2020届江苏百校大联考数学卷原卷版

江苏省百校大联考2020届高三数学第二次考试试题注意事项:1.本试卷分填空题和解答题两部分。

满分160分,考试时间120分钟。

2.本试卷共4页,在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题。

3.所有试题必须作答在答题卡上规定的区城内,注意题号必须对应,否则不给分。

4.答题前,务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+，，若{2}A B =，则实数a 的值为____________．2．函数y 的定义城为____________．3．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =与向量(2,3)b m =-平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ．4．已知幂函数22()m mf x x -=在区间(0,)+?上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________． 5．已知2sin()sin()2pa p a -=+ ，则tan()p a -的值是____________． 6．设向量,,a b c 均为单位向量，且||2||a b c +=，则向量,a b 的夹角等于____________．7．若函数()sin(2)(||)2f x x p j j =+<的图象向右平移6p个单位长度后关于原点对称， 则()4f p=____________．8．已知函数sin 0()(2)20x x f x f x x p ì£ï=í-+>ïî，，，则132f 骣琪琪桫的值为____________．9．在ABC △中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC △的面积为S，且S BA BC =，4cos 5A =,则cos C 的值为____________．10．设函数()1x xf x e e-=-+，则不等式2(21)()2f x f x -+<的解集为____________．11．对任意的(0,)x ?∞，不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，则实数a 的取值范围是____________．12．如图所示，,P Q 两点(可与,A B 两点重合)是在以AB 为直径的上半圆弧上的两点，且460AB PAQ ==?，∠，则AP AQ 的取值范围为____________．13．已知直线l 与曲线sin y x =相切于点(,sin )(0)2A pa a a <<，且直线l 与 曲线sin y x =的图象交于点(,sin )B b b ，若a b p -=，则tan a 的值为____________．14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-ì<ï=íï³ïî.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知m 为实常数.命题;0),2,1(:2=-+∈∃m x x x p 命题:q 函数mx x x f -=ln )(在区间]2,1[上是单调递增函数．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 16．16. （本小题满分14分） 已知向量(sin,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-，函数()f x a b =?．（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若()f a =，求)62sin(πα+的值．17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点．（1）若43CB CA ==，，求AB CD ×；（2）若2AB AC CA CD ??，试判断ABC ∆的形状．18．（本小题满分16分）如图，在矩形纸片ABCD 中，cm AB 6=，cm AD 12=，在线段AB 上取一点M ，沿着过M点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ．（1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式； （2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19．（本小题满分16分） 已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，． （1）当[1.5]x Î，且0≥a 时，试求函数)(x f 的最小值；（2）若对任意的(0,)()102ax f x ??-?，恒成立，试求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数32()3f x x x px q =-++，其中R q p ∈,．（1）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为30x y +-=，求q p ,的值；（2）若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，证明：12()2()f x p q f x +-，，成等差数列； （3）若函数)(x f 有三个零点)(,,0n m n m <，对任意的[,]x m n Î，不等p x f +≤14)(恒成立，求p 的取值范围．参考答案一、填空题1、22、(]2,13、充分不必要4、15、-26、90°7、218、9 9、104-33 10、⎪⎭⎫ ⎝⎛211-， 11、),2()1,(+∞--∞ 12、（0, 4） 13、2π 14、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛414543 ，二、解答题 15、16、17、18、19、20、。

江苏省百校大联考2020届高三数学上学期第三次考试试题（含解析）考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、若}5,4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则下图中阴影表示的集合为______.答案：{3,4,5}解：韦恩图表示的是B A I ，由}5,4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则{3,4,5}=B A I 2、已知命题:13p x -<<，3:log 1q x <，则p 是q 成立的_______条件．（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填） 答案：必要不充分解：由3:log 1q x <，解得03x <<，所以p 是q 成立的必要不充分条件 3、已知i 是虚数单位，则复数31iz i+=-的共轭复数的模为 ． 答案：5解：因为31iz i+=-，整理得1+2z i =，则12z i =-，所以共轭复数的模为5. 4、设向量(1,)a k =r ，(2,3)b k =--r ，若//a b rr ，则实数k 的值为 ．答案：1解：因为//a b rr ，所以32k k -=-，解得=1k5、函数2()2f x lnx x =-的单调减区间为 ．答案：1(,)2+∞解：因为2()2f x lnx x =-，则1'()4f x x x =-，令'()0f x <解得12x >，所以函数的单调递减区间为1(,)2+∞6、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，且过点)1,3(，则双曲线的焦距等于 ． 答案：8解：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=119222ba a c 又222b a c +=解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===42222c b a ，双曲线的焦距为82=c7、设变量x ，y 满足约束条件140340x x y x y ⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩…，则目标函数z x y =-的取值范围为 ．答案：]0,2[-解：画出可行域，可得答案为]0,2[-8、已知函数sin ,0()(2)2,0x x f x f x x π⎧=⎨-+>⎩„，则13()2f 的值为 ．答案：7解：139513()()2()4()6()822222f f f f f =+=+=+=-+所以133()=sin()8722f π-+=9、如图，在正三棱锥A BCD -中，AB BC =，E 为棱AD 的中点，若BCE ∆的面积为2，则三棱锥A BCD -的体积为______.答案：322 解：由题意得正三棱锥A BCD -为正四面体，每个面都为等边三角形，可得△BCE 为等腰三角形且BE=CE,因为点E 为AD 中点，设DE=x ，则正四面体的棱长为2x ，BE=CE=x 3，EM=x 2,又因为BCE ∆的面积为2，则22221=⋅⋅x x ，解得1=x ，三棱锥的高求得为362， 所以三棱锥A BCD -的体积=322243362312=⋅⋅⋅10、若将函数()sin f x x ω=(0)ω>图像上所有点的横坐标向右平移3π个单位长度（纵坐标不变），得到函数()sin()6g x x πω=-的图像，则ω的最小值为______.答案：21 解：()sin f x x ω=(0)ω>图像上所有点的横坐标向右平移3π个单位长度得sin()3y x ωπω=-，则sin()3y x ωπω=-和()sin()6g x x πω=-相同，所以236k ωπππ=+，z k ∈，解得k 621+=ω，因为0ω>，所以0=k 时，ω的最小值为2111、在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点，且满足2AB AC CA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则tan tan A B+的最小值为___. 答案：2解：因为D 为边AB ，所以1=()2CD CA CB +u u u r u u u r u u u r，代入2AB AC CA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得2+AB AC CA CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以2||||cos +||||cos AB AC A CA CA CB C⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则abc b a ab b bc a c b bc 222222222-+⋅+=-+⋅整理得222c b a =+，所以2π=C ，即A B -=2π，所以1tan tan =tan tan()tan 22tan A B A A A Aπ++-=+≥(当且仅当1tan =A 时取等，即4π=A )12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-0,0,)(12x ex x x x f x ，若方程0161)(2)(22=-+-a x af x f 有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为______.13、已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足n n n a a S 242+=，*N n ∈，设1)1(+⋅-=n n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，则=n T 2______.14、设点B ，C 为圆422=+y x 上的两点，O 为坐标原点，点)11(，A 且0AC AB ⋅=u u u r u u u r，AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则OAE ∆面积的最大值为______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分14分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2224ABC S b c a ∆=+-. （1）求角A 的大小；（2）已知3cos()65B π+=，求cos2C 的值.16、（本小题满分14分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，已知AB AC =，11A AC A AB ∠=∠，D 为棱BC 的中点，且平面11A C D 与棱柱的下底面ABC 交于DE . （1）求证：DE ∥平面111A B C . （2）求证：1BC AA ⊥.17、（本小题满分14分）如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作，打磨出了一个作品，作品由三根木棒OA ，OB ，OC 组成，三根木棒有相同的端点O （粗细忽略不计），且C B A O ,,,四点在同一平面内，2022===OB OA OC cm ，2π=∠AOB ，木棒OC 可绕点O 任意旋转，设BC 的中点为D .（1）当32π=∠BOC 时，求OD 的长； （2）当木棒OC 绕点O 任意旋转时，求AD 的长的范围.18、（本小题满分16分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22163x y +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点B A ,，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19、（本小题满分16分） 已知函数x m x m x x f ln )1(21)(2++-=，mx x x g 2)(2-=，R m ∈. （1）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线与曲线)(x g y =相切，求m 的值；（2）当),2[+∞∈x 时，函数)(x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的下方，求m 的取值范围；（3）若函数)(x f 恰有2个不相等的零点，求实数m 的取值范围.20、（本小题满分16分）已知数列{}n a ，若对任意的n ，*m N ∈，n m ≠，存在正数k 使得||||n m a a k n m -≤-，则称数列{}n a 具有守恒性质，其中最小的k 称为数列{}n a 的守恒数，记为p .（1）若数列{}n a 是等差数列且公差为d (0)d ≠，前n 项和记为n S . ①证明：数列{}n a 具有守恒性质，并求出其守恒数。

江苏省百校大联考高三年级第二次考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合，若，则实数的值为____________．2．函数的定义城为____________．3．“实数”是“向量与向量平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ．4．已知幂函数在区间上是单调递减函数,则整数的取值为____________．5．已知，则的值是____________．6．设向量均为单位向量，且，则向量的夹角等于____________．7．若函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称， 则=____________． 8．已知函数，则的值为____________． 9．在中，设分别为角的对边，记的面积为，,则的值为____________．10．设函数，则不等式的解集为____________． {1,2,4}{,1}A B a a ==+，{2}AB =a y 1m =-(,1)a m =(2,3)b m =-22()m mf x x -=(0,)+?m 2sin()sin()2pa p a -=+tan()p a -,,a b c ||2||a b c +=,a b ()sin(2)(||)2f x x p j j =+<6p ()4f psin 0()(2)20x x f x f x x p ì£ï=í-+>ïî，，132f 骣琪琪桫ABC △,,a b c ,,A B C ABC △S S BA BC=4cos 5A =cos C ()1x x f x e e -=-+2(21)()2f x f x -+<11．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________．12．如图所示，两点(可与两点重合)是在以为直径的上半圆弧上的两点，且，则的取值范围为____________．13．已知直线与曲线相切于点，且直线与曲线的图象交于点，若，则的值为____________．14．已知函数.若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知为实常数.命题命题函数在区间上是单调递增函数．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题，命题“且”为假命题，求实数的取值范围．16. （本小题满分14分）已知向量，函数． （1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值．(0,)x ?∞213ln 022x a a x +-->a ,P Q ,A B AB 460AB PAQ ==?，∠AP AQ l sin y x =(,sin )(0)2A pa a a <<l sin y x =(,sin )Bb b a b p -=tan a 21,0(),0x x x f x x x e -ì<ï=íï³ïî221()2()016f x af x a -+-=a m ;0),2,1(:2=-+∈∃m x x x p :q mx x x f -=ln )(]2,1[p m p q p q m (sin ,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-()f x a b =?)(xf ()f a =)62sin(πα+17．（本小题满分14分）在中，点为边的中点．（1）若，求；（2）若，试判断的形状．18．（本小题满分16分）如图，在矩形纸片中，，，在线段上取一点，沿着过点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点恰好落在矩形的左边边上．设折痕所在直线与交于点,记折痕的长度为，翻折角为． （1）探求与的函数关系，推导出用表示的函数表达式； （2）设的长为，求的取值范围；（3）确定点在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19．（本小题满分16分）已知函数．（1）当，且时，试求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，试求的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数，其中． （1）若函数在点处的切线方程为，求的值；（2）若函数有两个极值点，证明：成等差数列；（3）若函数有三个零点，对任意的，不等恒成立，求的取值范围．ABC ∆D AB 43CB CA ==，AB CD ×2AB AC CA CD ??ABC ∆ABCD cm AB 6=cm AD 12=AB M M B AD BC N MN l BNM ∠θl θθl BM xcm x M 21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，[1.5]x Î0≥a )(x f (0,)()102ax f x ??-?，a 32()3f x x x px q =-++R q p ∈,)(x f ))1(,1(f 30x y +-=q p ,)(x f )(,2121x x x x <12()2()f x p q f x +-，，)(x f )(,,0n m n m <[,]x m n Îp x f +≤14)(p参考答案一、填空题1、22、3、充分不必要4、15、-26、90°7、8、99、 10、 11、 12、（0, 4） 13、 14、二、解答题 15、16、(]2,121104-33⎪⎭⎫ ⎝⎛211-，),2()1,(+∞--∞ 2π⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛414543，17、18、19、20、。

江苏百校联考高三年级第三次考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、若}5,4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则下图中阴影表示的集合为______.答案：{3,4,5}解：韦恩图表示的是B A ，由}5,4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则{3,4,5}=B A2、已知命题:13p x -<<，3:log 1q x <，则p 是q 成立的_______条件．（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填） 答案：必要不充分解：由3:log 1q x <，解得03x <<，所以p 是q 成立的必要不充分条件 3、已知i 是虚数单位，则复数31iz i+=-的共轭复数的模为 ． 答案：5 解：因为31iz i+=-，整理得1+2z i =，则12z i =-，所以共轭复数的模为5. 4、设向量(1,)a k =，(2,3)b k =--，若//a b ，则实数k 的值为 ． 答案：1解：因为//a b ，所以32k k -=-，解得=1k 5、函数2()2f x lnx x =-的单调减区间为 ．答案：1(,)2+∞解：因为2()2f x lnx x =-，则1'()4f x x x =-，令'()0f x <解得12x >，所以函数的单调递减区间为1(,)2+∞6、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且过点)1,3(，则双曲线的焦距等于 ．答案：8解：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=119222ba a c 又222b a c +=解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===42222c b a ，双曲线的焦距为82=c7、设变量x ，y 满足约束条件140340x x y x y ⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩…，则目标函数z x y =-的取值范围为 ．答案：]0,2[-解：画出可行域，可得答案为]0,2[-8、已知函数sin ,0()(2)2,0x x f x f x x π⎧=⎨-+>⎩…，则13()2f 的值为 ．答案：7解：139513()()2()4()6()822222f f f f f =+=+=+=-+所以133()=sin()8722f π-+=9、如图，在正三棱锥A BCD -中，AB BC =，E 为棱AD 的中点，若BCE ∆则三棱锥A BCD -的体积为______.答案：322 解：由题意得正三棱锥A BCD -为正四面体，每个面都为等边三角形，可得△BCE 为等腰三角形且BE=CE, 因为点E 为AD 中点，设DE=x ，则正四面体的棱长为2x ，BE=CE=x 3，EM=x 2,又因为BCE ∆，则22221=⋅⋅x x ，解得1=x ，三棱锥的高求得为362，所以三棱锥A BCD -的体积=322243362312=⋅⋅⋅10、若将函数()sin f x x ω=(0)ω>图像上所有点的横坐标向右平移3π个单位长度（纵坐标不变），得到函数()sin()6g x x πω=-的图像，则ω的最小值为______.答案：21 解：()s i n f x x ω=(0)ω>图像上所有点的横坐标向右平移3π个单位长度得sin()3y x ωπω=-，则sin()3y x ωπω=-和()sin()6g x x πω=-相同，所以236k ωπππ=+，z k ∈，解得k 621+=ω，因为0ω>，所以0=k 时，ω的最小值为2111、在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点，且满足2AB AC CA CD ⋅=⋅，则tan tan A B +的最小值为___. 答案：2解：因为D 为边AB ，所以1=()2CD CA CB +，代入2AB AC CA CD ⋅=⋅得2+AB AC CA CA CB ⋅=⋅ 所以2||||cos +||||cos AB AC A CA CA CB C ⋅=⋅，则abc b a ab b bc a c b bc 222222222-+⋅+=-+⋅整理得222c b a =+，所以2π=C ，即A B -=2π，所以1tan tan =tan tan()tan 22tan A B A A A Aπ++-=+≥(当且仅当1tan =A 时取等，即4π=A )12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-0,0,)(12x ex x x x f x ，若方程0161)(2)(22=-+-a x af x f 有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为______.13、已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足n n n a a S 242+=，*N n ∈，设1)1(+⋅-=n n nn a a b ， n T 为数列}{n b 的前n 项和，则=n T 2______.14、设点B ，C 为圆422=+y x 上的两点，O 为坐标原点，点)11(，A 且0AC AB ⋅=，AE AB AC =+，则OAE ∆面积的最大值为______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分14分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2224ABC S b c a ∆=+-. （1）求角A 的大小；（2）已知3cos()65B π+=，求cos2C 的值.16、（本小题满分14分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，已知AB AC =，11A AC A AB ∠=∠，D 为棱BC 的中点，且平面11A C D 与棱柱的下底面ABC 交于DE . （1）求证：DE ∥平面111A B C . （2）求证：1BC AA ⊥.17、（本小题满分14分）如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作，打磨出了一个作品，作品由三根木棒OA ，OB ，OC 组成，三根木棒有相同的端点O （粗细忽略不计），且C B A O ,,,四点在同一平面内，2022===OB OA OC cm ，2π=∠AOB ，木棒OC 可绕点O 任意旋转，设BC 的中点为D .（1）当32π=∠BOC 时，求OD 的长； （2）当木棒OC 绕点O 任意旋转时，求AD 的长的范围.18、（本小题满分16分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22163x y +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点B A ,，且0OA OB ⋅=. （1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2M N N Q =，求直线MN 的方程.19、（本小题满分16分） 已知函数x m x m x x f ln )1(21)(2++-=，mx x x g 2)(2-=，R m ∈. （1）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线与曲线)(x g y =相切，求m 的值；（2）当),2[+∞∈x 时，函数)(x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的下方，求m 的取值范围； （3）若函数)(x f 恰有2个不相等的零点，求实数m 的取值范围.20、（本小题满分16分）已知数列{}n a ，若对任意的n ，*m N ∈，n m ≠，存在正数k 使得||||n m a a k n m -≤-，则称数列{}n a 具有守恒性质，其中最小的k 称为数列{}n a 的守恒数，记为p .（1）若数列{}n a 是等差数列且公差为d (0)d ≠，前n 项和记为n S . ①证明：数列{}n a 具有守恒性质，并求出其守恒数。

江苏省百校大联考2020届高三数学上学期第三次考试试题（含解析）考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1、若}5,4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则下图中阴影表示的集合为______.答案：{3,4,5}解：韦恩图表示的是B A I ，由}5,4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则{3,4,5}=B A I 2、已知命题:13p x -<<，3:log 1q x <，则p 是q 成立的_______条件．（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填） 答案：必要不充分解：由3:log 1q x <，解得03x <<，所以p 是q 成立的必要不充分条件 3、已知i 是虚数单位，则复数31iz i+=-的共轭复数的模为 ． 答案：5解：因为31iz i+=-，整理得1+2z i =，则12z i =-，所以共轭复数的模为5. 4、设向量(1,)a k =r ，(2,3)b k =--r ，若//a b rr ，则实数k 的值为 ．答案：1解：因为//a b rr ，所以32k k -=-，解得=1k5、函数2()2f x lnx x =-的单调减区间为 ．答案：1(,)2+∞解：因为2()2f x lnx x =-，则1'()4f x x x =-，令'()0f x <解得12x >，所以函数的单调递减区间为1(,)2+∞6、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，且过点)1,3(，则双曲线的焦距等于 ． 答案：8解：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=119222ba a c 又222b a c +=解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===42222c b a ，双曲线的焦距为82=c7、设变量x ，y 满足约束条件140340x x y x y ⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩…，则目标函数z x y =-的取值范围为 ．答案：]0,2[-解：画出可行域，可得答案为]0,2[-8、已知函数sin ,0()(2)2,0x x f x f x x π⎧=⎨-+>⎩„，则13()2f 的值为 ．答案：7解：139513()()2()4()6()822222f f f f f =+=+=+=-+所以133()=sin()8722f π-+=9、如图，在正三棱锥A BCD -中，AB BC =，E 为棱AD 的中点，若BCE ∆的面积为2，则三棱锥A BCD -的体积为______.答案：322 解：由题意得正三棱锥A BCD -为正四面体，每个面都为等边三角形，可得△BCE 为等腰三角形且BE=CE,因为点E 为AD 中点，设DE=x ，则正四面体的棱长为2x ，BE=CE=x 3，EM=x 2,又因为BCE ∆的面积为2，则22221=⋅⋅x x ，解得1=x ，三棱锥的高求得为362， 所以三棱锥A BCD -的体积=322243362312=⋅⋅⋅10、若将函数()sin f x x ω=(0)ω>图像上所有点的横坐标向右平移3π个单位长度（纵坐标不变），得到函数()sin()6g x x πω=-的图像，则ω的最小值为______.答案：21 解：()sin f x x ω=(0)ω>图像上所有点的横坐标向右平移3π个单位长度得sin()3y x ωπω=-，则sin()3y x ωπω=-和()sin()6g x x πω=-相同，所以236k ωπππ=+，z k ∈，解得k 621+=ω，因为0ω>，所以0=k 时，ω的最小值为2111、在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点，且满足2AB AC CA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则tan tan A B+的最小值为___. 答案：2解：因为D 为边AB ，所以1=()2CD CA CB +u u u r u u u r u u u r，代入2AB AC CA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得2+AB AC CA CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以2||||cos +||||cos AB AC A CA CA CB C⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则abc b a ab b bc a c b bc 222222222-+⋅+=-+⋅整理得222c b a =+，所以2π=C ，即A B -=2π，所以1tan tan =tan tan()tan 22tan A B A A A Aπ++-=+≥(当且仅当1tan =A 时取等，即4π=A )12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-0,0,)(12x ex x x x f x ，若方程0161)(2)(22=-+-a x af x f 有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为______.13、已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S 满足n n n a a S 242+=，*N n ∈，设1)1(+⋅-=n n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，则=n T 2______.14、设点B ，C 为圆422=+y x 上的两点，O 为坐标原点，点)11(，A 且0AC AB ⋅=u u u r u u u r，AE AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则OAE ∆面积的最大值为______.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分14分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2224ABC S b c a ∆=+-. （1）求角A 的大小；（2）已知3cos()65B π+=，求cos2C 的值.16、（本小题满分14分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，已知AB AC =，11A AC A AB ∠=∠，D 为棱BC 的中点，且平面11A C D 与棱柱的下底面ABC 交于DE . （1）求证：DE ∥平面111A B C . （2）求证：1BC AA ⊥.17、（本小题满分14分）如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作，打磨出了一个作品，作品由三根木棒OA ，OB ，OC 组成，三根木棒有相同的端点O （粗细忽略不计），且C B A O ,,,四点在同一平面内，2022===OB OA OC cm ，2π=∠AOB ，木棒OC 可绕点O 任意旋转，设BC 的中点为D .（1）当32π=∠BOC 时，求OD 的长； （2）当木棒OC 绕点O 任意旋转时，求AD 的长的范围.18、（本小题满分16分）在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22163x y +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点B A ,，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19、（本小题满分16分） 已知函数x m x m x x f ln )1(21)(2++-=，mx x x g 2)(2-=，R m ∈. （1）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线与曲线)(x g y =相切，求m 的值；（2）当),2[+∞∈x 时，函数)(x f y =的图象恒在函数)(x g y =的图象的下方，求m 的取值范围；（3）若函数)(x f 恰有2个不相等的零点，求实数m 的取值范围.20、（本小题满分16分）已知数列{}n a ，若对任意的n ，*m N ∈，n m ≠，存在正数k 使得||||n m a a k n m -≤-，则称数列{}n a 具有守恒性质，其中最小的k 称为数列{}n a 的守恒数，记为p .（1）若数列{}n a 是等差数列且公差为d (0)d ≠，前n 项和记为n S . ①证明：数列{}n a 具有守恒性质，并求出其守恒数。

江苏省百校联考2020届高三第五次考试数学试题2020．5一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，2}，A U B ＝{1，2，3}，则集合中B 必定含有的元素是 ． 2．已知复数i(i)a +的模为1（其中i 是虚数单位），则实数a 的值为 ． 3．下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 ． 4．已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是 ．5．已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的左、右顶点与点(0，3)构成等 腰直角三角形，则该双曲线的渐近线方程是 ．6．已知函数tan y x =与sin(3)(0)y x ϕϕπ=-≤<，它们图象有一个交点的横坐标为4π，则ϕ的值是 ． 第3题 7．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21n n n a a a +-=+，现从该数列的前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是 ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2430a a a +=，31S =-，则n a = ． 9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则三棱锥11B A C D -的体积是 ． 10．已知角αβ，满足tan 2tan αβ=，若3sin()5αβ+=，则sin()αβ-的值是 ． 11．若函数()()f x x a x =-⋅在区间[1，9]上的最小值为18，则a 的值为 ． 12．已知A 为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上一点，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过F ，当∠ABF ＝6π，该椭圆的离心率是 ．13．已知x ，y 均为正数，且11x y +=，则8y y x+的最小值为 ． 14．已知当x ＞0，函数()ln f x a x =(a ＞0)，且()()f x f x =-，若2()2g x x m =-(m ＞0)的图像与()f x 的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知C ＝6π，m u r＝(sinA ，﹣1)，nr ＝(cosB ，1)，且m u r ∥n r．（1）求A 的值；（2）若点D 为边BC 上靠近B 的四等分点，且AD ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）在三棱锥A —BCD 中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点，且BA ＝BD ，平面ABD ⊥ADC ． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：CD ⊥BE ．17．（本小题满分14分）一胸针图样由等腰三角形OAB 及圆心C 在中轴线上的圆弧AB 构成，已知OA ＝OB ＝1，∠ACB ＝23π．为了增加胸针的美观程度，设计师准备焊接三条金丝线CO ，CA ，CB ，且AC 长度不小于OC 长度，设∠AOC ＝θ．（1）试求出金丝线的总长度()L θ，并求出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，金丝线的总长度()L θ最小，并求出()L θ的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为(1，0)，点P(1，32)为椭圆C上一点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且OM ON OH 0++=u u u u r u u u r u u u r r，求△MNH 的面积．19．（本小题满分16分）已知函数32()(R)f x x x ax a =+-∈，()ln g x x x =． （1）求曲线()g x 在x ＝1处的切线方程；（2）对任意x ∈(0，a ]，()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当x ∈(0，a ]时，试求方程()()f x g x =的根的个数． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足112a =，11n n n a a a λλ+=+，N n *∈． （1）若1λ=．①求数列{}n a 的通项公式；②证明：对N n *∀∈， 123234a a a a a a ++L12(5)12(2)(3)n n n n n a a a n n ++++=++．（2）若2λ=，且对N n *∀∈，有01n a <<，证明：118n n a a +-<．附加题21．已知矩阵1A=01k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足212A =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1A -．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121+2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长度．23．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，若棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量PC uuu r 与BD uuu r夹角的余弦值为15．（1）求CD 的长度；（2）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值．24．记()f a 为(1)nax +二项展开式中的3x 项的系数，其中{}1,2,3,...,3a n n ∈≥，．（1）求(1)(2)(3)f f f ，，；（2）证明：3211()()nn n a f a Cn n +==+∑．江苏省百校联考2020届高三第五次考试数学试题2020．5一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1，2}，A U B ＝{1，2，3}，则集合中B 必定含有的元素是 ． 答案：3考点：集合并集及其运算解析：∵集合A ＝{1，2}，A U B ＝{1，2，3}， ∴集合中B 必定含有的元素是3．2．已知复数i(i)a +的模为1（其中i 是虚数单位），则实数a 的值为 ． 答案：0 考点：复数解析：i(i)1i 10z a a z a =+=-+⇒==⇒=． 3．下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 ．答案：6考点：流程图解析：当k ＝6时，k 2﹣7k ＋10＞0，故输出k 的值是6．4．已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是 ． 答案：8 考点：方差 解析：1357955x ++++==，2222221[(15)(35)(55)(75)(95)]85S =-+-+-+-+-=．5．已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的左、右顶点与点(0，3)构成等腰直角三角形，则该双曲线的渐近线方程是 ．答案：y ＝±x考点：双曲线的简单性质解析：由题意知a ＝3，所以渐近线方程为y ＝±x ．6．已知函数tan y x =与sin(3)(0)y x ϕϕπ=-≤<，它们图象有一个交点的横坐标为4π，则ϕ的值是 ． 答案：4π 考点：三角函数的图像与性质 解析：由题意知：3242k ππϕπ⨯-=+，k ∈Z ，又0ϕπ≤<，∴4πϕ=．7．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21n n n a a a +-=+，现从该数列的前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是 ． 答案：14考点：随机事件的概率解析：该数列的前12项分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，其中能被3整除的数有3项，故概率为31124=． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2430a a a +=，31S =-，则n a = ． 答案：(1)n-考点：等比数列的通项公式解析：2243333001a a a a a a +=⇒+=⇒=-，31231211111111S a a a q a q q--=-⇒++=-⇒+-=-⇒=-⇒=-， 11(1)(1)n n n a a -=-=-．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则三棱锥11B A C D -的体积是 ． 答案：83考点：三棱锥的体积解析：首先该三棱锥的所有棱长都为，则112B A C D 18V 343-=⨯=． 10．已知角αβ，满足tan 2tan αβ=，若3sin()5αβ+=，则sin()αβ-的值是 ． 答案：15考点：两角和差的正弦公式解析：tan 2tan sin cos 2cos sin αβαβαβ=⇒=，33sin()sin cos cos sin 55αβαβαβ+=⇒+=，解得：2sin cos 5αβ=，1cos sin 5αβ=， 211sin()sin cos cos sin 555αβαβαβ-=-=-=．11．若函数()()f x x a =-[1，9]上的最小值为18，则a 的值为 ． 答案：78考点：利用导数研究函数的最值t =∈[1，3]，则原题转化为：函数2()()f t t a t =-⋅在区间[1，3]上的最小值为18， 则2()3f t t a '=-，当a ≤3时，()f t 在区间[1，3]上单调递增，则1(1)8f =，解得78a =； 当a ≥27时，()f t 在区间[1，3]上单调递减，则1(3)8f =，解得21524a =（舍）；当3＜a ＜27时，18f =，无正数解． 综上所述a 的值为78． 12．已知A 为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上一点，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过F ，当∠ABF ＝6π，该椭圆的离心率是 ．1 考点：椭圆的离心率解析：由题意知∠AFB ＝90°，且AB ＝2c ，由∠ABF ＝6π，得AF ＝c ，BF ，由AF ＋BF ＝2a，则2c a +=，解得1e =． 13．已知x ，y 均为正数，且11x y +=，则8y y x+的最小值为 ． 答案：16考点：基本不等式 解析：∵11x y +=，∴1y x y-=， ∴22(1)2(1)18888(1)8111y y y y y y y y y y x y y y-+-++=+=+=+-+---，19(1)10161y y =-++≥-， 当且仅当y ＝43时取“＝”． 14．已知当x ＞0，函数()ln f x a x =(a ＞0)，且()()f x f x =-，若2()2g x x m =-(m ＞0)的图像与()f x 的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围是 ． 答案：(4，4e)考点：利用导数研究函数的切线解析：由题意知：()f x 与()g x 均为偶函数则()f x 与()g x 的图像在第一象限有公共点，设该点的横坐标为0x ，显然0x ∈ (1，+∞)20002002200001ln 24(4, 4)44ln 20x a x x m a x a e ax x m x x x >⎧⎧=-⎪⎪⇒=⇒∈⎨⎨=⎪⎪=-+>⎩⎩． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知C ＝6π，m u r＝(sinA ，﹣1)，nr ＝(cosB ，1)，且m u r ∥n r．（1）求A 的值；（2）若点D 为边BC 上靠近B 的四等分点，且AD ABC 的面积．解：（1）∵m u r ＝(sinA ，﹣1)，n r ＝(cosB ，1)，且m u r ∥n r，∴sinA ﹣cosB ×(﹣1)＝0，即sinA ＝﹣cosB ，∴sinA ＝﹣cosB ＝cos(A ＋C)＝cosAcosC ﹣sinAsinC ，又C ＝6π，∴sinA ＝cosAcosC ﹣sinAsinC ﹣12sinA ，即32sinA ＝2cosA ，∴sinA ＝3cosA ，若cosA ＝0，则sinA ＝0，与sin 2A ＋cos 2A ＝1矛盾，∴cosA ≠0，∴tanA A 为△ABC 的内角，∴A ＝6π， ∴A 的值为6π， （2）设BD ＝x ，由点D 为边BC 上靠近B 点的四等分点，得BC ＝4x ， 由（1）知A ＝C ＝6π，∴BA ＝4x ，B ＝23π，在△ABD 中，根据余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2﹣2AB·BDcosB ，得2222(4)24cos 3x x x x π=+-⋅⋅⋅， 解得x ＝1，∴AB ＝BC ＝4，∴S △ABC ＝12BA ·BC ·sinB ＝12×4×4×sin 23π＝∴△ABC 的面积为16．（本小题满分14分）在三棱锥A —BCD 中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点，且BA ＝BD ，平面ABD ⊥ADC ． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：CD ⊥BE ．证明：（1）在△ADC 中，E ，F 分別为AD ，DC 的中点，∴EF//AC∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC 所以EF//平面ABC（2）在△ABD 中，BA ＝BD ，E 为AD 的中点∴BE ⊥AD ，又因为平面ABD ⊥平面ADC ，BE ⊂平面ABD ，平面ABD∩平面ADC ＝AD ， ∴BE ⊥平面ADC因为DC ⊂平面ADC ，所以BE ⊥DC ．17．（本小题满分14分）一胸针图样由等腰三角形OAB 及圆心C 在中轴线上的圆弧AB 构成，已知OA ＝OB ＝1，∠ACB ＝23π．为了增加胸针的美观程度，设计师准备焊接三条金丝线CO ，CA ，CB ，且AC 长度不小于OC 长度，设∠AOC ＝θ．（1）试求出金丝线的总长度()L θ，并求出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，金丝线的总长度()L θ最小，并求出()L θ的最小值．解：（1）∵圆心C 在中轴线上，∠ACB ＝23π，∴∠ACM ＝3π，∠CAO ＝3πθ-， 在△AOC 中，AO ＝1，∠ACO ＝23π，∠CAO ＝3πθ-， 根据正弦定理sin sin sin AC OA OCACO OACθ==∠∠， 得ACθ，OC sin()3πθ-，∴()2sin()]2sin()36L AC OC ππθθθθ=+=+-=+∵AC 长度不小于OC 的长度，1sin()(sin )322πθθθθ-=-≤，即tan θ≥ 又02πθ<<，解得63ππθ≤<，∴θ的取值范围是[6π，3π)． （2）∵θ∈[6π，3π)，∴6πθ+∈[3π，2π)，∴当63ππθ+=，即6πθ=时，sin()62πθ+=，此时金丝线的总长度()L θ=，∴当6πθ=时，金丝线的总长度()L θ最小，()L θ18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为(1，0)，点P(1，32)为椭圆C上一点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且OM ON OH 0++=u u u u r u u u r u u u r r，求△MNH 的面积．解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，∵椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)，∴c ＝1，∴221a b -=① ∵点P(1，32)是椭圆C 上一点， ∴221914a b +=② 由①、②解得：24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=， （2）由直线l 过椭圆的右焦点F且斜率为，的直线l的方程为1)y x =-，代入22143x y +=，消去x ，整理得2580x x -=， 解得0x =或85x =， ∴85M N x x +=，2)5M N M N y y x x +=+-=∴81655M N MN x =-==， ∵0OM ON OH ++=u u u u r u u u r u u u r r ，∴OH OM ON =--u u u r u u u u r u u u r ，∴H 点的坐标为(85-，)，∴H 点到直线l的距离d ==， 所以△MNH的面积1116225S MN d =⋅=⨯=． 19．（本小题满分16分）已知函数32()(R)f x x x ax a =+-∈，()ln g x x x =． （1）求曲线()g x 在x ＝1处的切线方程；（2）对任意x ∈(0，a ]，()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当x ∈(0，a ]时，试求方程()()f x g x =的根的个数． 解：（1）∵()ln g x x x =，∴()ln 1g x x '=+，∴(1)1g '=，∵(1)0g =，∴曲线()g x 在x ＝1处的切线方程是1y x =-， （2）∵对任意x ∈(0，a ]，()()f x g x >恒成立，∴对任意x ∈(0，a ]，2ln x x a x +->恒成立，即2ln 0x x x a +-->恒成立， 令2()ln x x x x a ϕ=+--，x ∈(0，a ]，则1(1)(21)()21x x x x x xϕ+-'=+-=， ①当102a <≤时，当x ∈(0，a ]时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ在(0，a ]上单调递减， ∴211111()ln ()ln ln 2024224a a a a ϕϕ=-≥=+--≥+>，∴102a <≤， ②当12a >时，当x ∈(0，12]时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ在(0，12]上单调递减， 当x ∈[12，a ]时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在[12，a ]上单调递增， ∴11113()ln ln 2024224a a ϕ=+--=+->，∴13ln 224a <<+， 综上，实数a 的取值范围是(0，3ln 24+)， （3）当30ln 24a <<+时，由（2）得，方程()()f x g x =的根的个数为0， 当3ln 24a =+时，由（2）得，当12x =时，()()0f x g x -=， ∴方程()()f x g x =的根的个数为1，当3ln 24a >+时，13()ln 2024a ϕ=+-<，3ln 2ln 2412ae e e ----<<=， 2()0a a a e e e ϕ---=+>，根据零点存在性定理，()x ϕ在(ae-，12)上至少存在1个零点， 又在(0，12)上单调递减， ∴在()x ϕ(0，12)上只有1个零点， 22()ln 0a a a a a ϕ=->->，同理，()x ϕ在(12，a ]上只有1个零点， ∴方程()()f x g x =的根的个数为2，综上，当30ln 24a <<+时，方程()()f x g x =的根的个数为0；当3ln 24a =+ 时，方程()()f x g x =的根的个数为1；当3ln 24a >+时，方程()()f x g x =的根的个数为2．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足112a =，11n n n a a a λλ+=+，N n *∈． （1）若1λ=．①求数列{}n a 的通项公式；②证明：对N n *∀∈， 123234a a a a a a ++L12(5)12(2)(3)n n n n n a a a n n ++++=++．（2）若2λ=，且对N n *∀∈，有01n a <<，证明：118n n a a +-<． 解：（1）（i ）当1λ=时，11nn na a a +=+， ∵1102a =>，∴12101a a a =>+，依此类推，0n a >∴11111n n n n a a a a ++==+，∴1111n na a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，∴11n n a =+，即11n a n =+， （ii ）证明：由（i ）知11n a n =+，故对k ＝1，2，3 (121111)[](1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)k k k a a a k k k k k k k ++==-+++++++，∴12323412n n n a a a a a a a a a +++++L ＝1111111[()()()]223343445(1)(2)(2)(3)n n n n -+-++-⨯⨯⨯⨯++++L＝111(5)[]223(2)(3)12(2)(3)n n n n n n +-=⨯++++，（2）证明：当2λ=时，1221n n na a a +=+，则12221(1)11n nn n n n n n n a a a a a a a a a ++-=-=-++， ∵0＜n a ＜1， ∴2122111(1)()121n n n nn n n n n na a a a a a a a a a +++-+-=-≤⋅++ ＝2114(1)2(1)2n n n a a a +⋅+-++＝11112448(1)2(1)nn a a ⋅≤=++-+ ∵1n n a a =-与211n na a +=+不能同时成立，所以上式“＝”不成立， 即对n N *∀∈，118n n a a +-<．附加题21．已知矩阵1A=01k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足212A =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1A -． 解：∵ 1 =0 1k A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴21 1 12 1 20 10 10 10 1k k k A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴22k =，解得1k =， ∴ 1 1=0 1A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 设1 = a b A c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则11 1 1 0= 0 1 0 1a b a a b A A c d c c d -+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴1001a a b c c d =⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪+=⎩，解得1101a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴1 1 1=0 1A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长度． 解：（1）设直线l 的倾斜角为α，[0,)απ∈∵直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，所以1y =，∴tan α=，∵[0,)απ∈，∴3πα=，∴直线l 的倾斜角为3π，（2）由曲线C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=-，得2cos sin ρρθθ=+，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴曲线C的普通方程为220x y x +-=，圆心(12，2)到直线l的距离12d ==，∴AB ===AB23．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，若棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量PC uuu r 与BD uuu r夹角的余弦值为15．（1）求CD 的长度；（2）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值．解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系如图：则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)∵AB ∥CD ，可设DC AB λ=u u u r u u u r，∴C(λ，2，0)（1）PC uuu r＝(λ，2，﹣2)，BD uuu r ＝(﹣1，2，0)，则cos 15PC BD PC BD PC BD ⋅<>===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,， 解得λ＝2，∴CD ＝2AB ＝2，（2）易得PB u u u r ＝(1，0，﹣2)，PD uuu r＝(0，2，﹣2)，设平面PBD 的一个法向量n r＝(x ，y ，z )，则20220n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r u u ur ，令1z =，则2x =，1y = ∴平面PBD 的一个法向量n r＝(2，1，1)，又PC uuu r ＝(2，2，﹣2)，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，[0,]2πθ∈，则sin cos ,PC nPC n PC nθ⋅=<>===u u u r ru u u r r u u u r r ， ∴直线PC 与平面PBD． 24．记()f a 为(1)nax +二项展开式中的3x 项的系数，其中{}1,2,3,...,3a n n ∈≥，．（1）求(1)(2)(3)f f f ，，；（2）证明：3211()()nn n a f a Cn n +==+∑．解：（1）解：∵(1)nax +的二项展开式中的3x 项的系数为33n C a ， ∴33()n f a C a =，∴3(1)n f C =，3(2)8n f C =，3(3)27n f C =， （2）证明：由（1）得33331()(12)nnn f a Cn ==+++∑L先证：22333(1)124n n n ++++=L ，n ≥3，①当n ＝3时，223333412336=4⨯++=，结论成立，21假设当n ＝k (k ≥3，k N *∈)时，结论成立，即22333(1)124k k k ++++=L ， ②当1n k =+时，2233333(1)12(1)(1)4k k k k k ++++++=++L 222244(1)(2)(1)44k k k k k ++++=+⨯= ∴对任意不小于3的正整数n ，均有22333(1)124n n n ++++=L ， ∴222231(1)(1)(2)(1)()464n nn n n n n n n n f a C =+--+=⨯=⨯∑ 324321(2)(1)(1)()()24n n n n n n n C n n +--+=⨯+=+．。