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理论力学 第十三章 能量法

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理论力学第十三章动能定理

理论力学第十三章动能定理

例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系 图示弹簧原长 ， 一端固定在点O， 数k=4.9KN/m,一端固定在点 ，此点 一端固定在点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的圆周上。 在半径为 的圆周上 的另一端由点B拉至点 和由点A拉至 拉至点A和由点 的另一端由点 拉至点 和由点 拉至 垂直BC， 和 为直径 为直径。 垂直 点D，AC垂直 ，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。 分别计算弹簧力所作的功。
1 2 ⇒ d( mυ ) =δw 2
——质点动能定理 ——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 ——质点动能定理 m 2 − m 1 =W ——质点动能定理 υ υ2 12 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中， 在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。 作用于质点的力作的功。
0−0 = mgl(1−cosϕ1) −
mgl(1−cosϕ2) −W k
冲断试件需要的能量为
W = 78.92J k
[例3] 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r 为均质圆盘；曲柄重Q 作用一力偶, 矩为M 常量), 为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由 静止开始转动； 的函数表示) 静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角ϕ 的函数表示) 和角加 速度。 速度。 解：取整个系统为研究对象
dt
由 δW = F·dr 得 ，
dr P = F⋅ = F ⋅ v = Fv t dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。

能量法

能量法


1

3Eh2 10GL2

It is therefore customary in engineering practice to neglect the effect of shear in computing the strain energy of slender beams.
F 广义力
1
广义位移
基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）
F
V

1 2
Fl

FN2l 2EA
l
FN2 x dx
2EA
Me
V

1 2
M e

T 2l 2GI P

T 2 xdx
l 2GIP
M
V

1 M
2

M 2l 2EI
横力弯曲
M 2 x dx
2EI 0
2GI p 0
4EI 4GI p
外力功
V
W

1 2
P
A
A

PR3
2EI

3PR3
2GI p
互等定理 (Reciprocal theorems)
1. 功的互等定理
设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。
F1 Δ11 1
F1 dF
0
线弹性范围内：
1

1
Vc
V

F 2
➢ 余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体 的物理意义。线弹性材料，余能数值上等 于应变能，应区分两者的概念。
应变能的普遍表达式

第十三章 - 能量法.ppt-结构力学

第十三章 - 能量法.ppt-结构力学

三 利用功能原理计算位移
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
利用
U W
1 P 2
可以计算荷载作用点的位移,但是
只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点 (或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
例题 图示变截面受拉杆，E、A 为已知，求加力点C的水平位
第十三章 能量法/二 变形能
4 关于变形能计算的讨论
1 2 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。 变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功
等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。
3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
P
CP
Pl 3 48 EI
BP
mo
Pl 2 16 EI
A
B
Bm
o
C
Cm
o
mol 2 16 EI
mol 3EI
L/2
L/2
B
Pl 2 16 EI
Pl 3 mo l 2 C 48EI 16 EI

mo l 3EI
第十三章 能量法 /一 外力功
解: (2)外力功的计算
FN L U W 2 EA
式中
2
FN
——轴力，
A ——截面面积
第十三章 能量法/二 变形能
由拉压杆件组成的杆系的变形能： 2 1 5 4 受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能
x
P 3
2 n Pi 2 Li FNi Li U i 1 2 Ei Ai i 1 2 Ei Ai n

理论力学课件第13章：动能定理

理论力学课件第13章：动能定理

求:切削力F的最大值。
解: P有用 P输入 P无用 3.78kw
P有用
F
F
d · n
2 30
60
60 3.78
F dn P有用 0.1 42 17.19kN
当 n 112r / min 时
F 60 3.78 6.45kN
0.1112
例13-8:
已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。
系的所有力的功率的代数和.
机床
dT dt
P输入 P有用 P无用
或
P输入
P有用
P无用
dT dt
3、机械效率
有效功率 机械效率
P有效
P有用
dT dt
P有效
P输入
多级传动系统 12 n
例13-7
已知: P输入 5.4kw, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
2 1
M
zd
若 M z 常量
则 W12 M z (2 1)
4. 平面运动刚体上力系的功
由 vi vC viC 两端乘dt,有 dri drC driC 作用在 Mi 点的力 Fi 的元功为 δWi F idri Fi drC Fi driC
其中 Fi driC Fi cos MC d M C (Fi )d
W
Fxdx
Fy dy
Fz dz
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W12
M2 M1
δW
M2 M1
F ·dr
三、几种常见力的功 1、重力的功
质点
Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1

第十三章能量法

第十三章能量法
BC段：(0 x1 a)
M (x1) FB x1
F
F
B
C
A
EI
a
a
F FB F
AC段：(a x2 2a)
B
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
M ( x1
PFBB
)
x1 , MP(FBxB2
)
x2
C
x1
EI
x2
a
A
a
M ( x2 ) FPBB x2 FP( x2 a)
dF
W*
外力功和应变能
1
W U Fd
0
余功和余能
F1
F1 F
W
0 d 1
W * U * dF
0
2、线性弹性体
F
线性弹性体
W W*
U
U*
1 2
F11原理计算位移
利用 U W 1 F 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于
2 单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相 对应的位移。
x
FN (x)
dU
1 2
FN
(x) (dx)
FN2 (x)dx 2EA
比能：
u(x) dU FN2 (x)dx 1 (x) (x)
dV 2EA Adx 2
整个杆内的应变能：U dU FN2 (x)dx
l
l 2EA
FN (x) FN (x)
dx
x
FN (x)
2. 纯剪切时的变形能
比能： u 1 2 1 G 2
l GI p
Fi
l EI
Fi
例 桁架如图所示，各杆EA相同，利用卡氏第二定理求D 点的垂直位移。

理论力学第13章动能定理

理论力学第13章动能定理
详细描述
在理论力学中，动能被定义为物体运动时的能量，其大小与物体的质量和速度有关。根据牛顿第二定律，物体的动量改变量等于作用在物体上的外力的冲量。因此，如果一个力在一段时间内作用在一个物体上，那么这个力就会使物体的动量发生改变，从而产生动能的变化。
动能的定义
外力的功
外力的功等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。
总结词
外力的功是指力对物体运动所产生的效应，其大小等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。这是物理学中功的定义，也是计算外力对物体所做功的基本方法。
详细描述
VS
系统动能的增量等于合外力对系统所做的功。
详细描述
系统动能的增量是指在一个过程中，系统动能的增加量。这个增量可以通过计算合外力对系统所做的功来得到。如果合外力对系统做正功，则系统动能增加；如果合外力对系统做负功，则系统动能减少。因此，系统动能的增量与合外力对系统所做的功有直接的关系。
总结词
系统动能的增量
03
CHAPTER
动能定理的应用
适用于单个质点在力的作用下运动的情况，计算质点的动能变化。
单个质点的动能定理指出，质点在力的作用下运动时，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这个定理是理论力学中研究质点运动的基本定理之一，可以用来解决各种实际问题。
总结词
详细描述
单个质点的动能定理
动能定理是能量守恒定律在动力学中的具体表现，是解决动力学问题的有力工具。
动能定理适用于一切宏观低速的物体，对于微观、高速适用于狭义相对论。
动能定理适用于直线运动，对于曲线运动需要积分形式进行处理。
动能定理的适用范围
02
CHAPTER
动能定理的基本内容
总结词

第13章 能量法简介

第13章 能量法简介

（5）组合变形杆件
V i Fi
FN x FN x M x M x T x T l EA Fi dx l EI Fi dx l GI p Fi dx
§13.5
卡氏定理
例： 已知结构如图， EI=常量，求：B
q A F M
A
W
C
Me B
O l F
B
解：① 求反力
O
1 FRA ql a l 2 b 1 FRB ql 2
Me l Me l
X
§13.5
② 列弯矩方程，并求导数
卡氏定理
q A F M
A
W
C
Me B
O l F
B
1 2 1 Me 1 2 M x FR Ax qx qlx x qx 2 2 l 2 M x x O a l b M e l
F2……Fi则
V 2
1 dFi d i V dFi i 2
（4）材料服从胡克定律，小变形线弹性应变能与
加载次序无关，则
V1 V 2
V 1 V dFi dFi d i V dFi i Fi 2
1 略去二阶微量 dFi d i 得 2
V i Fi
（2）线弹性范围内F与δ成线性关系
§13.3
应变能的普遍表达式
1.弹性体变形的一般情况
V
1 1 1 W F1 1 F2 2 F3 3 2 2 2
§13.3
应变能的普遍表达式
2.杆件组合变形的应变能 （1）微段dx内的应变能
dV 1 1 1 F x dl M x d T x d 2 2 2 F 2 x dx M 2 x dx T 2 x dx 2EA 2EI 2GI p

能量法PPT学习课件PPT学习教案

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2
4. 组合变形时的变形能
d( l ) FN ( x )dx
EA
d T (x)dx
GI
，
d M (x)dx
，
EI
dV
1 2
FN ( x)d( Δx)
1 T(x)d
2
1 2
M(x)d θ
V FN2( x )dx T 2( x )dx M 2( x )dx L 2EA L 2GI p L 2EI
杆 的应变 能 P
Δl FN l EA
P L
V W
L
2
P
V FN 2 L 2EA
第4页/共75页
由拉压杆件组成的杆系的应变能：
2P
P
2
K
B
1
5
3
D
4
C
V n FN2i Li i1 2Ei Ai
受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能
x dx
L
q
V dV FN 2( x )dx
L
AC :
M
( x)
qax1
q x12 2
A
B
M
0
(
x)
x1 2a
a
x1
C
a
x2
BC:
M
(
x)q
ax2
qx22 2
M0(x)
x2 2a
MC0=1 A
a
M
(
x
)
M
(
x
)
B
c
dx
0
EI
C
0( AB)
a
a
a
M
0( BC)
(
x
)
M

13 章1-5 能量方法

13 章1-5 能量方法

P 2 l13 P 2 l2 3 P 2 l12 l 2 U 6 EI 6 EI 2GI P
Pl13 Pl2 3 Pl12 l2 yc 3 EI 3 EI GI P
例2:
M0
RB
A
C
RC M0 解: 1) RB RC l x 0, a M0 2) 列弯矩方程 M ( x) M0 (以A为原点) M0 ( x a) x a, a l l 3) 计算变形能 2 M 0 M ( x a ) dx 2 2 2 0 a M dx a l M a M l 0 0 0 l U 0 a 2 EI 2 EI 2 EI 6 EI 1 4) W M 0 A M0 l 2 A (a ) 又 W U EI 3
dVε 1 FN dx 2
FN
FN
Vε＝
1 1 FN dx FN l 0 2 2
l
l＝
FN l EA
dx + dx
拉伸和压缩杆件的应变能为
杆件应变能的计算
对于承受弯曲的梁
d
忽略剪力影响，微段的应变能为
其中dθ 为微段两截面绕中性轴相对转过的 角度，
M dx
解： P的作用下而引起1点的挠度应该是 15 51
P的作用下而引起2点的挠度应该是 25 52
P的作用下而引起3点的挠度应该是 35 53
P的作用下而引起4点的挠度应该是 45 54
所以应把挠度计放在5点上,分别让P作用在1,2,3,4点 上,这样测出的挠度就是题中要求的挠度.
杆件应变能的计算
考察微段杆件的受力和变形，应用弹性范围内力和变形 之间的线性关系，可以得到微段应变能表达式，然后通 过积分即可得到计算杆件应变能的公式。

第十三章 能量法讲诉

第十三章 能量法讲诉

外力功： W n Fi i i1 2
克拉比隆定理是否说明可由 叠加法计算多个力的功？
由于外力功与加载次序无关， 不能，因为
本定理也适用于非比例加载。
但只适用于线弹性体
i i F1, F2， , Fn
Page 8
第十三章 能量法
构成线性弹性结构的条件
材料符合胡克定律（物理线性） 小变形 可按原始几何关系分析内力与变形（几何线性）
广义力： 力，力偶，一对大 小相等、方向相反的力或转向 相反的力偶等。
A A F A A
广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。 △：与力F相应的广义位移
Page 7
二、克拉比隆定理：
第十三章 能量法
Fi－广义载荷
i－相应广义位移
线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠 加原理，各广义力与相应广义位移成正比。
第十三章 能量法
第 13 章 能量法
§13-1 外力功与应变能的一般表达式 §13-2 互等定理 §13-3 卡氏定理 §13-4 变形体虚功原理 §13-5 单位载荷法 §13-6 图乘法 §13-7 剪切对梁位移的影响 §13-8 确定压杆临界载荷的能量法
Page 1
第十三章 能量法
本章主要介绍能量法的基本原理与 分析方法，包括：
dx
Page 14
第十三章 能量法
FN(x)
dx
d
T(x)
d dx
dVε
FN2 (x )dx 2EA
T 2 (x )dx dVε 2GI p
3. 组合变形的应变能
d M(x)
dx
dVε
M 2 (x )dx 2EI z
思考：组合变形的总应变能能否由各基 本变形的应变能叠加，为什么？

材料力学第十三章 能量法

材料力学第十三章 能量法

1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
例题
试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截
B
面的垂直位移. 已知EI为常量.
解： M ( ) FRsin
F
R
θ
M ( ) Vε Rd l 2 EI π ( FRsin )2 πF 2 R 3 2 Rd A 0 2 EI 8 EI 1 W F y 2 πFR 3 由Vε=W 得 y 4 EI
1 1 1 1 W P1 1 P2 2 P3 3 Pn n 2 2 2 2
All forces are applied slowly from zero to the final value. All deformations are within the proportional limit. Conclusion: (1) U is not related to the order in which the forces are applied. (2) U = W
q
A B
F=qa
C x A x B x 2a a
C
1
x
FRA
2a
a
1/2a
（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）
qa qx 2 x AB: M ( x) x M ( x) 2 2 2a BC: M ( x ) qa x M ( x) 1 2 2 a qa a 1 qx x C [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 5qa 3 6 EI （ ）
例题 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠 度和转角.

材料力学13能量法

材料力学13能量法
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GIp (x)
M 2(x) dx l 2EI (x)
kFs 2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB

P1l1 EA
P2保持不变，作功为
V 2

P2

P1l1 EA
P1作功为
V 3

P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。10
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
V F

FL3 48 EI
wC
29
说明： （1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi

Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移
相对角位移
30
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi

Vε Fi

Fi
22
F
B2
wC1
解：由功的互等定理 F wC1 M B2
得：F

wC1

M
Fl 2 16EI

第十三章 能量方法和超静定结构

第十三章 能量方法和超静定结构

（3）水平方向弯曲变形能
1 1 Pa3 ( Pa)l 5 P 2l 3 （4）垂直方向弯曲变形能 U 3 2 (T t ) CV 2 P ( 3EI 3EI a) 384EI
（5）轴的变形能
3P 2 d 2l 9P 2l 3 U U1 U 2 U 3 32GI p 384EI
3 3Pa3 P a 1 2 EI GI p
A
M ( x3 ) M ( x3 ) T ( x3 ) T ( x3 ) M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x2 ) dx1 dx2 dx3 dx3 l1 EI l 2 l 3 l 3 P2 EI P2 EI P2 EI P2
B
C
l
P
A l B 1 2
D
解：(1) 在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力
2 XA P Pf 2 YA P 2 ND P Pf 2
C
3 D ND
杆件变形能：
N 2l U W 2 EA
N2 U l dx 2 EA
例13-1 求图示杆件的变形能。
解：方法1
l N2 P2 2 P 2l U1 dx dx 2 l 2 EA 0 1 2 E d 2 E d 4
2d d l d 2d P
3l/8 l/4 3l/8
a 0 3 3 a P (a x ) P x a Pa P P1a 3 P2 a 3 ( P P 2 3 1 3 1 x1 1 1P 2 )a 1a x1dx1 0 x3dx3 adx3 ( ) 0 0 EI EI GI p 3EI 2 EI 3EI GI p
2
三、扭转： 变形能：

材料力学-13 能量法共36页文档

材料力学-13 能量法共36页文档

RA
2a
a
1/2
2a
a
【解】
RA
qa 2
1 RA 2
（1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”）
AB:
M(x1)
q2ax1
qx12 2
M
(
x1
)
x1 2
河南理工大学力学系
材料力学
q
A
RA
2a
F=qa
B
CA
x2
a
1/2
第十三章 能量法
1
B
C
x2
2a
a
BC:
M(x1)q2ax1
qx12 2
M(
x1 )
§13-2 杆件变形能的计算
一、变形能的计算
拉压变形能 扭转变形能
V
FN2l 2EA
T 2l V 2GI p
河南理工大学力学系
材料力学
第十三章 能量法
弯曲变形能
Me
1. 纯弯曲
θ
Me
Me
Me
V W 1 2M eθ1 2M eM E el IM 2E e2lI
2. 横力弯曲
V
Me2(x)dx l 2EI(x)
河南理工大学力学系
材料力学
第十三章 能量法
例题13-2 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性 节点, ABC=90°在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚 度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求 C 点竖向的位移。
F
A a
C Bb
河南理工大学力学系
材料力学
F
C
A
x1
x2 B b a
【解】在 C点加竖向单位力
V L 2EI dx

13 能量方法 PPT课件

13 能量方法 PPT课件

GI p
8
§13-2 杆件应变能的计算
故其扭转应变能又表示为:
V
W

M e2l 2GI p
（13.6）
类似（13.3）, 当扭矩T沿轴线为变量时, 其应变能为:
V

T 2 (x)dx l 2GI p
（13.7）
9
§13-2 杆件应变能的计算
3、弯曲 在线弹性范围内(见上图)，有
纯弯曲时外力做功
1 2
dFi
d

i
V
idFi
V

V Fi
dFi
31
§13-5 卡氏定理
省略前式中的二阶微量，就可得出：
i

V Fi
（13.16）
式（13.16）就是卡氏第二定理，即：应变能对任一
载荷Fi的偏导数，就等于Fi作用点沿Fi方向的位移i。
注意点: (1) 定理中的力和位移都应理解为广义的。
利用应变能密度
M1 d
l
17
§13-3 应变能的普遍表达式
18
§13-3 应变能的普遍表达式
对于一般情况,设作用在 物体上的外力为:F1、 F2、 F3、…。其相应位移为：1、 2、 3、…。则能推导出物 体（右图所示）的应变能为：
V
W

1 2
F11

1 2
F2 2

1 2
F3 3
dV

1 2
FN (x)d (l)
1 M (x)d
2

1 T (x)d
2
FN (x)2 dx M 2 (x)dx T 2 (x)dx
2EA
2EI
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F3 F2
F1
3
F4
1 1 F1δ1 F2 δ2 2 2
（2）在结构上再作用有力
F3 ,F4
2
1
4
沿 F3和 F4方向的相应位移为
3 , 4
1 1 F3 和 F4 完成的功应为 F3 δ3 F4 δ4 2 2
31
（3）在 F3和 F4的作用下,F1 和F2 的作用点又有位移
1´和 2´
av
图b
23
av av
1 - av 2 - av
图c
av
图b
3 - av
1 2 所示的单元体的三个主 ( 1 2 3 ) E 应力之和为零
0
图C单 元 体 的 应 变 能 为 :
v vV vd 0 vd 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 vd 6E
BA :
V
L b
②、变形能： T ( x2 ) Fb. M 2 ( x) T 2 ( x) dx dx L 2GI 2 EI P
2 2 a ( Fx ) dx a ( Fb) dx ( Fx1 ) 2 dx 2 0 0 2 EI 2 EI 2GI p

0
F 2 (a 3 b 3 ) F 2 ab2 6 EI 2GI p
F1 和 F2 在 1´和 2´上 完成的功应为
' F1δ1 F2 δ'2
F3
F2 F1
2 1 1
2
3
4
因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,结构的应变能为
1 1 1 1 ' ' Vε1 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F1δ1 F2 δ2 32 2 2 2 2
F
L dF1 F1 ΔL1 dΔL1 △L
F
1 W Fδ 2
上式表明，对于线性弹性体，荷载所作功等于荷载终值与 相应位移终值乘积之半。此式为计算线性弹性体外力功的 基本公式。式中的为广义荷载（力或力偶），是广义荷载 的相应位移（线位移或角位移）。这里的“相应”的含义 有二：一是方向相应，即荷载的作用点处沿着荷载的作用 线方向的位移；二是性质相应，即集中力只能在线位移上 作功，集中力偶只能在角位移上作功。
§13-2 外力功的计算
在线弹性范围内：0 F（静载）， 0 L（变形）。
F 在 dL1 上作功—— dW F1dL1 。 1
外力在整个加载过程中作功——
W dW F1dL1
0
L
L
0
EA L1 EA L 2 1 dL1 ( ) FL L L 2 2
F2 F3 Fi F1 Δ3 Δi Δ1 Δ2
（ Fi ——广义力，i ——广义位移）
可以证明，外力功与加载的顺序无关，当 结构受到多个外力作用时，外力功的数值 只与各荷载最终数值和相应位移最终数值 有关，这是外力功的一个重要的特点。外 力功是一个代数量，荷载方向与相应位移 方向一致时为正，相反则为负。 6
4
1 W Fδ 2
3
F--广义力包括力和力偶 δ--广义位移 F1 包括线位移和角位移
A
5
F2
B B'
F3
C
1
2
对线性弹性体的一般受力情况：
W
1 1 1 1 1 F11 F2 2 F33 Fi i Fi i 2 2 2 2 2
——克拉贝依隆原理
dy dz
y
σ2 σ1 σ3
dx
19
x
z
三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为
将广义胡克定律代入上式, 经整理得
1 ε (ζ1ε1 ζ 2ε2 ζ 3ε3 ) 2
1 2 2 ε [ 12 2 3 2 (ζ1ζ 2 ζ 2ζ 3 ζ 3ζ1 )] 2E
若按先加F3 ,F4 后加F1, F2 的次序加力,又可求得结构的应变 能为
1 1 1 1 ' Vε 2 F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 F4 δ4 F3 δ'3 F4 δ4 2 2 2 2
由于应变能只决定于力和位移的 最终值,与加力的次序无关,故 F1 F2
3
由式（13.3）可得
Me B x l
FwA M e A F 2l 3 FM el 2 M e2l W 2 2 6 EI 2 EI 2 EI
25
方法二：利用应变能计算外力功
梁的弯矩方程为
F Me B x l A
M ( x) M e Fx
由式（13.8）得
l ( M Fx) M 2 ( x) F 2l 3 FM el 2 M e2l e W V dx dx 0 2 EI 0 2 EI 6 EI 2 EI 2 EI l
因为很小,所以在变形过程中,上, 下两面上的外力将不作功. 只有右侧
y

a
面的外力（dydz） 对相应的位移
d
dx 作了功.
b z dx

x
dx

17
当材料在线弹性范围内内工作时,上述力与位移成正比,因此,
单元体上外力所作的功为
1 1 dW ( ηdydz )(γdx ) ηγ (dxdydz ) 2 2
1 Vε Fδ 2
F--广义力包括力和力偶
C
F3
F1
1
A
2
C'
δ--广义位移
包括线位移和角位移
在线弹性情况下，广义力与广义位移之间是线 13 性关系
上述结论应用于组合变形的变形能
截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立, 力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.
2 FN ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
③、外力功等于变形能
F
F W B V 2
FL(1 cos3 a ) B EAsin 2 a
例：图示结构，已知 EI、 GIp，及铅垂力F。求C点的垂直位移。 a x2 B 解、①、求内力
A x1
C F
BC :
b
M ( x1 ) Fx1 ; M ( x2 ) Fx2
2
2
11
3.弯曲变形的变形能
θ Me
Me
Me 纯弯曲
Me

2

1 1 Mel Me l Vε W M e θ M e 2 2 EI 2 EI
横力弯曲，剪力应变能远小于弯曲应变能，故：
2
Me ( x) Vε dx l 2 EI ( x )
12
变形能总体表达式
3
F2
B B'
§13-3 应变能的计算
一、杆件变形能的计算
1.轴向拉压的变形能 当拉力为F1 时,杆件的伸长为△l1 当再增加一个dF1时,相应的变形增量为d(△l1) 此外力功的增量为：
dW F1d(Δl1 )
dF1l d(Δl1 ) EA
7
F dF1
l
F1
o
F l
l1
dl1
l
l
F 积分得： W dW

0
F
l F 2l F F1 dF1 Δl EA 2 EA 2
8
根据功能原理 Vε= W , 可得以下变形能表达式
1 1 Vε W FΔl FN Δl 2 2
Fl FN l Δl EA EA
2 F 2l FN l Vε 2 EA 2 EA
当轴力或截面发生变化时:
3
Fa 1 W FwC W V wC 2 6 EI
例：图示结构，已知BC杆的长度为L，两杆的抗拉压刚度均为EA， 及α 和在B点受铅垂力P。求B点的垂直位移。 A L C FN2 Y a B
FN1
解、①、求内力 F FN 1 ; FN 2 Fctg a . sin a ②、变形能： F 2 (F ) 2 L ( Fctga ) 2 L cosa F L V N sin a 2 EA 2 EA 2 EA X F 2 L(1 cos3 a ) 2 EAsin 2 a


畸变能密度
24
例：图13.10所示悬臂梁，承受集中力F和集中力偶矩M 的作用。试计算外力所作的总功。设弯曲刚度为常数。 解： 方法一：由叠加原理 3 M el 2 wA wA( F ) wA( M e ) 3EI 2 EI Fl 2 M el A A( F ) A( M e ) 2 EI EI
③、外力功等于变形能 W
F c V 2
F (a 3 b3 ) Fab2 c 3EI GI p
§13-4 卡氏定理
一、功的互等定理
（1）设在线弹性结构上作用力 F1 F1 ,F2 两力作用点沿力作用方向 的位移分别为
1 2
F2
1 ,2
30
F1 和 F2 完成的功应为
§13-1
概述
一、变形能（应变能）：变形固体在外力作用下由变形而储存的 能量“ V ” 。 弹性变形能：变形固体在外力作用下产生的弹性变形而储存的能量。 1、弹性变形能具有可逆性。 2、塑性变形能不具有可逆性 。 二、变形能的计算：利用能量守恒原理 能量守恒原理：变形固体在外力作用下产生的变形而储存的 能量，在数值上等于外力所作的外力功。 “V W ”。 三、能量法：利用功能原理和功、能的概念进行计算的方法。 常见的能量法——功能原理、单位力（莫尔积分）、 卡氏定理、图乘法。