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结构的静定与静不定结构分析是工程领域中极其重要的一部分，通过对结构的力学性能进行研究，可以确保工程的安全可靠。
在结构力学中，结构的静定与静不定是其中的重要概念之一。
本文将围绕着结构的静定与静不定展开探讨，介绍其基本概念、特点和应用方面的内容。
一、结构的静定静定是指结构在受力平衡的条件下，各个构件的位移可以由已知的力和几何条件唯一确定。
在静定结构中，构件的位移和应力可以通过静力平衡方程唯一求解。
简言之，一个结构如果满足所有构件的位移和应力能够通过静力平衡方程唯一确定，那么这个结构就是静定结构。
静定结构的特点有几个方面：1. 构件数量与方程数量相等：静定结构的构件数目等于描述结构平衡的方程数目。
2. 几何约束：静定结构的几何约束对于解的唯一性至关重要。
这些约束可以是连杆的铰接连接、构件的固定或约束等。
静定结构在工程实践中具有广泛的应用。
例如，在桥梁设计中常常需要保证桥梁结构在静力平衡的条件下，能够承受来自自身重力和车辆荷载的力。
此外，在建筑物的设计中也需要保证结构在静力平衡的条件下，能够承受地震等外部荷载的作用。
二、结构的静不定静不定是指结构在受力平衡的条件下，构件的位移和应力不能完全由已知的力和几何条件确定。
换言之，一个结构如果无法通过静力平衡方程唯一求解所有构件的位移和应力，那么这个结构就是静不定结构。
静不定结构的特点如下：1. 构件数量与方程数量不相等：静不定结构的构件数目多于描述结构平衡的方程数目。
2. 多余约束：静不定结构的多余约束使得构件的位移和应力无法由已知的力和几何条件唯一确定。
静不定结构的分析需要借助一些附加的条件，例如材料的变形规律、拉伸和剪切的本构关系等。
常用的方法包括力法、位移法和能量法等。
这些方法可以通过添加一些简化假设和辅助约束，将静不定结构的问题转化为静定结构的求解来解决。
静不定结构在实际工程中的应用也非常广泛。
例如，在梁柱设计中，为了提高结构的承载能力和刚度，常常采用悬臂梁、悬臂柱等静不定结构形式。
1.6 物体系统的平衡 1.6.1 静定与静不定问题 若未知量的数⽬等于独⽴平衡⽅程的数⽬，则应⽤刚体静⼒学的理论，就可以求得全部未知量，这样的问题称为静定问题，如图4-1-11a。
若未知量的数⽬超过独⽴平衡⽅程的数⽬，则单独应⽤刚体静⼒学的理论就不能求出全部未知量 1.判断物体系统是否属于静定系统。
物体系统是否静定，仅取决于系统内各物体所具有的独⽴平衡⽅程的个数以及系统未知量的总数，⽽不能由系统中某个研究对象来判断系统是否静定。
若由n个物体组成的静定系统，且在平⾯任意⼒系作⽤下平衡，则该系统总共可列出3。
个独⽴平衡⽅程以解出3n个未知量。
当然，若系统中某些物体受其他⼒系作⽤时，则其独⽴平衡⽅程数以及所能求出的未知量数均将相应变化。
2.选取研究对象的先后次序的原则是便于求解。
根据已知条件和待求量，可以选取整个系统为研究对象，也可以是其中的某些部分或某⼀物体为研究对象; 3.分析研究对象的受⼒情况并画出受⼒图。
在受⼒图上只画外⼒⽽不画内⼒。
在各物体的拆开处，物体间的相互作⽤⼒必须符合作⽤与反作⽤定律。
画物体系统中某研究对象的受⼒图时，不能将作⽤在系统中其他部分上的⼒传递、移动和合成。
4.列出平衡⽅程。
平衡⽅程要根据物体所作⽤的⼒系类型列出，不能多列。
为了避免解联⽴⽅程，应妥当地选取投影轴和矩轴(或矩⼼)。
投影轴应尽量选取与⼒系中多数未知⼒的作⽤线垂直;⽽矩轴应使其与更多的未知⼒共⾯(矩⼼应选在多数未知⼒的交点上)。
⼒求做到⼀个平衡⽅程中只包含⼀个未知量。
5.由平衡⽅程解出未知量。
若求得的约束反⼒或反⼒偶为负值。
说明⼒的指向或⼒偶的转向与受⼒图中假设相反。
若⽤它代⼊另⼀⽅程求解其他未知量时，应连同其负号⼀起代⼊。
6.利⽤不独⽴平衡⽅程进⾏校核。
第31单元第十三章静不定问题分析§13-1 引言能量法是静不定问题分析的普遍有效的方法。
一、静不定结构分类：内力、外力、混合静不定。
静不定次数(静不定度)：多余约束(Redundant confinement)数 (1)外力静不定外一度外三度空间：外6度(一个固定端6个约束分量)(外力)平面静定结构：3个约束(外力)空间静定结构：6个约束平面固定铰：2个约束空间球形铰：3个约束平面活动铰：1个约束空间固定端：6个约束平面固定端：3个约束(2)内力静不定静不定度()32--=n mm : 杆数 n :节点数6-(2×4-3)=1封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加3，加一铰支杆加1三内 二内 6内 4内 (截开为静定结构，分析有几个多余力) (3)混合(一般)静不定1+1=2度 3+3=6度 内 外 内 外 例：静不定判断。
梁3 (外静不定) 环3 (内静不定)二者接触(A 点)1(内静不定) 共7(混合或一般静不定)无摩擦，圆环在水平方向有一自由度。
二、分析方法(1)力法(force method)或柔度法(Flexibility method)，以力、力的反力为未知数，利用变形协调条件列方程，通常简单，但格式不统一，不便于计算机求解。
(2)位移法(displacement method)或刚度法(stiffness method)（有限元法），以位移为未知数，利用平衡条件求解，不需判断静不定度，格式统一，便于计算机分析。
§13-2 用力法分析静不定问题基本系统：解除多余约束后的静定结构。
相当系统：作用有载荷和多余反力的基本系统。
求解：静力平衡方程+变形协调条件(通过能量法转换为未知力的方程)。
对比：以前由几何法画变形图，然后通过物理方程转换为未知力的方程，分析复杂结构存在困难。
一、外力静不定问题例：若P 、EI 均为已知，试画刚架弯矩图。
解：1.求约束反力 (1)静不定度1(2)静定基：解除B 点约束 (3)变形条件：0=B f(4)能量法求解(求位移与力的关系) BC 段：()()1111x x M x N x M B ==AC 段：()()a x M Px a N x M B =-=222()[]010*******=-+=∴⎰⎰aB a B B dx a Px a N dx x N EIfP N EI Paa N EI a N B B B 830213333=⇒=-+ 2.画弯矩图，由于各段无布力，图形为直线，只须找端值连结，(一般情况根据弯矩方程)例：计算A 点水平位移。
1.计算A N(1)变形协调条件0=A f (2)计算()ϕM在αd 微段上由αqRd 引起()[]α-ϕ-⋅α=cos 1R qRd dM()()[]()ϕ-ϕ-ϕ=ϕ-αα-ϕ-=ϕ⎰ϕsin sin sin cos R N qR R N d qR M A A 2021()ϕ-=ϕsin R M(3)求A N()[]()01202=ϕϕ-ϕ-ϕ-ϕ=⎰πRd R R N qR EIf A A sin sin sin04143=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛π--π⋅qR N EIR A⎪⎭⎫⎝⎛-π=14qR N A2.计算水平位移A ∆(1)在原静不定结构上加单位力再解一静不定问题，复杂。
(2)在静定基上加单位力(问题简化，为什么?)()()ϕ-=ϕcos 1R M()[]()ϕϕ-ϕ-ϕ-ϕ=∆⎰πRd R R N qR EIA A cos sin sin 11202EI qR EI qR 4420262808221.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π+π-π-=两度静不定问题在静定基上分别加水平，铅垂单位力，得两方程：00=∆=B B f另选静定基00=∆=θB A第32单元二、内力静不定问题方法：假想截开多余杆件→静定基+多余约束反力=相当系统。
变形条件：两截面间相对(广义)位移为零。
截开BD 杆，变形协调条件：0=∆'m m三度静不定，变形协调条件：0=∆'m m ，0='m m f ，0=θ'm m变形协调条件：0=∆'m m ，0='m m f变形协调条件：0=∆'m m ，0=θ'm mP89例13-1：梁抗弯度EI ，杆拉压刚度EA ，102Aa I =，计算截面C 的挠度c f 。
解：(1)计算约束反力(平衡方程)2PR R B A ==(2)计算内力截CD 杆得静定基，变形条件0=∆'m m . 节点D 平衡：132N N N -==节点A 平衡，梁在A 点受的横向反力为()12212121N P N P +=+(忽略轴向变形) ()()a x xN P x M ≤≤+=∴0211在m ,m '处加一对单位力()a x xx M ≤≤=02111321-===N N N由0=∆'m m ，并根据对称性()()022*******=++⎰EAl N N EA l N N dx x M x M EI a()0332222121101=+++⎰EA a N EA a N dx x x N P EI a ()05631=++EA Na EI a N PP P N Aa I 231311012-=+-=∴=(3)计算截面C 的挠度在静定基上C 点加一单位力()a x x x M ≤≤=02由于杆1已断开，0321===N N N()()()⎰⎰+==a a c dx xx N P EI dx x M x M EI f 01022122()()EIPa EI a N P 12336331-=+=()P N Pxx M 2314331-=-= P N N 21332-==若不断开杆1，()2314331-=-=N x x M P N N 21332-==()3221323231433222022aEA P a EA P dx Px EI f a c ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰ ()31233Pa EI-=梁中点受力()P N P 233211-=+ 直接用简支梁的公式()3333482233Pa EI a P f c -=⋅-=(4)若断开梁，取右图为单位，载荷系统(不计梁轴力影响，也可得c f (结果相同)§13-3 对称与反对称静不定问题分析对称性的运用能够使问题大为简化*对称结构(symmetric structure):结构的几何形状、约束条件及材料性质均对称于某一轴。
*对称载荷：数值相等，方位与指向均对称，且成对作用在对称位置的载荷。
*反对称载荷：若作用在对称位置的载荷数值相等、方位对称、但指向反对称，则为反对称载荷。
对称反对称对称反对称载荷作用在对称轴上的情形→分解对称反对称()a()b()c例：如图()a，闭合圆环半径R，刚度EI，求任意截面弯距。
分析：(1)如图b，沿A截面切开，三个未知力，求解复杂。
(2)如图c，沿AC切开，根据对称性，只剩一个未知量m，大为简化。
(3)选静定基。
无外约束问题，可任设一截面无位移及无转动(一般选在对称轴上的截面)，并将其视作固定端。
()c 及下面三种静定基都已正确。
()d ()e ()f变形条件： ()00==θA A f 此题可 ()00==θB B N ()ϕ-=ϕsin R P m M B 2 ()1=ϕM 02120=ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ-=θ⎰πRd R P m EI B B sin 022=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πR P m EI R B ()⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ-π=ϕπ=21sin PR M PR m B (此题水平方向加单位力，0=∆B 亦可求解，此解法(与广义未知力不对应)要小心使用)求BD 相对位移 ()ϕ-=ϕsin R M()ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ-πϕ-==⎰πRd R P R EI f f B BD 212220sin sin ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ+ϕπ-=⎰πd EIPR 2122203sin sin ()()EI PR EI PR /.323149084=-ππ=第33单元小结：对称与反对称问题的受力与变形特征一、(平面)对称问题：利用对称条件，可减少一个未知量。
()变形力⎭⎬⎫=∆==000c c c Q θ 二、反对称问题：利用反对称条件，可减少两个未知量。
有两反对称轴的情形002=⇒=∆N c (化为静定问题)有两反对称轴，可以不用变形协调条件而仅用平衡条件求解。
三、一般载荷的分解P Q Q 2221==反对称 对称对称：554321P N N N N N ='='='='=' 反对称：54213220N N N N N ''=''=''-=''-='' ()Pa a N a N 22245=''+⋅'' P N P N 525154=''='' 四、中心对称问题 自A 起每︒120的圆弧段受力完全相同，A 、C 截面只有弯矩无扭矩。
m M M C A 33== 注：如果有扭矩，则A 、C 两点扭矩矢应大小相等，或均指向截面或均离开截面，合力偶m ⊥，无法与m 平衡。
空间静不定问题的特殊情形*面内位移(displacement in place)：平面结构只受面内载荷，只在面内变形，有面内内力，已研究过，如虚线所示。
*面外位移(displacement out of plane)：平面结构受垂直于自身平面的载荷，只产生面外位移，不产生面内位移。
（小变形状态），面外力不引起面内力。
*空间固定端6个约束反力(偶)分量，除去3个面内反力(偶)分量，剩下3个面外分量。
*上图右根据对称性，只剩下个多余未知反力偶C M ,变形协调条件0=θC (C θ与C M 转向同)。
*一般载荷可分解为面内与面外。
P96例13-4：按空间一般情形，计算证明面内内力为零。
位移法概念力法：以力为未知量，平衡方程和变形协调方程求解。
位移法：以位移为未知量，无须判断静不定度。
()4321,,,=θ=∆i a l i i (1) θ=∆=i ii i ii i a l AEl l A E N (2)0041=-=∑∑=i i i A Pa aN M0412=-θ∑=i i i i Pa alA E∑==θ412i ii i a A E Pal代入(2)，可得i N 。
上题1个位移自由度，不需判断静不定度。
P112,A 点u ，v 两个节点位移自由度。
