高考数学总复习 第六章第5课时 合情推理与演绎推理随堂检测(含解析)

2019高三数学一轮复习 第6章 第5课时 合情推理与演绎推理课时训练 文 新人教版A 级 基础演练1．(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C.因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积V 2，则V 1V 2＝( ) A.18 B.19 C.164D.127解析：选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}a n 的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选A.选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{}a n 是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．4．由两种花色组成的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36解析：选B.有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.5．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知四面体P ­ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C.设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．所以四面体的体积为V四面体P ­ABC＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4，故选C. 6．(2015·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝__________.解析：第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n. 答案：n n7．(2014·高考陕西卷)观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812解析：观察分析、归纳推理． 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V－E ＝2. 答案：F ＋V －E ＝28．(2014·高考陕西卷)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为__________． 解析：观察分析、归纳推理．f 1(x )＝x1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x， f 3(x )＝x1＋2x 1＋x1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x1＋2 014x. 答案：f 2 014(x )＝x1＋2 014x9．(2015·东北三校联考)在数列{}a n 中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n·2a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其前n 项和为S n .(1)求a 2n ＋1关于n 的表达式；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{}S n 的前100项中相等的项有多少对． 解析：(1)a 3a 1＝a 5a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1＝－2，又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n. (2)由(1)及条件知，数列{}a n 为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3,24，…，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，…，故在{}S n 的前100项中相等的项有25对．B 级 能力突破1.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．若将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f (n )，则f (5)等于( ) A ．33 B ．31 C ．17D ．15解析：选B.根据移动方法与规律发现，随着金属片数目的增多，都是分两个阶段移动，用金属片数目减1的移动次数都移动到2号针，然后把最大的金属片移动到3号针，再用同样的方法从2号针移动到3号针，从而完成，因此只需根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．设f (n )是把n 个金属片从1号针移到3号针过程中移动金属片的最少次数．n ＝1时，f (1)＝1；n ＝2时，小金属片→2号针，大金属片→3号针，小金属片从2号针→3号针，完成，即f (2)＝3＝22－1；n ＝3时，小金属片→3号针，中金属片→2号针，小金属片从3号针→2号针，即用f (2)种方法把中、小两金属片移到2号针，将大金属片移到3号针，再用f (2)种方法把中、小两金属片从2号针移到3号针，完成，f (3)＝f (2)×2＋1＝3×2＋1＝7＝23－1；同理f (4)＝f (3)×2＋1＝7×2＋1＝15＝24－1，……，以此类推，f (n )＝f (n －1)×2＋1＝2n －1，故答案为31，故选B.2．(2015·青岛模拟)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般结论为________． 解析：观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－1n ＋12n，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n n ＋1×12n .答案：31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝1－1n ＋12n (n ∈N *)3．有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：__________.解析：观察给定的式子左边的分母是从1,2,3，…，直到2n ＋1－1，式子的右边分母为2，分子为n ＋1，故猜想此类不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)．答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)4．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，则m 的值为__________．解析：根据23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，从23起，m 3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m 3的首个数为m 2－m＋1.∵m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，∴m 2－m ＋1＝73，解得m ＝9.故答案为9. 答案：95．椭圆中有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上斜率为1的弦的中点在直线__________上．解析：将椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中的x 2变为x ，y 2变为y ，右边变为0，得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上斜率为1的弦的中点在直线xa 2＋y b2＝0上．类比上述结论，将双曲线的方程作上述变换可知：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2－yb2＝0上．不妨设弦的两个端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 2－y 1x 2－x 1＝1，弦中点设为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，将上述两端点代入双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得x 22－x 21a 2－y 22－y 21b 2＝0，x 2－x 1x 2＋x 1a2－y 2－y 1y 2＋y 1b2＝0，所以x 2－x 1x 2＋x 1a2－x 2－x 1y 2＋y 1b2＝0，化简得x 2＋x 1a 2－y 2＋y 1b 2＝0，2x 0a 2－2y 0b 2＝0，所以x 0a 2－y 0b 2＝0，于是(x 0，y 0)在直线x a 2－yb2＝0上． 答案：x a 2－y b2＝06．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sinα)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。

第五节合情推理与演绎推理2019考纲考题考情1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。

(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。

②特点：是由特殊到特殊的推理。

2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提——已知的一般原理。

②小前提——所研究的特殊情况。

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。

1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。

2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。

3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。

若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。

一、走进教材1．(选修1－2P 35A 组T 4改编)对于任意正整数n,2n 与n 2的大小关系为( ) A ．当n ≥2时，2n ≥n 2B ．当n ≥3时，2n ≥n 2C ．当n ≥4时，2n>n 2D ．当n ≥5时，2n>n 2解析 当n ＝2时，2n＝n 2；当n ＝3时，2n<n 2；当n ＝4时，2n ＝n 2；当n ＝5时，2n >n 2；当n ＝6时，2n>n 2；归纳判断，当n ≥5时，2n >n 2。

故选D 。

答案 D2．(选修1－2P 35A 组T 6改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，且n ∈N *)成立。

2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.5 合情推理与演绎推理课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.5 合情推理与演绎推理课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.5 合情推理与演绎推理课时跟踪检测理的全部内容。

6。

5 合情推理与演绎推理[课时跟踪检测]［基础达标］1．(2017届洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提:无限不循环小数是无理数；小前提:π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提:无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提:π是无限不循环小数;小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提:π是无理数;结论：无限不循环小数是无理数解析：A项中小前提不正确，选项C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理,所以选项A、C、D都不正确，只有B项的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．答案：B2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ）A．设数列{a n｝的前n项和为S n。

由a n＝2n－1,求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：S n＝n2B．由f（x)＝x cos x满足f(－x)＝－f(x）对∀x∈R都成立，推断：f （x）＝x cos x为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的面积S＝πabD．由（1＋1）2〉21，(2＋1）2>22,(3＋1）2〉23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1）2>2n解析:选项A由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{a n｝是等差数列，其前n项和等于S n＝n1＋2n－12＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．答案:A3．已知数列｛a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2,a3，a后，猜想a n的表达式是（）4A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1解析：a1＝1,a2＝4,a3＝9，a4＝16,猜想a n＝n2。