2.4《用向量讨论垂直与平行》课件(北师大版选修2-1)

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北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件(1)

-4-
§4 用向量讨论垂直与平行
一
二
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 3.面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.
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§4 用向量讨论垂直与平行
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
求平面的法向量
要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
(1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
∴��1 =(0,2,1),��=(2,0,0),�� =(0,2,1).
设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE 和平面 B1C1F 的法向量, 则 n1⊥��,n1⊥��,
思路分析:可采用待定系数法,设出法向量,根据它和 α 内不共线两个向量的垂直关系建立方程组进行求解.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴�� =(1,-2,-4),�� =(2,-4,-3).

2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)

课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
→ n· ＝0，（x，y，z）· DM （0，2，1）＝0，则即 → （1，2，0）＝0， n· ＝0，（x，y，z）· DN 令 y＝1 得 x＝－2，z＝－2，∴n＝(－2，1，2)， → → ∴A1P＝n，∴A1P∥n， ∴A1P⊥平面 DMN.
的棱 CC1、BC、CD 的中点，求证：A1P⊥平面 DMN.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
证明
法一如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN，又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
课堂讲练互动
活页限时训练
1 1 → n· ＝0，－2x0－2y0－z0＝0， OD 则得 n·→ ＝0，－1x ＋1y ＝0. OC1 2 0 2 0 令 x0＝1，得 y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1，1，－1)． → 又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， → ∴B1C⊥n，∴B1C∥平面 ODC1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
本题将证明线线平行问题转化为空间向量共线问题，尤其是引进空间坐标系后使得解题思路更加清晰明了．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
【训练 2】在正方体 ABCD- 1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点， A 求证：B1C∥平面 ODC1. 证明 → → 法一 ∵B1C＝A1D，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，

用向量讨论垂直与平行(2)(北师大版选修2-1)PPT课件

例3 :
Z
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
E
A' F (1,1, 2),
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
F
Y
A' F • DB (1,1, 2) • (2, 2,0) 0,X
A' F • DE (1,1, 2) • (0, 2,1) 0 A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
方能减少运算量。本题选用了坐标法。
9
（二）用向量处理垂直问题 Z
例3 :
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图
Y
F
取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴X 建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) 10
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形问题）
2
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ，平面，的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l // m
a
//
b
a b
线面平行面面平行
l // //
a u //
u v
a u

高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1(1)

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12345
1.已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，
k)，若α⊥β，则k等于D( )
A.5
B.4
C.－4
D.－5
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
解析答案
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2.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3,－2,m)，若l1⊥l2，则m等于( D )
解析答案
题型二证明线面垂直问题例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网

高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)课件北师大版选修2_1

重点突破
解析答案
(3)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－12；解 ∵u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－21， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β. (4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；解 ∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)， ∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直. (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3). 解 ∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，
解析答案
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3.若A(1,0,－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 解析 ∵A，B在直线l上， ∴A→B＝(1,1,3)，与A→B共线的向量(2,2,6)可以是直线 l 的一个方向向量.
题型二求平面的法向量例 2 如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且 SA ＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量. 解设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由题意知A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0,－1). ∵n⊥A→B，n⊥B→C，∴nn··BA→→CB＝＝－x－x＋z＝y0＝，0，解得xx＝＝yz.，令 x＝1，则 y＝z＝1. ∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1).

北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件

• 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
• (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线．
• (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共面．
• (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线．
• 如 AB图＝，5，在A直A1＝三4棱，柱点ADB是C－ABA的1B1中C1点中．，AC＝3，BC＝4， • (1)求证：AC⊥BC1； • (2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又 CC1⊥平面 ABC，
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
• [分析] 用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C， D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴n＝(－1,1,1)，
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量，

用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1精品课件

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PA(1,0,1), DE (0, 1 , 1)
Z DB=(1,1， 0)
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设平面EDB的法向量为 n(x,y,1) P
则 n D E , n D B
于是12y120n1, 1, 1
E
xy0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P A n 0 P A n 而 PA平面 ED B A 所以 P， A //平E 面DB
X
D
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即 P A 2 D E D B
于是 P A 、 D E 、 D B 共面
而 PA平面 ED B
D
所以 P， A //平E 面DB A
X
C Y
B
例4 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1为单位
正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
A1
则Ｄ１Ｆ D A 0 ，Ｄ１Ｆ D E 0
C1 B1
E
则Ｄ１Ｆ D A ，Ｄ１Ｆ D E ． D F
C y
所以 D 1F平面 ADE
A x
包法括向线量在为面n 内，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
2、垂直关系：
（二）、垂直关系：
(1) lma b ab0

高中数学选修2-1北师大版用向量讨论垂直与平行课件(40张)

③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可
利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问题．
(4)用向量法证明线段垂直
证明两直线的方向向量垂直． (5)用向量法证明线面垂直
设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量．
①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，
对于证 CO2⊥AD ，因为 CO2 是 BC的射影，所以只需证 BC⊥AD. 而
在平面BCD中，AD是平面BCD的斜线，DO1是AD的射影，所以只要证 BC⊥DO1即可，而这是显然成立的．
[证明] 连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交． ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD， ∴DO1是AD在平面BCD内的射影， ∴BC⊥AD(三垂线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD， ∴CO2是BC在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)．同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．
§4 用向量讨论垂直与平行
重点：用向量方法证明垂直与平行．难点：正确建系，准确表示相关向量的坐标.
一、直线、平面间的平行、垂直
设空间中两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，平面α 的法向
量为n，则：平行 l1与l2 l1与α ________ ________ 垂直 ________ ________
c，只需证明a⊥b，a⊥c.
(6)用向量法证明面面垂直 ①转化为证线面垂直．
②证两平练] 2．直线 l1 的方向向量为 v1＝(1,0，－1)，直线 l2 的方向向量为 v2＝ (－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是( A．平行 B．相交 ) C．垂直 D．不能确定

2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)

2．用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
题型一求空间平面的法向量【例 1】正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量．
2 2
名师点睛 1．求平面法向量的步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，1，1)， b c b＝(a2，b2，c2)；
(2)根据法向量的定义建立关于 x、y、z
同理设平面 EGF 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， → n2·EF＝0 y2＋z2＝0，由 ⇔ → n ·EG＝0 x2＋y2＋z2＝0， 2 令 y2＝1 可得：x2＝0，z2＝－1， ∴n2＝(0，1，－1)， ∴n1＝n2⇒n1∥n2， ∴平面 EGF∥平面 ABD. 方法点评利用等价转化思想将立体几何问题转化为空间向量的坐标运算，大大降低了思维的难度，同学们只要运算仔细就可以了，这种思想的运用必须掌握好．
证明
法一如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN，又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.

2.4《用向量讨论垂直与平行》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1

的一个法向量．
解
∵A(1，2，3)、B(2，0，－1)、C(3，－2，0)，
→
→
∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)，
→
→
依题意，得 n·AB＝0 且 n·AC＝0，即
x－2y－4z＝0，

令
2x－4y－3z＝0，
y＝1，则 x＝2，z＝0.
∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．
m (
A． 1
)
B．1
C． 2
D．2
由题可知， a b ，则 a b 2 m 0 ，即 m 2 .故选：C
02 新知讲授
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求
解，一般步骤如下：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
注意
在利用以上步骤求解的过程中，方程组 a＝(a1，b有无数组解，利用赋值法
江西省中小学2020年秋季学期线上课程——北师大版高中数学选修2-1
§4 用向量讨论垂直与平行
02 新知讲授
m
l

a

b

l // m a // b a b
02 新知讲授

a

u
l

l // a u a u 0
02 新知讲授

u

v

a

→

n·AD＝0 ay＋2z＝0，
由
⇔
(6 分)
3
a
→

n·AE＝0 2 ax＋2y＋az＝0.

高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1

解析答案
题型二证明线面垂直问题例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)，＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ，平
直线m的方向向量为的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的法向量为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ，则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ，则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
12345
4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
12345
5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β，则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.

2018-2019学年北师大版选修2-1---第二章4用向量讨论垂直与平行--课件(52张)

④根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组 n·a＝0，
n·b＝0； ⑤ 解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
1．(1)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2，1，0)，B(0， 2，3)，C(1，1，3)，求出平面 ABC 的一个法向量． (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：D→B1是平面 ACD1 的一个法向量．
(2)以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、 PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令 PA＝PB＝ PC＝3，则 A(3，0，0)，B(0，3，0)，
C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)， G(1， 1， 0)，P(0， 0， 0)，所以E→F ＝ (0，－ 1，－ 1)， E→G＝ (1，－ 1，－ 1)．设平面 EFG 的法向量是 n＝(x，y，z)，则有 n⊥E→F，n⊥E→G.
向量法证垂直关系
[方法归纳 ]
(1)证线线垂直，一般证两直线方向向量垂直即可 (即证数量积
为零 )． (2)证线面垂直，常用两种方法：一是证直线的方向向量与平
面内两相交直线的方向向量数量积均为零；二是证直线的方向
向量与平面的法向量平行．
(3)证面面垂直，只需证明两平面的法向量垂直即可．
2.(1)已知在空间四边形 OACB 中， OB＝ OC， AB＝ AC，求证： OA⊥ BC. (2)在正三棱锥 (底面是正三角形且侧棱相等)P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BE∶EC ＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面 GEF⊥平面 PBC. (3)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1 的中点．求证：EF⊥平面 B1AC.

高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一课件北师大版选修2_1

利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？答案可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.

高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修2_1

学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
1．空间中平行关系的向量表示
线线设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，平行 c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_a_∥__b__
线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u ＝ (a2 ， b2 ， c2) ，则 l∥α⇔_a_⊥__u__.
数学选修2-1
第二章空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．空间垂直关系的向量表示
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1， a2，a3)，直线m 的方向向量为b ＝(b1，b2， b则3)l，⊥m⇔_a_⊥__b_
设直线l的方向向量是a＝(a1， b1，c1)，平面α 的法向量是u＝ (a2，b2，c2)，则l⊥α⇔_a_∥__u_
若平面α的法向量u＝(a1，b1， c1)，平面β的法向量v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔_u_⊥__v__
数学选修2-1
第二章空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
[强化拓展]
(1)用向量法证明线线垂直：证明两条直线的方向向量垂直． (2)用向量法证明线面垂直：设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量． ①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c. (3)用向量法证明面面垂直： ①转化证线面垂直． ②证两平面的法向量垂直．
②符号语言：
aα

bα a⊥b

⇒a⊥c

高中数学北师大版选修2-1 2.4用向量讨论垂直与平行课件(48张)

-8-
【做一做 2】已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一个法向量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得 �� = (−1,1,0), �� = (1,0, −1). ��· �� = -�� + �� = 0,
∵n⊥ �� , 且n⊥�� , ∴
��· �� = ��-�� = 0. ∴平面 ABC 的一个法向量 n=(1,1,1).
令x=1,得 y=z=1.
-9-
3.垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直. (2)面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. (3)三垂线定理若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投影,则这两条直线垂直.
-13-
2�� , 3
【做一做3-2】如图,已知矩形ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 .
-14-
解析 :建立如图所示的空间直角坐标系,设 |�� | = ��, 则A(0,0,0),Q(1,b,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0),
-10-
(4)面面垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 说明:用空间向量解决空间线面关系的步骤: ①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; ②通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题; ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

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又∵BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,且BP⊥BC,由BP⊥AB知
BP·AB=(x-1,y,-3)·(1,5,-2) =x-1+5y+6 =x+5y+5=0 ①
答案：
三、解答题（每题8分，共16分）
7.已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的
中点,AD=AA1=a,AB=2a,求证:MN∥平面ADD1A1. 【解题提示】证明MN⊥平面ADD1A1的法向量即可. 【证明】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
3 3
)
(A)EF至多与A1D,AC之一垂直
(B)EF是A1D,AC的公垂线 (C)EF与BD1相交 (D)EF与BD1异面
【解题提示】建立空间直角坐标系分析各直线的方向向量之间的关系. 【解析】选B.建立如图空间直角坐标系.
4.设平面α 的法向量为(1,2,-2),平面β 的法向量为(-2,4,k),若α ∥β ,则k=( (A)2 (C)4 (B)-4 (D)-2 )
1 a,2a,0).因 2 3 a 为M,N分别为AE,CD1的中点,所以M( a,a,0),N(0,a, ),所以 4 2 a 3 MN=(- a,0, ),取向量 n =(0,1,0),显然 n ⊥平面ADD1A1,又 2 4 MN· n =0,所以MN⊥ n .又因为MN 平面ADD1A1,所以MN∥平面
a 2
-z=nc
1 2
z∈R,n∈R.
∴点P(0, b,z).∴点P在CD的中垂线上.
学习目标达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.(2010·南充高二检测）直线 x + y =1 的一个方向向量是
a b
（
）
(A)(a,b)
(C)(b,-a)
(B)(a,-b)
=(a-1,-2,b+4)，
∵A,B,C共线,∴AB∥AC,则答案：3 2
a-1 -2 b+4 ,解得a=3,b=2. = = 1 -1 3
6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC，BP=(x-1,y,-3), 且BP⊥平面ABC,则BP=______. 【解析】∵AB⊥BC,∴AB·BC=0, 即(1,5,-2)·(3,1,z)=3+5-2z=0,则z=4, ∴BC=(3,1,4),
(D)(-a,-b)
b x y 【解析】选B.直线 + =1 可化为y=- x+b, a a b b ∴斜率k=. a
【解析】选C.①正确;②不正确, n1∥ n 2 ;③正确,n ⊥ a ;④正确.
3.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上, 且A1E= 2 A1D,AF= 1 AC,则(
【解析】选C.∵α∥β,∴法向量互相平行,
∴ -2 = -4 = k ,
∴k=4.
1 2 -2
二、填空题（每题4分，共8分） 5.如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一直线上,
那么a=_______,b=________.
【解题提示】由向量共线列式求解. 【解析】AB=(2,4,1)-(1,5,-2) =(1,-1,3)， AC=(a,3,b+2)-(1,5,-2)
【解析】(1)以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角
坐标系,设正方体的棱长为a, (1)A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0) A1(a,0,a),C1(0,a,a) 设E(0,a,e),则A1E=(-a,a,e-a),
BD=(-a,-a,0),
A1E·BD=(-a)·(-a)+a·(-a)+(e-a)·0=0, ∴A1E⊥BD,即A1E⊥BD.
a ,b,0),P(0,y,z). 2
∴DB=(a,b,0),DD1=(0,0,c),PM=( ,b-y,-z). ∵PM∥平面BDD1B1,根据空间向量基本定理,必存在实数对 (m,n),使得PM=mDB+nDD1, 即( ∴
a ,b-y,-z)=m(a,b,0)+n(0,0,c), 2 1 a =ma m= 2 2 b-y=mb, 得 y= 1 b 2
则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E(
ADD1A1.
8.(2010·新余高二检测)已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱 CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
【解题提示】找直线的方向向量和平面的法向量.
9.(10分)已知M为长方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD—A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=b,AD=a,AA1=c,可得如下各点的坐标:
D(0,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),M(

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