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2019届江苏省高2016级高三百校联考数学试卷★祝考试顺利★考生注意：1.本试卷共200分。
考试时间150分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
―、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.设全集 U=R ，集合 A={0<2|2x x x -}，B={0>|x x }，则集合=)(CuB A ▲ .2.设复数z 满足i i z 21)2(-=+ (i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ .3.已知双曲线12222=-by a x （a>0，b>0)的一条渐近线经过点（1，2)，则该双曲线的离心率为 ▲ .4.各项均为正数的等比数列{n a }中，n S 为其前n 项和，若13=a ，且225+=S S ，则公比q 的值为 ▲ .5.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调査数据，人数如下表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了 8人，则n 的值为 ▲ . 6.根据如图所示的伪代码，输出I 的值为 ▲ .7.甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2,3的三名运动员，乙队有编号为1，2,3,4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛,则出场 的两名运动员编号相同的概率为 ▲ .8.函数)23ln(x x y -=的定义域为▲ .9.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤-+01201022y x y x y x ，则21++=y x z 的取值范围是▲ .10.将函数x x f sin )(=的图象向右平移3π个单位长度后得到)(x g y =函数的图象，则函数)()(x g x f 的最大值为 ▲ .11.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近Q 的三等分点，且三棱锥A 1一AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,的体积为 ▲ . 12. 在面积为26的△ABC 中，32=⋅，若点M 是AB 的中点，点N 满足NC AN 2=，则CM BN ⋅的最大值是 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：1)1(22=-+y x 及点A(3，0)，设点P 是圆C 上的 动点，在△ACP 中，若∠ACP 的角平分线与AP 相交于点Q(n m ,)，则22n m +的取值范围是 ▲ .14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧++=0>x x,-lnx 0<,2161)(2x x a x x f ，若关于z 的方0)()(=-+x f x f 在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共计90分。
参考公式: 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学I_ 1 n x x i . n i 12 1 n 样本数据x 1, x 2, ^ ,x n 的方差s n i 1 柱体的体积V Sh ,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 1 锥体的体积V - Sh ,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.3 本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上A { 1,0,1,6},B 、填空题:已知集合已知复数 (a 2i)(1 i)的实部为 F 图是一个算法流程图，则输出的 X i 2 x ，其中 {x|x 0,x R}，则 AI B 0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲S 的值是 ▲ 函数y 7 6x x 2的定义域是 ▲ 已知一组数据6，7，8，8，9，10,则该组数据的方差是 _▲ 从3名男同学和2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 学中至少有1名女同学的概率是 ▲. 开始2名同 Y输出S7 .在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 2 占 1（b 0）经过点（3, 4）,贝y 该双 b 曲线的渐近线方程是结束8.已知数列{a n }（n N ）是等差数列，S n 是其前n 项和若a ?a 5 a * 0, S 9 27 , 则S 8的值是 ▲ 9 .如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的体积是 E-BCD 的体积是 ▲ . 120, E 为CC i 的中点，则三棱锥 10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线yx 4（x 0）上的一个动点，则点 X P 到直线x+y=0的距离的最小值是^ 11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线 对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e , -1）（e 为自然 12.如图，在 △ ABC 中，D 是BC 的中点，一—uuu uuu ABCE 交于点0 •若AB AC 6 AO EC ，贝U 的值是厶 ACE 在边 AB 上, BE=2EA , AD 与uuu UULT14.设f(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数, f(x)的周期为4, g(x)的周期为2，且f (x)是奇函数•k(x 2),0 x 11 ，其中k>0.若在区间(0，9］上，关于x 的,1x2 2方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k 的取值范围是▲二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c .2(1 )若 a=3c , b= 2 , cosB=，求 c 的值；3si nA cosB(2)右，求sin( B -)的值.a 2b 216. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D , E 分别为BC , AC 的中点，AB=BC . 求证：(1) A 1B 1 // 平面 DEC 1；(2) BE 丄 C 1E .13.已知 ta n tan2，则 sin 237t的值是 ▲当 x (0,2］时，f (x)1 (x 1)2，g(x)17. (本小题满分14分)2 2x y如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：p 每1(a b 0)的焦点为F i (-、0), F2 (1, 0).过a b2 2 2F2作x轴的垂线I，在x轴的上方，I与圆F2：(X 1) y 4a交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.& 5已知DF1=.2(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18. (本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路I，湖上有桥AB(AB是圆0的直径).规划在公路I上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O 的距离均不小于.圆.O 的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD (C、D为垂足)，测得AB=10,AC =6, BD=12 (单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d (单位：百米)•求当d最小时，P、Q两点间的距离.打<r 1~r~1Lr)19. (本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R 、f'(x)为 f (x )的导函数. (1 )若 a=b=c , f (4) =8，求 a 的值；(2) 若a 电b=c ,且f (x )和f' (x)的零点均在集合｛3,1,3｝中，求f (x )的极小值;4(3) 若a 0,0 b, 1,c 1，且f ( x )的极大值为 M ，求证：M <2720. (本小满分 16分) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为 “M -数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝(n N *)满足：a 2a 4 a 5,a 3 4a 2 4a 1 0 ,求证 澈列｛a n ｝为“M—数列”;① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” c n ｝ (n N *)，对任意正整数k ,当k 奇时，都有C k 剟b k C k 1成 立，求m 的最大值.(2)已知数列｛b n ｝满足：d诗bS n bn—，其中 bn 1S n 为数列｛b n ｝的前n 项和.•若多做，则按数学I附加题)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分)已知矩阵A(1 )求A2;(2)求矩阵A的特征值.B. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，已知两点A3,— ,B J,—，直线I的方程为sin - 3.4 2 4(1 )求A, B两点间的距离；(2)求点B到直线I的距离.C. ［选修4-5:不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R，解不等式|x|+|2x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)设(1 x)n a0a1x a2x2L a n x n,n—4, n N*.已知a；2a2a4.(1 )求n的值；(2)设(1 ,3)n a b；3，其中a,b N*，求a2 3b2的值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)}B n (0,1),( n,1)},C n {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2)}, n N .令M n A n UB n UC..从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1 )当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n 3)，求概率P(x n)(用n表示)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)因为D , E 分别为BC , AC 的中点， 所以 ED //AB.在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，AB//A 1B 1, 所以 A 1B 1 //ED.又因为 ED //平面DEC 1, A 1B 1 平面DEC 1, 所以A 1B 1 //平面DEC 1.(2)因为AB=BC , E 为AC 的中点，所以 BE //AC.因为三棱柱 ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以 CC 1 /平面ABC. 又因为BE //平面ABC ，所以、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法5.532.23.54.[ 1,7] 8.16 9.10 10.4ii.(e, 1)数学I 参考答案.每小题5分, 6.上1013辽10共计70分. 7. y12. .314.3二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、分14分.余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力•满解：(1)因为a3c,b ,2,COS B由余弦定理COS Ba 2c 2b 22ac232 ，得3 初 c2("，即 c 2 12 3c c3所以c3 . ―si nA(2)因为 一 a由正弦定理-^―sin AcosB 2b ，旦，得sin BCOS B2b，所以 cosB 2sin B . b2从而cos B(2sin B)2，即 2 ocos B因为sinB0，所以COS B2sinB 2244 1 cos B ，故 cos B - 52苗因此sin BncosB □25fitCC1//BE.因为C1C// 平面A1ACC1, AC //平面A1ACC1, C1C A AC=C, 所以BE //平面A1ACC1. 因为C1E//平面A1ACC1，所以BE//C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力解：（1）设椭圆C 的焦距为2C . 因为 F 1（ - 1, 0）, F 2（1, 0）,所以 又因为DF1= 5 , AF2//X 轴，所以2因此 2a=DF 1 + DF 2=4，从而由 b 2=a 2-c 2，得 b 2=3. F IF 2=2， c=1. DF 2= DF2 2 1 F 1F 2a=2. .满分14分.5 2(2)22 因此，椭圆C 的标准方程为 2 y- 1. 3 （2 ）解法一: 2 y 3 因为AF 2 /x 轴，所以点A 的横坐标为 将x=1代入圆F 2的方程（x-1） 2+y 2=16 , 因为点A 在x 轴上方，所以A （1, 4）. 又 F 1（-1 , 0），所以直线 AF 1: y=2x+2.X 2由（1 ）知，椭圆C ：4 1，a=2， 1.解得y=± 4.2x 2 1)2y 216，得5x 26x 11 0，解得115 因此 B( 11代入511122x2，得 y12 V ，y由 2x 4又因为 53(x2y3.又F 2（1 , 0），所以直线BF 2： y 1)，得 7x26x 13 0，解得 xE 是线段 1代入yBF 2与椭圆的交点, 3—（x 1），得 4所以 x3.因此 2 1.E( 1, 解法二:34(x32)1).132C:— 42y_3BF 2=2a , EF 1 + EF 2=2a ，所以 EF 1=EB , //BF 1E=//B.F 2A=F 2B ，所以 //A=//B , //A= //BF 1E ,从而 EF 1//F2A. 由（1）知，椭圆 1.如图，连结 EF 1.因为 从而 因为 所以 因为AF 2//x 轴，所以EF1//X 轴.1y 2 ，得13x因为 F 1(-1 , 0)，由X 2 43又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y2因此E（ 1, 3）.218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：综上，当PB 丄AB ,点Q 位于点C 右侧，且CQ=3、、21时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+3i 21.因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为17+3 21 (百米). 解法二：(1)如图，过0作0H 丄I ，垂足为H.以0为坐标原点，直线 0H 为y 轴，建立平面直角坐标系.（1 ）过A 作 AE BD ，垂足为E. 由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，DE 因为PB 丄AB ,8 4所以 cos PBD sin ABE10 5“ BD 12所以PB -15.cos PBD 45因此道路PB 的长为15 （百米）\\：BE AC 6, AE CD 8.'（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上, 所以P 选在D 处不满足规划要求. 则线段BE 上的点（除B , E ）到点0的距离均小于圆0的半径, ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知AD 从而 cos BAD AD AB.AE 2 ED 210 ,0 ,所以/ BAD 为锐角.2AD AB所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3 ）先讨论点P 的位置.当/ OBP<90时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当/ OBP > 90时，对线段PB 上任意一点F , OF 俎B ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半 径，点P 符合规划要求.设P 为I 上一点，且PB AB ，由（1）知，此时 RD RB sin RBDRB cos EBA当/ OBP>90 时，在△ PPB 中，PB PB P B=15,315—9 ;5 15.由上可知，d > 15. 再讨论点Q 的位置.由（2 ）知，要使得QA > 15点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQQA 2 AC 2 -152 62 3 =21.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.F bf c I因为BD=12 , AC=6，所以0H=9，直线I的方程为y=9,点A, B的纵坐标分别为3, -3. 因为AB为圆0的直径，AB=10，所以圆0的方程为x2+y2=25.3从而A (4, 3), B (-4, -3),直线AB的斜率为一.44因为PB丄AB,所以直线PB的斜率为—,34 25直线PB的方程为y — x .3 3所以P (-13, 9), PB , ( 13 4)2(9 3)215.因此道路PB的长为15 (百米).(2)①若P在D处，取线段BD上一点E (-4, 0),则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求②若Q在D处，连结AD，由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),所以线段AD: y 3x46（ 4剟X 4）.15），因为0M , 322在线段AD上取点M（3,15.32425 , 4 .4所以线段AD上存在点到点0的距离小于圆0的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.(3 )先讨论点P的位置.当/ OBP<90时，线段PB上存在点到点0的距离小于圆0的半径，点P不符合规划要求；当/ OBP> 90°,对线段PB上任意一点F, OF RB，即线段PB上所有点到点0的距离均不小于圆0的半径，点P 符合规划要求•设P 为I上一点，且RB AB，由(1)知，R B=15,此时P (- 13, 9);当/ OBP>90 时，在△ PRB 中，PB RB 15.由上可知，d> 15.再讨论点Q的位置.由(2)知，要使得QA>15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q ( a, 9),由AQ (a 4)2(9 3)215(a 4)，得a=4 3 21，所以Q ( 4 3 21 , 9)，此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径•综上，当P (- 13, 9), Q ( 4 3、一习,9)时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ 4 3. 21 ( 13) 17 3 21 . 因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为 19 •本小题主要考查利用导数研究函数的性质， 能力.满分16分. 解： 因为 (2) 所以 17 3,21 (百米). 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理 从而 (1)因为a b c ，所以f (x) f(4) 8，所以(4 a)3 8，解得 a 因为b c , 3 f (x) (x a)(x b) x (a 2b)x b) x ----------- .令 f'(x) 3 f'(x) 3(x 2a b(X a)(x b)(x c) (x 2 • a)3 • 2b(2a b)x ab , 0，得x b 或x 2a b3 都在集合｛ 3,1,3｝中，且a 因为a, b, 32a b , 所以 1,a 32 此时 f(x) (x 3)(x 3) , f' (x) 3(x 3)(x 1).3,b 3.32 .x 3 (b 1)x 2 bx ,令f'(x)0,得x 3或x 1.列表如下： 所以f(x)的极小值为f(1) (1 3)(1 3)2 (3)因为 a 0,c1，所以 f (x) x(x2f'(x) 3x 2(b 1)x b .因为 0 b 1，所以 4(b 1)212b则f'(X )有2个不同的零点，设为 X 1,X 2 %b 1 b 2 b 1由 f (x) 0，得 X 1, X 23 b)(x 1)(2 b 1)2列表如下:X 2•• b 2 b 1 3所以f (x)的极大值M f x 1 . 解法一：M f x-!x 3 (b 1)x ； bx-!整理得b n 1所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列.2 b 2 b 19b(b 1) 92 b 2 b 1 (b 1)b(b 1)2b 2 3b 127927b(b 1)2(b 1)2(b 1) 2(b(b 1)1)3272727b(b 1) 2 4 因此M 42722727解法二：3x2 2(b 1)x 1b专罟X i因为0 b 1，所以x i(0,1).2当 x (0,1)时，f(x) x(x b)(x 1) x(x 1).2令 g(x) x(x 1) ,x (0,1)，则 g'(x)1 3 x3 (x 1)-1令g'(x)0，得x — •列表如下:所以当x 1时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(X )max g - — 332744(0,1)时，f(x) g(x) ，因此 M —.2727 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综 合运用数学知识探究与解决问题的能力•满分 所以当x 16分. 因此数列｛a n ｝为“ M —数列”. 1 2 2 (2) ①因 ----- --------- 所以b n S n b nb n11 2 2 由0 1,S 1 b 1得1 1 b 2 ，则 b 221 22b n b n 1S n b n2时, 由b n2(b n 1 b n )'b n 1 '解：(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ，所以a 1M0 q z 0.2 4 4 a ?a 4 a 5 a 〔 q aq由 ，，c ，得2 ，解得 a 3 4a 2 4q 0 qq 4aQ 4q 0 b n b nS n5 1，得 b n2 b n 1 b nb n 1加 2 b nb n 1 ，2b n .bn 1因此，数列｛b n ｝的通项公式为b n = n n N ②由①知，b k =k , k N因为数列｛C n ｝为“ M 数列”设公比为q ，所以C 1=1 , q>0. 因为 c k 住k<C k+i ，所以 q k 1 k q k ，其中 k=1, 2, 3,…， 当k=1时，有q >1当k=2 , 3,…，m 时，有世lnq 此kk 1 Inx1 In x设f (x ) = (x 1)，则 f '(x) 2—xx0，得x=e.列表如下:经检验知q k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m >6分别取k=3, 6,得3马3,且q 5<6从而q 15> 243且q 15w 216 所以q 不存在•因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.数学I 附加题)21.【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答•若多做，则按作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分) 已知矩阵A (1 )求 A 2；(2)求矩阵A 的特征值.B. ［选修4-4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分) 在极坐标系中，已知两点 A 3,, B " 2,，直线I 的方程为 sin 3.42 4(1 )求A , B 两点间的距离；(2)求点B 到直线I 的距离. C. ［选修4-5 :不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R ，解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.m.令 f'(x)ln8 ln96 6—，所以3f(k)m a X f(3)捋取 q 33，当 k=1, 2,3, 4, 5时, ln kk*, lnq，即 k q ，22. (本小题满分10分)设(1 x)n a0a-i x a2x2L a n x n, n・・4, n N*.已知a；2a2a4.(1 )求门的值；(2)设(1 '、3)n a b-,3，其中a,b N*，求a2 3b2的值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n ｛(0,0),(1,0),(2,0), ,(n ,0)｝令M n A n U B n U C n •从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离(1 )当门=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n (n》3，求概率P (Xq)(用n表示).数学1(附加题)参考答案21.【选做题】A .［选修4乞：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分31解：(1)因为A22，3131所以A2222233 1 231 1 2115=23 2 221 2 2 ==106令f ( ) 0，解得A的特征值1 1, 2 4.B .［选修4Z :坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力•满分解：(1)设极点为0•在△ OAB 中，A ( 3, ), B (,),4 2由余弦定理，得AB=,32( ;2)22 3 .2 cos(— -) . 5 .(2)因为直线l的方程为sin( ) 3 ,4则直线I过点(3'. 2,—)，倾斜角为-.2 4又BC，2,?)，所以点B到直线l的距离为(3.2 .2) sin(〒-)2.C .［选修4七：不等式选讲］本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分1 解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x< —:31当0強W—时，原不等式可化为x+1 -x>2，即x< -，无解；21当x> —时，原不等式可化为x+2x - >2，解得x>1.10分.(2) f() 矩阵A的特征多项式4.10分.10分.21 综上，原不等式的解集为{x|x 3或X 1}.解法一：因为 a,b N ，所以 a C 5 3C 5 9C 5 76,b C 5 3C 5 9C 5 44 ,从而 a 2 3b 2 762 3 44232 •解法二：(1、、3)5 C ° C ；(3) C ；( .3)2 C ；( .,3)3c 5(,3)4c ；(、3)5c 0 c ； .3 c5c 、3)2 c ；(•一3)3 c ：(G )4 C 5C .3)5 •因为 a,b N *，所以(1 . 3)5 a b = 3 •因此 a 2 3b 2 (a b .3)(a b .3) (1 G)5 (1 .3) 5 ( 2)532 •23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能 力和推理论证能力.满分 10分.解：(1)当i n 1时，X 的所有可能取值是1,2,2八5 •77c 、 4 4 X 的概率分布为 P(X 1)2,P(X ■2) 2—C615 C6152 2f —2 2P(X 2) 亠,P(X -52C 615C 6 15(2)设A(a ,b)和B(c, d)是从M n 中取出的两个点.因为P(X n) 1 P(X n)，所以仅需考虑Xn 的情况.①若b d ，贝V AB n ，不存在X n 的取法；②若b0 ,d 1 ,则AB■ (a c)2 1n1，所以Xn 当且仅当AB• , n 2 1 ,此时 a 0, c n 或an , c 0 ,有2种取法；③若b 0,d 2，则 AB、(a c)2 4n 2 4,因为当n3 时，〔(n 1)24 n ,所以X n当且仅当AB ，n 2 4，此时a 0,c n或an, c 0，有2种取法；④若b1,d 2,则AB■ (a c)2 1n1，所以Xn 当且仅当AB• , n 2 1 ,此时a 0, c n 或an , c 0 ,有2种取法.10分.解：(1)因为(1 x)n C 0 C ；x C ：x 2 L c !J x n , n 所以a 2c nn(n 1),a 3 2c 3n(n 1)( n 2)6a 4 C 4n(n 1)(n 2)(n 3)24因为a ；2a ?a 4,所以［n(n 1)(n2) 2]2n(n 1) n(n 1)(n 2)(n 3)6224 解得n 5 •(2)由( 1)知,n 5 •(1彳(1 322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分4，C 0 cl 3a b, 3 •3)3c 5(、.3)4C5(.3)5c ；(、3)2综上, P(X 因此, 当X n时，X的所有可能取值是n~1和、.n2•,厂1) £,p(x ,nL4) •C2n 4 C2n 4P(X n) 1 P(X , n2—1) P(X ,n2一4)，且6C2n 4。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）—数学（解析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔全卷总分值160分，考试时间120分钟〕参考公式： 棱锥的体积13V Sh=，其中S 为底面积，h 为高、 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．、 1、〔2018年江苏省5分〕集合{124}A =，，，{246}B =，，，那么A B =▲、【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2、〔2018年江苏省5分〕某学校高【一】高【二】高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，那么应从高二年级抽取▲名学生、 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为假设干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3、〔2018年江苏省5分〕设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-〔i 为虚数单位〕，那么a b +的值为▲、【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117i i 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。
4、〔2018年江苏省5分〕下图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是▲、【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 2k 5k 4-+ 循环前0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2019年江苏省高三百校大联考试卷语文整理录入：青峰弦月本试卷共8页。
满分150分，考试用时150分钟。
★祝你考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷上无效。
一、语言文字运用（15分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（3分）（）A．殷红／殷切纤夫／纤尘不染下载／载誉而归强词夺理／生性倔强B．创伤／重创模仿／装模作样曾祖／曾经沧海点头应允／应答如流C．粘粥／粘贴揣度／置之度外悄悄／悄寂无声舆论哄然／一哄而散D．朝晖／朝觐逐渐／熏陶渐染剥削／瘦削不堪日积月累／连篇累牍2．下列各句中，没有语病的一句是（3分）（）A．中国农业大学教授何慧丽因到北京替兰考农民卖大米，而成为全国新闻人物，虽然她曾离开过兰考两年，但她在兰考乡村建设上的工作一直没有停息。
B．市残联为培养残疾青少年的自强意识和肢体康复训练，挑选了十余名5周岁到16周岁的脑瘫、肢体残疾青少年，对他们进行了有针对性的系统训练。
C．房地产市场从年初“试探性抄底”到年中“放量大涨”，从年底“恐慌性抢购”到国务院出手四道遏制高房价的“金牌”，使新年楼市生态顿时大变。
D．国家领导人运用手机信息系统，向百万基层党组织书记和大学生村官发短信，使基层干部在第一时间收到了来自中央的声音。
3．下面是关于反倾销税的新闻与相关知识，请提取反映反倾销税发生过程的四个关键词语。
（不超过20个字）（4分）（一）最近，美国商务部宣称，经调查证实，中国制造商和出口商在美销售的油井管价格低于正常水平，决定对多家中国公司征收36．53％-99．14％的反倾销税。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 设集合，，，则实数的值为________．2. 设复数满足（是虚数单位），则 ________．3. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为～，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有____________________________ 辆．5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，若函数的图象过原点，则 _________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率为________．7. 设偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是_______．8. 在等比数列中，已知，，且公比为整数，则________．9. 如图，正四棱锥的底面一边长为，侧面积为，则它的体积为________．10. 已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是________．12. 已知外接圆的半径为2，且，，则________．13. 已知为正实数，则的最小值为________．14. 设对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为________．二、解答题15. 在中，角所对的边分别为，且．（1）求的大小；（2）设的平分线交于，求的值．三、填空题16. 如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且．（1）求证:平面平面；（2）求证: 平面．四、解答题17. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．①求直线的斜率；②求面积的最大值．18. 如图，是海岸线OM，ON的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上，测得到海岸线的距离分别为，．（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为．若与此同时，一游轮以的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行?19. 设，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）求证:函数存在极小值；（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．20. 正项数列: ，满足:是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列．（1）若，求数列的所有项的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整数，满足若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. 如图，已知圆上是弧 =弧，过点的圆的切线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）求证：．22. 已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线为．曲线上的任意一点的直角坐标为，求的取值范围．24. 已知关于的不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）求的最大值．25. 某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金元。
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.=1(b>0)经过点（3，4)，7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2则该双曲线的渐近线方程是________.8.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8= 0,S9=27，则S8的值是________.9.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________.11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________. 12.如图，在 △ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ， AD 与CE 交于点 O .若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ABAC的值是________.13.已知 tanαtan(α+π4)=−23 ，则 sin(2α+π4) 的值是________.14.设 f(x),g(x) 是定义在R 上的两个周期函数， f(x) 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x) 是奇函数.当 x ∈(0,2] 时， f(x)=√1−(x −1)2 ， g(x)={k(x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f(x)=g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分） 15.在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． （1）若a =3c ， b = √2 ，cos B = 23 ，求c 的值；（2）若sinAa =cosB2b，求sin(B+π2)的值．16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a +y2b=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: (x−1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R、f ′(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ′(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a=0,0<b⩽1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ 427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} (n∈N∗)满足：a2a4=a5,a3−4a2+4a4=0，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: b1=1,1Sn =2b n−2b n+1，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} (n∈N∗)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k⩽b k⩽c k+1成立，求m的最大值．三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）21.A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=[31 22]（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中，已知两点A(3,π4),B(√2,π2)，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.23.设x∈R，解不等式|x|+|2x−1|>2.四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n⩾4,n∈N∗.已知a32=2a2a4.（1）求n的值；（2）设(1+√3)n=a+b√3，其中a,b∈N∗，求a2−3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，B n={(0,1),(n,1)},C n={(0,2),(1,2),(2,2),⋯,(n,2)},n∈N∗.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.答案解析部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。
0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距江苏省2019届高三百校联合调研测试（一）数学试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟.第I 卷（必做题 共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。
1．已知集合{|21}x A x =>,{|1}B x x =<,则A B = ．2．复数iia 212+-(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 ． 3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．4．某算法的伪代码如图所示,若输出y 的值为1,则输入x 的值为 ．5．已知双曲线2214x y b-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的渐近线方程为________.6．已知2sin 3cos 0θθ+=，则tan 2θ=________.7.已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长 ．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则不等式x ⊙(x －2)＜0的解集是 ． 9．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为10．函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为 ．11．如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则Read xIf x ≤0 Then y ←x ＋2 Elsey ←log 2014x End If Print y （第4题）CQ BP ∙的最大值为 ．12. 已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(2)n n S S n n -+=≥．若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 ．13. 已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 ．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .已知实数1x y ≤≤且三数能构成三角形的三边长，若11max ,,min ,,x x t y y x y x y ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．且()2A f =，a =，求角A 、B 、C 的大小．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点． 求证：（1）EF ∥平面PBC ； （2）平面BEF ⊥平面PAB ．17. (本小题满分14分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t （秒）的变化规律大致可用22(14sin )20(sin )6060t t y x x ππ=-++（t 为时间参数，x 的单位：m ）来描述，其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴。
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}02|2＜x x x A -=，{}0,1,2B =，则=B A ▲ . 【答案】{}1 【解析】试题分析：{}{}2|20|02A x x x x x =-=<<＜,{}0,1,2B =,则{}1AB =考点：集合运算2.若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ . 【答案】3 【解析】试题分析：2(32)3223z i i i i i =-=-=+,则z 的虚部为3 考点：复数概念 3..如图，若输入的x 值为3π，则相对应输出的值为 ▲ .【答案】12【解析】试题分析：1sin,sin cos 33233ππππ==>,由流程图得1cos 32y π==考点：流程图4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，.按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 ▲ .【答案】144 【解析】试题分析：由图得，身高180cm 以上（含180cm ）的频率为()150.0080.0160.0420.060.18-⨯++⨯+=，则人数为8000.18144⨯=考点：频率分布直方图5.双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 ▲ . 【答案】4 【解析】试题分析：焦点()5,0±，渐近线43y x =±，即430x y -=，则2045d == 考点：双曲线渐近线6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ . 【答案】25【解析】试题分析：从5个数中，随机抽取2个不同的数共有10种情况，其中满足2个数的和为偶数共有1+3,1+5,2+4,3+5这4种，则这2个数的和为偶数的概率是42105= 考点：古典概型概率7.已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为▲ . 【答案】31考点：等比数列通项与求和8..已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 ▲ . 【答案】5 【解析】试题分析：132,323V Sh S ====，得3h =；正四棱锥底面对角线长为8，则5= 考点：正四棱锥体积 9.已知函数)32sin()(π+=x x f （π＜x ≤0），且21)()(==βαf f （βα≠），则=+βα ▲ . 【答案】76π 【解析】试题分析：由π＜x ≤0得72333x πππ≤+＜，由21)()(==βαf f 且βα≠，不妨设αβ<，则5236ππα+=，13236ππβ+=，解得4πα=，1112πβ=，则76παβ+=考点：给值求角10.已知)sin (cos αα，=m ，)12(，=n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅，则=+)232sin(πα▲ . 【答案】725- 【解析】试题分析：2cos sin 1m n αα⋅=+=,sin 12cos αα=-,由22sin cos 1αα+=得()2212cos cos 1αα-+=即25cos 4cos 11αα-+=，又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππα，解得4cos 5α= 237sin(2)cos 212cos 225πααα+=-=-=- 考点：向量数量积，同角三角函数关系，二倍角公式11..已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 ▲ . 【答案】3 【解析】试题分析：令log a b t =，又1＞＞b a 得01t <<，32log 3log 27a b b a t t +=+=解得12t = 即21log ,2a b a b ==，21111311a ab a +=-++≥--，当且仅当2a =时取“=” 考点：基本不等式求最值12.已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为 ▲ .【答案】1± 【解析】试题分析：设:(0)l y kx b b =+≠，代入圆的方程，化简得222(1)240k x kbx b +++-=：设()()1122,,,P x y Q x y ，得212122224,11kb b x x x x k k-+=-=++，22121212121212op oq y y x x b b b k k k k k kb x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅=⋅=++=++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2222222222222222422(1)44444k b k b k b b kb b k b k k kb b b b b --+++-⎛⎫=+-+== ⎪----⎝⎭，由2op oq l k k k ⋅=得222244b k k b -=-解得1k =± 考点：直线与圆位置关系13.已知数列{}n a 中，a a =1（20≤a ＜），⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n nn n n a a a a a ＞（*N n ∈），记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n ▲ .【答案】1343考点：数列周期14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，1()(23)2f x x a x a a =-+--. 若集合{}|(1)()0x f x f x x R φ--∈=＞，，则实数a 的取值范围为 ▲ . 【答案】1(,]6-∞【解析】试题分析：①0a ≤时，()f x x =满足(1)()f x f x -≤②0a >时，3,2(),0,2x a x af x x x a a a x a->⎧⎪=-<<⎨⎪-≤≤⎩，由图像知，1061,06a a <≤<≤综上，实数a 的取值范围为1(,]6-∞考点：函数图像二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，D 、E 分别为BC 、1CC 中点，D B BC 11⊥.（1）求证：//DE 平面1ABC ； （2）求证：平面⊥D AB 1平面1ABC【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发实行论证，而线线平行，一般可从平面几何条件中寻找，例如中位线性质（2）证明面面垂直，首先转化为线面垂直：1BC ⊥平面1AB D ,而线面垂直的证明，一般需多次利用线面垂直的判定及性质定理.先由平面几何条件AC AB =得AD CB ⊥,即1AD C B ⊥，又由D B BC 11⊥得1BC ⊥平面1AB D .考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理. 16.已知函数x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=（0＞ω）的周期为π.（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 时，求函数)(x f 的值域；（2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=A f ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积.【答案】（1）1]+（2）ABC S ∆= 【解析】试题分析：（1）研究三角函数性质，一般将三角函数化为基本三角函数形式，即利用降幂公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式：1()cos 2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=++=+2）先由3)2(=A f 确定3A π=，这样三角形面积公式就选用1sin 2ABC S bc A ∆=，从而问题转化为求bc ，这可利用余弦定理的变形得到：22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即3bc =，ABC S ∆=试题解析：解：（1）1()cos 2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=++=++…………2分()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω= ()sin(2)3f x x π∴=++4分又02x π≤≤， 得42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，0sin(2)13x π≤++≤+ 即函数()y f x =在[0,]2x π∈上的值域为1]．………7分（2）()2A f =sin()3A π∴+= 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π= …………9分 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc = …………12分∴1sin 2ABC S bc A ∆==． …………14分 考点：降幂公式、二倍角公式、配角公式，余弦定理17.如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标； （2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围【答案】（1）65（2）1(,1)2【解析】试题分析：（1）求点坐标，一般方法为待定系数法，即列两个独立条件，解方程组就可.M 满足直线1F M 的方程及直线2F M 的方程，而直线1F M 的斜率为1F P 斜率，所以可由点斜式写出直线1F M的方程为：2)y x =+，而直线2F M 与OP 垂直，所以由OP 斜率的负倒数得直线2F M 斜率，也可由点斜式写出直线2F M 的方程，联立两方程解出点M 的横坐标为65（2）求椭圆离心率，只需得到关于a,b,c 的一个关系式：本题可用a,b,c 表示出点P 的坐标，再根据点P 坐标的取值范围得到a,b,c 的一个关系式，设00(,)P x y ，则点00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y -=-，所以由M F PO 2⊥得220002x y cx +=，又2200221x y a b +=，解得0()a a c x c -=，而0a x a -<<，所以112e >> 试题解析：（1）22184x y += 12(2,0),(2,0)FF ∴-21OP F M F M k k k ∴===∴直线2F M 的方程为：2)y x =-，直线1F M 的方程为：2)y x =+…………4分由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨+⎪⎩解得：65x = ∴点M 的横坐标为65 …………6分 （2）设00(,),(,)M M P x y M x y12F M MP = 1002(,)(,)3M M F M x c y x c y ∴=+=+00200212242(,),(,)333333M x c y F M x c y ∴-=-2PO F M ⊥，00(,)OP x y = 2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx += …………9分 联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-=解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c-= …………12分 0a x a -<< 0()(0,)a a c x a c -∴=∈ 20a ac ac ∴<-< 解得：12e > 综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2． …………15分考点：椭圆离心率18.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy . （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为lh S 32=）【答案】（1）40（2）拱高为274米，拱宽为米 【解析】试题分析：（1）实际问题为求抛物线方程，再根据方程求对应点的坐标：先确定抛物线形状2(0)y ax a =->再代入点3(10,)2-解得3200a =，最后令6y =-，解得：20x =±，即隧道设计的拱宽l 是40米；（2）因为隧道口截面面积公式为lh S 32=，所以本题难度不大，只需消元，将二元转化为一元问题，再利用导数求解即可.因为抛物线过点过点9(10,())2h --，(,)2lh -代入抛物线方程得：29()100,24l h a h a --=--=-两式相除解得2292400lh l =-，所以323400l S l =-解出定义域：2040l <≤，下面利用导数求解即可.试题解析：解：（1）设抛物线的方程为：2(0)y ax a =->，则抛物线过点3(10,)2-，代入抛物线方程解得：3200a =， …………3分 令6y =-，解得：20x =±，则隧道设计的拱宽l 是40米； …………5分 （2）抛物线最大拱高为h 米，6h ≥，抛物线过点9(10,())2h --，代入抛物线方程得：92100h a -=令y h =-，则292100h x h --=-，解得：210092h x h =-，则2100()922l h h =-，2292400lh l =-………9分 229266400l h l ≥∴≥- 即2040l <≤ 232292232(2040)33400400ll S lh l l l l ∴==⋅=<≤--………12分2232222229(400)323(1200)'(400)(400)l l l l l l S l l --⋅-∴===--当20l <<时，'0S <；当40l <≤时，'0S >，即S在上单调减，在上单调增，S ∴在l =时取得最小值，此时l =274h =答：当拱高为274米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小． ………15分 考点：求抛物线方程，利用导数求最值19.已知函数xe x ax xf )2()(2++=（0＞a ），其中e 是自然对数的底数.（1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.【答案】（1）323()()52f x f e --=极大值= ，1()(1)3极小值=f x f e --=（2）(0,1+（3）4,0t =-【解析】试题分析：（1）求函数极值，首先确定函数定义域R ，再求函数导数'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++，再定义域上求导函数零点31,2x =--，最后列表分析函数极值：323()()52f x f e --=极大值= ，1()(1)3极小值=f x f e --=（2）利用导数研究函数单调性，一般先确定对应不等式恒成立：'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立，即2(21)30ax a x +++≥在(2,0)(0,2]x ∈-上恒成立；再利用变量分离，转化为对应函数最值：max 23(),(0,2]2x a x x x +≥-∈+且min 23(),(2,0)2x a x x x+≤-∈+-，注意变量分离时需分类讨论，最后利用导数或基本不等式求最值（3）利用导数研究函数2()(2)4x h x x x e x =++--图像，经过两次求导后得导函数先增再减再增，且仅在(1,0)-上有且仅有一个零点，即原函数先减再增，因为43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=->，所以12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈，即4,0t =-.试题解析：解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++ ………2分令'()0f x = ，31,2x =--323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= ………4分（2）问题转化为'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； ………6分2()(21)3令g x ax a x =+++0a >，对称轴1102x a=--< ①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增，min ()(2)10g x g ∴=-=> 102a ∴<≤………8分 ②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1[1,2]2a--上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤ 解得：11a ≤≤+112a ∴<≤+综上，a 的取值范围是(0,1． ………10分 （3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-< ………13分 1(1)10,(0)20eϕϕ-=-<=> 000(1,0),()()0()()0存在-,时，,+时x x x x x x x ϕϕ∴∈-∈∞<∈∞> ()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e-=>-=-<=-<=-> 由零点的存有性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-． ………16分 考点：利用导数求函数极值，利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数零点20.若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （*N m ∈），则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相对应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数. （1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ； （2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（*N A ∈），若数列{}m b 中，1b ，2b ，5b 是公差为d （0≠d ）的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值【答案】（1）1231,2,3b b b === （2）221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩（3）3d =，64A =或65【解析】试题分析：（1）本小题实质为阅读题意：1m =，则111a =≤ 11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤ 22b ∴=3m =，则119a =<，249a =< 399a =≤ 33b ∴= （2）本小题由特殊到一般，考查归纳与分类：m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=；再分类求和：m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=；m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=；（3）先按题中定义确定A 的范围：设1b t =，122t t A +≤<，1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<从而22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤< 再由3122,t d t -+<+得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=，最后代入验证得3d =，所以12822125t tA ≤<⨯，最后由23536t b b b t +=≤≤=+得4,5,67t ∴=，，经验证得64A =或65． 试题解析：解：（1）1m =，则111a =≤ 11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤ 22b ∴= 3m =，则119a =<，249a =< 399a =≤ 33b ∴= …………3分（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=； 1()2()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ …………5分m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=；m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=；221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩ …………8分（3）依题意：2n n a =，(1)f A =，(2)8f A =，(5)125f A =， 设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以122t t A +≤<， 同理：1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<即⎧⎪⎨⎪⎩13222122,22,22,125125++t t t d t d t d t d A A A +-+-++≤<≤<≤<故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤< 由⎧⎨⎩312222,22,125++t d t t d t d -++-<<得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=， …………10分当1d =时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=t d tt t t d t t -⨯= ， 21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=t d tt t t t d t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去； 当2d =时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=t d ttt d t t t +--⨯= ， 211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=t d tt t t d t t t ++++-+⨯⨯=< 不合题意，舍去； 当3d =时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=t d ttt d t t t -⨯= ， 211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=t d tt t t d t t t ++++-+⨯⨯=>适合题意，………12分 此时12822125tt A ≤<⨯，125,3,6b t b t b t ==+=+，336t b t ∴+≤≤+ 310b = 47t ∴≤≤ t 为整数 4,5,6t t t ∴===或7t =(3)27f A =，310b = 10112272A ∴≤< 1011222727A ∴≤< ………14分当4t =时，11422125A ≤< ∴无解当5t =时，12522125A ≤< ∴无解当6t =时，13622125A ≤< 13264125A ∴≤<当7t =时，14722125A ≤< ∴无解13622125A ∴≤<*A N ∈ 64A ∴=或65A =综上：3d =，64A =或65． ………16分考点：新定义附加题21.已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A .【答案】1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''，则有x mx nyy y '=+⎧⎨'=⎩ ，因为1x y ''-=所以()1mx ny y +-=与1=+y x l ：重合，所以111m n =⎧⎨-=⎩．试题解析：解：设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx nyy y '=+⎧⎨'=⎩…………5分又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分 考点：矩阵变换22.在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.【答案】6 【解析】试题分析：利用222,cos ,sin ,tan yx y x y x ρρθρθθ=+===将极坐标方程θρsin 8=、3πθ=化为直角坐标方程22(4)16x y +-=、y =，再利用点到直线距离公式求最值 试题解析：解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y=，…………6分圆心(0,4)到直线的距离为2d==，则圆上点到直线距离最大值为246D d r=+=+=．…………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式23.某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.【答案】（1）14（2）当32mn>时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32mn=时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32mn<时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．【解析】试题分析：（1）准确理解题意是解决概率问题的关键：参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元是指“参与者在乙箱中摸到红球，且在甲箱中摸到黑球”，所以所求概率为131()344P M=⨯=（2）参与者摸球的顺序有两种，需分别讨论：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x可取0,,m m n+，求出对应概率，算出数学期望值；②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h可取0,,n m n+，同样求出对应概率，算出数学期望值；比较两个数学期望值的大小，作出判断.试题解析：解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M．则131()344P M =⨯= 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14． …………4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下： ①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0,,m m n + 则3121111(0),(),()44364312P P m P m n x x x ====?=+=? 3110()4612412m nE m m n x =??+?+ …………6分②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h 可取0,,n m n + 则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯=2110()3412123m nE n m n h =??+?+ …………8分 2312m nE E x h --=当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大； 当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等； 当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n =时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n <时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． …………10分 考点：概率，数学期望24.已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*N n ∈∀，都有310＜＜n a ； （2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定函数值域，即当1(0,)3x ∈时21()23(0,)3f x x x =-∈，再利用数学归纳法给予证明（2）由)(1n n a f a =+得21113()33n n a a +-=-，两边取对数得31311log ()12log ()33n n a a +-=+-，再构造等比数列313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+-，从而求得12111()334n n a --=，所以011222121113[444]111333n n a a a -+++=+++---再放缩为一个等比数列的和：1213[444]44n n ++++=-试题解析：（1）解：①当1n =时，114a =， 有1103a << 1n ∴=时，不等式成立 …………1分②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即103k a << 则当1n k =+时，2221211()233()3()333k k k k k k k a f a a a a a a +==-=--=--+于是21113()33k k a a +-=-103k a <<，∴21103()33k a <-<，即111033k a +<-<，可得1103k a +<< 所以当1n k =+时，不等式也成立由①②，可知，对任意的正整数n ，都有103n a << …………4分 （2）由（1）可得21113()33n n a a +-=-两边同时取3为底的对数，可得31311log ()12log ()33n n a a +-=+-化简为313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+-所以数列31{1log ()}3n a +-是以31log 4为首项，2为公比的等比数列 …………7分133111log ()2log 34n n a -∴+-=，化简求得：12111()334n n a --=，1213413n n a -∴=-2n ≥时，101211111211n n n n n n C C C C n n ------=++++≥+-=，1n =时，121n -=*n N ∴∈时，12n n -≥，121343413n nn a -∴=⋅≥⋅-011222121121113[444]3[444]44111333n n n n a a a -++++=+++≥+++=----11233344131313n na a a +∴+++≥----． …………10分考点：数学归纳法，数列综合应用。
