平面平面，因为平面，平面，所以，连接BD，因为F是的中点，所以BF是中线，又根据平行且等于，所以，所以E是的重心，那么点E到平面的距离是的，所以，而，所以．故答案为．11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据正弦定理化已知条件为，再根据余弦定理表示cos C为，利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：由正弦定理得，得，由余弦定理得，当且仅当时，取等号，故cos C的最小值是故答案为12.【答案】2【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理及平面向量的数量积，属于较难题目．利用C、P、D三点共线以及B、P、E三点共线可以推出，再结合向量的运算法则求解即可．【解答】解：令，，，，所以解得，所以，，即，可得．故答案为2．13.[√5−√2，√5+√2]．]．14．（2，5215.【答案】解：因为，所以，因为否则与矛盾，所以，所以；，因为，所以，所以当，即时，函数的最大值为．【解析】本题考查平面向量共线的充要条件，向量的数量积，正弦、余弦函数的图象与性质，二倍角公式及其应用，辅助角公式，考查运算化简的能力，属于中档题．由，可得，再由二倍角公式可得结论；由计算出，由，得，利用正弦函数的性质可得结论．16.【答案】证明：连接，，在三棱柱中，，且，所以四边形是平行四边形．因为E是的中点，所以E也是的中点，又因为D是AC的中点，所以C.又平面，平面，所以平面．由知，因为，所以C.在三棱柱中，，四边形是平行四边形，因为，所以，所以平行四边形是菱形，所以C.又因为，，AB，平面，所以平面又因为平面，所以平面平面．【解析】【分析】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．连接，，推导出四边形是平行四边形，，由此能证明平面．推导出，从而，推导出平行四边形是菱形，从而，再由，得平面，由此能证明平面平面．17.【答案】解：由题意平面ABCD，．又因为平面，得．在中，，，所以．因此的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为．在中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为．记，，所以，令，得，又，所以．列表：所以当时，有最小值．【解析】本题考查了求函数解析式以及利用导数求最值，是一般题．先通过线面垂直得到，放在中，求出FM，根据三角形的面积公式求出的面积，根据已知条件就可以得到所求S关于的函数关系式．先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值．18.【答案】解：因为圆与椭圆相交于点，所以.又离心率为，，所以．所以椭圆．因为过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于两点，所以设直线l的方程为，由得，所以，同理得到，所以因为，则，又，所以，即直线l的方程为根据，，，，所以为定值【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中的定值问题，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．由椭圆的离心率为，且相交于点所以，，由此能出椭圆C的方程．设l：为，分别联立直线与椭圆，直线与圆的方程，得到A，B的坐标，由，可得答案．通过计算得到，可得答案．19.【答案】解：设在函数的图象上，则，即，所以，证明：易得，且所以且，令，因为其对称轴为直线，由题意知，是方程的两个均大于且不为0的不相等的实根，所以由，得，因为，所以，又为方程的根，所以，，设则因为时，，在上单调递增；当时，，且，故．【解析】设点P，求，利用不等式求出最小值，解出参数，先代入求出，因为有两个解可知导函数有两个零点，求出a的取值范围，然后根据求出时，求出的取值范围，然后代入根据单调性求出值域，即证．本题考查导数的综合应用，注意结合导数，单调性，转化等知识点，属于难题．20.【答案】解：设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得，所以数列的通项公式为：；由得，当时，，所以，，得，，所以，，即，．因为，由得，，所以，所以，，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列；由得，所以，，假设存在等差数列，其通项，使得对任意，都有，即对任意，都有，首先证明满足的，若不然，，则，或，若，则当，时，，这与矛盾；若，则当，时，，而，，所以，故，这与矛盾，所以，再次证明，在证明之前，先证明下面一个结论：当时，，因为，所以在上单调递增，所以，当时，，所以当，时，，若时，则当，，，，这与矛盾，若时，同可得矛盾，所以，当时，因为，，所以对任意，都有，所以，综上，存在唯一的等差数列，其通项公式为满足题设．【解析】本题考查了数列的综合运用，涉及等比数列通项公式，等差数列判定与证明以及数列递推关系的运用，考查了逻辑推理能力，属于难题．根据，，求出公比即可得到数列的通项公式；结合可得当时，，即，两式作差变形可得，再验证时的情形即可得证；先由中结论得到，再假设存在等差数列，其通项，使得对任意，都有，然后分类讨论推出，，，均与题设矛盾，即可得到，进而得到结论．21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2：矩阵与变换]【答案】解：由，得．因为，所以．所以．【解析】【分析】本题主要考查矩阵的乘法、逆矩阵，考查的核心素养是数学运算．利用矩阵的乘法法则和逆矩阵求解．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：由题意知，圆C的普通方程为，当直线l的斜率不存在，即时，易知直线l的方程为，显然不符合题意，故直线l的斜率存在．依题意知直线l的斜率，其方程为，即，则圆心到直线l的距离，解得或，故或．【解析】【分析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属较易题．直线l的斜率不存在，即时，易知直线l的方程为，显然不符合题意，故直线l的斜率存在．依题意知直线l的斜率，其方程为，即，利用圆心到直线距离等于半径列出等式求出角度正切值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.【答案】解：由题意知，四棱柱是直四棱柱，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，1，，0，，1，，所以，，，，．设平面的法向量为，所以即令，则为平面的一个法向量，故，所以直线与平面所成角的正弦值为．设平面的法向量为，则即令，则为平面的一个法向量．故，由图象可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．【分析】本题考查空间中的线面位置关系以及空间向量，考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力和运算求解能力．23.【答案】解：将代入得，．由得，，设，，所以，，因为，所以，即，由题意得，，所以，直线l的方程为，将代入，得，所以，即，所以动直线l恒过点，易知当时，点C到直线l的距离最大，最大值为．【解析】【分析】本题考查直线方程、抛物线的标准方程、平面向量的数量积、直线与抛物线的位置关系等，考查化归与转化和运算求解能力．属于中档题．将点代入抛物线中，求得答案．解决本题第问的关键是找到直线l过定点，如果用点到直线的距离公式求解，将很难解出来．。

江苏省常州市高级中学2025届数学高三第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．2132．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．124．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．355．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1036．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．2109．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A ．2B ．2C ．1D ．310．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．55B ．35C ．79D ．23512．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省泰兴市第三高级中学2025届高三第三次测评英语试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

第一部分（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1．—The new machines have arrived and are being tested in the workshop.—I’m glad we _____ them in the years ahead.A．will be operating B．have been operatingC．would be operating D．had been operating2．－Could you possilby take to the railway station tomorrow?A．No way B．Never mind C．Not at all D．No problem3．The film Mei Lanfang, Li Ming plays the starring role,has again drawn the world’s attention to our traditional Chinese art.A．what B．that C．which D．where4．Please ________ your ashes before it fails on the carpet.A．cut off B．knock offC．get off D．drop off5．You are supposed to leave your child ________ his homework alone.A．do B．to doC．being done D．done6．— Don't put the waste on the ground, young man.— Oh, I'm sorry. I ______ the dustbin there.A．hadn't seen B．haven’t seenC．didn't see D．wasn't seeing7．I refuse to accept the blame for something ________ was someone else's fault.A．who B．thatC．as D．what8．——Your argument is .I will not let you pass.--Are you kidding?A．sound B．rationalC．liberal D．plain9．he newly-discovered star was named _____ a Chinese astronomer ________his contributions to astronomy. A．for; in favor of B．after; in honor ofC．by; in memory of D．as; in praise of10．It’s impossible for all the people to get jobs because ______of them is not fit for them.A．every one B．allC．not all D．none11．A fireworks display was organized ________ the Queen’s birthday.A．to mark B．markedC．having marked D．being marked12．In my opinion,_____ sho uldn’t be any doubt that China will become one of the most powerful countries in the near future．A．this B．that C．it D．there13．—Could you check my list to see I have forgotten anything?—No problem.A．whether B．whichC．that D．what14．—“Do you mind if I look at your notes?”—“Of course not. _______.”A．No problem B．Be my guest C．With pleasure D．Not at all15．______ to nuclear radiation, even for a short time, may influence genes in human bodies.A．Having exposed B．Being exposedC．To expose D．Exposed16．Mr. Wilson is a man of patience and kindness, and his good temper never ______ him.A．fails B．disappointsC．controls D．worries17．By the side of the teaching building of our school _____, which was completed in 2009.A．there standing the library B．does the library standC．the library stands D．stands the library18．This restaurant has become popular for its wide ______ of foods that suit all tastes and pockets.A．production B．offerC．range D．division19．I t hink you’ve got to the point a change is needed , otherwise you’ll fail .A．when B．which C．where D．there20．—I heard they went skiing in the mountains last winter.—It true because there was little snow there.A．may be not B．won’t be C．couldn’t b e D．mustn’t be第二部分阅读理解（满分40分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。