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广东省2018届高三年级四校联考理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】．故选.2.是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】，在复平面上对应的点位于第三象限．故选.3. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. 21B. 17C. 14D. 5【答案】B【解析】作可行域为如图所示的，其中，设，则，表示斜率为，纵截距为的直线，作直线并平移，使其经过可行域内的点，当直线过点时，取得最大值，．故选.4. 已知两个单位向量的夹角为，则的最小值为（）A. B. C. 1 D.【答案】B，所以当时，取得最小值．故选.解法2：如图，，因为，所以点在直线上运动，则，显然，当时，取得最小值，此时．故选.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4和2，则输出的值为（）A. 32B. 64C. 65D. 130【答案】C【解析】程序运行循环时变量值为：；；；，退出循环，输出，故选C．6. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.7. 已知函数，若函数为奇函数，则的值为（）A. B. C. 0 D. 2【答案】B【解析】，令，得，又，所以函数的对称中心为，所以函数的对称中心为，根据题意可得，解得，所以．故选.8. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】当时，，当时，或，，两式相减，得或，，即或，，又因为，所以的最小值为．故选.解法2：直接令，得，解得．故选.9. 已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，所以，作出函数的图像，由图可知，要使得方程在区间上有两个根，且，则，即．故选.10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，连结，分别交抛物线于点，且三点共线，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】直线的方程为，将其代入，解得，故；直线的方程为，将其代入，解得，故，又，所以，因为三点共线，所以，即，解得．故选.11.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A. 或或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.12. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取中点，连接，则，，所以，设外接圆圆心为，半径为，则所以．同理可得：的外接圆半径也为2，因为，所以是等边三角形，，即二面角为，球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，所以，所以，即，所以外接球的表面积．故选.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的线性回归方程为，则_____________．【答案】【解析】，将代入，解得：．14. 的展开式中的系数为_____________．【答案】1【解析】，所以展开式中的系数为．15. 过双曲线右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_____________．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，根据题意可得，所以离心率，所以离心率的取值范围是．【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，考查离心率和的关系，考查数形结合的数学思想方法.由于题目所给过右顶点的直线和双曲线右支交于两点，转化为渐近线的斜率小于该直线的斜率.双曲线的渐近线，在图像上显示的即是函数的图象无限的接近渐近线.在双曲线中，在椭圆中.16. 如图在平面四边形中，，则四边形的面积为_____________．【答案】【解析】连接，则，此时，，所以，取中点，连接，则，，，所以．【点睛】本题考查不规则四边形面积的求法，考查余弦定理解三角形.由于四边形是不规则的，所以要将求四边形面积的问题转化为求三角形面积的问题来求解.在连接将四边形分成两个三角形后，利用余弦定理和三角形内角和定理，结合解三角形与三角形面积公式，可求得面积.三、解答题：17. 已知等差数列的前项和为，，．（1）求的值；（2）求数列的前项和．【答案】（1）1（2）【试题解析】（1）因为，代入，可得：，整理可得，因为，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，当时，，当时，，因为，所以，若数列为等差数列，则有，解得．（2）由（1）可得，所以所以，即．18. 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．【答案】（1）（2）应选方案二．【解析】【试题分析】中位数是左右两边小长方形面积为的地方.（1）由于乙图中频率分成个部分，故将水位频率和对应级灾害的频率对应起来，利用相互独立事件概率计算公式，将发生级灾害的概率计算出来.（2）分别计算方案、方案和方案对应的利润分布列及数学期望，由此判断出方案较合理. 【试题解析】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（1）知．的分布列为X1500 －100 －1000P 0.81 0.155 0.035则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（1）知，，的分布列为：X2460 －1040P 0.965 0.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．19. 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）连结交于点，连结．根据菱形有，根据等腰三角形有，所以以平面，.利用线面平行的性质定理有，故，所以.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以．因为平面，平面，且平面平面，所以，所以．（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以．分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以．记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以，记二面角的大小为，则．所以二面角的余弦值为．20. 已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围．【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为．（2）【解析】【试题分析】（1）根据离心率可有，依题意可知为椭圆的焦点，故.当位于椭圆上顶点时，面积取得最大值，由此列方程可解得的值，并求得圆和椭圆的方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线方程为，利用圆和直线相切求得的等量关系式，利用韦达定理和弦长公式计算出弦长并利用配方法求得弦长的取值范围.当直线斜率不存在时，直线的方程为，可直接得到的坐标求出弦长.【试题解析】（1）由题意得，解得：①因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，设，则，所以，当时，，代入①解得，所以，所以，圆的方程为，椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去可得，，令，则，所以，所以，所以②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，综上，的取值范围是．【点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.21. 已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．【答案】（1）1（2）存在【解析】【试题分析】（1）对函数求导后得到函数的单调区间，利用二分法判断函数在给定区间上只有一个零点.（2）原命题等价于，存在无数个，使得成立，求得的表达式，构造为函数，利用导数证得存在负值即可.【试题解析】（1），当时，单调递减；当时，单调递增；因为，所以存在，使，且当时，，当时，．故函数在区间上有1个零点，即．（2）（法一）当时，．因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．下证：当时，，即证．，记…，所以在单调递增，由，所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增．所以当时，．……由，得当时，．故．当时，单调递增；当时，单调递减．所以存在，使得为的极大值点．（2）（法二）因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，因为，记…因为，当时，，所以在单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，②…由，可得，代入②式可得，当时，，所以，必存在，使得，即对任意有解，所以对任意，函数存在极大值点为．…【点睛】本小题主要考查利用导数求解关于零点个数问题.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线与曲线（为参数，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与的公共点，点是与的公共点，当在区间上变化时，求的最大值．【答案】（1），（2）【解析】【试题分析】（1）对于曲线直接代入公式即可得到极坐标方程，对于先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示，然后利用辅助角公式化简求得最大值.【试题解析】（1）曲线的极坐标方程为，即．曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为．（2）由（1）知，…由知，当，即时，有最大值．…23. [选修4—5：不等式选讲]已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将变为分段函数来求解不等式.（2）利用绝对值不等式的性质求得的最小值为，且，由解求的的取值范围.【试题解析】（1）当时，，所以或或，解得或，因此不等式的解集的（2），且，所以，所以存在，使得，等价于，所以，解得，所以实数的取值范围是…。
广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三数学上学期期末试卷文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3} 2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．1545．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣67．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．108．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．1310．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是．14．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= ．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f （A）=，求角C．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省深圳中学、华南师大附中、广东实验中学、广雅中学四校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x≤3}，则N∩（∁R M）=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|﹣2≤x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，然后进行集合的补集、交集运算即可．【解答】解：M={x|x＞2，或x＜﹣2}，N={x|1＜x≤3}；∴∁R M={﹣2≤x≤2}；∴N∩（∁R M）={x|1＜x≤2}．故选A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案．【解答】解：复数Z=，对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．条件p：|x+1|＞2，条件q：x≥2，则￢p是￢q的（）A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】根据题意，解|x+1|＞2可以求出p为真的解集，从而得到¬p，由q 可得¬q为x＜2，进而能够判断出¬p是¬q的真子集，由集合间的关系与充分条件的关系可得答案．【解答】解：根据题意，|x+1|＞2⇔x＜﹣3或x＞1，则￢p：﹣3≤x≤1，又由题意，q：x≥2，则￢q为x＜2，所以￢p是￢q的充分不必要条件；故选A．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．121 B．132 C．142 D．154【考点】程序框图．【分析】由已知中程序的框图，我们可知程序的功能是利用循环结构，累乘变量i的值，由于循环的初值为12，终值为10，步长为1，故输出结果为S=12×11的值．【解答】解：由已知中程序的功能为：利用循环结构，计算S=12×11的结果，并输出．∵S=12×11=132．故选：B．5．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，根据图中数据与勾股定理求出SB的值．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中，AC=4，AC边上的高为，所以BC=4；在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=．故选：C．6．函数y=f（x）是R上的奇函数，满足f（3+x）=f（3﹣x），当x∈（0，3）时f（x）=2x，则当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）=（）A．2x+6B．﹣2x+6C．2x﹣6D．﹣2x﹣6【考点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数的周期性．【分析】由已知中定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且满足f（3+x）=f （3﹣x），我们可以求出函数的对称轴和对称中心，根据函数对称性与周期性之间的关系，我们易求出函数的周期，进而结合当x∈（0，3）时f（x）=2x，即可求出当x∈（﹣6，﹣3）时，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（3+x）=f（3﹣x），故直线x=3是函数y=f（x）的一条对称轴又由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，故原点（0，0）是函数y=f（x）的一个对称中心则T=12是函数y=f（x）的一个周期设x∈（﹣6，﹣3）则x+6∈（0，3）时f（x+6）=2x+6=f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）=﹣2x+6故选B7．已知等差数列{a n}的通项公式a n=，设A n=|a n+a n+1+…+a n+12|（n∈N*），当A n取得最小值时，n的取值是（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得数列首项和公差，且求得数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．由此可知只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．【解答】解：由a n=，可得等差数列的首项为a1=12，公差d=，则数列{a n}为递减数列，由a n==0，解得n=16．∴数列{a n}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．而a n+a n+1+…+a n+12为数列中的13项和，∴只有第16项为中间项时A n=|a n+a n+1+…+a n+12|最小，此时n=10．故选：D．8．已知△ABC中，平面内一点P满足=+，若||=t||，则t的值为（）A．3 B．C．2 D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC 交BC于点F，可得，，可得点P满足=+，利用平行四边形法则即可得出．【解答】解：如图所示，在CA上取CE=2EA，过点E作EP∥BC交AB于点P，过点P作PF∥AC交BC于点F，则，，∴点P满足=+，∴，满足||=2||，又||=t||，∴t=2．故选：C．9．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．12 D．13【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．【解答】解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF=45°，∴|AF|=|EF|，∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0），令x=﹣c，则﹣=1，则有y=±，∴|AF|=，∴|EF|=a+c，∴=a+c∴c2﹣ac﹣2a2=0∴e2﹣e﹣2=0∵e＞1，∴e=2故选B．10．设变量x，y满足：，则z=|x﹣3y|的最大值为（）A．8 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=|x﹣3y|，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣3y过可行域内的点A时，从而得到z=|x﹣3y|的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z=x﹣3y，当直线经过A（﹣2，2）时，z=|x﹣3y|，取到最大值，Z m a x=8．故选：A．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△A B C=，∴V三棱锥S﹣A B C==．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】根据条件构造函数g（x）=，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．设2m＞2n＞4，则log m2与log n2大小关系是log m2＜log n2 ．【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的图象和性质比较即可【解答】解：∵2m＞2n＞22，∴m＞n＞2，∴log2m＞log2n＞1即＜，∴log m2＜log n2故答案为：log m2＜log n214．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t= 1 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．15．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．16．已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若，，，…，，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n= ．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出对应的公差和公比，即可得到结论．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，，，，…，成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，∴，即（1+d）2=1•（1+4d），解得d=2，即a n=2n﹣1，∴，又等比数列a1，a2，a5的公比为q=，∴=3n﹣1，即k n=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx=sin（x+θ）．因为f（x）在x=π时取最小值，所以sin（π+θ）=﹣1，故sinθ=1．又0＜θ＜π，所以θ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．因为f（A）=cosA=，且A为△ABC的角，所以A=．由正弦定理得sinB==，又b＞a，所以B=时，，当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．18．性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱40 60 100不喜爱20 20 40总计60 80 140（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．附：p（k2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879k2=．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由抽样比例求样本中的数据；（Ⅱ）代入公式求出k2的值，查表得结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，用古典概型概率公式求值．【解答】解：（Ⅰ）抽样比为=，则样本中喜爱的观从有40×=4名；不喜爱的观众有6﹣4=2名．（Ⅱ）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，k2==≈1.167＜5.024；∴不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（Ⅲ）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，故其概率为P（A）==0.4．19．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转换，即可求三棱锥A﹣PEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．…又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，…又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…∵AD⊂平面PAD，∴PAD⊥底面PCD …（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离…又∵PD=DC，E是PC的中点∴PC⊥DE由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．又∵PC∩BC=C∴DE⊥面PBC．…∴，，又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，∵AD∥BC，∴AD⊥BC∴∴…20．设函数f（x）=alnx﹣bx2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处与直线相切，求函数上的最大值．（Ⅱ）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的，x∈（1，e2]都成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出a，b的值，研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，已知条件转化为即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，则m≤h （a）m i n．由单调性求得最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知f′（x）=﹣2bx，∵函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，∴解得，∴，当≤x≤e时，令f′（x）＞0得＜x＜1；令f′（x）＜0，得1＜x＜e，∴f（x）在（，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣；（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，即m≤alnx﹣x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，∴m≤h（a）m i n．∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴h（a）在a∈[0，]上单调递增，∴h（a）m i n=h（0）=﹣x，∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立．∵1＜x＜e2，∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）m i n=﹣e2．则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣e2]．21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由a2=b2+c2可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k1（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k1的值，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵e==，且经过点M，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．…（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，由，得（3+4k12）x2﹣8k1（2k1﹣1）x+16k12﹣16k1﹣8=0．因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），所以△=[﹣8k1（2k1﹣1）]2﹣4•（3+4k12）•（16k12﹣16k1﹣8）＞0．整理得32（6k1+3）＞0．解得k1＞﹣，又，因为，即，所以=．即．所以，解得．因为A，B为不同的两点，所以．于是存在直线l1满足条件，其方程为．…四.选作题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明]22．如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F．（Ⅰ）求证：BC∥DE；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且=，求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过证明∠EDC=∠DCB，然后推出BC∥DE．（Ⅱ）解：证明∠CFA=∠CED，然后说明∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC=∠DAC，∠DAC=∠DAB，∠DAB=∠DCB，所以∠EDC=∠DCB，所以BC∥DE．…（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA=∠CED由（Ⅰ）知∠ACF=∠CED，所以∠CFA=∠ACF．设∠DAC=∠DAB=x，因为=，所以∠CBA=∠BAC=2x，所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x，在等腰△ACF中，π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x，则x=，所以∠BAC=2x=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，已知直线l过点P（﹣1，2），倾斜角α=，再以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C分别交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用即可得出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，利用直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得曲线C的直角坐标方程x2+y2=9．（Ⅱ）将直线的参数方程代入x2+y2=9，得，设上述方程的两根为t1，t2，则t1t2=﹣4．由直线参数方程中参数t的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当x≤2时，当2＜x ＜3时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，当x≥3时，f（x）≤﹣，即为（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣，即﹣1成立，则有x≥3；当x≤2时，f（x）≤﹣即为（3﹣x）﹣（2﹣x），即1，解得x∈∅；当2＜x＜3时，f（x）≤﹣即为3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣，解得，x≥，则有≤x＜3．则原不等式的解集为[，3）∪[3，+∞）即为[，+∞）；（2）由绝对值不等式的性质可得||x﹣3|﹣|x﹣a||≤|（x﹣3）﹣（x﹣a）|=|a﹣3|，即有f（x）的最大值为|a﹣3|．若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，则有|a﹣3|≥a，即或，即有a∈∅或a≤．则a的取值范围是（﹣∞，]．。
广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末联考数学文第【卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，z = l + -，贝'J z =iA. 0B. 1C. V2D. 2【答案】C【解析】试题分析：z =1-1 => |z|= >/2肴点：复数的运算和复数的模.【结束】2.若向量BA = (1,2),G4 = (4,5),则旋=A. (5,7)B. (-3,-3)C.(3,3)D. (-5,-7)【答案】B【解析】试题分析：BC = BA-^AC = (-3-3')【结束】3.若集合A = {1,加2}, B ={2, 4},贝ij "7/7 = 2 ”是“ A^B = {4}”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：AnB = {4}<=>m2 = 4<=>m = ±2. 考点：集合的运算、充分条件、必要条件.【结束】4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A. 1B. -1C. -2D. 0【答案】D【解析】试题分析：7 = O,^ = 1=>T = 1,^ = O^T=1^ = -1=>Z = O^ = -1=>T=-1,^ = O.考点:算法和程序框图.【结束】/ ［、b5.已知log/>l, —>1, 2“=巧，贝ij212丿A. a> b> cB. c> a> bC. a> c> bD. c>b> a【答案】B【解析】试题分析：log] Q>1=>OVGV 丄, 2 2:.c> a> h考点：指数函数和对数函数的性质. 【结束】6.函数 f(x) = V2 sin(d )x +(p)(x GR,d )>0,|^|<—)的部分图彖如图所示，则©0的值分别是兀7T717TA. 2,——B. 2,——C. 4,一一D. 4-3663【解析】-7 = 4 2 ° £ £故A =罷,-X —= 37i,(z>=2, ^S m(2x —+^)= V2, sin(—+^) = 1,4 CD 12 6-+& = 2ht + -y 9= 2ht--7keZ.^= 72 sin(2z--).6 2 33或由=逐个检验知 /(x) = 72sin(2x-丄u丿考点：正弦函数的罠家和性质. 【结束】7•下列函数在定义域内为奇两数，H 有最小值的是1A. y = x + _X7UB. y = xsinxC. y = x(\x\ -1)D. y = cos(x -—)2r =V3>V2=22 =>o-2试题分析^ 由图知子(兀)在兀=一兀〔时取到最大值JL 且砂E 周期尸满足1 Q2沁.12 3(2丿【答案】A【答案】D【解析】7C试题分析: y = cos (兀——)=> y = sinx , sin(-x) = -sinx 且sinxe[-l,l] 考点：函数的奇偶性和值域. 【结束】&某儿何体的三视图如图所示,其中正(主)视图与侧(左) 视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体枳是【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体杲一个四棱锥，根据^正侧等高，正俯等长，侧俯等宽"的规则，其体积为F = -x l(l+2)x2xl = l.3 2考点：三视图和几何体的体积. 【结束】9. 已知约束条件对应的平面区域D 如图所示，其中/p /2,/3对应的直线方程分别为:y = k A x + b x .y = k 2x + b 2,y = k.x^,若目 标函数z = -kx + y 仅在点A(m.n)处収到最大值，则有C. 1D. 3亍B IA. k x<k<k2B. k x<k <k3【答案】B 【解析】试题分析：A 是厶与厶的交点，忖标函数z =-也+），仅在点A 处取到最大值，所以直线 y = kx + z 的倾斜角比厶的要大，比厶的要小,即有k 、< k <匕 考点：线性规划和最优解 【结束】10. 已知鬪C ： （x-a 2）2^（y-a ）2=— （a eR ）,则下列命题：①鬪C 上的点到（1,0）的<3 、的距离相等；③已知人一,0 ,在圆C 上有且只有一点P,使得以AP 为总径的圆与直）线x相切•真命题的个数为8A. 0B. 1C. 2D. 3"【答案】D 匸【解析】试题分析：已知动區1C 的圆心的轨迹方程为：/ = x,所以动圆C 构戚的轨迹为夹在抛物纟 抛物线歹2 =兀+ 1之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意8考点：圆的方程的性质、点、直线与圆的位苴关系及其判断. 【结束】 ■ ■第II 卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11. __________________________ 不等式丄 >1的解集为 .X~17最短距离的最小值智②圆C 上有且只有-点P 到点3的距离与到直线“飞【解析】1 2-x试题分析：——> 1 n —- >0=>（x-1）（兀-2）<0=>l<x<2 兀一1 兀一1考点：分式不等式的解法.【结束】12.______________________________________________________________ 与双|11|线兀2_），2=1过一、三象限的渐近线平行且距离为血的直线方程为________________________________ 【答案】x-y±2 = 0；【解析】试题分析：双曲线过一、三彖限的渐近线方程为：X-y = 0设直线方程为: x-y + b = O 所以解得b = ±2考点：双Illi线的性质、直线方程和两平行直线减的距离.【结束】13.已知数列｛色｝中,a｝ = l,a2 = 2,且a n -a n+2 =a n+1(neN*),则如㈡的值为【答案】1【解析】试题分析：T a花• a x+2 =冬+1 （旳已N*）由=1,a2 = 2 >得a3 = 2 >由a2 = 2,^ = 2 得幺4=1, 由码=2,尙=1得夠=丄'由尙=1,务=丄得尙=丄，由^5 = ~>a6 = ~2 2 2 2 2得勺=1,兔= 得兔=2由此推理可得｛色｝是一个周期为6的数列，所以2^2014 = °4 = 1考点：数列的谨推公式和求值.【结束】14.（几何证明选讲选做题）如图，过点C作AABC的外接圆O的切线交B4的延长线于点D.若CD二的，AB = AC = 2t则BC =【答案】2^3；【解析】试题分析：由CD2 = DAx DB = DAx(DA-^- AB)^Z)A2+2DA-3 = 0,解得DA = 1,DB = 3.l\\ODACDUDCB得竺=竺，即BC = ACH)=：品BC BD CD考点：関的切线长定理、弦切角定理、相似三角形的判断和性质.【结束】15.(坐标系与鑫数方程选做题)在极坐标系pO吐p >0,0<5<2ii)7T中，点卫(2, —)关于直线I: /?cos6l = 1的对■称点的极坐标为___________ - 2【答案】・(2^2,-)4【解析】JT试题分析：如图，在极坐标系p09(p>0r0<& <2n)设4(2,-)关于乙直线Z：pcos^ = 1的对称点为，则0A = AB = 2,且04丄AB从而0B = 2^/2, /LAOS = — ,SP p — 2^/2, & = ——— =4 2 4 4JL考点：极坐标和直角坐标间的互化. 【结束】【结束】三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)16.(本小题满分12分)角A为锐角，若Ism#,*) 在Z1ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c ,n = (cos-,-—)且加丄心2 3(1)求cos A的大小;(2)若d = + c = 求ZL4BC 的面枳S.【答案】(1)|⑵芈【解析】试题分析：（1）由向量垂直的充要条件和二倍角公式可求出sinA=竽，再由同角三角函数的平方关系求出co/A好值即可；（2）由余弦公式，和结合已知条件可求出姒的值，再由三角形的面积公式求解.A A................................................. 1分试题解析：（1）由拔丄72可得m n-0即sin— cos —=——25口 + 曲心.：cos^=l•••恥伯I 2丿:.cos J4=—32.2 . 2 _ 2 〔(2) v cos A —---------- 由(1) SD cos A = — 32bc 3be = —(i2 +c2 - /) ..........2 •be = —[ (b +c?『)=—10分8 • ' / 8S 二丄bcsinA= —12分2 8考点：1.向量垂直的充要条件；2•二倍角公式；.3余弦定理、三角形面积公式.17・（本小题满分12分）对某电子元件进行寿命追踪调杏，所得情况如卜•频率分布直方图.（1）图中纵朋标处刻度不清，根据图表所提供的数据还原％；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个元件，寿命为100〜300Z间的应捕取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在100〜300之间的元件屮任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为100〜200, 一个寿命为200〜300 ”的概率.5【解析】试题分析：（1）根据频率直方图的意义可知所有小矩形的面积之和等于1,列出关于刃的方程求解即可.频率⑵根据频数嚨X组距求解即可.（3）用列举法写出从寿命为100〜300之间的5个元件中任取2个的所有结果及总数，在找出“恰好有一个寿命为100 ~ 200 , 一个寿命为200〜300 ”的所有结果及个数，最后根据随机事件的概率公式求解. 试题解析：解⑴根据题意:O.OOlxlOO+2j/o xlOO+O.OO2xlOO+O.OO4xlOO = l解得y0 =0.0015 ............................................... 3分（2）设在寿命为100〜300之间的应抽取兀个，根据分层抽样有:Y—=（0.001 + 0.0015）x100 .................................. 5 分解得：x = 5所以应在寿命为100〜300之间的应抽取5个......................... 7分（3）记“恰好有一个寿命为100〜200, —个寿命为200〜300 ”为事件A,由（2）知寿命落在100〜200之间的元件有2个分别记坷卫2，落在200〜300 Z间的元件有3个分别记为：也厶厶,从中任取2个球，有如下基本事件:（4卫2）,（。
2018届高三年级华附、省实、深中、广雅四校联考数学（文科）本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1． i 为虚数单位，则复数iiz -=2在复平面上对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2． 若全集}6,5,4,3,2,1{=U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=U x N x xM ,6*，则A ．}6,5,4,3,2,1{B ．}6,3,2,1{C ．}5,4{D ．∅3． 下列函数中，既是R 上的偶函数，又在区间)3,0(内单调递减的是A ．3x y =B ．||ln x y =C ．xx y -+=22D ．x y cos =4． 给定空间中的点P ，直线l ，平面α与平面β，若l P ∈，α∈P ，βα⊥，则“α⊂l ”是“β⊥l ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5． 若实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-<-<+.1,23,6x y x y x ，设y x z 32+=的取值集合为M ，则A ．M ∈17B ．M ∈14C ．M ∈5D ．M ∈36． 已知曲线)0)(3sin(>+=ωπωx y 关于直线π=x 对称，则ω的最小值为 A ．32 B ．21C ．31 D ．61 7． 在平面直角坐标系中，随机从)2,2(),2,0(),1,1(),0,2(),0,0(D C B A O 这五个点中选取三个，则以这三点为顶点能构成三角形的概率是 A ．54B ．107 C ．53 D ．21 8． 某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段的长度均相等，则该几何体的表面积为A ．328π-B ．π-24C ．π)152(24-+D ．π)15(24-+9． 设a 是各位数字不全相同的三位数，调整a 各数位上数字的顺序，得到的最大数为M ，最小数为m ，例如若693=a ，则963=M ，369=m ．如图，若输入的693=a ，则输出的n 为A ．2B ．3C ．4D ．510．设1>a ，则曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率的取值范围是 A ．)2,2( B ．)5,2( C ．)5,2(D ．)5,2(11． 幻方，是中国古代一种填数游戏，)3,(*≥∈n N n n 阶幻方是指将连续2n 个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的n 个数的和都相等．中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图1），即现在的图2．若某3阶幻方正中间的数是2018，则该幻方中的最小数为 A ．2013 B ．2014 C ．2015D ．201612． 718.2=e 为自然对数的底数，已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=.1,1ln ,1,18)(x x x xx f ，若关于x 的方程ax x f =)(有唯一实数根，则实数a 的取值范围是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-<89112a e a a a 或或B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-<21811e a a a 或C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<->89112a e a a 或D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>->891a a a 或第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图是一组数据),(y x 的散点图，经最小二乘法计算，得y 与x 之间的线性回归方程为1ˆˆ+=x b y，则=b ˆ ． 14．已知两个单位向量b a ,的夹角为︒120，则|2|b a -的值为 ．15．已知动圆M 与圆1)1(:221=++y x C ，圆25)1(:222=+-y x C 均内切，则动圆圆心M的轨迹方程是 ．16．已知数列}{n a 满足：21=a ，))(23(log *221N n n n a a n n ∈++=++．若7>m a ，则m的最小值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且.21s i n s i n 2)co s (=--C B C B(1)求A ；(2)若3=a ，C c cos 2=，求ABC ∆面积．18．（本小题满分12分）如图，⊥DC 平面ABC ，DC EB //，22====DC BE CB AC ，P 为AE 的中点，AD BP ⊥．(1)证明：//PD 平面ACB ； (2)证明：ABC ∆为等边三角形； (3)求四棱锥BCDE A -的体积．19．（本小题满分12分）依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．(1)试估计该河流在8月份水位的中位数；(2)我们知道若该河流8月份的水位小于40米的频率为f ，该河流8月份的水位小于40米的情况下发生1级灾害的频率为g ，则该河流8月份的水位小于40米且发生1级灾害的频率为g f ⨯，其它情况类似，据此，试分别估计该河流在8月份发生1、2级灾害及不发生灾害的概率321,,p p p ；(3)该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．20．（本小题满分12分）已知圆94)1(:222p y x M =++经过抛物线py x C 2:2=的焦点．(1)求p 的值；(2)当0>p 时，直线l 与抛物线C 、圆M 均只有一个公共点，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数1)1()(+--=xe ea x x f ，其中 718.2=e 为自然对数的底数，常数.0>a(1)求函数)(x f 在区间),0[+∞的零点个数；(2)设函数)(x g 的导数)()()(x f a e x g x -='，),1(e a ∈，判断a ln 是函数)(x g 的极大值点还是极小值点？并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1=+y x C 与曲线⎩⎨⎧=+=.sin 2,cos 22:2ϕϕy x C （ϕ为参数，)2,0[ πϕ∈）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)写出曲线21,C C 的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知点A 是射线)0(:≥=ραθl 与1C 的公共点，点B 是l 与2C的公共点，当α在区间]2,0[π上变化时，求||||OA OB 的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数|||1|)(2a x x x f ++-=，其中.R a ∈ (1)当2=a 时，求不等式6)(≥x f 的解集；(2)若存在R x ∈0，使得a x f 4)(0<，求实数a 的取值范围．数学（文科）参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．0.8； 14．7； 15．13422=+y x ； 16．65.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．解：(1)21sin sin 2)cos(=--C B C B ， .21sin sin cos cos )cos(=-=+∴C B C B C B……2分︒<+<︒1800C B ，︒=+∴60C B ，︒=+-︒=120)(180C B A……4分(2)3=a ，C c cos 2=，︒=120A 及正弦定理cCa A sin sin =， 21cos 2sin =∴C C ，1tan =C……6分︒<<︒1800C ， ︒=∴45C ，22cos =C ，2cos 4==C c ． ……8分︒-︒=+-︒=4560)(180C A B ，.42622212223sin -=⨯-⨯=∴B ……10分所以ABC ∆面积.433sin 21-==B ac S……12分18．[解法一]：(1)证明：设Q 为AB 的中点，连.,CQ PQP 为AE 的中点，EB PQ //∴，.2PQ EB =BE DC // ，DC BE 2=，DC PQ //∴，DC PQ =……2分∴四边形PQCD 是平行四边形，.//CQ DP⊂CQ 平面ACB ，⊂/PD 平面ACB ，//PD ∴平面ACB ……4分 (2)证明：⊥DC 平面ABC ，DC EB //， ⊥∴EB 平面.ABC⊂DC 平面BCDE ，⊂BE 平面ABE ，∴平面⊥BCDE 平面ABC ，平面 BCDE 平面B ABC =，平面⊥ABE 平面ABC ，平面 ABE 平面.AB ABC =CB CA = ，.AB CQ ⊥∴⊂CQ 平面ABC ，⊥∴CQ 平面.ABE CQ DP // ，⊥∴DP 平面.ABE ⊂BP 平面ABE ，PB DP ⊥∴AD BP ⊥ ，D DP AD = ，⊂PD AD ,平面ADE ，⊥∴BP 平面ADE ．⊂AE 平面ADE ，.AE PB ⊥∴P 为AE 的中点，AC BC BA BE ===∴，ABC ∆为等边三角形 ……9分(3)解：取H 为BC 的中点，则BC AH ⊥．⊂AH 平面ABC ，⊥∴AH 平面.CDEB 22====DC EB BC AC ， ……10分3=∴AH ，梯形CDEB 的面积.3)(21=⨯+=BC BE DC S所以四棱锥BCDE A -的体积.331=⨯=AH S V ……12分[解法二]：(1)证明：由⊥DC 平面ABC 可建立空间直角坐标系xyz C -，C 为原点，CD为x 轴正方向，直线为y 轴正方向，A 在平面xCy 上方……1分由DC EB //，22===DC EB BC ，得各点的坐标如下：).0,2,2(),0,0,1(),0,2,0(),0,0,0(E D B C由⊥DC 平面ABC ，知平面ABC 即平面yCz ， 设),,0(c b A ，.0>c设Q 为AB 的中点，连CQ ．由P 为AE 的中点， 知Q P ,的坐标分别为)2,12,1(c b P +，)2,12,0(cb Q +，)2,12,0(c b DP +=，).2,12,0(cb CQ +=由CQ DP =，知CQ PD //……3分⊂CQ 平面ACB ，⊂/PD 平面ACB ， //PD ∴平面ACB……4分(2)证明：)2,12,1(cb BP -=，).,,1(c b AD --=由AD BP ⊥得0=⋅AD BP ，即.022122=+--b c b 由2=AC 得422=+c b ，联解以上两式并结合0>c 得1=b ，.3=c ……7分从而2)3()12(22=+-=AB ，则2===BC AC AB ，所以ABC ∆为等边三角形……9分(3)解：直角梯形CDEB 的面积.3)(21=⨯+=BC BE DC S 所以四棱锥BCDE A -的体积.331=⨯=c S V……12分19．[解析](1)设该河流在8月份水位的中位数为a 米，则5.372354035=-+=a 估计该河流在8月份水位的中位数为37.5米 ……3分 (2)依据甲图，该河流8月份的水位小于40米，在40米至40米之间，大于50米的频率分别为65.05)06.005.002.0(=⨯++，30.05)02.004.0(=⨯+，05.0501.0=⨯……5分依据乙图，该河流在8月份发生1级灾害的频率为 155.060.005.020.030.010.065.0=⨯+⨯+⨯该河流在8月份发生2级灾害的频率为035.040.005.005.030.0=⨯+⨯ 该河流在8月份不发生灾害的频率分别为81.0035.0155.01=--估计321,,p p p 分别为81.0,035.0,155.0 ……8分(3)由(2)若选择方案一，则该企业在8月份的平均利润5.354035.01000155.010081.05001=⨯-⨯-⨯=L （万元）……9分若选择方案二，则该企业在8月份的平均利润5.407035.010*******.05002=⨯--⨯=L （万元）……10分若选择方案三，则该企业在8月份的平均利润4001005003=-=L （万元）……11分 由于132L L L >>，因此企业应选方案二……12分20．[解析](1)因为抛物线py x C 2:2=的焦点)2,0(p 在圆94)1(:222p y x M =++上，所以94)12(22p p =+，解得6=p 或⋅-=76p ……4分(2)当0>p 时，6=p ，圆M 的方程为16)1(:22=++y x M ， 抛物线C 的方程为.122y x =①当直线l 不存在斜率时，设其方程为n x =，由l 与圆M 只有一个公共点，即相切，知4=n 或4-=n ，直线4:=x l 与抛物线C 相交于一点)34,4(； 直线4:-=x l 与抛物线C 相交于一点)34,4(-……6分②当直线l 存在斜率时，设其方程为m kx y +=，由l 与圆M 只有一个公共点，即相切，知41|1|2=++k m ，即.1615222k m m =-+……7分直线l 与抛物线C 只有一个公共点，即关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=.12,2y x m kx y 只有一组实数解，也即关于x 的方程012122=--m kx x 有两个相等的实数解，从而0)12(4)12(2=---m k ，即.32k m -=……9分将23k m -=代入2216152k m m =-+得01522924=--k k ，0)59)(3(22=+-k k ，解得3±=k ，.9-=m……11分综合①②知，满足条件的直线有4条，它们的方程分别为：04=+x ，04=-x ，093=--y x ，093=++y x……12分 21．[解析](1)1)1()(+--=x e e a x x f ，.)()(x e eax x f -=' ……1分当e a x =时，0)(='x f ；当e ax <时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；当eax >时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增．……3分因为0>a ，所以0)0(<-=e a f ，当eax ≤≤0时，0)(<x f ；因为01)1(>=+e a f ，所以存在)1,(0eae a x +∈，使得.0)(0=xf ……5分当0x x ea<<时，0)(<x f ；当0x x >时，.0)(>x f 综上函数)(x f 在区间),0[+∞内只有1个零点，即.0x ……6分 (2)a ln 为函数)(x F 的极大值点……7分理由如下：当),1(e a ∈时，1ln 0<<a ，由(1)知)1,(0eae a x +∈，设函数a e a a h ln )(-=，011)(<-=-='aeea a e a h ， 函数)(a g 在区间),1(e 单调递减，从而0)()(=>e g a g ，即.ln a ea> 因此.ln 0a eax >>……9分),1(e a ∈∀，当)ln ,0(a x ∈时，0<-a e x ，0)(<x f ，0)()()(>-='x f a e x g x ，函数)(x g 单调递增；当a x ln =时，0)(='x g ；当),(ln 0x a x ∈时，0>-a e x，0)(<x f ，0)()()(<-='x f a e x g x ，函数)(x g 单调递减．所以a ln 为函数)(x g 的极大值点……12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）[解析] (Ⅰ)曲线1C 的极坐标方程为1)sin (cos =+θθρ，……3分即.22)4sin(=+πθρ……3分曲线2C 的普通方程为4)2(22=+-y x ，即.0422=-+x y x 曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知θθρsin cos 1||+==A OA ，θρcos 4||==B OB ，……8分)42sin(222)2sin 2cos 1(2)sin (cos cos 4||||παααααα++=++=+=OA OB11 ……10分 由20πα≤≤知45424ππαπ≤+≤，当242ππα=+，即8πα=时， ||||OA OB 有最大值.222+ ……12分 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）[解析](Ⅰ)当2=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤<--≤--=++-=.1,12,12,3,2,12|2||1|)(x x x x x x x x f⎩⎨⎧≥---≤⇔≥61226)(x x x f 或⎩⎨⎧≥<≤-6312x 或276121-≤⇔⎩⎨⎧≥+≥x x x 或25≥x ……4分 因此不等式6)(≥x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2527x x x 或 ……6分(Ⅱ)1|1||)()1(||||1|)(2222+=+=+--≥++-=a a a x x a x x x f ， 且1)1(2+=a f ，所以.1)(2min +=a x f……10分存在R x ∈0，使得a x f 4)(0<等价于 .32320141422+<<-⇔<+-⇔+>a a a a a所以实数a 的取值范围是).32,32(+-……12分。
2017-2018学年广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深 圳高级中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）、选择题（共12小题，每小题5分，满分60 分）1. （ 5 分）集合 A 二｛x|x 2 _5x 6 …0｝ , B 二｛x|2x_1 .0｝，则斤2=（）A .（-匚；-,2]U [3，:：）B . 1 （护1 1C .匕,3]D .（- 2 22】U 【3，:：）2 -2. （ 5分）i 为虚数单位，则复数 z =—— i-在复平面上对应的点位于（ ） A .第一象限 B .第二象限 C . 第三象限D .第四象限|x y, 63. （5分）若实数x , y 满足条件 x-3y, -2，则2x 3y 的最大值为（）xT5. （5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算 法求某多项式值的一个实例， 若输入n , x 的 值分别为4, 2，则输出v 的值为（）A . 21B . 174 H4. （ 5 分）已知两个单位向量 a , b 的夹角为 A .3 B .42 C . 14D . 54 4120 , r R ，则|a - kb I 的最小值为（ 3C . 1 D.- 26. （ 5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）1 324.,(x) x 亠x 亠x，若函数y = f3 3的值为（）8 . （ 5分）已知函数f （x ） =si n （「x •.0 ）图象的一个对称中心为 （,0），且f （2— 1）=一，则■ ■的最小值为（ ）4 29. （5分）已知关于x 的方程sin （專「x ），sin 「 x ）二m 在区间[0 , 2二）上有两个实根 石,x 2 , 2 且lx -X 2 I …二，则实数m 的取值范围为（ ）A . （- 5，1）B . （- 5，1]C . [1，、- 5）D . [0，1）10. （ 5分）已知抛物线E:y 2=2px （ p 0 ）的焦点为F , O 为坐标原点，点M （-卫， 29） , N （-号,-1），连结0M , ON 分别交抛物线 E 于点A , B ，且A , B , F 三 点共线，则p 的值为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4x—+1 x <111. （5分）e 为自然对数的底数，已知函数 f （ x ） = 8 '，则函数y = f （x ）-axInx T,x"唯一零点的充要条件是（）B . 64C . 65D . 130C . （x a ） b 为奇函数，则a bC . 01 9a ：：： T 或a 或 a --e 2 81 1B . a "T 或 8 剟3e 27. （5分）已知函数f锥P _ABC 的外接球的表面积为（ ）三、解答题（共5小题，满分60 分）17. (12分)已知等差数列 ®｝的前n 项和为S , a = -(■・0 ) , ana =2. S 7(n N*). （I ） 求’的值；1（II ）求数列｛ ｝的前n 项和T n .a n an +18. （12分）依据某地某条河流 8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方12. （5 分）在三棱锥 P —ABC 中，PA=PB=AC二 BC 二 2 , PC =1，则三棱C . 12 二52 二二、填空题（共 4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）如图是一组数据（x,y ）的散点图，经最小二乘法计算, y 与x 之间的线性回归方程为？4.4 3.2 1.9-f 0.9":O13 4 x14.（5分）1(x__+1)(X215.（5分）过双曲线一2 2爲-1（a 0,b 0）右顶点且斜率为 2的直线，与该双曲线的右支a b交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为16. （ 5 分）如图在平面四边形 ABCD 中，A =45，B =60，D =150 ，AB =2BC =4， 则四边形ABCD 的面积为4 . . 3X-1）展开式中X 3的系数为B图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙频)所示.试估计该河流在8月份水位的中位数；(I)以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；(n)该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元. 现此企业有如下三种应对方案：万案防控等级费用(单位：万兀)万案一无措施0万案二防控1级灾害40万案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由.19. (12分)已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD为菱形，PD = PB , H为PC上的点，过AH 的平面分别交PB , PD于点M , N，且BD//平面AMHN .(I) 证明：MN _ PC ；(II) 当H为PC的中点，PA二PC二3AB , PA与平面ABCD所成的角为60，求二面角P - AM -N的余弦值.轴交于点M 、N , P 为椭圆E 上的动点，| PM | | PN H2a , ;PMN 面积最大值为,3 .(I) 求圆O 与椭圆E 的方程；(II) 圆O 的切线I 交椭圆E 于点A 、B ，求|AB|的取值范围.a21. (12分)已知函数f ( x) =( x -^-)e x 1，其中e =2.71灶为自然对数的底数，常6 数 a . 0 .(I) 求函数f ( x)在区间(0, •：：)上的零点个数；(II) 函数F ( x)的导数F(x) =(e -a) f (x),是否存在无数个a (1,4),使得Ina 为数F ( x)的极大值点？说明理由.(二)选考题：共 10分•请考生在第 22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］x = 2 2cos :22. (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线 G ：x ，y =1与曲线C ?： .(= 2sin 屮「为参数，门三［0 , 2二)).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (I)写出曲线G , C2的极坐标方程； (II )在极坐标系中，已知点A 是射线(二…。
⎨⎩绝密★启用前 试卷类型：A广东省 2018 届高三年级四校联考理科数学本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分． 考试用时 120 分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上． 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案． 答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用 铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答．漏涂、错 涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷(选择题共 60 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．集合 A = {x | x 2 - 5x + 6 ≥ 0}， B = {x | 2x -1 > 0} ，则 A B =A ．(-∞, 2] [3, +∞)B ．( 1 , 3)2 C ．( 1, 3]2 D ．( 1, 2] [3, +∞)22． i 为虚数单位，则复数 z = 2 - i在复平面上对应的点位于iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⎧ x + y ≤ 6, 3．若实数 x , y 满足条件 ⎪x - 3 y ≤ -2 , ，则 2x + 3y 的最大值为 ⎪ x ≥ 1,A ． 21B ．17C ．14D ．54．已知两个单位向量 a ， b 的夹角为120︒ ， k ∈ R ，则| a - kb | 的最小值为A ． 34B C ．1D ． 325．秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n ， x 的 值分别为 4 ， 2 ，则输出 v 的值为 A ． 32B ． 64C ． 65D ．1306．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为2A ．3B ．14 C ．38 D ．正视图侧视图37．已知函数 f ( x ) = 1 x 3 + x 2 + x + 4，33若函数 y = f (x + a ) + b 为奇函数，则 a + b 的值为俯视图A ． -5B ． -2C ． 0D ． 28．已知函数 f (x ) = sin(ωx + ϕ)（ω > 0 ）图象的一个对称中心为 ( π , 0) ，且 f ( π ) = 1，则ω 的最小值为2 A ．34B ．1C ．32 4 2D ． 29．已知关于 x 的方程 sin(π - x ) + sin( π + x ) = m 在区间[0, 2π) 上有两个实根 x ， x ，且 21 2| x 1 - x 2 |≥ π ，则实数m 的取值范围为⎨ A ． (B ． (C ．D ．[0,1)10．已知抛物线 E ： y 2 = 2 p x （ p > 0 ）的焦点为 F ，O 为坐标原点，点 M (- p, 9) ， 2N (- p, -1) ，连结 OM ，ON 分别交抛物线 E 于点 A ， B ，且 A ， B ， F 三点共线，则2p 的值为A ．1B ． 2C ． 3D ． 4⎧ x+ 1, x < 1 11． e 为自然对数的底数，已知函数 f ( x ) = ⎪ 8⎪⎩ln x -1, x ≥ 1,则函数 y = f (x ) - ax 有唯一零点的充要条件是A ． a < -1 或 a = 1 9 或 a >B ． a < -1 或 1 ≤ a ≤ 1C ． a > -1 或 1e 2e 2 8< a < 98 8e2D ． a > -1 或 a > 9812．在三棱锥P - ABC 中， PA = PB = AC = BC = 2 ， AB = PC = 1 ，则三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为A ．4πB ． 4πC ．12πD ．3第 II 卷（非选择题共 90 分）52π3二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分．13．如图是一组数据( x , y ) 的散点图,经最小二乘法计算，y 与 x 之间的线性回归方程为 y ˆ = b ˆ x +1，则 bˆ = ． 14． ( x - 1 + 1)( x -1)4 展开式中 x 3 的系数为．x15．过双曲线 x2y 2 -= 1（ a > 0 ， b > 0 ）右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支 a2 b2交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为．C16．如图在平面四边形 ABCD 中， ∠A = 45︒ ， ∠B = 60︒ ， ∠D = 150︒ ， DAB = 2BC = 4 ，则四边形 ABCD 的面积为．A B*三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．17．（本小题满分12 分）已知等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，a1 =λ（λ> 0 ），a n+1 = 1 (n∈N ) ．（I）求λ的值；（II）求数列{1} 的前n项和Tn．anan+118．（本小题满分12 分）依据某地某条河流8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．频率组距甲1级级乙试估计该河流在8 月份水位的中位数；（I）以此频率作为概率，试估计该河流在8 月份发生1级灾害的概率；（Ⅱ）该河流域某企业，在8 月份，若没受1、2 级灾害影响，利润为500 万元；若受1级灾害影响，则亏损100 万元；若受2 级灾害影响则亏损1000 万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．19．（本小题满分 12 分）已知四棱锥 P - ABCD ，底面 ABCD 为菱形，PD = PB , H 为 PC 上的点，过 AH 的 平面分别交 PB ，PD 于点 M ， N ，且 BD // 平面 AMHN ． （I ）证明： MN ⊥ PC ；（II ）当 H 为 PC 的中点， PA = PC =求二面角 P - AM - N 的余弦值．，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60︒ ， PHNDMCAB20．（本小题满分12 分）已知椭圆 E ： x 2 y 2+ = 1 (a > b > 0) 的离心率为 1 ，圆O ：x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 与 x a 2 b2 2轴交于点 M 、N ，P 为椭圆 E 上的动点，| PM | + | PN |= 2a ，∆PMN 面积最大值为（I ）求圆 O 与椭圆 E 的方程；（II ）圆 O 的切线 l 交椭圆 E 于点 A 、 B ，求| AB | 的取值范围．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ( x -1 - a)e x + 1 ,其中 e = 2.718 ⋅ ⋅ ⋅ 为自然对数的底数,常数 a > 0 ． 6（I ）求函数 f ( x ) 在区间(0, +∞) 上的零点个数；（II ）函数 F ( x ) 的导数 F '(x ) = (e x - a ) f (x ) ，是否存在无数个 a ∈ (1, 4) ，使得 ln a 为 函数F ( x ) 的极大值点? 说明理由．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分．22．（本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]⎧ x = 2 + 2 cos ϕ,在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 1 : x + y = 1与曲线 C 2 : ⎨⎩ y = 2 s in ϕ.( ϕ 为参数，ϕ ∈[0, 2π) )．以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I ）写出曲线C 1 , C 2 的极坐标方程；（II ）在极坐标系中，已知点 A 是射线 l :θ = α ( ρ ≥ 0) 与 C 1 的公共点, 点 B 是l 与C 2的公共点，当α 在区间[0, π ] 上变化时，求OB 的最大值．2OA23．（本小题满分 10 分）[选修 4-5：不等式选讲]已知函数 f ( x ) =x -1 + x + a 2，其中 a ∈ R ．（I ）当 a = f ( x ) ≥ 6 的解集；（II ）若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 ) < 4a ，求实数 a 的取值范围．。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 华附、省实、广雅、深中2024届高三四校联考数学试题铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ，集合A ，B 满足A ⊆(A⋂B)，则下列关系一定正确的是( )A. A =BB. B ⊆AC. (∁U A)∩B =⌀D. A⋂(∁U B)=⌀2.已知复数z 满足(1)1+=−i z i ，则z 2024=( )A. iB. −1C. 1D. −i3.直线x +2y +3=0关于直线y =−x 对称的直线方程是( )A. x +2y −3=0B. 2x +y −3=0C. x −2y −3=0D. 2x +3y +3=04.已知向量a 在b 方向上的投影向量的模为2，向量b 在a 方向上的投影向量的模为1，且（（+⊥−a b a b )23)，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π345.若椭圆Γ1：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线Γ2：y 2b2−x 2a 2=1的离心率为( )A.213 B.72C. √ 3D. √ 56. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R ，且某个车轮上的点P 刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S ，则此时P 到铁轨上表面的距离为（ ） A ．+R S R(1cos )B ．−R S R (1cos )C ．2sin R S RD ．sin R S R7.若（（ac e c b −=−=1)1)ln 1则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ． c ≤a ＜bB ． c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ≤c8.数列a n {}的前n 项和S n ，且a a a n a n n n n =++−−−1882111，n n N ≥∈+(2,)，若a =11，则 A ．S <<2024523 B ．S <<2024252C ．S <<2024322 D ． S <<2024132二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.下列结论正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则ac 2>bd 2B. 若ac 2>bc 2，则a >bC. “ab >1”是“a >1,b >1”成立的充分不必要条件D. 若a >b >1，则a a b b +<+1log log (1)10. 已知圆C 1：x y +=221，圆C 2：−++=x y r (3)(4)222r >0（），P 、Q 分别是圆C 1与圆C 2上的点，则（ ）A .若圆C 1与圆C 2无公共点，则0＜r ＜4B .当r ＝5时，两圆公共弦所在直线方程为x y −−=6810C .当r ＝2时，则PQ 斜率的最大值为−724D .当r ＝3时，过P 点作圆C 2两条切线，切点分别为A ，B ，则∠APB 不可能等于 π2 11.已知函数f(x)=x 3−3x 2，满足f (x )=kx +b 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则( ) A. 若k =0，则实数b 的取值范围是−4<b <0B. 过y 轴正半轴上任意一点仅有一条与函数 y =f (x )−1 相切的直线C. x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=kD.若 x 1，x 2，x 3成等差数列，则k +b =−212.已知正四面体O −ABC 的棱长为3，下列说法正确的是( )A. 若点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +y +z =1，则|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为6B. 在正四面体O −ABC 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为√ 210C. 若正四面体O −ABC 的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为3√ 1010D.点Q 在△ABC 所在平面内且|QO|=2|QA|,则Q 点轨迹的长度为2√ 303π三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x y −=2241，则此双曲线的渐近线方程为 ．14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，a 4=4，a 7=10，则S n 的最小值为 ． 15.已知函数f x x =−ωπ2()sin (3)(ω>0)的最小正周期为2π，且f (x )在[0,m]上单调递减，在[2m,5π3]上单调递增，则实数m 的取值范围是 ．16. 在同一平面直角坐标系中，M ，N 分别是函数f x x x =−−+−2()43和函数()ln()=−g x ax axe x 图象上的动点，若对任意a ＞0，有|MN |≥m 恒成立，则实数m 的最大值为______________． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
2023-2024学年广东省广州市华附、省实、广雅、深中四校联考高三（上）期末数学试卷一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B）（）A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁U B）＝∅D．（∁U A）∩B＝∅2．已知复数z满足，则z2024＝（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i3．直线x+2y+3＝0关于直线y＝﹣x对称的直线方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y﹣3＝0D．2x+3y+3＝04．已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在，且，则向量与向量（）A．B．C．D．5．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线（）A．2B．C．D．36．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，则此时P到铁轨上表面的距离为（）A．B．C．D．7．若（1﹣c）e a＝（1﹣c）lnb＝1，则a，b（）A．c≤a＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a≤c8．数列{a n}的前n项和S n，且，若a1＝1，则（）A．B．C．D．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac2＞bd2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的充分不必要条件D．若a＞b＞1，则log a b＜log a+1（b+1）10．已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，则（）A．若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x﹣8y﹣1＝0C．当r＝2时，则PQ斜率的最大值为D．当r＝3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于11．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，满足f（x）＝kx+b有三个不同的实数根x1，x2，x3，则（）A．若k＝0，则实数b的取值范围是﹣4＜b＜0B．过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣1相切的直线C．x1x2+x2x3+x1x3＝kD．若x1，x2，x3成等差数列，则k+b＝﹣212．已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，下列说法正确的是（）A．若点P满足，且x+y+z＝1，则的最小值为B．在正四面体O﹣ABC的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为C．若正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为D．点Q在△ABC所在平面内且|QO|＝2|QA|，则Q点轨迹的长度为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知双曲线方程为＝1，则该双曲线的渐近线方程为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），a4＝4，a7＝10，则S n的最小值为．15．已知函数的最小正周期为2π，且f（x），m]上单调递减，在上单调递增．16．在同一平面直角坐标系中，M，N分别是函数和函数g（x）（ax）﹣axe x图象上的动点，若对任意a＞0，有|MN|≥m恒成立．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18．（12分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；（2）若抽4次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望．19．（12分）已知函数f（x）＝axe x（a≠0），g（x）＝﹣x2．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，f（x）与g（x）有公切线20．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'．（1）若，求证：平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）是否存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，若存在；若不存在，请说明理由．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝c+h．（1）若c＝3h，求tan C的值；（2）求cos C的取值范围．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，C的离心率为，椭圆上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，△QRF2的周长为8．（1）求C的方程；（2）设点Q（x0，y0），求△QRS面积S△QRS的表达式（用y0表示）．2023-2024学年广东省广州市华附、省实、广雅、深中四校联考高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A，B满足A⊆（A∩B）（）A．A＝B B．B⊆A C．A∩（∁U B）＝∅D．（∁U A）∩B＝∅解：因为集合A，B满足A⊆（A∩B），对A：当A为B的真子集时，不成立；对B：当A为B的真子集时，也不成立；对C：A∩（∁U B）＝∅，恒成立；对D：当A为B的真子集时，不成立；故选：C．2．已知复数z满足，则z2024＝（）A．i B．﹣1C．1D．﹣i解：，则，故z＝i，z2024＝i2024＝i8＝1．故选：C．3．直线x+2y+3＝0关于直线y＝﹣x对称的直线方程是（）A．x+2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y﹣3＝0D．2x+3y+3＝0解：直线x+2y﹣3＝8上任意一点（x，y）关于y＝﹣x的对称点（﹣y，代入得：（﹣y）﹣2x+3＝3，整理得：2x+y﹣3＝3，故选：B．4．已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在，且，则向量与向量（）A．B．C．D．解：由题意，有，即，由，可得，即，由题知，，∴，∵，∴＝．故选：B．5．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线（）A．2B．C．D．3解：椭圆（a＞b＞2）的离心率为，可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，∴e＝．故选：C．6．我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触，则此时P到铁轨上表面的距离为（）A．B．C．D．解：当列车行驶的距离为s时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为s，∴车轮转过的角度为，P点的初始位置为P0，设车轮的中心为O，当时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如下图所示，则OQ＝OP＝R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当时，PM⊥MP0，作ON⊥PM，垂足为N，则PN＝OP•sin（）＝﹣R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当时，PM⊥MP0，作ON⊥MP，垂足为N，则，∴P到铁轨表面的距离为；当时，作PQ⊥OP0，垂足为Q，如下图所示，则OQ＝OP＝R cos，∴P到铁轨表面的距离为；当或或π或时；当时，点P到铁轨表面的距离为，综上所述：点P到铁轨表面的距离为．故选：C．7．若（1﹣c）e a＝（1﹣c）lnb＝1，则a，b（）A．c≤a＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a≤c解：画出函数图象如下．根据函数图象可知．故选：A．8．数列{a n}的前n项和S n，且，若a1＝1，则（）A．B．C．D．解：由已知得：n≥2时，，，故＝+（﹣）≥4+2+...+2＝4n﹣1，即≥4n﹣1≤，即n≥2时，a n≤＜＝（﹣），则1＝a8＜S n＝a1+a2+...+a n＜2+（4﹣+﹣﹣）＝﹣＜，即有1＜S2024＜．故选：D．二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac2＞bd2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的充分不必要条件D．若a＞b＞1，则log a b＜log a+1（b+1）解：A：当a＝2，b＝1，d＝﹣4时；B：两边同时除以c2即可，B正确；C：ab＞1不一定a＞2，b＞1，所以为必要不充分条件；D：，D正确．故选：BD．10．已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，则（）A．若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4B．当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x﹣8y﹣1＝0C．当r＝2时，则PQ斜率的最大值为D．当r＝3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于解：根据题意，依次分析选项：对于A，当圆C1在圆C2的内部时，r没有最大值；对于B，当r＝7时2：（x﹣3）3+（y+4）2＝25，其圆心为（6，﹣4），圆C1：x2+y2＝1，圆心为（7，半径为1，圆心距d＝5，有8﹣1＜5＜6+1，将两圆的方程作差可以公共弦的直线方程为6x﹣3y﹣1＝0，B正确；对于C，当r＝6时如图一，有半径比可知，可得，故C正确；对于D选项，点P在P2位置时，点P在P1位置时所以中间必然有位置使得．故选：BC．11．已知函数f（x）＝x3﹣3x2，满足f（x）＝kx+b有三个不同的实数根x1，x2，x3，则（）A．若k＝0，则实数b的取值范围是﹣4＜b＜0B．过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣1相切的直线C．x1x2+x2x3+x1x3＝kD．若x1，x2，x3成等差数列，则k+b＝﹣2解：对于A，因为f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），所以f（x）在（﹣∞，6）和（2，在（0，且f（0）＝3，所以，当f（x）＝b有三个不同的实数根x1，x2，x2时，﹣4＜b＜0；对于B，设（4，（m＞0）0，y6），y0＝f（x0）﹣7＝﹣6，f'（x6）＝3﹣6x0，所以函数y＝f（x）﹣7在点（x0，y0）处的切线方程为：y﹣（﹣3﹣6x0）（x﹣x7），又因为切线过点（0，m）﹣3﹣3x0）（﹣x0），即m＝﹣7+4，令g（x）＝﹣7x3+3x2﹣1，g'（x）＝﹣6x8+6x＝﹣6x（x﹣7），所以g（x）在（﹣∞，0）和（1，在（4，且g（0）＝﹣1，g（1）＝0，所以直线y＝m与函数g（x）的图象只有一个交点，即过y轴正半轴上任意一点仅有一条与函数y＝f（x）﹣2相切的直线，故B正确；对于C，由于方程f（x）＝kx+b有三个根x1，x2，x7，所以x3﹣3x4﹣kx﹣b＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x2）＝x3﹣（x1+x8+x3）x2+（x5x2+x2x8+x1x3）x﹣x6x2x3，展开可知x4x2+x2x2+x1x3＝﹣k，故C不正确；x6+x2+x3＝7，当x1，x2，x6成等差数列时，x1+x2+x8＝3x2，所以x7＝1，f（1）＝1﹣3﹣k﹣b＝0，故D正确．故选：ABD．12．已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，下列说法正确的是（）A．若点P满足，且x+y+z＝1，则的最小值为B．在正四面体O﹣ABC的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体体积可能为C．若正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，则此距离为D．点Q在△ABC所在平面内且|QO|＝2|QA|，则Q点轨迹的长度为解：已知正四面体O﹣ABC的棱长为3，对于A，因为点P满足，可知点P是平面ABC上的一点．又因为正四面体O﹣ABC是棱长为3，所在立方体的棱长，的最小值为点O到平面ABC的距离，即为立方体体对角线的，又立方体体对角线的长为，则的最小值为，故A正确；对于B，因为正四面体O﹣ABC的体积为立方体的体积减去四个小三棱锥的体积：，而正四面体O﹣ABC四个面的面积都是，设正四面体O﹣ABC的内切球半径为r，又，解得，因为正四面体Q﹣DEF在正四面体O﹣ABC的内部，且可以任意转动，所以最大正四面体Q﹣DEF外接球直径为，因此最大正四面体Q﹣DEF外接球也是棱长为的正方体的外接球，所以正四面体Q﹣DEF的体积最大值为，故B不正确．对于C，在正方体AC1BO1﹣A7CB1O内，过O作平面OO1A5，分别交AB、AC1于点G、A2，过C作平面CC5B2，分别交AB、BO1于点H、B4，且平面OO1A2∥平面CC3B2，由正四面体O﹣ABC的四个顶点分别在四个互相平行的平面内，且每相邻平行平面间的距离均相等，其中平面OO1A6和平面CC1B2为中间的两个平面，易知A6为AC1的中点，B2为O8B的中点，因为正方体AC1BO1﹣A6CB1O是棱长为，所以，所以点A到O1A2的距离为，所以每相邻平行平面间的距离为，故C正确；对于D选项：由|QO|＝3|QA|可知点Q的轨迹是平面ABC与以M点为球心，2为半径的球的截面圆，其中M点在OA的延长线上且MA＝1，M点到平面ABC的距离为，所以截面圆周长为，故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知双曲线方程为＝1，则该双曲线的渐近线方程为．解：双曲线方程为＝1．故答案为：．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），a4＝4，a7＝10，则S n的最小值为﹣2．解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，∴S n＝﹣2n+＝n2﹣3n＝（n﹣）2﹣，∴当n＝1或7时，S n取得最小值，最小值为﹣2．故答案为：﹣2．15．已知函数的最小正周期为2π，且f（x），m]上单调递减，在上单调递增．解：由的最小正周期为2π，得．则＝＝＝，根据图像可知，函数f（x）在，在上单调递增，若f（x）在[0，m]上单调递减，在，则，解得．故答案为：．16．在同一平面直角坐标系中，M，N分别是函数和函数g（x）（ax）﹣axe x图象上的动点，若对任意a＞0，有|MN|≥m恒成立．解：g（x）＝ln（ax）﹣axe x＝ln（ax）﹣e x+ln（ax）≤ln（ax）﹣[x+ln（ax）+1]＝﹣x﹣1，由，得（x﹣4）2+y2＝6（y≤0），数形结合可知，MN最小值为圆心到直线y＝﹣x﹣1的距离减去半径．当且仅当，即时取到最值．所以实数m的最大值为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}的前n项和S n满足．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．解：（1）由，当n≥2时，，两式相减可得：，又n＝7时，S1＝a1＝4满足上式，所以S n＝n（n+1）•2n﹣5，n∈N*，S n﹣1＝n（n﹣1）•3n﹣2，n≥2，则，又n＝1时，a4＝2满足上式，则；（2）由（1）可得，＝（n+3）•3n﹣2，则，即，两式相减得：＝8+2n﹣1﹣（n+4）•2n﹣1，即T n＝（n+4）•2n﹣1﹣8．18．（12分）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．（1）求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率；（2）若抽4次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望．解：记A i表示事件“第i次抽到代数题”，i＝1，2，⋯，3，（1）由条件概率公式可得＝，所以第一次抽到几何题的条件下，第二次抽到代数题的概率为；（2）由题意，随机变量X的可能取值为：3，1，2，6，4，，，，，，所以X的分布列为：所以：．19．（12分）已知函数f（x）＝axe x（a≠0），g（x）＝﹣x2．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，f（x）与g（x）有公切线解：已知f（x）＝axe x（a≠0），函数定义域为R，可得f′（x）＝a（x+1）e x，当a＞2时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）单调递减；当x∈（﹣1，+∞）时，f（x）单调递增；当a＜6时，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）单调递增；当x∈（﹣1，+∞）时，f（x）单调递减，综上，当a＞4时，﹣1）上单调递减，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数f（x）在（﹣∞；在（﹣5；（2）不妨设公切线与y＝f（x）和y＝g（x）的切点分别为，此时，所以切线方程为，即，可得，因为g（x）＝﹣x2，可得g′（x）＝﹣6x，此时k＝2b，所以切线方程为y＝﹣2bx+b6，所以，可得，不妨设，可得，当0＜x＜3时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜4，所以当x＝1时，函数h（x）取得极大值，当x→6时，h（x）→0，h（x）→0，所以，可得时，故实数a的取值范围为．20．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'．（1）若，求证：平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）是否存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，若存在；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥M﹣BCGF绕直线CG逆时针旋转α（0＜α＜π）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'，若，则平面DCGH．连接BH，BF'，M'是BF'中点，∴平面MBF与平面BFHD重合，平面M'B'F'与平面BFF'B'重合，由正方体性质得：BF⊥平面EFF'H，∴∠HFF'为二面角H﹣BF﹣F'的平面角，∵，∴，∴由面面垂直的判定定理得平面MBF⊥平面M'B'F'，故将四棱锥M﹣BCGF绕直线CG逆时针旋转时，平面MBF⊥平面M'B'F'；（2）解：假设存在α，使得直线M'F'⊥平面MBC，以C为原点，分别以，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，6），0，0），﹣2，∴，设是平面MBC的法向量，则，取y＝1，得，取CG中点P，BF中点Q，PM，PQ⊥CG，∴∠MPM'是二面角M﹣CG﹣M'的平面角，∠MPQ是二面角M﹣CG﹣Q的平面角，∠QPM'是二面角Q﹣CG﹣M'的平面角，∴，∴，且CG⊥平面，∴，同理可得F'（2cosα，2sinα，∴，∵，，∴，∵直线M'F'⊥平面是平面MBC的一个法向量，∴∥，∴存在λ∈R，使得，则由题意得，∵此方程组无解，∴假设不成立，使得直线M'F'⊥平面MBC，综上所述，不存在α∈（0，使得直线M'F'⊥平面MBC．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝c+h．（1）若c＝3h，求tan C的值；（2）求cos C的取值范围．解：（1）在△ABC中，由余弦定理和a+b＝c+h可得，，又由三角形的面积公式可知，，所以，所以，由c＝4h，得，又，所以，所以；（2）由（1）知．如图，在△ABC中，且使EB＝3h，则CE＝CB＝a，因为a+b＝c+h≥|AE|，即（c+h）2≥c2+6h2，得，所以，所以，所以，所以，由，得，所以，所以cos C的取值范围为．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，C的离心率为，椭圆上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，△QRF2的周长为8．（1）求C的方程；（2）设点Q（x0，y0），求△QRS面积S△QRS的表达式（用y0表示）．解：（1）易知△QRF 2的周长，解得a＝7，因为椭圆C的离心率为，所以，解得，则b4＝a2﹣c2＝7，故C的方程为；（2）易知直线QR和直线QS的斜率不为零，不妨设直线QR和直线QS的方程为，，Q（x0，y0），R（x3，y1），S（x2，y6），联立，消去x并整理得，由韦达定理得，，同理得，，因为点Q在直线QR和QS上，所以，，此时，整理得，即，同理得，整理得，即，不妨设y0＞8，因为＝，因为，所以＝＝＝，因为点Q在椭圆C上，所以，则S△QRS＝＝．。
广东华附、省实、广雅、深中2018高三上学期期末四校联考语文一、现代文阅读（一）论述类文本阅读阅读下面的文字，完成下列小题。
中国古典园林的杰出代表是成熟于十七世纪的江南私家园林和明清的皇家园林。
前者清隽婉约，后者精巧富丽，虽气象大不一样，却都是想让园子的主人置身于道家“清静无为”自然境界中，因而格局上大都错落有致，没有规整对称的布局。
而西方近代古典园林的代表则是文艺复兴发展起来的意大利造园和17世纪在法国发展起来的勒·诺特尔式造园。
尽管这两种相继产生的园林风格有着很大的不同，但布局相似，都采取了非常严谨的、对称的规则形状。
事实上，西方人也有模仿自然、崇尚画意的园林，最著名的就是十八世纪产生于英国的风景式园林。
而且这种园林受到了中国古典园林的影响，接触到了东方的自然观。
但是，同样是要模仿“自然”和“画意”，西方人却有自己的理解。
黑格尔曾经说中国的园林艺术是一种绘画，虽然夸张了一点，却是真知灼见。
山水画的画意在中国的造园家那里的确有着绝对的权威。
崇祯四年吴江人计成在《园冶·自序》中说：“不佞少以绘名，性好搜奇，最喜关仝、荆浩笔意，每宗之。
”书中，计成也多次提到造园要遵循绘画的意境。
在他看来，五代的荆、关和元代的黄、倪等山水大家所创造的画意都是造园应该模仿的典范。
把造园的艺术作为一个门类抬得最高的是李渔，他认为“变城市为山林，招飞来峰使居平地，自是神仙妙术，假手于人以示奇者也，不得以小技目之。
”在他看来，“磊石成山，另是一种学问，别是一番智巧。
尽有丘壑填胸，烟云绕笔之韵士，命之画水题山，顷刻千岩万壑，及倩磊斋头片石，其技立穷，似向盲人问道者。
”在这里，李渔强调了造园是一种独特的技艺，画家不一定能用手摆出他自己的画意。
但他断然没有怀疑过画家的眼睛，也没有再就造园艺术的特殊性讨论下去。
不过，当这个问题传到欧洲人那里，意见就不是那么统一了。
有关中国园林的知识在十八世纪中叶通过各种方式传到了欧洲。
