广东省华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考文数试卷【带答案】

华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考(语文)华附、省实、深中、广雅2020届高三年级四校联考语文本试卷共10页，22小题，满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将条形码粘贴在指定区域，用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

都市化进程在深入改动与重建当当代界经济社会发展方式的同时，也为当代中国美学带来了新的课题，提供了新的学术生长空间。

都市化进程使当代人的审美认识与审美活动发生了巨大变革，应对这一来自理论与实践两风雅面的挑衅，是中国美学的重要任务。

都市化进程给中国美学带来的影响是多方面的。

以审美对象为例——审美对象即人与世界的统统审美现象和审美活动——古典美学的首要审美对象是大自然与乡村，中国古代的田园诗是这方面最典范的创造；当代美学的首要审美对象是反思、批评工业化及其对古典精神世界的同化，这会合体目前西方当代哲学美学思潮与当代派文学艺术对当代人类同化困境的深入揭示上。

与此分歧，当代都市社会与都市生活中出现了大量的新型精神文明消费品与审美实践活动，如超级市场、广告文明、模特文明、汽车文明、选秀文明、景观设计等，纵然作为美学最间接、最重要的研究对象——文学艺术，与其传统形态相比也发生了重要的变化，并具体再现于以物质和肉体消费为中心的群众文明话语与影像上。

都市化进程给中国美学带来的影响推动了都市美学的理论研究，以当代都市社会中的精神文化消费生态、审美文化及文学艺术为基本研究对象而构建的都市美学的理论研究具有重要意义，也是当下一项亟待开展的研究。

………外………………内………绝密★启用前广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学文试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集{}2,3,4,5,6,7U =，集合{}4,5,7A =，{}4,6B =，则()U A C B =（ ） A ．{}5B ．{}2C ．{}2,5D ．{}5,72．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．33．若向量,,a b c ，满足//a b 且a c ⊥，则()2c a b ⋅+=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．04．为了测试小班教学的实践效果，王老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知A.A x ＜B x ，2A s ＜2B s B.A x ＞B x ，2A s ＜2B s○…………外……○…………线…………※题※※○…………内……○…………线…………5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数()y f x =的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，若3A π=，5sin 3sin B C =，且ABC ∆的面积4S =，则ABC ∆的边BC 的长为（ ） A B C ．D ．47．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割比例为10.6182≈，这一数值也可以表示为2sin18m =︒。

若24m n +=，则22cos 271=︒-( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21log 5a f ⎛⎫⎪⎝-⎭=，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()sin()f x x ωϕ=+（其中2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x xω=的图象，则只要将()f x 的图象○……○……C ．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的是（ ） A ．11//AO D C B ．1A O BC ⊥ C ．1//A O 平面11B CDD ．1A O ⊥平面11AB D11．己知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为（ ） A.21-1D.212．已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（ ） A ． B ．2CD ．1装…………○…※要※※在※※装※※订※装…………○…第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知函数()()()1,xf x bx e a a b R=-+∈.若曲线()y f x=在点()()00f，处的切线方程为y x=，则a b+=___________.14．等比数列{}n a的前n项和为11,2nS a=-，若6378SS=，，则24a a∙=__________．15．已知1F，2F是双曲线的两个焦点，以线段12F F为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A，B，C，D四个点，若这四个点与1F，2F两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为________．16．把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M'称为图形M在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD EFGH-中，5AB=，4=AD，3AE=．则EBD∆在平面EBC上的射影的面积是________．三、解答题17．已知等差数列{}n a的前n项和n S满足312S=，530S=．（1）求{}n a的通项公式；（2）求数列()()111n na a⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n项和n S．18．每年的9月20日是全国爱牙日，为了迎接这一节日，某地区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该地区小学六年级800名学生进行检查，按患龋齿的不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患齲齿的学生有140名．……装…………○_______姓名：___________班……装…………○区学生的常吃零食与患龋齿有关系？（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，112AB BC AD ===，E 为AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 翻折到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．（1）求证：1CD A C ⊥； （2）当BE =11A C =时，求D 到平面1A OC 的距离．20．在平面直角坐标系xOy 中，过定点()0,C p 作直线与抛物线()220x py p =>相交于A 、B 两点．（1）已知1p =，若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值； （2）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由． 21．已知函数sin ()a xf x x-=，0πx <<．（Ⅰ）若0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ，求实数a 及()0f x 的取值范围； （Ⅱ）当a π=，0m π<<时，证明：()ln 0f x m x +>．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的方程为：2212012x y +=，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q .（1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1,2,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，求弦长MN .23．已知a 和b 是任意非零实数． （1）求22a b a ba++-的最小值．（2）若不等式22(22)a b a b a x x ++-≥++-恒成立，求实数x 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【详解】由题意知{}2,3,5,7U C B =，所以(){}{}{}4,5,72,3,5,75,7U A C B ⋂=⋂=，故选D. 2．D 【解析】 【详解】 因,故由题设,故,故选D ．考点：复数的概念与运算. 3．D 【解析】 【分析】先证明b c ⊥，可得0a c b c ⋅=⋅=，利用数量积的运算法则求解即可. 【详解】向量,,a b c 满足//a b 且a c ⊥，b c ∴⊥，0a c b c ∴⋅=⋅=，()22000c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅=+=，故答案为0.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则以及向量垂直的性质，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】根据茎叶图中数据的分布可得，A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，从而可得结果. 【详解】A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70之间，故>A B x x ；相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，故22A B s s <，故选B.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了 随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定. 5．B 【解析】 【详解】根据题意，函数解析式为 y=1.104x，（x ＞0）函数为指数函数，底数1.104＞1，递增， 故选B 6．B 【解析】 【分析】设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由5s i n 3s i nB C =得出53b c =，再由三角形的面积求出b 、c 的值，再利用余弦定理可得出BC a =的长. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由于5sin 3sin B C =得出53b c =，35b c ∴=，由三角形的面积公式可得2113sin 2252204S bc A c c ==⨯⨯⨯==， 解得5c =，3b ∴=，由余弦定理得2222212cos 35235192a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，因此，ABC ∆的边BC B. 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形的对三角形已知元素类型的要求，考查运算求解能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24cos 18n =︒，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解． 【详解】 解：2sin18m =︒，若24m n +=，2222444sin 184(1sin 18)4cos 18n m ∴=-=-︒=-︒=︒，∴4sin18cos182sin 36︒︒===︒． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 8．A 【解析】 【分析】由奇函数的性质得出()221log 5log 5f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭=-，利用中间值法和对数函数的单调性比较出2log 5、2log 4.1、0.82三个数的大小关系，再利用函数()y f x =在R 上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】函数()y f x =在R 上是奇函数，()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又函数()y f x =在R 上是增函数，且0.8222log 5log 4.1log 422>>=>，()()()0.822log 5log 4.12f f f ∴>>，a b c ∴>>，故选：A ．【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小，同时也考查了利用中间值法比较大小，考查推理能力，属于中等题. 9．A 【解析】 【详解】试题分析：由图象可知，该函数的A=1，周期为74(),2123πππω-=∴=，代入7(,1)12π-可得3πϕ=,所以函数为()sin(2)3f x x π=+，而将函数图象向右平移6π个单位长度后得到函数()sin[2()]sin 263f x x x ππ=-+=.选A.考点：本小题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的平移.点评：解决此类问题时，要特别注意图象左右平移的单位是相对于x 说的. 10．C 【解析】 【分析】设1111A C B D M =I ，证明出1//AO CM ，可判断出选项A 、C 的正误；由BCM ∆为等腰三角形结合1//AO CM 可判断出B 选项的正误；证明1A C ⊥平面11AB D 可判断出D 选项的正误. 【详解】如下图所示，设1111A C B D M =I ，则M 为11A C 的中点，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC A C ∴. 易知点O 、M 分别为AC 、11A C 的中点，1//A M OC ∴，则四边形1A MCO 为平行四边形，则1//AO CM ，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A 选项中的命题错误；1//A O CM Q ，1AO ⊄平面11B CD ，CM ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ，C 选项中的命题正确；易知BM CM =，则BCM ∆为等腰三角形，且BC 为底，所以，BC 与CM 不垂直，由于1//AO CM ，则1A O 与BC 不垂直，B 选项中的命题错误；四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，111B D CC ∴⊥，1111AC CC C =Q I ，11B D ∴⊥平面11A CC ，1A C ∴⊂平面11A CC ，111AC B D ∴⊥，同理可证11A C AB ⊥，且1111AB B D B =I ， 1A C ∴⊥平面11AB D ，则1A O 与平面11AB D 不垂直，D 选项中的命题错误.故选：C.【点睛】本题考查线线、线面关系的判断，解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证明线面平行、线面垂直，考查推理能力，属于中等题. 11．D 【解析】 【分析】 可设111,22PF t QF PF t ===，运用椭圆的定义可得222,22PF a t QF a t =-=-，结合勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求比值. 【详解】设111,22PF t QF PF t ===，由椭圆的定义可得222,22PF a t QF a t =-=-，|PQ|=4a-3t ，由22211||PQ PF QF +=，即222(43)4a t t t -+=，即有43a t -=，解得t =，则△12PF F 与△12QF F的面积之比为：12121221sin 302PF PF PF QF ︒⋅===+⋅⋅故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，勾股定理，面积公式等，较综合，意在考查学生的计算能力，分析能力，难度较大. 12．B 【解析】 【分析】设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为4π，可得出12x x -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值. 【详解】 如下图所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，12x x -=， 由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0，此时，d ==12max 2x x ∴-==，故选：B.【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题. 13．3 【解析】 【分析】求出导数，利用曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，建立方程，求得,a b 的值，进而得到所求和，得到答案. 【详解】由题意，函数()(1)xf x bx e a =-+，得()(1)xf x e bx b '=⋅+-，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，即()()01,00f f ='=， 即11,10b a -=-+=，解得1,2a b ==，所以3a b +=. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14．164. 【解析】 【分析】求出等比数列的公比后可计算24164a a =． 【详解】设等比数列的公比为q ，若1q =，则632S S =，不合题意；故1q ≠． 又()()61363311711811a q S q q S a q q--==+=--，所以12q =-， 所以2424111141664a a a q ==⨯=，填164． 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 15．2． 【解析】 【分析】分析双曲线的焦点位置，由正六边形的性质得出可得出ba=c e a ==.【详解】由正六边形的图形特征知，若双曲线焦点在x 轴上，且2F 为双曲线的右焦点， 以12F F 为直径的圆与渐近线在第一象限的交点为A ，则2OAF ∆为等边三角形， 则双曲线斜率为正的渐近线的倾斜角为3π，tan 3b a π∴==此时，双曲线的离心率为2c e a ===； 综上所述，双曲线的离心率为2，故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，解题的关键就是要分析几何图形的特征，求出渐近线的斜率，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16． 【解析】 【分析】连接CH ，过点D 在平面CDHG 内作DM CH ⊥，垂直为点M ，可证明出DM ⊥平面BCHE ，可得出EBD ∆在平面EBC 上的射影为MBE ∆，然后计算出MBE ∆的面积即可得出结果. 【详解】连接HC ，过D 作DM CH ⊥，连接ME 、MB ，因为BC ⊥平面HCD ， 又DM ⊂平面HCD ，所以DM BC ⊥，因为BC HC C ⋂=，所以DM ⊥平面HCBE ，即D 在平面HCBE 内的射影为M ，所以EBD ∆在平面HCBE 内的射影为EBM ∆， 在长方体中，HC BC ⊥，所以MBE ∆的面积等于CBE ∆的面积，所以EBD ∆在平面EBC 上的射影的面积为142=【点睛】本题考查射影面积的计算，解题的关键就是构造出线面垂直，找出射影，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 17．（1）()*2n a n n N =∈（2）()*21nnSn N n =∈+.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，利用已知条件建立1a 和d 的方程组，解出这两个量，然后利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式；（2）将数列()()111n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的通项裂项为()()11111122121n n a a n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，然后利用裂项法求出数列()()111n n a a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由312S =，530S =得11331251030a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：12a =，2d =，因此，()()*112n a a n d n n N =+-=∈；（2）因为()()()()1111111212122121n n a a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以()()11111335572121n S n n =++++⨯⨯⨯-⋅+1111111111112133557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . ()*21n nS n N n ∴=∈+.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，以及裂项求和法，解题时要了解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项求和法的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.18．（1）填表见解析,能在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系（2）13【解析】 【分析】（1）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，并将观测值与10.828进行大小比较，可对题中结论的正误进行判断；（2）将所有可能分组的情况列举出来，确定全部的分组数，并确定事件“工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组”所包含的组数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】（1）由题意可得列联表：()228006050010014016.66710.828160640200600K ⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯，故能在犯错率不超过0.001的前提下，认为该地区学生的常吃零食与患龋齿有关系； （2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表：分组的情况总共有6种，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占2组，分别是第2组和第3组. 所以工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率2163P ==. 【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查收集数据和处理数据的能力，考查计算能力，属于中等题.19．（1）见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）在图1中，证明四边形ABCE 为菱形，可得出AC BE ⊥，由翻折的性质得知在图2中，OA BE ⊥，OC BE ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明出BE ⊥平面1A OC ，可得出1BE A C ⊥，并证明出四边形BCDE 为平行四边形，可得出//CD BE ，由此得出1CD A C ⊥；（2）解法一：由（1）可知BE ⊥平面1A OC ，结合//CD BE ，可得出CD ⊥平面1A OC ，由此得出点D 到平面1A OC 的距离为CD 的长度，求出CD 即可；解法二：证明出1A O ⊥平面OCD ，可计算出三棱锥1A OCD -的体积，并设点D 与面1A OC 的距离为d ，并计算出1A OC ∆的面积，利用三棱锥1A OCD -的体积和三棱锥1D A OC -的体积相等计算出d 的值，由此可得出点D 到平面1A OC 的距离. 【详解】（1）图1中，在四边形ABCE 中，//BC AE ，1BC AE ==，∴四边形ABCE 为平行四边形.又1AB BC ==Q ，∴四边形ABCE 为菱形，AO BE ∴⊥，CO BE ⊥，∴在图2中，1A O BE ⊥，CO BE ⊥，又1AO CO O ⋂=，BE ∴⊥面1A OC ．1A C ⊂平面1A OC ，1BE A C ∴⊥.又在四边形BCDE 中，//BC DE ，1BC DE ==，∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，1CD A C ∴⊥；（2）法一：由（1）可知BE ⊥面1A OC ，且//CD BE ，CD \^平面1A OC ，CD 的长度即为点D 到平面1A OC 的距离，由（1）已证四边形BCDE 为平行四边形，所以CD BE ==因此，点D 到平面1A OC ；解法二：连接OD ，11A B =Q ，122BO BE ==，AO BE ⊥，222112AO AB BO ∴=-=，12A O CO ∴==，22211A O CO A C ∴+=，1A O OC ∴⊥. 又BE CO O ⋂=，1A O ∴⊥平面OCD ．设点D 与面1A OC 的距离为d ，11A OCD D A OC V V --=Q ，即111212A OCD OCD V S A O -=⋅=，1113D A OC A OC V Sd -=⋅，114A OCS=，d ∴=． 【点睛】本题考查直线与直线垂直的证明，同时也考查了点到平面的距离的计算，解题时要充分利用题中的垂直关系，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）（2）满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，详见解析. 【解析】 【分析】（1）先得出点N 的坐标为()0,1-，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式求出ABN ∆的面积关于k 的表达式，由此可得出ABN ∆面积的最小值；（2）解法一：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，求出线段AC 的中点O '的坐标，并计算出点O '到直线l 的距离以及以AC 为直径的圆O '的半径长，然后利用勾股定理可计算出l 截以AC 为直径的圆所得弦长，结合弦长的表达式得出当02pa -=时，弦长为定值，从而得出直线l 的方程；解法二：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，求出以AC 为直径的圆的方程，将直线l 的方程与圆O '的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出l 截以AC 为直径的圆所得弦长，结合弦长的表达式得出当02pa -=时，弦长为定值，从而得出直线l 的方程. 【详解】（1）依题意，点N 的坐标为()0,1N -，可设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，由221x x y kx ⎧=⎨=+⎩得2220x kx --=． 由韦达定理得122x x k +=，122x x =-．于是12ABN BCN ACN S S S x x ∆∆∆=+=-===∴当0k =时，()min ABN S ∆=（2）解法一：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则O H PQ '⊥，O '点的坐标为11,22x y p +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2112x py =．因为12O P AC '=== 111222y p O H a a y p +'=-=--，()()()222222111112442p PH O P O H y p a y p a y a p a ⎛⎫''=-=+---=-+- ⎪⎝⎭， ()()221242p PQ PHa y a p a ⎡⎤⎛⎫==-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令02p a -=，得2pa =，此时PQ p =为定值， 故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线； 解法2：假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设以AC 为直径的圆上任意一点为：(),M x y ，()0,A p ，()11,B x y ，2112x py =，则0AM BM ⋅=，则以AC 为直径的圆方程为：()()110,,0x y p x x y y --⋅--=， 化简为：()()2110x x x y p y y -+--=，直线方程y a =代入上述方程得()()2110x x x a p a y -+--=则()()()21114402p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫∆=----+-> ⎪⎢⎥⎝⎣⎦=⎭ 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为()33,P x y ，()44,Q x y ，则有34PQ x x =-==令02p a -=，得2pa =，此时PQ p =为定值． 故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查三角形面积的最值以及直线截圆所得弦长的计算，同时也考查了韦达定理设而不求法在直线与抛物线综合问题中的应用，综合性较强，计算量大，属于难题.21．（Ⅰ）000sin cos a x x x =-；()()01,1f x ∈-（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ，可得()00f x '=，解方程得000sin cos a x x x =-，将a 代入()0f x 进一步求出()0f x 的范围；（Ⅱ）证明()ln 0f x m x +>成立，即证明ln sin mx x x π>-成立，构造函数()ln g x mx x =，()sin h x x π=-，利用导数求得()g x 的最小值，结合(),1(]h x ππ∈--即可证得该不等式成立． 【详解】解：（Ⅰ）由函数sin ()a xf x x-=，0πx <<，得 2cos sin ()x x a xf x x--+'=， ∵当0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ， ∴()00f x '=，∴000sin cos a x x x =-， ∴()00000cos cos x x f x x x -==-， ∵0πx <<，∴()0cos 1,1x ∈-， ∴()()01,1f x ∈-，即()0f x 的取值范围为：()1,1-． （Ⅱ）当a π=时，sin ()(0)xf x x xππ-=<<，要证sin ()ln ln 0xf x m x m x xπ-+=+>成立，即证ln sin mx x x π>-成立，令()ln g x mx x =，()sin h x x π=-，则()()ln 1g x m x '=+，()si ,(n 1]h x x πππ=-∈--，令()0g x '=，则1x e=， ∴当10x e<<时，()0g x '< ，此时()g x 递减； 当1x eπ<<时，()0g x '>，此时()g x 递增， ∴min 1()m g x g e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 显然0,()m π∀∈，1meπ->-， ∴0m π<<时，ln sin mx x x π>-成立。

2020届广东省华附、省实、深中、广雅高三四校联考数学（理）试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（***） A ．=M N B ．M ⊂≠ N C ．N ⊂≠ M D ．M N =∅2. 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***）A ．真，假，真B ．真，真，假C ．假，假，真D ．假，假，假3. 已知平面向量a ，b 是非零向量，2=a ，()2⊥+a a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影为（***） A.1- B. 1 C. 2-D. 24. 平面∥α平面β的一个充分条件是（***） A ．存在一条直线a a a αβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 5. 函数2()log 3sin()2π=-f x x x 零点的个数是（***）A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知函数()sin 2cos2=-f x a x b x （a ，b 为常数，0≠a ，∈x R ）在12π=x 处取得最大值，则函数3π⎛⎫=+⎪⎝⎭y f x 是（***） A. 奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 奇函数且它的图象关于π=x 对称 D. 偶函数且它的图象关于π=x 对称 7. 已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2=+y f x 的图象关于y 轴对称， 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016=f a f a ，则{}n a 的前2019项之和为（***） A ．0B ．2019C ．4038D ．40408．函数()2sin cos2=+f x x x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（***） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 函数()2112---=x x x f 的值域是（***）A. 44,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []0,1D. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，△ABC 内接于圆，且60∠=BAC ，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（***）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x D. 221144⎛⎫+=< ⎪⎝⎭x y x 11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =，则双曲线的离心率（***）A ．3 B ．3C D. 2 12. 若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB ，平面SBC ，平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是（***）A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第二部分 非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上. 13. 在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),=a m n ，()1,1=b ，则满足1-≤a b 的概率是***．14. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311+=+n n A n B n ，则25837++=+a a a b b ***． 15. 已知随机变量X~B (2，p )，Y~N (2，σ2)，若P (X ≥1)=0.64，P (0<Y<2)=p ，则P (Y>4)=***．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222=+b a c ，当()tan -B A 取最大值时，角A 的值为***．三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，241-=+-n a a n n （2≥n ）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：n nb b b b )12(73321-++++ =n a ，求数列{}n b 的通项公式.18. （本小题满分12分）某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立. （Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝 且另外2天不低于150枝的概率；（Ⅱ）用ξ表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天 数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直 线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与 平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1+=x y C a b（0a b >>）2，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．21. （本小题满分12分）已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(1,3)P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．（二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-，分别与曲线C 交于,,A B C 三点(不包括极点O )，其中(,)44ππϕ∈-．（Ⅰ）求证：OB OC OA +=； （Ⅱ）当12πϕ=时，若,B C 两点在直线l 上，求m 与α的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()222f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于x 的不等式()2≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.4π 14. 215 15. 0.1 16. 6π 三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由241-=+-n a a n n （2≥n ）可化为()()12220--+-+=n n a n a n . 令2=-n n c a n ，则10-+=n n c c ，即1-=-n n c c . 因为12=a ，所以1120=-=c a ， 所以0=n c ，即20-=n a n ，故2.=n a n ……6分 （若用不完全归纳，没有证明，可给4分） （Ⅱ）由()1233721++++-=n n n b b b b a ，可知()()11231137212---++++-=≥n n n b b b b a n ，两式作差得()()12122--=-=≥n n n n b a a n ， 即()2221=≥-n nb n . ……10分 又当1=n 时，也112==b a 满足上式， ……11分 故221=-n n b . ……12分18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设日销售量为x ，“有2天日销售低于100枝，另外2天不低于150枝”为事件A. 则()1000.002500.006500.4Px ≤=⨯+⨯=，……1分()1500.005500.25P x ≥=⨯=，……2分()22240.40.250.06.P A C ∴=⨯⨯=……4分（Ⅱ）日销售量不低于100枝的概率0.6=P ，则()~4,0.6B ξ.……6分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D B A CBCDAA于是()()440.60.40,1,2,3,4.k k k Pk C k ξ-==⨯⨯=……8分则分布列为ξ1234P16625 96625 216625 216625 81625……10分()16962162168101234 2.4.625625625625625E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……12分19. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）//平面l PAC . ……………1分证明如下：//EF AC ，AC ABC ⊂平面，EF ABC ⊄平面，//平面∴EF ABC . ……………2分又EF BEF ⊂平面，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，//∴EF l ． ……………3分而,l PAC EF PAC ⊄⊂平面平面，//平面∴l PAC ． ……………………4分（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结D E ，FB ．由（Ⅰ）知，//BD AC ，而,AC BC BD BC ⊥∴⊥．PC ⊥平面ABC ，PC BD ∴⊥．而PC BC C =，,BD PBC ∴⊥平面又FB PBC ⊂平面，BD BF ∴⊥，FBC ∴∠是二面角E l C --的平面角． ………………8分1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠． 注意到0,0cos 12ABC ABC π<∠<∴<∠<，tan 1FBC ∴∠>．02FBC π<∠<，(,)42FBC ππ∴∠∈，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ．………………12分解法二：由题意，AC ⊥BC ，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB =2，BC =t (02)t <<，则2(0,,0),(0,0,2),(4,,0)B t F D t t -，2(0,,2),(4,0,0)BF t BD t =-=-. …………6分设平面DBF 的法向量为(,,)m x y z =，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22040ty z t x -+=⎧-=，取2y =得(0,2,)m t =．易知平面BCD 的法向量(0,0,1)n =， …………8分 设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角．22||2cos (0,2||||441m n m n tt θ⋅===⋅++， …………11分42ππθ∴<<，即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ． …………12分20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知(,0)-F c ，直线AB 的斜率存在.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221+=x y a b ①，2222221+=x y a b②①—②，化简得2221222212--=-y y b a x x ③ 2，所以2212=b a . …………2分又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以1243+=-x x ，1223+=y y ，12121323-=--+y y x x c ，代入③式，得1213324233⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c ，解得1=c . …………5分再结合222-=a b c ，解得22=a ，21=b ，故所求椭圆的方程为2212+=x y . …………6分（Ⅱ）证明：设00(,)M x y ，由对称性，设00>y ，由2212+=x y，得椭圆上半部分的方程为=y'()=-=y x ，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以12==-l x k y ， 所以01000:()2-=--x l y y x x y ， ④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以0201:(1)+=-+x l y x y ， ⑤………10分 联立④⑤，消去y ，得220000122+=----x x x y x x ，又220012+=x y ，所以002202+⋅++=x x x ，从而可得2=-x ，所以1l 与2l 的交点在定直线2=-x 上． …………12分21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x af x x x+'=+=．…………………1分 （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．…………………2分 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(,+)-∞a ．……………………………………………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零； (4)分（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得>-a e ，所以21a -<<-．………………5分 （3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数， 所以min ()(2)2ln 2==+f x f a ．依题意有min ()2ln 20=+>f x a ，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． …………6分 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………7分（Ⅱ）另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立. …………4分当(1,2]x ∈时，ln 0+>x a x 恒成立ln ⇔>-x a x 恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln =-x m x x ，则21ln '()0ln -=>x m x x ，易知()ln =-xm x x在(1,2]上单调递增， 所以()m x 最大值为2(2)ln 2m =-，此时应有2ln 2>-a . …………6分综上，a 的取值范围是2(,)ln 2-+∞. …………7分（Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01ak x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-． 即001(ln 1)20a x x +--=．………………① ………………8分令1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >，则2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<． 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．因此当0a <时，切线的条数为0． ………………9分（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<．取211+=>ax ee ，则221112()(11)20----=++--=>a a g x a e ae a．故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点．取2121--=<ax ee ，则221122()(11)224++=--+--=--aa g x a e ae a a212[2(1)]+=-+a a e a ．设21(1)t t a=+>，()2=-t u t e t ，则()2'=-t u t e ． 当1t >时，()220'=->->tu t e e 恒成立．所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)20>=->u t u e 恒成立． 所以2()0g x >．故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．因此当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线． ………………11分（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (1,3)的切线．综上所述，当0a >时，过点P (1,3)存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点P (1,3)的切线．………………………………12分（Ⅲ）另解：设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率01a k x =+， 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-．因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)a x a x x x -+=+-， 即001(ln 1)20a x x +--=． ………………8分 当0a =时，020-=无解. ………………9分当0a ≠时，12ln 1x x a +-=-， 令1()ln 1g x x x =+-，则21'()-=x g x x， 易知当01<<x 时，21'()0-=<x g x x ；当1>x 时，21'()0-=>x g x x， 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ………………10分 又(1)0g =，且0lim ()lim ()x x g x g x →→+∞==+∞， 故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线， 即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. ………………11分综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. ………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 证明：（Ⅰ）依题意，4cos ϕ=OA ，………………………………………………1分 4cos 4πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭OB ，4cos 4πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭OC ，……………3分 则4cos 4cos 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OB OC 8cos cos 4πϕ=ϕ=.=OA …………5分 解：（Ⅱ）当12πϕ=时，,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭，…………6分化成直角坐标为(B，(3,C . ……………………………7分 经过点,B C的直线方程为)2=-y x ，……………………………8分 又直线l 经过点(),0m ，倾斜角为α，且0απ≤<，故2=m ，23πα=. ………………10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵()13<f ，∴123+-<a a . …………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，即23>-a ，∴203-<≤a ；…………2分② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，即2>-a ，∴102<<a ； …………3分 ③ 当12≥a 时，得()123--<a a ，即43<a ，∴1423≤<a . …………4分 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……………………………………5分 （Ⅱ）∵()222f x x a x a =+-+-2122=+-+-a x x a 11+222=+-++--a a x x x a 51122≥+-+-a a x 512≥-a ， 当12=-a x 时，等号成立， ∴()f x 的值最小为512-a . …………8分 ∴5122-≥a ， 解得25≤-a 或65≥a ．……………………………………9分 ∴ 实数a 的取值范围是26,,55⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. …………10分。

华附、省实、广雅、深中2020届高三上学期期末联考语文参考答案及评分标准1.B（B项错误，原文第②段只是说古典美学的主要审美对象是大自然、乡村，没有指出现代美学是否存在大自然这个审美对象，所以不存在现代美学“不再以大自然为审美对象”。

）2.D（D项中的“发展前景”不是文章重点论述的内容。

）3.A（ B项推断错误，文章论述两者之间的审美对象有不同，而没有评价价值的高低；C项错误，强加因果，二者为并列关系；D项错误，逻辑关系错误，原文第四段是“只有……才……”的必要条件。

）4.C（“消费者不再为交通的便利性担忧”的原因解释错误，原文是“我国部分城市已经开始推行延长公共交通服务时间的做法，这将很大程度上解决夜间居民城市出行难题”，时间上是“未然”，不是“已然”，这只是“部分城市”而非所有消费者。

）5.D（材料中表述的是“相比于欧美夜间经济对线下消费（尤其是酒吧、餐饮、娱乐等）的倚重”，这并不意味着欧美的夜间经济只局限于线下消费。

）6.答案：①中国不断完善的城市基础设施建设。

（2分）（若答“加大轨道交通投资、延长公共交通服务时间”“重视电网建设、城市电力覆盖率高”两点，因没有概括只得1分；若答“不断完善的轨道交通和电网等城市基础设施”得2分。

）②中国未完全释放的夜间经济红利。

（2分）（如没有答出第②点，而答了“中国数量庞大的消费人群”，得1分；这一点应该属于“未完全释放的夜间经济红利”，与第②点不能重复给分。

）③中国移动互联网的发展异军突起。

（1分）④中国政府的政策支持。

（1分）7．C（老班长的故事不属于插叙；“为了表现老班长的技术无人能及”错误，是为了表现老班长的成功除了技术，更多的是热爱、执着和专注的精神。

）8．参考答案：粗犷：①踹石平阳一脚以示惩罚，动作（行为）粗野；②在炮场上脏话丑话连篇，语言粗鲁。

温情：①反复抹大炮上的铅笔线，爱惜大炮（内心细腻）；②给士兵们讲述老班长的故事，以情动人；③查看石平阳手上的烂处与老茧，关心战友；④将自己掌握的技术全部送给石平阳，帮助战士（热心待人、提携后进）。

数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.4π 14. 215 15. 0.1 16. 6π三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)由241-=+-n a a n n (2≥n )可化为()()12220--+-+=n n a n a n . 令2=-n n c a n ,则10-+=n n c c ,即1-=-n n c c . 因为12=a ,所以1120=-=c a , 所以0=n c ,即20-=n a n ,故2.=n a n ……6分 (若用不完全归纳,没有证明,可给4分) (Ⅱ)由()1233721++++-=L n n n b b b b a ,可知()()11231137212---++++-=≥L n n n b b b b a n , 两式作差得()()12122--=-=≥n n n n b a a n , 即()2221=≥-n nb n . ……10分 又当1=n 时,也112==b a 满足上式, ……11分 故221=-n nb . ……12分18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)设日销售量为x ,“有2天日销售低于100枝,另外2天不低于150枝”为事件A. 则()1000.002500.006500.4Px ≤=⨯+⨯=,……1分()1500.005500.25P x ≥=⨯=,……2分()22240.40.250.06.P A C ∴=⨯⨯=……4分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBACBCDAA(Ⅱ)日销售量不低于100枝的概率0.6=P ,则()~4,0.6B ξ.……6分于是()()440.60.40,1,2,3,4.k k k Pk C k ξ-==⨯⨯=……8分则分布列为ξ1234P16625 96625 216625 216625 81625……10分()16962162168101234 2.4.625625625625625E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……12分19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)//平面l PAC . ……………1分证明如下：//Q EF AC ,AC ABC ⊂平面,EF ABC ⊄平面,//平面∴EF ABC . ……………2分又EF BEF ⊂平面,平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,//∴EF l . ……………3分而,l PAC EF PAC ⊄⊂平面平面,//平面∴l PAC . ……………………4分(Ⅱ)解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ,连结D E ,FB .由(Ⅰ)知,//BD AC ,而,AC BC BD BC ⊥∴⊥.Q PC ⊥平面ABC ,PC BD ∴⊥.而PC BC C =I ,,BD PBC ∴⊥平面 又FB PBC ⊂Q 平面,BD BF ∴⊥,FBC ∴∠是二面角E l C --的平面角. ………………8分1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠.注意到0,0cos 12ABC ABC π<∠<∴<∠<,tan 1FBC ∴∠>.02FBC π<∠<Q ,(,)42FBC ππ∴∠∈,即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ. ………………12分解法二：由题意,AC ⊥BC ,以CA 为x 轴,CB 为y 轴,CP 为z 轴建立空间直角坐标系,设AB =2,BC =t (02)t <<,则2(0,,0),(0,0,2),(4,,0)B t F D t t -,2(0,,2),(4,0,0)BF t BD t =-=-u u u r u u u r. …………6分设平面DBF 的法向量为(,,)m x y z =u r,则由00m BF m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r 得22040ty z t x -+=⎧⎪-=,取2y =得(0,2,)m t =u r . 易知平面BCD 的法向量(0,0,1)n =r, …………8分设二面角E l C --的大小为θ,易知θ为锐角.22||2cos (0,)2||||441m n m n tt θ⋅===⋅++u u r u u r u r r , …………11分42ππθ∴<<,即二面角E l C --的取值范围是(,)42ππ. …………12分20. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题可知(,0)-F c ,直线AB 的斜率存在.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由于点A ,B 都在椭圆上,所以2211221+=x y a b ①,2222221+=x y a b②①—②,化简得2221222212--=-y y b a x x ③ 又因为离心率为2,所以2212=b a . …………2分又因为直线AB 过焦点F ,线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭,所以1243+=-x x ,1223+=y y ,12121323-=--+y y x x c ,代入③式,得1213324233⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c ,解得1=c . …………5分 再结合222-=a b c ,解得22=a ,21=b ,故所求椭圆的方程为2212+=x y . …………6分(Ⅱ)证明：设00(,)M x y ,由对称性,设00>y ,由2212+=x y ,得椭圆上半部分的方程为=y'()=-=y x ,又1l 过点M 且与椭圆只有一个公共点,所以12==-l x k y , 所以01000:()2-=--x l y y x x y , ④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直,所以0201:(1)+=-+x l y x y , ⑤………10分 联立④⑤,消去y ,得220000122+=----x x x y x x ,又220012+=x y ,所以002202+⋅++=x x x ,从而可得2=-x ,所以1l 与2l 的交点在定直线2=-x 上. …………12分21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >,()1a x a f x x x+'=+=.…………………1分(1)当0a ≥时,()0f x '>恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； (2)当0a <时, 令()0f x '=,得x a =-.当0x a <<-时,()0f x '<,函数()f x 为减函数；当x a >-时,()0f x '>,函数()f x 为增函数.…………………2分 综上所述,当0a ≥时,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.当0a <时,函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -,单调递增区间为(,+)-∞a .……………………………………………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当1a -≤时,即1a ≥-时,函数()f x 在区间[]1,2上为增函数,所以在区间[]1,2上,min ()(1)1f x f ==,显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；………………4分(2)当12a <-<时,即21a -<<-时,函数()f x 在[)1a -，上为减函数,在(],2a - 上为增函数,所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-.依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->,解得>-a e ,所以21a -<<-.………………5分 (3)当2a -≥时,即2a ≤-时,()f x 在区间[]1,2上为减函数, 所以min ()(2)2ln 2==+f x f a .依题意有min ()2ln 20=+>f x a ,解得2ln 2a >-,所以22ln 2a -<≤-. …………6分 综上所述,当2ln 2a >-时,函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零.………………7分(Ⅱ)另解：当1x =时,显然ln 10x a x +=>恒成立. …………4分当(1,2]x ∈时,ln 0+>x a x 恒成立ln ⇔>-x a x 恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln =-x m x x ,则21ln '()0ln -=>x m x x ,易知()ln =-xm x x在(1,2]上单调递增, 所以()m x 最大值为2(2)ln 2m =-,此时应有2ln 2>-a . …………6分综上,a 的取值范围是2(,)ln 2-+∞. …………7分(Ⅲ)设切点为000,ln )x x a x +（,则切线斜率01ak x =+, 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-. 因为切线过点(1,3)P ,则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-. 即001(ln 1)20a x x +--=.………………① ………………8分 令1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >,则2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=. (1)当0a <时,在区间(0,1)上,()0g x '>,()g x 单调递增；在区间(1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<. 故方程()0g x =无解,即不存在0x 满足①式.因此当0a <时,切线的条数为0. ………………9分(2)当0a >时, 在区间(0,1)上,()0g x '<,()g x 单调递减,在区间(1,)+∞上,()0g x '>,()g x 单调递增,所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<.取211+=>ax ee ,则221112()(11)20----=++--=>a a g x a e ae a. 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点.取2121--=<ax ee ,则221122()(11)224++=--+--=--aag x a e ae a a212[2(1)]+=-+a a e a .设21(1)t t a=+>,()2=-t u t e t ,则()2'=-t u t e . 当1t >时,()220'=->->tu t e e 恒成立.所以()u t 在(1,)+∞单调递增,()(1)20>=->u t u e 恒成立. 所以2()0g x >.故()g x 在(0,1)上存在唯一零点.因此当0a >时,过点P (1,3)存在两条切线. ………………11分(3)当0a =时,()f x x =,显然不存在过点P (1,3)的切线.综上所述,当0a >时,过点P (1,3)存在两条切线；当0a ≤时,不存在过点P (1,3)的切线.………………………………12分(Ⅲ)另解：设切点为000,ln )x x a x +（,则切线斜率01ak x =+, 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-. 因为切线过点(1,3)P ,则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-, 即001(ln 1)20a x x +--=. ………………8分 当0a =时,020-=无解. ………………9分 当0a ≠时,12ln 1x x a+-=-, 令1()ln 1g x x x =+-,则21'()-=x g x x, 易知当01<<x 时,21'()0-=<x g x x ；当1>x 时,21'()0-=>x g x x,所以()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增. ………………10分 又(1)0g =,且0lim ()lim ()x x g x g x →→+∞==+∞,故当20a ->时有两条切线,当20a-<时无切线, 即当0a <时有两条切线,当0a >时无切线. ………………11分 综上所述,0a <时有两条切线,0a ≥时无切线. ………………12分22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程证明：(Ⅰ)依题意,4cos ϕ=OA ,………………………………………………1分 4cos 4πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭OB ,4cos 4πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭OC ,……………3分 则4cos 4cos 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OB OC 8cos cos 4πϕ=ϕ=.=OA…………5分解：(Ⅱ)当12πϕ=时,,B C 两点的极坐标分别为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,6π⎛⎫-⎪⎝⎭,…………6分化成直角坐标为(B ,(3,C . ……………………………7分经过点,B C 的直线方程为)2=-y x ,……………………………8分 又直线l 经过点(),0m ,倾斜角为α,且0απ≤<, 故2=m ,23πα=. ………………10分23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)∵()13<f ,∴123+-<a a . …………………………………1分① 当0≤a 时,得()123-+-<a a ,即23>-a ,∴203-<≤a ；…………2分 ② 当102<<a 时,得()123+-<a a ,即2>-a ,∴102<<a ； …………3分③ 当12≥a 时,得()123--<a a ,即43<a ,∴1423≤<a . …………4分综上所述,实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………………………5分(Ⅱ)∵()222f x x a x a =+-+-2122=+-+-ax x a11+222=+-++--a ax x x a51122≥+-+-a a x512≥-a , 当12=-ax 时,等号成立,∴()f x 的值最小为512-a. …………8分 ∴5122-≥a, 解得25≤-a 或65≥a .……………………………………9分∴ 实数a 的取值范围是26,,55⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U . …………10分。