江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷数学试题含答案

江苏省“百校大联考”高三年级第二次考试数学试卷注意事项:1.本试卷分填空题和解答题两部分。

满分160分,考试时间120分钟。

2.本试卷共4页,在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题。

3.所有试题必须作答在答题卡上规定的区城内,注意题号必须对应,否则不给分。

4.答题前,务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+，，若{2}A B =I ，则实数a 的值为____________．2．函数12log (1)y x -的定义城为____________．3．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =r 与向量(2,3)b m =-r平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ． 4．已知幂函数22()m mf x x-=在区间(0,)+?上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________．5．已知2sin()sin()2pa p a -=+ ，则tan()p a -的值是____________． 6．设向量,,a b c 均为单位向量，且||2|a b c +=r r r ，则向量,a b r r 的夹角等于____________． 7．若函数()sin(2)(||)2f x x p j j =+<的图象向右平移6p个单位长度后关于原点对称， 则()4f p=____________．8．已知函数sin 0()(2)20x x f x f x x p ì£ï=í-+>ïî，，，则132f 骣琪琪桫的值为____________．9．在ABC △中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC △的面积为S 3S BA BC =u u u r u u u r g ，4cos 5A =,则cos C 的值为____________．10．设函数()1xxf x e e-=-+，则不等式2(21)()2f x f x -+<的解集为____________．11．对任意的(0,)x ?∞，不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，则实数a 的取值范围是____________．12．如图所示，,P Q 两点(可与,A B 两点重合)是在以AB 为直径的上半圆弧上的两点，且460AB PAQ ==?，∠，则AP AQ u u u r u u u rg 的取值范围为____________．13．已知直线l 与曲线sin y x =相切于点(,sin )(0)2A pa a a <<，且直线l 与 曲线sin y x =的图象交于点(,sin )B b b ，若a b p -=，则tan a 的值为____________．14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-ì<ï=íï³ïî.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a的取值集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知m 为实常数.命题;0),2,1(:2=-+∈∃m x x x p 命题:q 函数mx x x f -=ln )(在区间]2,1[上是单调递增函数．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．16. （本小题满分14分）已知向量(sin ,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-r r ，函数()f x a b =?r r ．（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若6()f a =，求)62sin(πα+的值．17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点．（1）若43CB CA ==，，求AB CD ×u u u r u u u r ；（2）若2AB AC CA CD ??u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断ABC ∆的形状．18．（本小题满分16分）如图，在矩形纸片ABCD 中，cm AB 6=，cm AD 12=，在线段AB 上取一点M ，沿着过M 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ． （1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式；（2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19．（本小题满分16分） 已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，． （1）当[1.5]x Î，且0≥a 时，试求函数)(x f 的最小值；（2）若对任意的(0,)()102ax f x ??-?，恒成立，试求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数32()3f x x x px q =-++，其中R q p ∈,．（1）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为30x y +-=，求q p ,的值；（2）若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，证明：12()2()f x p q f x +-，，成等差数列； （3）若函数)(x f 有三个零点)(,,0n m n m <，对任意的[,]x m n Î，不等p x f +≤14)(恒成立，求p 的取值范围．参考答案一、填空题1、22、(]2,13、充分不必要4、15、-26、90°7、218、9 9、104-3310、⎪⎭⎫ ⎝⎛211-， 11、),2()1,(+∞--∞Y 12、（0, 4） 13、2π 14、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛414543Y ，二、解答题 15、16、17、18、19、20、。

江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷数学2020．12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}2340x x x +->，B ＝{}12x x -<，则(RA)B ＝A ．{}11x x -<≤B ．{}13x x -<<C ．{}13x x <<D ．{}11x x -<< 2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝5﹣5i ，则z ＝A ．3﹣3iB ．1﹣3iC ．1＋3iD ．3＋3i 3．已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数ln ()e e x xx f x -=+的部分图像大致为5．点P 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上一点，直线x ＝2p 交抛物线C 于M ，N 两点，若△PMN 的面积为20，则p ＝ A ．1 B 2 C ．2 D 5 6．已知sin(θ﹣12π)＝13，则sin(2θ＋3π)＝ A ．29- B ．29 C ．79- D ．797．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点（包含边界），且∠BAD ＝120°，则AP AB ⋅的取值范围是A ．[﹣2，4]B ．(﹣2，4)C ．[﹣2，2]D ．(﹣2，2)8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以A 为球心，22A 1B 1C 1D 1的交线长为A ．2πB C D ．π二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(﹣2，1)，c ＝(3，﹣5)，则 A ．(a ＋2b )∥c B ．(a ＋2b )⊥cC ．10a c +=+D ．2a c b += 10．已知实数x ，y 满足﹣3＜x ＋2y ＜2，﹣1＜2x ﹣y ＜4，则 A ．x 的取值范围为(﹣1，2)B ．y 的取值范围为(﹣2，1)C ．x ＋y 的取值范围为(﹣3，3)D ．x ﹣y 的取值范围为(﹣1，3)11．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(N ω*∈，2πϕ<)的图象经过点A(0，且()f x 在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是 A ．ω＝2B ．6πϕ=C ．()f x 在(3π-，0)上单调递增 D ．()f x 在(0，2π)上有3个极小值点12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()f x ax bx cx d =+++(a ≠0)的图象都只有一个对称中心点(0x ，0()f x )，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(﹣1，2)，且不等式e e (ln x mx x -1)+≥32e [()3e]f x x x x --+对任意x ∈(1，+∞)恒成立，则A ．a ＝3B ．b ＝1C ．m 的值可能是﹣eD ．m 的值可能是1e-三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．在等差数列{}n a 中，12a =，248a a +=-，则数列{}n a 的公差为 ．14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．15．已知双曲线C ：22188x y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0，4)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为 ．16．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知B ＝3π． （1）若a ＝4，c ＝3，求sinA 的值；（2）若△ABC 的面积为43，求△ABC 周长的最小值． 18．（本小题满分12分）在①1120n n n a a a +--+=(n ≥2)且11a =，525S =，②35a =，2n S n tn =+，③11a =，23a =， 且2n S -，1n S +，2n S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ， ．若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为T n ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．（1）证明：CD ⊥B 1D ；（2）若BC ＝3，求二面角B —C 1D —B 1的大小．20．（本小题满分12分）已知函数()Acos()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）设()()23cos(2)16g x f x x π=+-+．若关于x 的不等式2()(32)()g x m g x m -+--23≤0恒成立，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点21)在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，AB ＝2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF AF BF t +=恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数121()(1)e 2x f x x a x ax -=---+(x ＞0)． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ≤2时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围．江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷数学2020．12一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}2340x x x +->，B ＝{}12x x -<，则(RA)B ＝A ．{}11x x -<≤B ．{}13x x -<<C ．{}13x x <<D ．{}11x x -<< 答案：A解析：R A ＝[﹣4，1]，B ＝(﹣1，3)，(RA)B ＝(﹣1，1]，故选A ．2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝5﹣5i ，则z ＝A ．3﹣3iB ．1﹣3iC ．1＋3iD ．3＋3i 答案：B 解析：55i13i 2iz -==-+，故选B ． 3．已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C解析：因为“2211log log a b<”，所以a ＞b ＞0，而“22a b >”得到a b >，故选C ． 4．函数ln ()e e x xx f x -=+的部分图像大致为答案：B解析：首先判断出是偶函数，其次过点(1，0)和(﹣1，0)，故选B ．5．点P 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线上一点，直线x ＝2p 交抛物线C 于M ，N 两点，若△PMN的面积为20，则p ＝A ．1B ．2C ．2D ．5 答案：C解析：求得准线方程为x ＝2p -，MN ＝4p ，则1542022p p ⨯⨯=，p ＝2（负值已舍去），选C ． 6．已知sin(θ﹣12π)＝13，则sin(2θ＋3π)＝ A ．29- B ．29 C ．79- D ．79答案：D解析：sin(2θ＋3π)＝17sin[2()]cos2()121221299πππθθ-+=-=-⨯=，故选D ．7．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点（包含边界），且∠BAD ＝120°，则AP AB ⋅的取值范围是A ．[﹣2，4]B ．(﹣2，4)C ．[﹣2，2]D ．(﹣2，2) 答案：A解析：当点P 与点B 重合时，求得AP AB ⋅＝4，当点P 与点D 重合时，AP AB ⋅＝﹣2，故选A ． 8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以A 为球心，22为半径的球面与平面A 1B 1C 1D 1的交线长为 A ．2πB ．2πC ．2πD ．π答案：D解析：由题意知AB 1＝AD 1＝222222+=，如图，在平面A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，使A 1P ＝2，则AP ＝2211AA A P 22+=，故以A 为球心，22为半径的球面与平面A 1B 1C 1D 1的交线是以A 1为圆心，以2为半径的圆弧B 1PD 1，故该交线长为22ππ⨯=．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(﹣2，1)，c ＝(3，﹣5)，则 A ．(a ＋2b )∥c B ．(a ＋2b )⊥c C ．1034a c +=+ D ．2a c b += 答案：AD解析：a ＋2b ＝(﹣3，5)，故A 对B 错；22(13)(35)252a c b +=++-==，故C 错D 对，综上，选AD ．10．已知实数x ，y 满足﹣3＜x ＋2y ＜2，﹣1＜2x ﹣y ＜4，则 A ．x 的取值范围为(﹣1，2) B ．y 的取值范围为(﹣2，1) C ．x ＋y 的取值范围为(﹣3，3) D ．x ﹣y 的取值范围为(﹣1，3) 答案：ABD解析：﹣3＜x ＋2y ＜2，﹣2＜4x ﹣2y ＜8，﹣5＜5x ＜10，即﹣1＜x ＜2，故A 正确；﹣4＜﹣2x ﹣4y ＜6，﹣1＜2x ﹣y ＜4，即﹣5＜﹣5y ＜10，故﹣2＜﹣5y ＜1，故B 正确； 3(2)(2)5x y x y x y ++-+=∈(﹣2，2)，故C错；(2)3(2)5x y x y x y -++--=∈(﹣1，3)，故D 对．综上选ABD ．11．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(N ω*∈，2πϕ<)的图象经过点A(03，且()f x 在[0，2π]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是 A ．ω＝2B ．6πϕ=C ．()f x 在(3π-，0)上单调递增 D ．()f x 在(0，2π)上有3个极小值点答案：AC解析：因为(0)2sin 3f ϕ==2πϕ<，所以3πϕ=，故B 错；因为()f x 在[0，2π]上有且仅有4个零点，故A 对；易知()2sin(2)3f x x π=+，画出草图可知，在(3π-，0)上单调递增，故C 正确；在(0，2π)上有2个极小值点，故D 错．综上选AC ．12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()f x ax bx cx d =+++(a ≠0)的图象都只有一个对称中心点(0x ，0()f x )，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(﹣1，2)，且不等式e e (ln x mx x -1)+≥32e [()3e]f x x x x --+对任意x ∈(1，+∞)恒成立，则A ．a ＝3B ．b ＝1C ．m 的值可能是﹣eD ．m 的值可能是1e-答案：ABC解析：由题意得(1)112f a b -=-+--=，因为2()321f x x ax '=++，所以()62f x x a ''=+，所以(1)620f a ''-=-+=，解得a ＝3，b ＝1，故32()31f x x x x =+++，因为x ＞1，所以ee (ln xmx x -1)+≥32e[()3e]f x x x x --+，等价于e e (1e)ln +1x x x m x --++≤，当x ＞0时，e 1x x >+，则ee ln e e eln 1x xxx x x --+=≥-++（当且仅当x ＝e 时，等号成立），从而e e (1e)eln ee ln +1ln 1x x x x x x --++--≥=-+，故m ≤﹣e ，故C 正确，D 错误．综上，选ABC ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．在等差数列{}n a 中，12a =，248a a +=-，则数列{}n a 的公差为 ．答案：﹣3解析：设数列{}n a 的公差为d ，因为248a a +=-，所以34a =-，则31331a a d -==--． 14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．答案：(8π+解析：由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径r ＝l ＝4，则其表面积为2(8r rl πππ+=+．15．已知双曲线C ：22188x y -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，A(0，4)，当△MAF 的周长最小时，△MAF 的面积为 ． 答案：12解析：设右焦点坐标为F 1(4，0)，周长L ＝AF ＋MA ＋MF ＝MA ＋(2a ＋MF 1)＋MA ＋MF 1＋因为MA ＋MF 1≥AF 1，∴M ，A ，F 1三点共线时，MA ＋MF 1有最小值AF 1＝M(3，1)，即当M(3，1)时，△MAF 的周长最小，此时S △MAF ＝12×8(4﹣1)＝12．16．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围 ． 答案：(1，5){0}解析：由题意可知211x x a x --=+，显然x ＝﹣1不是方程的实数根，则211(1)311x x a x x x --==++-++，故关于x 的方程()1f x a x =+恰有两个实数根，等价于y ＝a 与y ＝1(1)31x x ++-+的图像恰有两个不同的交点，画出 y ＝1(1)31x x ++-+的大致图像，如图所示，由图像可得实数a 的取值范围(1，5){0}．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知B ＝3π． （1）若a ＝4，c ＝3，求sinA 的值；（2）若△ABC 的面积为43，求△ABC 周长的最小值． 解：（1）由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，则， （2）因为△ABC 的面积为，所以，则，由余弦定理可得， 则（当且仅当a ＝c 时，等号成立），即因为，所以，所以（当且仅当a ＝c 时，等号成立），故，即△ABC 周长的最小值为12． 18．（本小题满分12分）在①1120n n n a a a +--+=(n ≥2)且11a =，525S =，②35a =，2n S n tn =+，③11a =，23a =， 且2n S -，1n S +，2n S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ， ．若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为T n ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：若选①，因为1120n n n a a a +--+=，所以，即数列{}n a 是等差数列，因为11a =，525S =，所以，解得，故，因为，所以，则，若选②，因为2n S n tn =+，所以，，所以，解得，则， 因为满足上式，所以，以下步骤同①， 若选③，因为2n S -，1n S +，2n S +成等差数列，所以，所以，即，因为，，所以，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，故，以下步骤同①． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．（1）证明：CD ⊥B 1D ；（2）若BC ＝3，求二面角B —C 1D —B 1的大小．解：（1）证明：因为△ACD 是边长为1的等边三角形，所以∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120° 因为D 是AA 1的中点，所以AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， 则∠A 1DC 1＝30°，故∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ，因为BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ∥B 1C 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ， 因为CD ⊂平面AA 1C 1C ，所以B 1C 1⊥CD ，因为B 1C 1C 1D ＝C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ，所以CD ⊥平面B 1C 1D ， 因为B 1D ⊂平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1D ； （2）连接CA 1，则AC ⊥CA 1，以C 为原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系C —xyz ，则故设平面BDC 1的法向量为，则令，得，故所以二面角B —C 1D —B 1的大小为30°． 20．（本小题满分12分）已知函数()Acos()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)的部分图象如图所示． （1）求()f x 的解析式；（2）设()()23cos(2)16g x f x x π=+-+．若关于x 的不等式2()(32)()g x m g x m -+--23≤0恒成立，求m 的取值范围．解：（1）由图可知A ＝2，，则，从而，故，因为的图像过点，所以，所以，因为，所以，故；（2）由（1）可得，设，因为，所以，因为，即在[﹣3，5]上恒成立，则，即， 解得，故m 的取值范围为．21．（本小题满分12分）已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点M(2，1)在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，AB ＝2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF AF BF t +=恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得解得，故椭圆C 的标准方程为，（2）如图，由（1）可知 当直线l 的斜率不存在时，，则当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为，联立整理得，则，，从而，故，由题意可得 则因为，所以，综上，存在实数，使得恒成立．22．（本小题满分12分）已知函数121()(1)e 2x f x x a x ax -=---+(x ＞0)． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ≤2时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围． 解：（1）121()(1)e 2x f x x a x ax -=---+(x ＞0)，时，时，时，在(0，1)递减，在递增；时，时，时，在递增，递减，递增；时，，在递增；时，时，时，在(0，1)递增，在递减，在递增；（2）时，由（1）知：，与题意不符，舍去；时，，由（1）知：要使无最小值，则：；时，由（1）知：无最小值，符合题意；④时，，由（1）知：要使无最小值，则：令，令在递增，故在(1，2)上恰有一个零点，设为时，，时，，即故在递减，递增，因此，时，恒成立，则；综上，．。

江苏省（南京市、盐城市、镇江市）2021届高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x ＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023 B．2026 C．2029 D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A．3：1 B．3：2C．1：3 D．2：35．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是A．[0，4] B．(4，6) C．[4，6] D．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log2(1＋SN)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c 的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为A ．23B ．63C ．4－2 3D ．3－18．已知函数f (x )＝x －a ex ，且e a＝ln b ＝c ，则A ．f (a )＜f (b )＜f (c )B ．f (b )＜f (c )＜f (a )C ．f (a )＜f (c )＜f (b )D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <211．已知函数f (x )＝sin 3xx 2＋1，x ∈(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ．∃x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x)6＝1470ii i a x−=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13， ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值；(2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC －B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f′(x )的最大值不小于0．(1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．江苏省（南京市、盐城市、镇江市）2021届高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

江苏省百校大联考2021-2022学年高三上学期12月第二次考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．1,0,1,22．若复数()()12i z m m m R =+-∈为纯虚数，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i3．设函数则()11,12,1x x f x x -≤=>⎪⎩，()()3f f -=（ ）A ．14B ．2C ．4D ．84．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若π取3.14，则圆柱的母线长约为（ ）A ．0.38寸B ．1.15寸C ．1.53寸D ．4.59寸5．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭，现有如下四个命题：；乙：该函数图象可以由sin 2cos2y x x =+的图象平移得到； 丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π； 丁：该函数图象的一个对称中心为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭. 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁6．“0sin 2x x π<<”是“02x π<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 CD7．已知双曲线C 的左、右焦点分别是为1F ，2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若223AF F B =，1AB AF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 5α=，则()()cos cos αβαβ+-=（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-二、多选题9．已知0x y +>，且0x <，则（ ） A ．2x xy >-B ．x y <C ．22lg lg x y >D ．2y xx y+<- 10．已知两点()4,3A -，()2,1B ，曲线C 上存在点P 满足PA PB =，则曲线C 的方程可以是（ ） A ．310x y -+= B ．224x y += C ．2212x y -=D ．23y x =11．设n S 和n T 分别为数列{}n a 和{}n b 的前n 项和.已知23n n S a =-，3nn na b =，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n b 是递增数列C ．312n n n S a -=D ．2nnS T > 12．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，将ACD △沿直线AC 翻折，形成三棱锥D ABC -.下列说法正确的是（）A ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -外接球的体积为定值B ．在翻折过程中，存在某个位置，使得BC AD ⊥C ．当平面DAC ⊥平面ABC 时，BD =D ．当平面DBC ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC - 三、填空题13．已知向量a ，b 满足3a =，4b =，()4,3a b -=-，则+=a b ______.14．写出一个能说明“若函数()f x 的导函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数”为假命题的函数：()f x =______.15．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，P 为该抛物线准线上的动点，则PA PB ⋅的最小值为___________. 四、双空题16．函数()22cos x f x x =+的最小值为______；若存在0x ≥，使得()22x x x e f a >+-'，则a 的取值范围为_______. 五、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a a n λ++=，n *∈N ，0λ≠，且2a 是1a ，5a 的等比中项.(1)求λ的值；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .18．在①2sin sin 1sin sin A B c B A ab ++=，①()2cos cos 0a b C c A ++=，sin sin 2A B c A +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且___________. (1)求角C 的大小；(2)若c =3sin sin 14A B =，求ABC 的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线（如图所示）.选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为()e e x xf x a b -=+，其中a ，b 是常数.(1)当0a b =≠时，判断()f x 的奇偶性； (2)当(),0,1a b ∈时，若()f x 1211a b+--的最小值. 20．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为正三角形，D 是AB 的中点，1AB BB =，160ABB ∠=︒，平面11AA B B ⊥底面ABC .(1)证明：平面1B DC ⊥平面11AA B B ； (2)求二面角11B CB A --的余弦值.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()A ，)B ，动点(),E x y 满足直线AE与BE 的斜率之积为13-，记E 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线．(2)过点(2,0)D 的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线3x =的垂线，垂足为G ，过点O 作OM QG ⊥，垂足为M ．证明：存在定点N ，使得MN 为定值． 22．已知函数()ln f x a x x =-，a ∈R . (1)讨论()f x 的单调性； (2)若关于x 的不等式()12ef x x ≤-在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】 【分析】化简集合A ，再利用交集的定义求解. 【详解】解：由题意得，{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，所以{}0,1A B =.故选：B 2．A 【解析】 【分析】由复数的类型有10m +=且20m ≠，求参数m ，进而写出z 的共轭复数. 【详解】由题意知：10m +=且20m ≠，①1m =-，即2i z =，故z 的共轭复数是2i -. 故选：A. 3．C 【解析】 【分析】先求(3)f -，再求()()3f f - 【详解】因为()313f -==，所以()()()313 324f f f --===.故选：C 4．C 【解析】 【分析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长由题意得，长方体的体积为3.83111.4⨯⨯=(立方寸)，故圆柱的体积为12.611.4 1.2-=(立方寸).设圆柱的母线长为l ，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得20.5π 1.2l =，计算得： 1.53l ≈(寸). 故选：C 5．B 【解析】 【分析】根据题意得到命题乙和命题丙矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，结合命题丁进行判定，即可求解. 【详解】由命题甲: ，可得A =由命题乙：由sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可知A =2ω=；由命题丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，可得1ω=， 所以命题乙和命题丙矛盾；若假命题是乙，则()()f x x ϕ+，由命题丁：该函数图象的一个对称中心为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，可得22()sin()033f ππϕ=+=， 因为02πϕ<<，可得3πϕ=，符合题意；若假命题是丙，则()()2f x x ϕ+，由命题丁：该函数图象的一个对称中心为2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，可得24()sin()033f ππϕ=+=， 可得4,3k k Z πϕπ=-∈，不满足条件02πϕ<<，所以假命题是乙. 故选：B. 6．B 【解析】 【分析】 取56x π=判断充分性，根据()sin f x x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性判断必要性，即可知题设条件间的充分必要关系.当56x π=，有5sin 0,122x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故充分性不成立. 记()sin f x x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin cos 0f x x x x '=+>，①()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()()02f f x f π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，又()00=f ，22f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ①必要性成立. 故选：B. 7．A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及余弦定理便可求得曲线C 的离心率. 【详解】解：由题意得过2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点. 设2F B t =，则23AF t =，14AB AF t ==又由双曲线的定义得122a AF AF t =-=.所以1222BF a BF t =+=.在1AF B △中，由余弦定理得2221161647cos 2448t t t F AB t t +-∠==⋅⋅.在12AF F △中，由余弦定理得222716924348t t t t c +-⋅⋅⋅=，解得c t =所以2a t c == 故C 的离心率为2ca= 故选：A 8．A 【解析】 【分析】由题可得π2πk αβ+=+，3sin 5β=，4cos cos 5αβ=-=（或4cos cos 5αβ=-=-），然后利用差角公式即得. 【详解】因为α与β关于y 轴对称，3sin 5α=，所以π2πk αβ+=+，Z k ∈，则()cos 1αβ+=-，3sin sin 5βα==，4cos cos 5αβ=-=（或4cos cos 5αβ=-=-），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 125αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 故()()7cos cos 25αβαβ+-=. 故选：A. 9．BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及对数函数的性质判断A 、B 、C 的正误，由题设得1yx<-、10x y -<<，利用基本不等式求y xx y+的最值(注意等号成立条件)判断D. 【详解】由条件知：()0x x y +<，可得2x xy <-，A 错误； 由0y x >->，则x y <且22lg lg x y <，B 正确，C 错误；由0y x >->，可得1y x <-，10x y -<<，故2y x x y ⎛⎫⎛⎫-+-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意到1y x -≠，所以2y x x y ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2y x x y +<-，D 正确.故选：BD. 10．BC 【解析】 【分析】根据题意PA PB =，知点P 一定在AB 的垂直平分线l 上，求出直线l ，满足条件的曲线C 要与l 有交点.逐个判断选项即可得到答案. 【详解】由PA PB =，知点P 一定在AB 的垂直平分线l 上， 13AB k =-，13l B l A k k k =-⇒=⋅因为线段AB 的中点坐标为()1,2-， 所以l 的方程为23(1)y x -=+⇒35y x =+. 则满足条件的曲线C 要与l 有交点.310x y -+=与l 平行，故无交点，选项A 错误；224x y +=是圆心为(0,0)，半径2r =的圆，圆心到直线l 的距离为2d ==<，故直线与圆相交，故B 正确； 把直线l 与双曲线进行联立，221235x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得21760520x x ++=，360041752360035360∆=-⨯⨯=->，所以l 与双曲线存在交点.故选项C 正确；将直线l 的方程代入23y x =，得25y y =-，方程无实数解. 故抛物线23y x =与直线l 无交点.故选项D 错误； 故选：BC.11．ACD 【解析】 【分析】由已知结合,n n a S 的关系及等比数列的定义判断数列{}n a 即可确定A 、C 正误，应用作差法比较1,n n b b +的大小关系判断B 正误，利用错位相减法求n T ，再由作差法判断2,n n T S 的大小判断D. 【详解】由23n n S a =-，当1n =时，1123S a =-，即11a =，又1123n n S a ++=-， ①1122n n n n S S a a ++-=-，即13n n a a +=，①{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，故113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 正确；由33n n n na nb ==，则1111120333n n n n n n n n b b ++++--=-=<，即{}n b 是递减数列，B 错误； 又3311223n n n a S -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则312n n n S a -=，C 正确； 211213333n n n n n T --=++⋅⋅⋅++①，231112133333n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++①，①-①得：2311111121111113311333333323313n n n n n n n n nn T +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=-- ⎪⎝⎭-，①31104323n n n nT ⎛⎫=--> ⎪⋅⎝⎭，则31312110233233n n n n n nn n T S ⎛⎫⎛⎫-=----=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①2nnS T >，D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用,n n a S 及等比数列的定义求{}n a 的通项公式，综合运用作差法、错位相减法比较大小判断数列单调性、求前n 项和，进而判断各选项的正误. 12．ACD 【解析】 【分析】设O 为AC 的中点，三棱锥D ABC -外接球的半径为5，所以三棱锥D ABC -外接球的体积为定值，故A 正确；在翻折过程中，存在某个位置，使得BC AD ⊥，从而斜边CD 的长大于直角边BC ，这与2CD =，4BC =矛盾，故B 错误；当平面DAC ⊥平面ABC 时，过D 作AC 的垂线DE ，垂足为E ，在平面ABC 上，过B 作AC 的垂线BF ，垂足为F ，所以BD =C 正确； 当平面DBC ⊥平面ABC 时， AB ⊥平面DBC ，三棱锥D ABC -的体积为112232⨯⨯⨯⨯D 正确. 【详解】解：设O 为AC 的中点，则 OA OB OC OD ====D ABC -外接球的半径为5，所以三棱锥D ABC -外接球的体积为定值，故A 正确；若在翻折过程中，存在某个位置，使得BC AD ⊥，又AB BC ⊥，则BC ⊥平面ABD ， 而BD ⊂平面ABD ， 所以BC BD ⊥，从而斜边CD 的长大于直角边BC ， 这与2CD =，4BC =矛盾，故B 错误；当平面DAC ⊥平面ABC 时，过D 作AC 的垂线DE ，垂足为E ，则DE ⊥平面ABC ，DE =AE ，在平面ABC 上，过B 作AC 的垂线BF ，垂足为F ，则BF ⊥平面DAC ，BF =，EF =所以BD ==C 正确；当平面DBC ⊥平面ABC 时，平面DBC 平面 ABC BC =.又AB BC ⊥，AB平面ABC ， 所以AB ⊥平面DBC ，计算得DB =因为2AB DC ==，4BC AD ==，所以DB DC ⊥，所以三棱锥D ABC -的体积为112232⨯⨯⨯⨯D 正确.故选：ACD 13．5 【解析】 【分析】 由()222225a ba ab b -=-⋅+=，得0a b ⋅=，再将a b +两边平方可求解.【详解】因为()4,3a b -=-，所以()222225a b a a b b -=-⋅+=，所以0a b ⋅=，所以()222225a ba ab b +=+⋅+=，所以5a b +=.故答案为：514．sin x x +，答案不唯一 【解析】 【分析】根据要求写出例如()()()sin 0,0,,0f x A x kx A k ωϕωϕ=++≠≠∈≠R 的函数即可. 【详解】形如()()()sin 0,0,,0f x A x kx A k ωϕωϕ=++≠≠∈≠R 即可.(答案不唯一) 故答案为：()sin f x x x =+15．0 【解析】 【分析】由题意设AB 为1x ty =+且()11,A x y 、()22,B x y 、()1,P m -，联立抛物线方程应用韦达定理求得124y y t +=，124y y =-，再利用向量数量积的坐标表示可得()()()()121222PA PB ty ty y m y m ⋅=+++--，即可求最值.【详解】由抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，①直线AB 的方程可设为1x ty =+，代入抛物线方程得2440y ty --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，又P 为该抛物线准线上的动点，可设()1,P m -，则()()11111,2,PA x y m ty y m =+-=+-，()()22221,2,PB x y m ty y m =+-=+-，①()()()()121222PA PB ty ty y m y m ⋅=+++--()()()()222121212420t y y t m y y m t m =++-+++=-≥.故答案为：0. 【点睛】关键点点睛：设()11,A x y 、()22,B x y 、()1,P m -及直线方程，联立抛物线应用韦达定理得到12y y +，12y y 关于参数的关系式，再应用向量数量积的坐标表示求PA PB ⋅的最值. 16． 2 (),2-∞- 【解析】 【分析】因为()f x 为偶函数，所以()f x 的最小值就是()f x 在[)0,∞+上的最小值，利用导数判断单调性计算即可求得最小值；存在0x ≥，使得()22xx x e f a >+-'等价于存在0x ≥，()22sin 220x e x a x ++--<成立，构造函数()()22sin 22x g x e x a x =++--，利用导数研究函数的单调性，讨论2a ≥-及2a <-时，()g x 的函数值正负及单调性，即可得出结果. 【详解】因为()f x 为偶函数，所以()f x 的最小值就是()f x 在[)0,∞+上的最小值，()2sin 2x f x x =-+'，0x ≥，()22cos 0f x x ''=-≥，所以()f x '在[)0,∞+上单调递增，所以()()00f x f ''≥=，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()02f =.()22x x x e f a >+-'等价于2sin 222x x x e ax -+>+-，即()22sin 220x e x a x ++--<.令()()22sin 22x g x e x a x =++--，则()()22cos 2xg x e x a '=++-，()00g =，()02g a '=+.当2a ≥-时，()()22sin 42x g x e x x h x ≥+--=，()22cos 4xh x e x '=+-，()22sin x h x e x ''=-，注意到sin x e x x >>，所以()h x '在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ''≥=，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，()()()00g x h x h ≥≥=，不合题意.当2a <-时，()22sin 0xg x e x ''=->，所以()g x '在[)0,∞+上单调递增，所以()020g a '=+<，所以存在00x >，使得()0g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上单调递减，于是有()()00g x g <=，即存在()00,x x ∈，使得()22sin 220xe x a x ++--<， 即()22xx x e f a >+-'.综上所述，a 的取值范围为(),2-∞-.故答案为：2，(),2-∞- 【点睛】思路点睛：结合不等式特点，构造函数，结合函数不等式问题，要利用导函数研究其单调性、最值处理能成立问题. 17．(1)4λ=(2)2n S n =，n *∈N【解析】【分析】（1）根据1n n a a n λ++=及11a =，表达出21a λ=-，521a λ=+，利用等比中项性质求出λ的值；（2）结合第一问所求，分n 为偶数和奇数，分组求和进行求解 (1)由1n n a a n λ++=，可得：12a a λ+=，232a a λ+=，343a a λ+=，454a a λ+=， 所以21a λ=-，31a λ=+，121a λ=-，521a λ=+.因为2a 是1a ，5a 的等比中项，所以2215a a a =，则24λλ=，又0λ≠，所以4λ=. (2)由（1）知14n n a a n ++=.当n 为偶数时，()()()()1456123-=++++++++n n n S a a a a a a a a()24241220412nn n n ⨯=++++-==；当n 为奇数时，()()()()12345671n n n S a a a a a a a a a -=++++++++()()214421816244112n n n n -+⨯=+++++-=+=.综上所述，2n S n =，n *∈N .18．(1)2π3C =【解析】 【分析】（1）选①，先利用正弦定理进行边角互换，变成三边关系，再利用余弦定理进行求解；选①，先利用正弦定理进行边角互换，变成三内角的关系，再利用诱导公式、两角和的正弦公式进行求解；选①，先利用正弦定理进行边角互换，变成三内角的关系，再利用诱导公式、二倍角公式式进行求解；（2）先由正弦定理得到2sin sin sin ab c A B C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而得出ab 的值，再利用三角形的面积公式进行求解. (1)解：选择条件①：由2sin sin 1sin sin A B c B A ab ++=及正弦定理， 得：21a b c b a ab++=，即222a b c ab +-=-，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-；因为0πC <<，所以2π3C =. 选择条件①：由()2cos cos 0a b C c A ++=及正弦定理， 得：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A ++=， 即sin cos cos sin 2sin cos A C A C B C +=-. 即()sin 2sin cos A C B C +=-. 在ABC 中，πA B C ++=，所以()()sin sin πsin A C B B +=-=， 即sin 2cos sin B C B =-， 因为0πB <<，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2C =-.因为0πC <<，所以2π3C =. 选择条件①：sinsin 2A Bc A +=及正弦定理，得sinsin sin 2A BA C A +=，因为sin 0A ≠sin 2A BC +=.在ABC 中，πA B C ++=， 则sincos 22A B C+=，2sin cos 222C C C=. 因为0πC <<，所以cos 02C≠，则sin 2C =，故2π3C =. (2)解：由正弦定理，得2sin sin sin ab c A B C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以223sin sin 2sin 14sin3c ab A B C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以ABC的面积为112πsin 2sin 223S ab C ==⨯⨯=19．(1)偶函数； (2)10. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义判断()f x 的奇偶性； （2）由已知可得112b a=<，即有220a ->、210a ->，将目标式化为2222221a a ++--，再应用 “1”的代换，原式可得()()22122262221a a a a --++--，最后应用基本不等式求其最值，注意等号成立条件. (1)当0a b =≠时，函数()()e e x xf x a -=+的定义域为R .对任意的x ∈R ，都有x R -∈且()()()e e x xf x a f x --=+=，①()f x 为偶函数. (2)当(),0,1a b ∈时，()f x①()e e x x f x a b -=+≥12ab =， ①112b a =<，则112a <<，可知220a ->，210a ->， ①1212141222221111121121222112a a b a a a a a a a a +=+=+=++=++----------()()()()2212222222212661022212221a a a a a a a a --⎛⎫=+⨯-+-+=++≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭， 当且仅当2221a a -=-，即34a =，23b =时，等号成立，①1211a b+--的最小值为10. 20．(1)证明见解析(2) 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）找到图中三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，进而求出相应的向量坐标，接着求平面1BCB 的法向量和平面11CB A 的法向量，用向量的夹角公式求得答案. (1)证明：因为三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为正三角形，D 是AB 的中点， 所以CD AB ⊥.又在三棱柱111ABC A B C -中，1AB BB =，160ABB ∠=︒，连接1AB , 则1ABB △ 是等边三角形，所以1B D AB ⊥，因为11,,CD B D D CD B D =⊂平面1B DC ，所以AB ⊥平面1B DC . 因为AB 平面11AA B B ，所以平面1B DC ⊥平面11AA B B .(2)因为平面11AA B B ⊥底面ABC ，平面11AA B B 底面ABC AB =，1B D AB ⊥，所以1B D ⊥底面ABC ，故以D 为坐标原点，DB ，DC ，1DB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设2AB =，则()1,0,0A -，()1,0,0B，()C，(1B ，则()BC =-，(10,B C =，()112,0,0B A BA ==-.设平面1BCB 的法向量为()1111,,n x y z =，平面11CB A 的法向量为()2222,,n x y z =. 由11100n BC n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x ⎧-+=⎪=，取1x =()13,1,1n =；由2112100n B A n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得222200x -=⎧=，取21y =，得()20,1,1n =.所以121212cos ,5n n n n n n ⋅===⨯， 由图知二面角11B CB A --是钝二面角，所以二面角11B CB A --的余弦值为. 21．(1)(22162x y x +=≠，C 是中心在原点，焦点在x 轴上，不含左、右顶点的椭圆(2)证明见解析【解析】 【分析】（1）直译法即可求得曲线C 的轨迹方程，由方程可知道曲线C 是椭圆的一部分；（2）直线l 与椭圆联立方程组，以设而不求的方法简化运算，找到直线QG 所过定点是本题关键入手点，简化了证明过程，是一条捷径. (1)由()A ，)B ，(),E x y可得AE k =BE k13=-，化简得(22162x yx+=≠，所以曲线C是中心在原点焦点在x轴上不含左、右顶点的椭圆．(2)由（1）知直线l与x轴不重合，可设l：2x my=+，()11,P x y，()22,Q x y，联立222162x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()223420m y my++-=．224240m∆=+>则12243my ym+=-+，12223y ym=-+，故有121112my y⎛⎫=+⎪⎝⎭．因为()13,G y，()222,Q my y+，所以直线QG的斜率为2121122122111112y y y yymyyy y--==-⎛⎫+-⎪⎝⎭，则直线QG的方程为()1123y y y x-=-，即1522y y x⎛⎫=-⎪⎝⎭故直线QG过定点5,02H⎛⎫⎪⎝⎭．因为OM QG⊥，所以①OHM为直角三角形，取OH的中点5,04N⎛⎫⎪⎝⎭，则1524MN OH==，即MN为定值．综上，存在定点5,04N⎛⎫⎪⎝⎭，使得MN为定值．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．(1)答案见解析(2)11e,ee e⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对a分0a≤和0a>两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）依题意12ln 0e a x x x --+≤在()0,∞+上恒成立，令()12ln eg x a x x x =--+，求出函数的导函数()221x ax g x x --'=-，再由二次函数21y x ax =--的性质，可得二次函数21y x ax =--必有一正一负两个零点，设其中一个零点()00,x ∈+∞，则001a x x =-，再利用导数求出0x 的范围，从而求出a 的取值范围；(1)解：因为()ln f x a x x =-定义域为()0,∞+，且()1a a x f x x x-'=-=. ①若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.①若0a >，令()0f x '=，得x a =.当()0,x a ∈时，()0f x '>；当(),x a ∈+∞时，()0f x '<.所以()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减.(2)解：不等式()12e f x x ≤-在()0,∞+上恒成立等价于12ln 0ea x x x --+≤在()0,∞+上恒成立， 令()12ln e g x a x x x =--+，则()222111a x ax g x x x x --'=-+=-. 对于二次函数21y x ax =--，240=∆+>a ，所以其必有两个零点.又两个零点之积为1-，所以两个零点一正一负，设其中一个零点()00,x ∈+∞，则20010x ax --=，即001a x x =-. 此时()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，故()00g x ≤，即00000112ln 0e x x x x x ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭. 设函数()112ln e h x x x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()222211111ln 111ln h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=++--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>.所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 又()1e 0e h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以01,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由001a x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，得11e,e ee a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 故a 的取值范围为11e,e e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

（新高考）某某省基地学校2021届高三数学下学期4月第二次大联考试题（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的某某、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4} 2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小X、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小X和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小XC．小X的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50% A．2023 B．2026 C．2029 D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A．3：1 B．3：2C．1：3 D．2：35．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值X围是A．[0，4] B．(4，6) C．[4，6] D．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log2(1＋SN)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A．0.1W B．1.0W C．3.2W D．5.0W7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，右焦点为F，过C上一点P作直线的垂线，垂足为Q．若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为A．23B．63C．4－2 3D．3－1 8．已知函数且则A ．f (a )＜f (b )＜f (c )B ．f (b )＜f (c )＜f (a )C ．f (a )＜f (c )＜f (b )D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <2 11．已知函数(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ．∃x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则A ．P 3(t )＝4t 3－3tB ．当n ≥3时，C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)15．设(x －1x )( x ＋1x )6＝1470i ii a x -=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab． 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13，． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于某某某某，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示： 规格中蟹 大蟹 特大蟹重量(单位：克)[160，180) [180，200) [200，220) [220，240) [240，260) [260，280]数量 3 2 15 20 7 3(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为23.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值； (2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC －B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系中，过点M(0，－1)的直线交抛物于A，B两点．(1)设OA，OB的斜率分别为k1，k2，求的值；(2)过点A，B分别作直线x＝－4的垂线，垂足为C、D，试探究∠AOB和∠COD的关系，并说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f ′(x )的最大值不小于0．(1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．2021届新高考基地学校高三第二次大联考数 学 解析版 2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的某某、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞3.已知平面向量()2,1a =-，()2,c t =，则“4t >”是“向量a与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.5126.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯ B.202421- C.7362-D.811322-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f = B.()f x 的一个周期为2 C.()20231f = D.()()()543f f f =+10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值 D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu rD.PA ·PC 的最小值为-1412.已知函数()()e xf x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.16.设0a >，已知函数()()e ln xf x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A BA B-=+.（1）证明：cos 2a B b=.（2）求ab的取值范围.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.22.已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.（1）若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.江苏省百校联考高三年级第二次考试数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 13iz +=-，则复数z 的共轭复数z 的模长为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】法一：利用复数除法运算化简z ，根据共轭复数的概念求解，然后利用模的公式求模即可；法二：两边取模运算得z =，再利用z z =求解.【详解】法一：因为()1i 13i z +=-，所以13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，所以12i z =-+，所以z ==.法二：因为()1i 13i z +=-，所以两边取模()1i 13i z +=-，得1i 13i z +=-，所以z =，所以z z ==.故选：D .2.已知集合111M x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}ln 1N x x =<，则M N ⋃=（）A.(]0,1 B.()1,e C.()0,e D.(),e -∞【答案】C 【解析】【分析】先化简集合M ，N ，再根据集合的并集运算求解.【详解】111x <--，即01xx <-，所以01x <<，即()0,1M =，由ln 1x <，得0e x <<，所以()0,e N =，所以()0,e M N ⋃=.故选：C.3.已知平面向量()2,1a =- ，()2,c t = ，则“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由题意知向量a ，c 夹角为锐角，即·0a c > 且a 与c不共线，再结合充分条件和必要条件的定义从而求解.【详解】因为()2,1a =- ，()2,c t =，向量a与b夹角为锐角，即需·0a c > 且a 与c不共线，得22022t t -⨯+>⎧⎨-≠⎩，解得：4t >，所以“4t >”是“向量a 与c的夹角为锐角”的充要条件.故C 项正确.故选：C.4.若函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，π7π,0,,1312A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式是（）A.()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由函数图象可得周期T 和ω，进一步将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式结合π2ϕ<运算即可得解.【详解】由图象知7ππ4π123T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,故2π2π2πT ω===，将7π,112⎛⎫-⎪⎝⎭代入解析式,得7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以7ππ2π,Z 62k k ϕ+=-+∈，解得5π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<,所以π1,3k ϕ==,所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：C .5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x ,y ,记A 事件为“8C x>8C y”,则()P A =（）A.1136B.13C.1336D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意可以分析出，抛掷两次总的基本事件有36个，随后进行列举分析.【详解】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件；当x=2时，y=1满足；当x=3时，y=1，2，6满足；当x=4时，y=1，2，3，5，6满足；当x=5时，y=1，2，6满足；当x=6时，y=1满足.总共有13种满足题意，所以P (A )=1336.故选：C .6.若直线y ax b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则2a b +的最小值为（）A.2ln 2B.ln 2C.12ln 2D.1ln 2+【答案】B 【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得2a b +的表达式，再利用导数求得2a b +的最小值.【详解】设直线y ax b =+与曲线ln y x =相切的切点为00(,ln )x x ，由ln y x =求导得1y x'=，于是0001ln a x ax b x⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则0ln 1b x =-，0022ln 1a b x x +=+-，设2()ln 1,0f x x x x=+->，求导得22212()x f x x x x '-=-+=，当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，函数()f x 递增，因此当2x =时，min ()ln 2f x =，所以2a b +的最小值为ln 2.故选：B7.已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，且抛物线C 过点()1,2P -，过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，11,A B 分别为,A B 两点在抛物线C 准线上的投影，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.线段AB 长度的最小值为2B.11A FB 的形状为锐角三角形C.1,,A O B 三点共线D.M 的坐标不可能为()3,2-【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的性质可判断A ；根据抛物线的定义和平行线的性质判断B ；设直线AB 和点A 、B 的坐标，联立抛物线方程，结合韦达定理和三点共线经过任意两点的直线斜率相等，判断C ；设AB 的中点为()00,M x y ，则12022y y y m +==，2021x m =+，取1m =-求出M 可判断D.【详解】对于A ，因为抛物线C 过点()1,2P -，所以抛物线C 的方程为24y x =，线段AB 长度的最小值为通径24p =，所以A 错误；对于B ，由定义知1AA AF =，1//AA x 轴，所以111AFA AA F A FO ∠=∠=∠，同理11BFB B FO ∠=∠，所以1190A FB ∠=，所以B 错误；对于C ，设直线:1AB x my =+，与抛物线方程联立，得2440y my --=，设()111,A x y ，()122,B x y ，则124y y =-，11==OA y k x 214=-y y ，因为()121,B y -，所以12OB OA k y k =-=，1,,A O B 三点共线，所以C 正确；对于D ，设AB 的中点为()00,Mxy ，则12022y y y m +==，200121x my m =+=+，取1m =-，可得()3,2M -，所以D 错误.故选：C .8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=，记m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，则数列{}m b 的前2023项和为（）A.20232024⨯B.202421- C.7362-D.811322-【答案】D 【解析】【分析】首先根据n S 与n a 的关系，得到数列{}n a 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，并对于不同的m 值，计算满足条件的个数，从而求和得解.【详解】因为1n n S a +=，则111n n S a +++=，两式相减，得120n n a a +-=，又当1n =时，112a =，故0n a ≠，所以{}n a 是以112a =，12q =的等比数列，则12n n a =，显然{}n a 递减，要使得n a 最小，即要使得n 最大，令11221n m ≥+，得221n m ≤+.若1m =，则1111,2n b a ≤==;若23m ≤≤，则212,4m n b a ≤==;若47m ≤≤，则313,;8m n b a ≤==若815m ≤≤，则414,;16m n b a ≤== ;若10242047m ≤≤，则1111111,,2m n b a ≤==，则()113123111,1222T b T b b b ===++=+=()()712345671113,2222T b b b b b b b =++++++=++= ，204720231111111,222T T ∴=⨯=∴=-11824113222=-，故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得221n m ≤+，从而分类讨论m 的取值范围，求得对应m b 的值，从而得解.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则以下说法正确的是（）A.()00f =B.()f x 的一个周期为2C.()20231f = D.()()()543f f f =+【答案】ABD 【解析】【分析】对A 选项：由()f x 是R 上的奇函数即有()00f =；对B 选项：由()()11f x f x -=+可得()()2f x f x =+，即可得；对C 选项：由周期性及奇偶性结合即可得；对D 选项：由周期性及奇偶性结合即可得.【详解】()f x 是R 上的奇函数，因此()00f =，故A 正确；由()()11f x f x -=+得()()2f x f x =+，所以2是它的一个周期，故B 正确；()()()20232101111f f f =⨯+=，而()()()111f f f =-=-，故()10f =，故C 错误；()()400f f ==，()()53f f =，因此()()()543f f f =+，故D 正确.故选：ABD .10.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D.若直线l 的方程为()22y x a =--，RS 2SB = ，则双曲线C 3【答案】BD【解析】【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线l ：y kx t =+分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出,P Q 和,R S 坐标，从而可对B 、C 项判断；根据2RS SB = ，求出2b a =，从而可对D 项判断.【详解】对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y kx t =+，与双曲线联立22221y kx t x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得：()()22222222220b a k x a ktx a t a b ---+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由根与系数关系得：2122222a kt x x b a k +=-，222212222a b a t x x b a k+=--，所以线段PQ 中点2221212222222,,22x x y y a kt a k t N t b a k b a k ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，将直线l ：y kx t =+，与渐近线b y x a =联立得点S 坐标为,at bt S b ak b ak ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，将直线l ：y kx t =+与渐近线b y x a =-联立得点R 坐标为,at bt R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭所以线段RS 中点222222222,a kt a k t M t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以2PQ RSPR SQ -==，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得22,a b R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，11222ORB R b S OB y OB b ak =⨯=+ ，因为OB 为定值，当k 越来越接近渐近线b y x a =-的斜率b a -时，2b b ak +趋向于无穷，所以ORB S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线b y xa =，解得2S ，联立直线l 与渐近线b y xa =-，解得2R ⎛⎫由题可知，2RS SB = ，所以()2S R B S y y y y -=-即32S R By y y =+=，解得b =，所以e =D 项正确.故选：BD .11.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=1,∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°,动点P 在直线CD 1上运动,以下四个命题正确的是（）A.BD ⊥APB.四棱锥P-ABB 1A 1的体积是定值C.若M 为BC 的中点,则1B A =2AM -1AC uuu r D.PA ·PC 的最小值为-14【答案】BCD【解析】【分析】根据空间几何的相关知识，逐一分析选项即可.【详解】对于A,假设BD ⊥AP ,AB=AA 1=2,∠BAD=60°,由余弦定理易得222=AB ,,BD BD AD BD AD BD AD D =∴+⊥⋂=，,BD AD ⊂平面ACD 1,则BD ⊥平面ACD 1,因为AC ⊂平面ACD 1,所以BD ⊥AC ,则四边形ABCD 是菱形,AB=AD ,A 不正确;对于B,由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1得CD 1∥平面ABB 1A 1,所以四棱锥P-ABB 1A 1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,B 正确;对于C,1AC uuu r =AB +AD +1AA ,AM =AB +12AD ,故2AM -1AC uuu r =AB -1AA =1B A ,故C 正确;对于D,设PC =λ1C D ,PA ·PC =(PC +CB +BA )·PC=(λ1C D -AD -AB )·λ1C D =(λ1B A -AD -AB )·λ1BA =(λAB -λ1AA -AD -AB )·(λAB -λ1AA )=λ(λ-1)|AB |2-λ21AA ·AB -λAD ·AB -λ(λ-1)AB ·1AA +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)|AB |2-(2λ2-λ)1AA ·AB -λAD ·AB +λ2|1AA |2+λAD ·1AA =λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60°=4λ2-2λ=(2λ-12)2-14≥-14,当且仅当λ=14时,等号成立,所以PA ·PC 的最小值为-14,故D 正确.故选：BCD .12.已知函数()()e x f x a a x =+-，则下列结论正确的有（）A.当1a =时，方程()0f x =存在实数根B.当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递减C.当0a >时，函数()f x 有最小值，且最小值在ln x a =处取得D.当0a >时，不等式()32ln 2f x a >+恒成立【答案】BD【解析】【分析】对于A ，构造函数()e 1x h x x =+-求导即可判断；对于B ，判断当0a ≤时，是否满足()0e 1x f x a -'=<即可；对于C ，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，由此即可判断；对于D ，只需验证21ln 02a a -->是否恒成立即可，即验证min ()0g a >是否成立即可.【详解】对于A ，因为1a =,所以方程()0f x =即e 10x x +-=，设()e 1x h x x =+-，则()e 1x h x '=-，令()e 10xh x '=-=，得0x =，当0x <时，()e 10x h x '=-<，()e 1x h x x =+-单调递减，当0x >时，()e 10xh x '=->，()e 1x h x x =+-单调递增，所以()()e 1020x h x x h =+->=>，所以方程()0f x =不存在实数根，所以A 错误.对于B ，因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时,由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减，所以B 正确.对于C ，由上知，当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-.当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x '>，则()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增.综上，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.所以函数()f x 有最小值，即最小值在ln x a =-处取得，所以C 错误.对于D ，由上知()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证()32ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则2121()2a g a a a a-'=-=.令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >.所以()g a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以2min ()ln 01l n n 22l 122g a g ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，()32ln 2f x a >+恒成立，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题对于A 的关键是构造函数即可；对于B ，验证导数是否恒小于0即可；对于C ，首先验证取极值必要条件不满足即可判断；对于D ，转换为验证21ln 02a a -->是否恒成立即可.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【解析】【分析】分离参变量，利用基本不等式求解函数最值即可求解.【详解】因为[]0,2x ∈，所以由220ax x a -+≤得221x a x ≤+，因为关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[]0,2上有解，所以2max 21x a x ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，当0x =时，2201x x =+，当0x ≠时，222111x x x x =≤=++，当且仅当1x =时，等号成立，综上221x x +的最大值为1，故1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞.故答案为：(],1-∞.14.已知{}n a 是递增的等比数列，且满足3135911,9a a a a =++=，则468a a a ++=_____.【答案】273【解析】【分析】先通过23135332919a a a a a a q q ++=++=求出q ，再根据()3468135a a a a a a q ++=++求解即可.【详解】设公比为2313533291,9a q a a a a a q q ++=++=，解得29q =或19，因为{}n a 是递增的等比数列，所以3q =，则()346813539132739a a a a a a q ⨯+=+=++=.故答案为：273.15.如图，若圆台的上、下底面半径分别为12,r r 且123r r =，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______.【答案】12π【解析】【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.【详解】设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处,设球O 与母线AB 切于M 点,所以OM AB ⊥,所以12OM OO OO R ===(R 为球O 的半径),所以1AOO 与AOM 全等,所以1AM r =,同理2BM r =，所以12AB r r =+，()()22212121212412O O r r r r r r =+--==，所以12O O =，所以圆台的内切球半径R ，内切球的表面积为24π12πR =.故答案为：12π.16.设0a >，已知函数()()e ln x f x a ax b b =-+-，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为______.【答案】e 2##1e 2【解析】【分析】利用n (l )g x a x x =+的单调性，将不等式变形为e x ax b ≥+恒成立，利用切线或者构造函数,(e )x h x ax b =--结合导数即可求解最值求解.【详解】)0e l ()()(n x f x ax a ax b ax b ≥⇔+≥+++，设n (l )g x a x x =+，由于0a >，易知()g x 在(0,)+∞上递增，且e ln e e e ()x x x x g a ax =+=+，故()()(0e )e x x f x g g ax b ax b ≥⇔≥+⇔≥+.法一:设e x y =在点00(,e )x P x 处的切线斜率为a ，0e x a =，即0ln ,x a =切线):1ln (l y ax a a =+-，由e x ax b ≥+恒成立，可得)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，设21ln )),((0h a a a a =->，)()(12ln 2h a a a '=-，当12)0,e (a ∈时，()0'>h a ，当12(,)e a ∈+∞时，0(),h a '<∴12max e )()2e (h a h ==，∴ab 的最大值为e 2.法二:设(e ,e ())x x h x ax b h x a '=--=-，当(,ln )x a ∈-∞时，()0h x '<，当(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，∴min 0()()1)ln ln (h x h a a a b ==--≥，即有)ln (1b a a ≤-，∴2)1ln (ab a a ≤-，下同法一.故答案为：e 2.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.锐角 ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知1cos sin 2sin 1cos 2A B A B-=+.（1）证明：cos 2a B b =.（2）求a b的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证法一：利用二倍角公式化简等式右边，然后结合两角差的余弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；证法二：利用二倍角公式化简等式左右两边，然后结合两角差的正弦公式以及角的范围得到,A B 的关系，再通过正弦定理完成证明；（2）根据三角形是锐角三角形分析出B 的范围，结合（1）的结论求解出a b 的范围.【小问1详解】证法一：因为21cos sin 22sin cos sin sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B-===+，所以()1cos cos sin sin A B A B -=，所以cos cos cos sin sin B A B A B =+，即()cos cos A B B -=，因为ππ0,022A B <<<<，所以ππ22A B -<-<，所以A B B -=，即2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，即cos 2a B b=；证法二：因为222sin sin 1cos sin 22sin cos sin 22sin 1cos 22cos cos 2sin cos cos 222A A A B B B B A A A A B B B -=====+，所以sin cos cos sin 22A A B B =，所以sin 02A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ0,022A B <<<<，所以π024A <<，所以ππ224A B -<-<，所以02A B -=，所以2A B =，所以sin 2sin cos A B B =，由正弦定理可得2cos a b B =，即cos 2a B b=.【小问2详解】由上可知2A B =，则π022π02π0π2A B B A B ⎧<=<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩，解得π6π4B <<，又因为cos 2a B b =，所以2cos a B b =∈，所以a b的取值范围是.18.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10，现从这三个市中任意选取一个人.（1）求这个人感染支原体肺炎病毒的概率；（2）若此人感染支原体肺炎病毒，求他来自甲市的概率.【答案】（1）0.054（2）827【解析】【分析】（1）记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，求出()P E ,()P F ,()P G ,()|P D E ,()|P D F ,()|P D G ,根据全概率公式可得答案；（2）由条件概率公式可得答案.【小问1详解】记事件:D 选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,记事件:E 此人来自甲市,记事件:F 此人来自乙市,记事件:G 此人来自丙市，Ω= E F G ,且,,E F G 彼此互斥,由题意可得()40.220==P E ,()60.320==P F ,()100.520==P G ,()|0.08=P D E ,()|0.06=P D F ,()|0.04=P D G ,由全概率公式可得()()()()()()()|||=⋅+⋅+⋅P D P E P D E P F P D F P G P D G0.20.080.30.060.50.040.054=⨯+⨯+⨯=，所以从三市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054；【小问2详解】由条件概率公式可得()()()()()()|0.20.088|0.05427⨯====P DE P E P D E P E D P D P D ，所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为827.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，2330n n S a -+=.（1）证明数列{}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，若133(12)(2)2log 1nk k n k k k S a a T n λ=--+⋅>+∑对任意*N n ∈恒成立，求整数λ的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）0【解析】【分析】（1）利用数列作差得到递推关系，再利用等比数列定义证明；（2）根据等比数列定义求出通项公式和前n 项和与积，进而对133(12)(2)2log nk k k k k S a T =--+∑化简，利用裂项相消法求和，分参求λ的取值范围.【小问1详解】因为2330n n S a -+=，①当2n ≥时，112330n n S a ---+=，②①-②得：()132n n a a n -=≥，即()-132n n a n a =≥，经检验13a =符合上式，所以数列{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列.【小问2详解】由（1）知3n n a =，所以()131333132n n n S +--==-，()121221233333n n n nn n T a a a ++++==⨯⨯⨯== ，所以()()312111133333(12)(2)(12)(23)(21)3222log 13log k k k n n n k k k k k k k k k S a k k T k k +===+---+--⨯+-⋅==+∑∑∑111333311k kn nk k k n ++=⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭∑，所以13311n n a n n λ+⋅->++恒成立，即133311n nn n λ+⋅->++，化简得：1133n n λ-+<-，令1133n n n b -+=-，所以112121330333n n n n n n n n b b +-+++⎛⎫-=---=> ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 是递增数列，最小值为11111313b -+=-=，所以1λ<，故整数λ的最大值为0.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ,已知123A F FA = .（1）求椭圆的离心率.（2）已知椭圆右焦点F 的坐标为()1,0，P 是椭圆在第一象限的任意一点,且直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积与2A FP △的面积相等,求直线2A P 的斜率.【答案】（1）12（2）324k =-【解析】【分析】（1）由条件，转化为关于,a c 的等式，即可求解离心率；（2）方法一：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，利用点到直线的距离，以及条件结合得到22114PQ h A Ph ==，再根据2245A P A Q = ，求得点P 的坐标，代入椭圆方程，即可求解；方法二：首先设直线2A P 的方程为20kx y k --=且0k <，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求得点P 的坐标，并结合面积公式，即可求解.【小问1详解】由题可知，122A A a =,由123A F FA =,所以123A F FA = ,所以1123342A F A A a ==,即32a c a +=,所以椭圆的离心率12c e a ==；【小问2详解】法一:由题意知,1,2c a ==，所以椭圆方程为24x +23y =1,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <，设1A 到直线2A P 的距离为1h ，F 到直线2A P 的距离为2h ，则1h =，2h =，又1112A PQ S h PQ =⋅ ,22212A FP S h A P =⋅ 12A PQ A FP S S = ,所以22114PQ h A Ph ==，由图可得2245A P A Q = ,又因为()22,0A ，()0,2Q k -,所以28,55P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又P 在椭圆上,代入椭圆方程解得298k =,因为0k <,所以324k =-,法二:由题意知,直线2A P 的斜率存在,设直线2A P 的斜率为k ,则直线方程为20kx y k --=且0k <,联立2220143kx y k x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得到方程()2222341616120k x k x k +-+-=,所以222161234A P k x x k -⋅=+,所以228634P k x k -=+,代入直线方程得2228612,3434k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,()0,2Q k -,22122P A FP P y S A F y =⋅= ,()112121142422A PQ QA A PA A P S S S k y =-=⋅⋅--⋅ 又因为12A PQ A FP S S = ,所以542P y k =-,所以25124234k k k -⋅=-+,解得298k =,因为0k <,所以324k =-.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）若PD AD =，M 是PD 的中点，N 在线段PC 上，求平面BMN 与平面ABCD 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）0,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质结合线面垂直的判定定理即可得；（2）证明DA ，DC ，DP 两两垂直后建立空间直角坐标系，设出N 点位置后表示出两面夹角的余弦值后结合换元法与分式求最值的方式即可得.【小问1详解】四边形ABCD 是正方形，∴AD CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又 PD ⊂平面PCD ,∴AD PD ⊥，同理CD PD ⊥，又 AD CD D = ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD .【小问2详解】由(1)知AD PD ⊥，CD PD ⊥，AD CD ⊥，∴DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点,DA 、DC 、DP 所在直线分别x 、y 、z轴，建立空间直角坐标系，设2PD AD ==，则()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M ，PD ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，设()01CN CP λλ=≤≤，有()2,2,1BM =-- ，()0,2,2CP =-，则()2,2,2BN BC CN BC CP λλλ=+=+=--，设平面BMN 的法向量为(),,n x y z =，则·220·2220BM n x y z BN n x y z λλ⎧=--+=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，取x λ=，则12y λ=-，22z λ=-，故平面BMN 的一个法向量为(),12,22n λλλ=--，设平面BMN 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos cos ,m n θ==，设1t λ=-，则01t ≤≤，①当0=t 时,cos 0θ=，②当0t ≠时，cosθ===，当23t=时，22cos3θ=，故220cos3θ≤≤，综上,220cos3θ≤≤，即平面BMN与平面ABCD夹角的余弦值的取值范围为0,3⎡⎢⎣⎦.22.已知函数()()21ln02f x x x ax a=->.（1）若函数()f x在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;（2）若函数()f x有两个极值点()1212,x x x x<,证明：121x xa>.【答案】（1）1a≥（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，()0f x'≤恒成立，即ln1xax+≥恒成立，构造函数()ln1xh xx+=，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围；（2）方法一：由（1）得01a<<，转化为()1212,x x x x<是()g x的两个零点，求导得到()g x单调性，得到12101x xa<<<<，换元后即证1ln e10tt-+-<，构造()1ln e1tG t t-=+-()01t<<，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案；方法二：先证明引理，当01t<<时,()21ln1ttt-<+,当1t>时,()21ln1ttt->+，变形得到只需证()212lna x x a+>-，结合引理，得到()2222ln2ln10a x a a x a+-++>，()2211ln2ln10a x a a x a+-++<，两式结合证明出答案.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()1ln f x x ax '=+-，由题意()0f x '≤恒成立，即ln 1x a x+≥恒成立，设()ln 1x h x x +=，则()221ln 1ln h x x xx x'==---，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()ln 1x h x x +=单调递增,当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()ln 1x h x x+=单调递减,∴()h x 在1x =处取得极大值，也是最大值，()()max 11h x h ==，故1a ≥；【小问2详解】证法一：函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<，设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,又因为()110g a =->，所以12101x x a<<<<，要证121x x a >,只需证2111x ax a >>,只需证()211g x g ax ⎛⎫< ⎪⎝⎭，其中()20g x =，即证()111111ln 0g ax ax x ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，即证()111ln 10ax x +-<，由()111ln 10g x x ax =-+=,设()10,1ax t =∈,则1ln 1x t =-,11e t x -=,则()1111ln 10ln e 10t ax t x -+-<⇔+-<,设()1ln e1tG t t -=+-()01t <<，()1111e e et t t tG t t t ----'=-=，由(1)知ln 11x x+≤，故ln 1≤-x x ,所以1e x x -≥,1e 0t t --≥,即()0G t '≥，()G t 在()0,1上递增，()()10G t G <=,故()111ln 10ax x +-<成立,即121x x a>；证法二：先证明引理:当01t <<时,()21ln 1t t t -<+,当1t >时,()21ln 1t t t ->+，设()()()21ln 01t M t t t t -=->+,()()()()222114011t M t t t t t -'=-=≥++，所以()M t 在()0,∞+上递增,又()10M =,当01t <<时,()()10M t M <=，当1t >时，()()10M t M >=，故引理得证，因为函数()f x 有两个极值点，由(1)可知01a <<,设()()1ln g x f x x ax '==+-，则()1212,x x x x <是()g x 的两个零点，()1g x a x '=-，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增,在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以1210x x a<<<,即1201ax ax <<<，要证121x x a>,只需证12ln ln ln x x a +>-，因为11221ln 01ln 0x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，即证()212ln a x x a +>-，由引理可得()()222221ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=>+,化简可得()2222ln 2ln 10a x a a x a +-++>①，同理()()111121ln 1ln 1ax ax a ax ax -+-=<+，化简可得()2211ln 2ln 10a x a a x a +-++<②，由①-②可得()()()()2212121ln 20ax x x x a a x x +-+-->，因为210x x ->，0a >，所以()21ln 20a x x a ++->，即()212ln a x x a +>-,从而121x x a>.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第二次考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、未知1．已知集合{}2340,{12},A xx x B x x =+->=-<∣则()RA B =（ ）A ．{11}xx -<∣ B ．{13}x x -<<∣ C ．{13}xx <<∣ D ．{11}x x -<<∣2．已知复数z 满足((2)55i z i +=-，则z =（ ） A ．33i -B ．13i -C ．13i +D ．33i +3．已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数ln ||()e ex xx f x -=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．点P 为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线上一点，直线2x p =交抛物线C 于M ，N 两点，若PMN 的面积为20，则p =（ ）A ．1B C ．2D 6．已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．29-B ．29C ．79-D ．7 97．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且120BAD ∠=︒，AP AB⋅的取值范围是（ ） A ．[2,4]-B ．(2,4)-C ．[2,2]-D ．(2,2)-8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为球心，面1111D C B A 的交线长为（ ）A ．2π B CD ．π9．已知向量(1,3),(2,1),(3,5),a b c ==-=-则（ ） A ．(2)//a b c + B ．(2)a b c +⊥C ．||10a c +=+D ．||2||a c b +=10．已知实数x ，y 满足322,124,x y x y -<+<-<-<则（ ） A ．x 的取值范围为(1,2)- B ．y 的取值范围为(2,1)- C ．x y +的取值范围为()3,3-D ．x y -的取值范围为(1,3)-11．已知函数()2sin()||2,f x x πωϕωϕ+⎛⎫=+∈<⎪⎝⎭N 的图象经过点A ，且()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是（ ） A ．2ω= B ． 6πϕ=C ．()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在(0,2)π上有3个极小值点12．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式ee (ln 1)xmx x -+e32()3e f x x x x ⎡⎤--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e- 13．在等差数列{}n a 中，1242,8a a a =+=-，则数列{}n a 的公差为_________. 14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.15．已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为_________.16．已知函数2()1f x x x =--，若关于x 的方程()|1|f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围是_________.17．在ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c .已知3B π=.（1）若4,3a c ==，求sin A 的值（2）若ABC的面积为ABC 周长的最小值.18．在①1120(2)n n n a a a n +--+=且151,25a S ==，②235,n a S n tn ==+，③121,3a a ==，且122,,n n n S S S ++-成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，_________.若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .19．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式（2）设()()216g x f x x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.20．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 的直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 在椭圆C 上，且当直线l 垂直于x 轴时，||2AB =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得1111AF BF t AF BF +=恒成立.若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21．已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>. （1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a 时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.二、解答题22．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，ACD ∆是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD ⊥B 1D ；（2）若BC B —C 1D —B 1的大小.。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期第二次百校联考试题理〔扫描〕2021高三第二次百校联考理科数学参考答案〔1〕A 解析：i 1i 222z ===-+-，故i.22z =-- 〔2〕A 解析：由题意可得[]2,1U C M=-，(],0N =-∞，故()U C M N =[]2,0-. 〔3〕D 解析：因为a c ⊥，所以()0a c a a b λμ⋅=⋅+=，可得02μλ+=，即20λμ+=. 〔4〕B 解析：从自然数1~5中任取3个不同的数的根本领件总数为3510C =，其中平均数大于3的情况有〔1,4,5〕，〔2,3,5〕，〔2,4,5〕，〔3,4,5〕，一共4种，故概率为2.5 〔5〕B 解析：因为(0,)2x π∀∈，sin x x >，所以(,0)2x π∀∈-，sin x x >lg(1)1x -<的解集为()9,1-，所以q〔6〕C 解析：根据题意可得：2122S q S +=+，即1212q q ++=+，解得32q =. 〔7〕C 解析：根据椭圆的对称性和定义可得28AF BF a +==，因为90AFB ∠=，OF c =,所以26AB c ==，所以ABF ∆的周长为2214a c +=.〔8〕C 解析：34134123231110ln |ln |ln |i i i i e e e e e e e e e e e e s dx dx dx x x x x x x ++=++++=+++⎰⎰⎰110i =-=，解得11i =，应选C.（9）C 解析：由题意可得sin(22)3x πϕ++sin(22)3x πϕ=+-，整理得sin 20ϕ=，即,2k k Z πϕ=∈，因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为.2π 〔10〕A 解析：设圆柱的高为h ，那么根据题意可得32243r r h ππ⨯=，解得883h r ==， 那么该建筑物的外表积22266S r rh πππ=+=，所以一共需涂料费用6600元.〔11〕D 解析：画出可行域知当3y x z =-+与24y x =-相切时，z 取最大值，对24y x =-求导可得23x -=-，解得32x =，代入24y x =-可得74y =，所以max 37253244z =⨯+=，当2,0x y =-=时，z 取最小值6-，应选D.〔12〕A 解析：根据题意可得()1()1a b f a e f b e =-==-，所以2a b e e +=，那么(2)a b b e be -=-.令()x g x xe =-(0)x <，那么'()(1)x x x g x e xe x e =--=-+，当(,1)x ∈-∞-时，'()0gx >，当(1,0)x ∈-时，'()0g x <，所以max 1()(1)g x g e =-=. 〔13〕-4解析：341241441()()(1),r r r r r r r T C x C x x--+=-=-令1248r -=，解得1r =，所以8x 的系数为-4. 〔14〕1e --解析：因为(e)(e)e e f g -=-+=，所以(e)e ln e f a =-=+,1 e.a =-- 〔15〕2解析：由32n n a a +=+可得54321()()6n n n n n n a a a a a a +++++++-++=，所以数列{}32313n n n a a a --++是首项为123a a a ++，公差为6的等差数列，设123a a a x ++=， 那么302930626702x ⨯+⨯=，解得2x =，即1232a a a ++=. 〔16〕9解析：设双曲线的左，右焦点分别为12,,F F 根据题意可得：122||||16||1||5d PM d PF d PF d PF +≥+-=++-=++，结合图像可知2||d PF +的最小值为2F 到渐近线的间隔，因为2F 到渐近线的间隔为4，所以||d PM +的最小值为9.〔17〕解析：〔Ⅰ〕由及正弦定理可得:1sin cos sin a c A C C==,因为c =tan C =.3C π=----------4分 〔Ⅱ〕根据正弦定理可知2sin sin sin a b c A B C ===，所以2sin ,2sin a A b B == 22sin sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2a A b B A B A B +=+=--， 因为23A B π+=，所以4sin sin 2cos 2cos(2)3a Ab B A A π+=---12cos 222sin(2)226A A A π=-+=+-， 因为2(0,),3A π∈所以72(,),666A πππ-∈-所以1sin(2),162A π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦， 所以32sin(2)(,3],62A π+-∈所以3sin sin (,3].2a Ab B +∈-----------12分 〔18〕解析：〔Ⅰ〕设他能出车的事件为A ， 那么11111159()(1)(1).22223372P A =⨯-⨯+⨯-⨯=-----------4分 〔Ⅱ〕根据题意可得X 的可能取值为0,1,2,3,4.所以X 的分布列为：E X=012343636363636⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.3---------12分. 〔19〕解析：〔Ⅰ〕连接AC 交BD 于点O ，分别以OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，SA =，所以OS =S ，(0,A D B ，(0,E F 设G 是AD 的中点，那么,0)22G -， 2(,22SG =-，(22EF =--，(22EB =--， 因为0SG EF⋅=，0SG EB ⋅=，所以SG EF ⊥，SG EB ⊥， 因为EF ⊂平面BEF ，EB ⊂平面BEF ，所以SG ⊥平面BEF ，又SG ⊂平面SAD ，所以平面BEF ⊥〔几何法：取AD 中点G ，连接SG 交EF 于点M ，连接BM ，BG,那么BM SG EF SG ⊥⊥,〕 〔Ⅱ〕设OS h =，那么(0,0,)S h ，),(0,)22h h E F ， 那么222(,,0),()2h EF EB =--=--，设平面BEF 的法向量为1(,,)n x y z =， 那么110,0n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即002x y hz x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，那么1,y z =-= 所以1(1,1,n h=--，取平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =， 那么根据题意可得1212cos 60||,||||n n n n ⋅=即12=h = 所以143S ABCD V -=⨯=-----------12分 〔20〕解析:〔Ⅰ〕因为抛物线1:C 22y px =与圆2:C 22(2)4x y -+=都关于x 轴对称， 所以交点,A B 关于x 轴对称，又因为OAB ∆为直角三角形，所以AB 为圆2C 的直径，不妨设点A 在第一象限，那么可得点A 〔2,2〕，代入抛物线方程得1p =， 所以抛物线1C 的方程为22y x =.---------------5分〔Ⅱ〕根据题意可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y kx =，设点(,)E E E x y ，(,)F F F x y ，联立22y kx y x =⎧⎨=⎩，可解得222F F x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为E 是OF 的中点，所以211E E x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆2C 方程得22211(2)4k k -+=， 整理可得42130k k -=，又因为0k≠，所以k =， 所以直线l 的方程为.y x =-------------12分 〔21〕解析：〔Ⅰ〕由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()ln 11ln f x x x x x =+--=-，令()ln g x x x =-，那么'11()1x g x x x -=-=， 当01x <<时，'()0g x >；当1x >时，'()0g x <，所以max ()(1)1g x g ==-，即()ln 0g x x x =-<，所以'()0f x <，所以()f x 〔Ⅱ〕2()ln f x x x ax x =--的零点情况，即方程2ln 0x x ax x --=的根情况， 因为0x >，所以方程可化为ln 1x a x-=， 令ln 1()x h x x -=，那么'221(ln 1)2ln ()x x h x x x ---==，令'()0h x =，可得2x e =， 当20x e <<时，'()0h x >， 当2x e >时，'()0h x <，所以2max 21()()h x h e e ==，且当0x →时，()f x →-∞；当2x e >时，()0h x >， 所以ln 1()x h x x-=的图像大致如下列图， 结合图像可知，当21a e >时，方程ln 1x a x-=没有根； 当21a e =或者0a ≤时，方程ln 1x a x-=有一个根； 当210a e <<时，方程ln 1x a x -=有两个根.所以当21ae >时，函数()f x 无零点；当21a e =或者0a ≤时，函数()f x 有一个零点；当210a e <<时，函数()f x〔22〕解析：〔Ⅰ〕∵M 为AB 的中点，∴OM ⊥AB ，∵N 为CD 的中点，∴ON ⊥CD ，在四边形OMEN 中，∴∠OME+∠ONE=180°，∴O ，M ，E ，N 四点一共圆.------------5分〔Ⅱ〕因为AB=CD ，所以AB CD =,所以BC AD =，所以,BDC ABD ∠=∠所以BE=DE ，连接OB ，OD ，设BD 的中点为1O ，那么1EO BD ⊥，1OO BD ⊥， 所以1,,E O O 三点一共线，所以EO BD ⊥.--------------10分. （23）解析：〔Ⅰ〕消去参数可得221x y +=,因为2παπ≤≤，所以11,10x y -≤≤-≤≤，所以曲线1C 是221x y +=在x 轴下方的局部，所以曲线1C 的极坐标方程为1(2)ρπθπ=≤≤，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1xy +-=------------5分 〔Ⅱ〕设00(,)P x y ，那么010y -≤≤，直线l的倾斜角为，那么直线l 的参数方程为:(为参数).……………………………7分代入的直角坐标方程得, 由直线参数方程中的几何意义可知PM PN ⋅=0|12|y -， 因为010y -≤≤，所以[]1,3PM PN ⋅∈………10分（24）解析：〔Ⅰ〕21x m -<，即121m x m -<<+，解得1122m m x -+<<， 因为不等式的整数解为2，所以11222m m -+<<，解得35m <<， 因为m ∈Z ，所以4m =．……………………5分〔Ⅱ〕由题意可知4ab =，0a b >>，所以0a b ->，因为222()28()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+≥=---〔当且仅当8a b a b-=-，即a b ==.所以22a b a b +≥-分。

2021届新高考基地学校高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4} 2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50% A．2023 B．2026 C．2029 D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A．3：1 B．3：2C．1：3 D．2：35．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是A．[0，4] B．(4，6) C．[4，6] D．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C ＝B log 2(1＋S N)来表示，其中C 是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B 是信道的带宽(Hz)，S 是平均信号功率(W)，N 是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c 的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为 A ．23 B ．63C ．4－2 3D ．3－1 8．已知函数f (x )＝x －a e x ，且e a＝ln b ＝c ，则 A ．f (a )＜f (b )＜f (c ) B ．f (b )＜f (c )＜f (a )C ．f (a )＜f (c )＜f (b )D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <2 11．已知函数f (x )＝sin 3x x 2＋1，x ∈(－π，π)，则 A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ．∃x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则A ．P 3(t )＝4t 3－3tB ．当n ≥3时，a 0＝0C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)15．设(x －1x )( x ＋1x )6＝1470i ii a x -=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋a b． 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13， ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A、B的一点，点P到A，B，C的距离均为2 3.设二面角P－AC－B与二面角P－BC－A的大小分别为α，β．(1)求1tan2a＋1tan2β的值；(2)若tanβ＝3tanα，求二面角A－PC－B的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，过点M(0，－1)的直线交抛物y2＝4x于A，B两点．(1)设OA，OB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；(2)过点A，B分别作直线x＝－4的垂线，垂足为C、D，试探究∠AOB和∠COD的关系，并说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f′(x )的最大值不小于0． (1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．。