湖南省大联考2013雅礼中学高三2次月考数学(文科)试卷

英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（六）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A. ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14B. 12C. 6D. 34. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96为5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ） A. 28-B. 28C. 84-D. 846. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.12258. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ） A. ac bc > B. log 1b a >C.114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +>10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴的距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA =，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于911. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C.若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________． 14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.的的15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<. ①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值； ②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q.的①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线； ②求DEQ 面积的最大值. 19 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f xg f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e axf x x b =-.①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围； ②若1a b ==，且定义()()34e 3xI x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ..【答案】B 【解析】【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.【详解】在y =20x -≥得2x ≥，即[)2,A ∞=+，又由04xx ≤-可得：(4)040x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得：04x ≤<，即[)0,4B =， 故[)2,4A B ⋂=. 故选:B. 2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 为纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】结合虚数单位的性质以及复数的除法运算，化简z ，根据z 为纯虚数求出a 的值，即可求得答案. 【详解】由题意得20231i 1i (1i)(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a z ++++====+--+(1)(1)i2a a -++， 因为z 为纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，故1a =，所以i z =，故1z =， 故选：B ．3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14 B. 12C. 6D. 3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==. 故选：D .4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96【答案】C 【解析】【分析】根据表中的数据求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出ˆa，从而得到回归直线方程，再将30x =代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】由题意可知，21232527244x +++==，151********y +++==，将()24,18代入ˆˆ0.8yx a =+，即ˆ180.824a =⨯+，解得ˆ 1.2a =-， 所以ˆ0.8 1.2yx =-， 当30x =时，ˆ0.830 1.222.8y=⨯-=， 所以该数据的残差为23.622.80.8-=. 故选：C. 5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ）A. 28-B. 28C. 84-D. 84【答案】A 【解析】【分析】求出8()x y +展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中26x y 的系数. 【详解】8()x y +展开式的通项为88C r rr x y -，则81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 项为6265352688C C 28y x y x y x y x-=-， 即26x y 的系数为28-. 故选：A.6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg【答案】D 【解析】【分析】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，利用台体的体积公式计算出棱台1111ABCD A B C D -与棱台11112222A B C D A B C D -的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量. 【详解】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，如下图所示：易知四边形11AA B B 为等腰梯形，因为线段1AA 、1BB 的中点分别为2A 、2B ， 则112242322AB A B A B ++===， 设棱台11112222A B C D A B C D -的高为h ，体积为1V ， 则棱台1111ABCD A B C D -的高为2h ，设其体积为V ，则()221119232333V h h =++⨯=，则()221564224233V h h =++⨯⋅=， 所以，152********h V h V ==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为5638112kg 19⨯=.故选：D.7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.1225【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解【详解】记“选派4人中至少有2名男老师”为事件A ，“选派4人中有2名女老师”为事件B ，则()223133334645C C C C P A C +==，()22334635C C P B C ==， 显然()()35P AB P B ==，所以()()()()()3|4P AB P B P B A P A P A === 故选：B.8. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】.【分析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)x f x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.【详解】令()()xf xg x e =()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'=== ，即()2g x x c =+，(c 为常数) 则()(2)x f x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)x f x x e =-()(21)x f x x e '=+1()02f x x '>⇒>- ，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩ 解得：25332a e e≤< 故选C【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ）A. ac bc >B. log 1b a >C. 114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +> 【答案】BCD【解析】【分析】举例说明判断A ；利用对数函数单调性判断B ；利用不等式性质判断C ；利用基本不等式判断D.【详解】对于A ，当0c =时，0ac bc ==，A 错误；对于B ，由1a b >>，得log log 1b b a b >=，B 正确；对于C ，由1a b >>，得1101a b<<<，则1124a b +<≤，C 正确； 对于D ，由1a b >>，4a b +=，得222a b >>，228a b +>==，D 正确.故选：BCD10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA = ，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于9【答案】BCD【解析】【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A ，设直线l 方程为1x ty =+并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去t 可得轨迹判断B ，结合向量的坐标运算求出点,A B 的坐标，的然后利用两点式斜率公式求解判断C ，由题可得111AF BF+=，然后根据基本不等式求解判断D. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，设()()1122,,,A x y B x y ，对于A ，依题意，1228=++==+x A x B AF BF ，解得126x x +=，线段AB 中点的横坐标1232x x +=，该点到y 轴的距离为1232x x +=，A 错误； 对于B ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l ：1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，()2Δ4160t =-+>， 则124y y t +=，124y y =-，()21212242x x t y y t +=++=+， 设线段AB 中点坐标为(),M x y ，则2121221222x x x t y y y t +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，消去t 可得222y x =-，因此弦AB 中点轨迹为抛物线，B 正确；对于C ，显然2211),)(1,(1,BF x y FA x y =--=- ，由3BF FA = ，得()21131x x -=-，213y y -=，由选项B 知124y y =-，有()21212144y y x x ==⨯，又10y <，则1(,3A，(3,B ， 因此直线AB的斜率1212y y k x x -===-C 正确； 对于D ，由选项B 知124y y =-，121=x x ， 则12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++，因此4114(4)()559BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF +=++=++≥+， 当且仅当4AF BFBF AF =，即23BF AF ==时取得等号，D 正确. 故选：BCD的11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅ 为定值2C. 若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD【解析】 【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2E a a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =， 因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ， 因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ， 故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅== ，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==， 化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ， 即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π4=，C 正确； D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+ ， 即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B ，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2E a a -，AE EQ +===， 如图所示，设11,22KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ， 在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=， 显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为= D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==- .若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.【答案】12-##0.5- 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算即可.【详解】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ()//2a b - ， 所以()()423210m m ++-=，解得12m =-. 故答案为：12-. 13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________．【解析】 【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得sin α，再由同角关系式求得cos α，tan α． 【详解】因为cos tan 22sin ααα=-， 所以2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα===--， 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以cos 0α≠， 所以22sin 112sin 2sin ααα=--， 解得1sin 4α=，所以cos α==，所以sin tan cos ααα==14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．【解析】【分析】由条件求tan ABF ∠，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得,a c 的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.【详解】解：如图，根据题意(),0F c ，2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴212BF b k k ac ==，2212BA b k k k ac===， 设直线,BA BF 的倾斜角为αβ，，∴()1121112tan tan 1tan tan 11tan tan 122k k ABF k k k αβαβαβ--∠=-===≤-++，当且仅当212b k ac ==即2b =，22c a -=，210e -=，又1e >∴e =四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．【答案】（1）2π3 （2）π6【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）根据平面向量基本定理可得2133BD BC BA =+ ，再根据BD BA ⊥数量积为0求解得c a =即可. 【小问1详解】由正弦定理得：sin cos sin sin A C B C B =． ∵()πA B C =-+，∴()sin sin A B C =+，∴()sin sin cos cos sin cos sin sin B C B C B C C B C B +=+=∴cos sin sin B C C B =， 又sin 0C ≠，∴tan B =，又B 为三角形内角，∴2π3B =． 【小问2详解】 因为D 在AC 边上，且2AD DC =，所以2133BD BC BA =+ ． 因为BD BA ⊥，所以120033BD BA BA BC BA ⎛⎫⋅=⇒+⋅= ⎪⎝⎭220BA BC BA ⇒+⋅= ， 所以2c ac c a =⇒=．在ABC 中，c a =，2π3B =，∴π6C =．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接,SO BO ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO BO O ⋂=，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，所以AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥， ∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(2,0,0),(0,(2,0,0),(0,0,A B C S M N -，∴(30),(10CM MN ==-,， 设(),,n x y z = 为平面CMN的一个法向量，则30=0CM n x MN n x ⎧⋅==⎪⎨⋅-=⎪⎩ ， 取1z =，则==x yn =- ，又(0,0,OS =为平面MBC 的一个法向量，1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴===，sin ,n OS ∴= ， 故二面角N CM B --. 17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<.①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值；②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，【答案】（1）4766（2）①034p =；②分布列见解析，()1323512E X =【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题可得()()331f p p p =-，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，期望. 【小问1详解】比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是111111344535212C C C C C C 47C 66p ++==； 【小问2详解】①由题可知()()()2333C 131f p p p p p =-=-， ()()()()2323311334f p p p p p p '⎡⎤=-+⨯-=-⎣⎦， 令()0f p '=，得34p =， 当30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当3,14p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()f p 的最大值点034p =； ②X 的可能取值为0,1,2,3，()()()333311333331301C 11C 1444256P X p p p ⎛⎫⎛⎫==-+-=-+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()2332224433271C 1C 144512P X p p ⎛⎫⎛⎫==-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()222242243332812C 1C 144451P p X p p ⎛⎫⎛⎫ ⨯==-=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()3232223333331893C 1C 14444256P X p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3P 13256 27512 81512 189256X 的期望为()13278118913230123256512512256512E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q .①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线；②求DEQ 面积的最大值.【答案】（1）(22162x y x +=≠ （2）①证明见解析，3x =【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）①求出直线DN 与EM 方程，得到Q 点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值 【小问1详解】 因为P 为ABC的重心，且边,AC AB上的两条中线长度之和为所以23PB PC BC +=⨯=>， 故由椭圆的定义可知P 的轨迹Γ是以()()2,0,2,0B C -为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且2a c ==，所以b =，所以P 的轨迹Γ的方程为(22162x y x +=≠. 【小问2详解】.①依题意，设直线DE 方程为()20x my m =+≠. 联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my ++-=， 易知()()222Δ16832410m m m =++=+>设()11,D x y ，()22,E x y ，则12243m y y m +=-+，12223y y m ⋅=-+. 因为DM x ⊥轴，EN x ⊥轴，所以()1,0M x ，()2,0N x .所以直线DN ：()1212y y x x x x =--， 直线EM ：()2121y y x x x x =--， 联立解得()()122112211212121222223Q my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++. 从而点Q 在定直线3x =上. ②因为1212121113222DEQ Q S EN x x y x y my y =⋅-=⋅-=- ， 又121212my y y y =+，则1211211224DEQ y y S y y y +=-=-==， 1t =>，则2122DEQ t S t t t==≤++ ，当且仅当2t t=，即1m =±时，等号成立， 故DEQ.19. 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f x g f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e a xf x x b =-. ①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围；②若1a b ==，且定义()()34e 3x I x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）既不充分也不必要条件；证明见解析（3）452[e ,)3-+∞ 【解析】【分析】（1）由()tan f x x =和()ln f x x =，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由q 成立，得到()ln xf x ka a '=，设()lng x x a =，得出()f x 为“单向导函数”，再设()ln xh x a=，得到()f x 为“双向导函数”，结合()g x 不是常值函数，求得p 不是q 的必要条件；再由p 成立，得到()(())f x g f x m '==，进而得出结论；（3）①由题意得到10a ax -=，求得0a =；②由题意求得()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=，令()22(21)e 4x p x x kx k =--+，求得()24(e 2)x p x x k '=-，得到存在0x 使得02e 20x k -=，进而得到()p x 单调性，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：对于函数()tan f x x =，则()21tan '=+f x x ， 这两个函数的定义域都是π{|π,Z}2x x k k ≠+∈， 所以函数()f x 为“同定义域函数”，此时，()21g x x =+， 由函数的定义，对于4πx =±，()(())f x h f x '=无法同时成立， 所以()f x 为“单向导函数”，其“自导函数”为()21g x x =+，对于函数()ln f x x =，则()1f x x'=， 因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.【小问2详解】解：若q 成立，()x f x ka =，则()ln x f x ka a '=，设()ln g x x a =，则()(())f x g f x '=，所以()f x 为“单向导函数”，又设()ln x h x a=，则()(())f x h f x '=，所以()f x 为“双向导函数”， 但()g x 不是常值函数，所以p 不是q 的必要条件；若p 成立，则()g x m =，所以()(())f x g f x m '==，所以()f x mx n =+，所以q 不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.【小问3详解】解：①由题意，()1()e a a x f x ax x b -'=+-，且1()e ()e a a x a x ax x b x b -+-=-，所以10a ax -=，所以0a =；②由题意()234(1)e 3xI x x kx kx =--+，所以()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=， 令()[][]22(21)e 4,0,,1,2x p x x kx k x k k =--+∈∈，可得()21e 30p k =->，且()224e 84(e 2)x xp x x kx x k '=-=-， 因为2e 2x y k =-为单调递增函数，且20|120,|e 20k x x k y k y k ===-<=->， 所以存在01ln 2(0,)2x k k =∈使得02e 20x k -=， 且当0[0,]x x ∈时，()0p x '≤，()p x 单调递减；当0[,]x x k ∈时，()0p x '≥，()p x 单调递增，（i ）当011ln 222x k ==时，即e 2k =， 所以2min 0000()()(21)24(21)0p x p x x k kx k k x ==-⋅-+=--=，此时()0I x '≥，()I x 在[0,]x k ∈上单调递增，可得()()max I x I k =；（ii ）当1k =时，(0)110p =-+=，此时()200min 1ln 2,(21)02x p x k x ==--<， 所以当1[0,]2x ∈时，()0I x '≤，()I x 单调递减； 当1[,1]2x ∈时，()0I x '≥，()I x 单调递增，又由()()()10I k I I =>，所以()()max I x I k =；（iii ）当(1,2]k ∈且e 2k ≠时，()20min (21)0,(0)0p x k x p =--<>， 所以函数()I x 在(0,1)上存在两个极值点， 若011ln 222x k =>，即e 22k <≤时，极大值点为12； 若011ln 222x k =<，即e 12k <<时，极大值点为11x 2<， 则()max I x 为函数的极大值或()I k ， 由当102x ≤≤时，()()23242414(1)e 10,(1)e 323x k I x x kx kx k I k k k k =--+≤-+≤=--+， 令()[]2424(1)e ,1,23k t k k k k k =--+∈，则()[]2316(21)e 2,1,23k t k k k k k '=--+∈，设()[]2316(21)e 2,1,23k s k k k k k =--+∈， 则()2224e 1624(e 4)20k k s k k k k k '=-+=-+>， 所以()s k ，即()t k '单调递增，所以()()2161e 203t k t ''≥=-+>， 所以()t k 单调递增，所以()()4522e 03t k t ≤=->， 综上可得，()4max 52e 3I x c =-≤，所以实数c 的取值范围为452[e ,)3-+∞. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

炎德·英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（八）数学注意事顶：1．答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义差集{}M N x x M x N -=∈∉且，已知集合{}{}2,3,5,3,5,8A B ==，则()A A B -= （ ）A ．∅B ．{}2C ．{}8D ．{}3,52．已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数为2，方差为12，则另一组数据1234532,32,32,32,32x x x x x -----的平均数、标准差分别为（ ）A ．12,2B ．2,1C ．D ．94,23．设复数z 满足i 2,z z +=(),P x y ，则（ ）A ．()2214x y -+=B ．()2212x y ++=C ．()2212x y +-=D ．()2214x y ++=4．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，()2214a b AD BC ⋅=- ，我们称为极化恒等式、已知在ABC △中，M 是BC 中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=（ ）A ．16-B ．16C ．8-D ．85．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale ）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小，某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔攻瑰图（如图所示）、根据此图，以下说法错误的是（）A ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量在2018年最多C ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D ．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍6．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕπ=+<<的图像关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．直线76x π=是函数()f x 图象的对称轴B ．()f x 在区间11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有两个极值点C ．()f x 在区间50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()f x 的图象可由cos2y x =向左平移6π个单位长度得到7．已知点O 为坐标原点，椭圆22195x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，设线段1PF 的中点为M ，且2OF OM =，则12PF F △的面积为（ ）A B C ．D ．8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD 为矩形，,24,EF AB AB EF ADE ==∥△与BCF △都是边长为2的等边三角形，若点,,,,,A B C D E F 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．22πB ．11πC ．112πD ．114π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

湖南高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设复数，，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.设集合．则右图中阴影部分表示的集合为（）]A．B．C．D．3.以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若,则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．若为假命题，则均为假命题D．对于命题使得，则，均有4.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A．B．C．D．5.已知变量具有线性相关关系，测得一组数据如下：，，，,，若它们的回归直线方程为，则在这些样本点中任取一点，它在回归直线下方的概率为（）A．B．C．D．6.右图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．7.设是内部一点，且的面积之比为（）A．B．C．D．8.定义一种运算=. 将函数= 的图象向左平移()个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（）.A．B．C．D．二、填空题1.函数由下表定义：若则。

2.某种化学反应需要一种催化剂加速反应，但这种催化剂用多了对生成物有影响（影响它的纯度）。

若这种催化剂加入量在到之间，则第二次加入的催化剂的量为。

3.、在极坐标系中，点的坐标分别为，则＝。

4.某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: ), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为。

(制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）5.已知函数的导数处取到极大值，则的取值范围是。

6.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是。

7.喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊围坐在正三角形的三个顶点上，依序循环报数次。

湖南雅礼中学2013届高三9月月考数学（理）试题（考试范围：必修一、二、三、四、五；另加导数和空间向量）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟．满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|320},{|(1)(3)0}A x R x B x R x x =∈+>=∈+->，则A B =（ ）A ．(,1)-∞-B ．2(1,)3--C ．2(,3)3-D ．(3,)+∞ 2．已知平面,αβ，若直线l α⊥，则α∥β是l β⊥的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知平面向量(1,3),(4,2),a b a b λ=-=-+与a 垂直，则λ （ ）A ．－1B ．1C ．－2D ． 24．圆22:8C x y +=上有两个相异的点到直线y=x －5的距离都为d ．则d 的取值范围是 （ ）A ．19(,)22B ．19[,]22C ．(22D ．225．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA l ⊥面 A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为 一个等边三角形，该三 棱柱的侧视图面积为（ ）A ． BC ．D ．46．下列命题中正确的是 （ ）A ．001,sin 12o x R x x ∃∈+>使得B ．设()sin(2),2f x x π=+则(,),36x ππ∀∈-必有()(0.1)f x f x <+C ．设()cos(),2f x x π=+则函数()6y f x π=+是奇函数 D ．设(2)2sin 2f x x =，则()2sin(2)33f x x ππ+=+7．设函数()()f x x R ∈满足()(),()(2)f x f x f x f x -==-，且当x ∈[o ，1]时，3()f x x =又函数 ()|c o s ()g x x x π=，则函数()()()h x g x f x =-[13.22-]上的零点个数为 （ ）A ．5B ． 6C ．7D ． 88．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}=m 。

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |log 2x >1}，B ={x |0<x <4}，则A ∩B =( )A. {x |2<x <4}B. {x |2⩽x <4}C. {x |0<x⩽2}D. {x |x⩽2}2.已知复数z 满足(1―i )z =2i ，且z +ai (a ∈R )为实数，则a =( )A. 1B. 2C. ―1D. ―23.设向量a =(1,0)，b =(12,12)，则下列结论中正确的是( )A. |a |=|b | B. a ⋅b = 22 C. a ―b 与b 垂直 D. a //b4.已知a 是函数f (x )=2x ―log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A. f (x 0)=0B. f (x 0)>0C. f (x 0)<0D. f (x 0)的符号不确定5.若sinx +cosx =13，x ∈(0,π)，则sinx ―cosx 的值为( )A. ± 173 B. ― 173 C. 13 D. 1736.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A. 8B. 24C. 48D. 1207.函数y =f (x )的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f (1―12x )B. y =―f (1―12x )C. y =f (4―2x )D. y =―f (4―2x )8.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF ，四边形ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，△ADE 和△BCF 是全等的等腰三角形.若AB =25m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为145.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m二、多选题：本题共3小题，共18分。

雅礼中学2010届高三第二次月考数学文科数学考试范围：函数与导数、三角、向量、不等式。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知(,0)2x π∈-且cos x =，则 =-)2cos(x π （ A ） (A)21- (B)21 (C)23- (D) 23 2．已知关于x 的不等式0<-+bx a x 的解集为)3,1(,若0<+b a ,则实数a ，b 的取值是（ C ） (A). 1,3 (B). 3,1 (C).1,3- (D). 1,3-3．下列四个函数中，既是(0,)2π上的增函数，又是以π为周期的偶函数是 （ D ）A 、y =c os2xB 、y =|sin2x |C 、y =|c os x |D 、y =|sin x |4．函数23)(23+-=x x x f 在]1,1[-上的最大值是 （ D ）A.0B.4C.2-D.2 5．已知,3,2,==⊥b a b a 且b a 23+与b a -λ垂直，则实数λ的值为 （ D ） A. ;23±B. 1C. ;23- D. ;23 6．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ A ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞7．已知直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于),0(),0,(b B a A 两点，且满足112=+ba ，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最小值为 （ A ）A 4B 24C 2D 228．设{}{}R y x y x y x M R y x y x y x U ∈≤+=∈≤+=,,1),(,,,1),(22，现有一质点随机落入区域U 中，则质点落入M 中的概率是 （ D ） (A)π2 (B) π21 (C) π1 (D) π2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9．函数2)1lg(2--=x x y10．曲线x e x f =)(在点),2(2e 11．设函数2 0()() 0.x xf xg x x ⎧<=⎨>⎩，，，若()f x 是奇函数，则(2)g 12．设函数a x x x f -+-=34)(2有三个零点，则实数a 的值是13．对于集合},,,{21n a a a 和常数0a ，定义集合},,,{21n a a a 相对0a 的“正弦方差W ”：n a a a a a a W n )(sin )(sin )(sin 02022012-++-+-= ．则集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3,0ππ相对0a 的“正弦方差” 14．函数23cos 32sin 212+-=x x y,15．设)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则（i ）3()2f （ii ）设S 为()0f x =在区间[]0,20内的所有根之和，则S 的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos()cos(2)2f x x x ππ=--. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）∵()2cos()cos(2)2f x x x ππ=--2sin cos sin 2x x x ==， …………4分∴函数()f x 的最小正周期为π. ………6分 （Ⅱ）由21226x x ππππ-≤≤⇒-≤≤， ……………………8分∴1sin 212x -≤≤， …………………….10分 ∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为12- . ………12分 17．（本题满分12分）已知向量)2,1(),cos ,(sin -==A A ,且.0=∙(Ⅰ)求A tan 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域. 解：（Ⅰ）由题意得=∙sin A -2cos A =0, …………………………………..2分因为cos A ≠0,所以tan A =2.阶段 ………………………………….4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+……………..8分 因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =时，f (x )有最大值32， 当sin x =-1时，f (x )有最小值-3， …………………………………11分 所以所求函数f (x )的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为()1,3.（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f .3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=① ……………………2分由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，…………….4分 即.511.01452-===--a a a a 或解得 由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式.535651)(2---=x x x f ………6分 （Ⅱ）由a a a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得 ………………………………10分 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ …12分19.（本小题满分13分）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足)2()2(x f x f -=+。

函数、不等式与导数本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（理）已知x e x x x f +=ln )(，则下列关系正确的是（ ）A ．x x f e 1)(+='B ．e 1)1(+='fC ．)2()1(f f > D ．)2()1(f f '>'（文）已知)3()(2-=x x x f ，则下列关系式正确的是（ ）A ．x x f 2)(='B ．3)0(-='fC ．)1()1(f f <- D ．)1()1(f f '>-'2．若c x x x f +-=22)(（c 是任意常数），则下列各点在)(x f y '=的反函数的图象上的是（ ） A ．（1，1） B ．（3，1） C ．（1，3） D ．（2，2） 3．已知函数x x x f 24)(3-=，且)()1(a f f '>'成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，1）B ．（1，+∞）C ．（-∞，-1）∪（1，+∞）D ．（-1，1）4．（理）已知函数12sin )(+--=b ax x x f 是定义在R 上的奇函数且在6π=x 时取得极值，则a+b 的值为（ ） A ．21 B ．43C ．1D ．2 （文）已知函数1)(3-+-=b ax x x f 是定义在R 上的奇函数且在33=x 时取得极值，则a+b 的值为（ ） A ．21 B ．43C ．1D ．2 5．已知函数xx x f 22)(+=，设函数|)(|x f y -=的最大值为m ，函数|)(|x f y =的最小值为n ，则m -n 的值为（ ）A ．8B ．-8C ．4D ．-46（理）已知定义在R 上的偶函数f (x )在（0，+∞）上的解析式为x x x f -=ln )(，则在下列区间中使f (x )递减的区间是（ ） A ．(]1,0••• B ．[)0,1•••- C ．(]1,-∞-••• D ．]1,1[•••- （文）已知定义在R 上的偶函数f (x )在[)∞+•••,0上的解析式为x x x f -=331)(，则在下列区间中使f (x )递增的区间是（ ）A ．[0，1]B ．[-1，0]C ．(]1,-∞-•••D ．[-1，1]7．已知曲线ax x y2414-=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21•••是的切线的倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛ππ43,2•••，则实数a 的最小值是（ ）A ．8B ．12C ．14D ．15 8．已知函数25)(+-=x ax x f ，若)32(-=x f y 的反函数为)(x g y =，且g (2)=1，则实数a 的值为（ ）A ．-7B ．7C ．3D ．89．如果圆柱轴截面的周长为定值4，则圆柱体积的最大值为（ ） A ．278π B ．2716π C ．98π D ．916π10．设f (x )的定义域为（0，+∞），且满足条件①对于任意的x >0都有0)(>'x f ；②f (2)=1；③对于定义域任意的x ，y 有)()()(y f x f xy f +=，则不等式2)3()(≤-+x f x f 的解集是（ ）A ．[-1，4]B ．[-1，3]C ．(]4,3•••D ．[3，6]11．设正实数a ，b 满足等式2a +b =1，且有214222-≤--t b a ab 恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-22,•••B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+•••,22 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22••• D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+•••,2112．（理）设函数65222)(,)(+++-==x x bx x ax ••g •ax f （a >0，a ≠1），若g (x )<1与f (x )<g (x )对于任意实数x 恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b >12B ．b <12C ．b ≤15D ．b >15 （文）设函数6522221)(,21)(+++-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x bx x x ••g •x f ，若f (x )<g (x )对于任意实数x恒成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b >12B ．b <12C ．b ≤15D ．b >15第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填在题中的横线上. 13．曲线14223-+-=x x xy 在x =1处切线的倾斜角为 .14．（理）如果关于x 的不等式1)lg()2lg(<+x a ax 的解集总包含区间(]2,1•••，求实数a 的取值范围是 .（文）若直角三角形的周长为2，则其面积的最大值为 . 15．若关于x 的方程08464|0082||0082|=-⨯-+-+-m ••x ••x 有实数根，则实数m 的取值范围是 .16．（理）设f (x )是定义在R 上的奇函数，在（-∞，0）上有0)2()2(2<+'x f x f x 且0)2(=-f ，则不等式0)2(<x xf 的解集为 .（文）设f (x )是定义在R 上的奇函数，在（-∞，0）上有0)(<'x f x 且f (-2)=0，则不等式0)(<x xf 的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 已知bx ax x x f --=23)(在x =2时取得极值2，请写出f (x )的单调区间.18．（本小题满分12分） （理）已知函数x x x f x 2sin 2e 2)(2++=. （文）已知函数.82)(23x ••x x x f ++=（1）试判断函数f (x )的单调性并说明理由；（2）若对任意的]1,0[•••x ∈，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->-->-)3()()4()2(22k f kx x f k f x kx f 恒成立，求实数k 的取值范围.19．（本小题满分12分） 设}0)(|{,}12|52||{3221<++-=-<-=+a x a a x x ••A •x B x x ，若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）某企业花费50万元购买一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费，已知第x 天应付的维修费为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500)1(41x 元. 机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废.（1） 将每天的平均损耗y （元）表示为投产天数x 的函数； （2） 求机器使用多少天应当报废？ 21．（本小题满分12分） 设函数d cx bx x x f +++=232131)(（b ，c ，d 为常数），方程x x f =')(有两个正实根x 1，x 2，且|x 1-x 2|>1.（1）求证：b 2-2b >4c ； （2）若210x x t<<<，试比较1)(x t f 与'的大小；（3）若f (x )在[-1，1]上的切线倾斜角取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡π4,0•••∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ•••,43，求证：.13••b ≤≤-22．（本小题满分12分）如图，已知曲线)0(：31≥=x x y C与曲线)0(32：32≥+-=x x x y C 交于点O 、A ，直线x =t （0<t <1）与曲线 C 1，C 2分别交于点B 、D（1） 求出两曲线的交点O 、A 的坐标； （2） 写出四边形ABCD 的面积S 与 t 的函数关系式S （t ）；（3） 讨论S （t ）的单调性， 并求出S （t ）的最大值..参考答案与解析热点专题一 函数、不等式与导数1．（理）B 由于本题给出了函数的解析式，所以只需根据条件求导进行验证即可.1e ln )(++='x x x f ，故e •.1)1(+='f（文）B 因为x x x f 3)(3-=，故33)(2-='x x f ，则.3)0(••f -=' 2．B 本题先根据函数解析式求出导数，再根据函数与反函数的关系即可得出答案. 因为14)(-='x x f ，过点（1，3），故反函数过点（3，1）. 这类问题通常不需要求反函数. 3．D 本题实际上是解一个不等式，正确求出函数的导数是解题的关键.212)(2-='x x f ，故由)()1(a f f '>'可得.11212102•a a <<-⇒-> 4．（理）D 合理利用奇函数的性质0)0(=f 可以简化运算过程. 因为f (x )是奇函数，所以010)0(=+-⇒=b f ，即b =1，则a x x f -='2co s 2)(，由06=⎪⎭⎫ ⎝⎛π'f 可得0212=-⨯a ，于是a =1，故a +b =2. 对于复合函数的求导一定要注意公式的准确性.（文）D 因为f (x )是奇函数，所以010)0(=-⇒=b f ，即b =1，则a x x f -='23)(，由033=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'f 可得0313=-⨯a ，于是a =1，故a+b =2. 5．B 利用均值不等式求最值的关键是找出均值不等式所满足的条件，若不能正确转化这些条件也会因为等号取不到或者“≥”与“≤”的转化不当而导致错误.-4|22||)(|≤+-=-=x x x f y ，当且仅当xx 22=，即1±=x 时取得等号；4||2|2||)(|≥+==x x x f y . 当且仅当||2|2|x x =，即1±=x 时取等号，所以，m =-4，n =4，则m-n =-8. 6．（理）B 解此题要注意偶函数在对称区间上单调性的性质，当然出发点还是要先看区间（0，+∞）上的单调性，在（0，+∞）上时，11)(-='xx f ，由0)(>'x f 及x >0可得0<x <1，故f (x )在(]1,0•••单调递增，又因为f (x )是偶函数，所以f (x )在区间[)0,1•••-上递减.（文）B 在[)∞+•••,0上时，1)(2-='x x f ，由0)(<'x f 可得0<x <1，故f (x )在[0，1]单调递减，又因为f (x )是偶函数，所以，f (x )在区间[-1，0]上递增. 7．C 倾斜胸与斜率的转化可以根据正切函数的图象进行观察得出结论.a x y 23-='，根据条件123-≤-='a x y ，故213+≥x a ，而213+x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21•••上的最大值为2133+=14，故14≥a . 8．A 解与反函数有关的问题往往不是先求反函数，而是要寻找原函数与反函数的关系. 由)32(-=x f y 可得32)(1-=-x y f，即23)(1+=-y f x ，所以)32(-=x f y 的反函数为23)()(1+=-x f x g ，由g (2)=1可得123)2()2(1=+=-f g . 即1)2(1-=-f ，所以f (-1)=2，代入可得.72215••a a -=⇒=+---9．A 建立体积的表达式是解题的关键. 设圆柱的高为h ，底面半径为R ，根据条件4R +2h =4. 所以，h =2-2R ，故体积322222)22(R R R R h R V π-π=-π=π=，由0642=π-π='R R V 可得32=R ，且当∈R ⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0•••时，函数V 递增，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈•••R ,32时，函数V 递减，故32=R 时，V 取得最大值278π. 10．C 与抽象函数有关的不等式问题一般都要从其单调性出发，把不等式转化为)()(21x f x f <的形式再求解. 因为1)2(=f ，所以由③可得211)2()2()22()4(=+=+=⨯=f f f f ，又由①可知f (x )是定义在（0，+∞）上的增函数，故原不等式可化为.434)3(030•x ••x x x x ≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤->->11．B 解此题的关键是求出2242b a ab --的最大值，这就要根据条件利用均值不等式求最值. 因为12=+b a ，所以ab ab b a b a 414)2(4222-=-+=+，而ab b a 2212≥=+，因而42≤ab ，当且仅当2a =b ，即21,41==••b •a 时等号成立，所以2242b a ab --=142-+ab ab ，令••••μab ⎥⎦⎤ ⎝⎛∈=42,0，124)(2-+=μμμf ，则028)(>+='t μf ，故函数)(μf 递增，最大值为21242-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f . 故只需21221-≥-t ，故.22•t ≥ 12．（理）D 把所给不等式转化为一元二次不等式，再利用判别式即可求解，因为062>++x x 恒成立，所以，由1)(<x g 可得0<a <1，于是由即•x g x f )()(<65222+++-<x x bx x aa可得65222++>+-x x b x x即x 2-6x +b -6>0恒成立，由△=0)6(436<--b ，解这得b >15.（文）D 由)()(x g x f <即652222121+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛x x bx x 可得2x 2-5x +b >x 2+x +6即x 2-6x +b -6>0恒成立，由△=0)6(436<--b ，解这得b >15.13．43π 1862+-='x x y ，所以1|1-='=x y ，故切线的倾斜角为43π. 求出导数即是切线的斜率，还要注意直线倾斜角的取值范围是[)π••,0. 否则就可能得出4π-的错误结论.14．（理）⎪⎭⎫⎝⎛32,0••• 正确理解题意，等价转化为熟悉的问题是解题的关键. 由条件知a >0，则a+x >1，故原不等式可化为)lg()2lg(x a ax +<，即x a ax +<2，令a x a x f +-=)21()(，则0)(>x f 在区间(]2,1••上恒成立，故有⎪⎩⎪⎨⎧>>≥00)2(0)1(a f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>>+-≥+-00)21(2021a a a a a ，解之得.320•a << （文）223- 首先建立直角边的关系式，再利用均值不等式即可求最值. 设其直角边为a ，b ，则有222=+++b a b a ，由均值不等式可知222≤+ab ab ，则222+≤ab ，面积.22321•ab S -≤= 15．[)0,3•••- 函数与方程的互化可以体现数学思想的重要价值，因此我们可以通过代换把方程转化为函数问题进行求解，原方程可化为m ••x ••x =⎪⎭⎫⎝⎛∙-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++|0082|2|0082|81481，令|0082|81••x t +⎪⎭⎫⎝⎛=，则(]1,0••t ∈，原方程变为m t t =-42，即m t =--4)2(2. 由于(]1,0••t ∈，所以.03•m <≤- 16．（理）（-1，1） 观察所给条件的特征，构造函数是解决本题的关键. 令)2()(x xf x g =，则)2(2)2()(x f x x f x g '+='，故)(x g 在（-∞，0）上递减，再由)(x f 是奇函数可知)(x g 是偶函数，而0)2(=-f ，所以0)1()1(=-=g g ，于是不等式0)2(<x xf 等价于)1()(g x g <，故只需|x |<1，不等式的解集为（-1，1）.（文）（-2，0）∪（0，2） 本题主要体现了分类讨论的基本思想. 当)0,(•••x -∞∈时，由0)(<'x f x 可知0)(>'x f ，故函数在)0,(•••-∞递增，再根据奇函数的性质可知f (x )在（0，+∞）也递增. 且0)2()2(=--=f f . 若x <0则不等式可化为)2(0)(-=>f x f ，于是有x >-2，故-2<x <0；若x >0，则不等式可化为f (x )<0=f (2)，于是有x <2，故0<x <2，所以原不等式的解集为.)2,0()0,2(•••••⋃- 17．因为bx ax x x f --=23)(，所以b ax x x f --='23)(2，根据条件可得⎩⎨⎧=--='=--=0412)2(2248)2(b a f b a f ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==629b a . 故693)(629)(223+-='+-=x x x f x x x x f .由0)(>'x f 可得210)2)(1(3><⇒>--x x x x 或；由0)(<'x f 可得210)2)(1(3<<⇒<--x x x ，即f (x )的单调增区间为(][)•••••∞+∞-,21,和，递减区间为[1，2] 思路点拨 解与高次函数有关的问题一般都离不开求导，而这里的条件“在x =2时取得极值2”实际上是包含了两个条件：2)2(0)2(=='f f 与. 在求单调区间时一般要解一个不等式，这就是灵活进行因式分解，因为x =2处取得极值，故)(x f '肯定可以分解出一个（x -2），这样就使得不等式问题简化. 18．（1）（理）函数f (x )在R 上单调递增. 利用导数证明如下： 因为x x x f x 2sin 2e 2)(2++=，所以，02cos 22e 4)(2>++='x x f x 在R 上恒成立，所以f (x )在R 上递增.（文）函数f (x )在R 上单调递增，利用导数证明如下： 因为x x x x f 82)(23++=，所以0647)61(6826)(22>++=++='x x x x f 在R 上恒成立，所以f (x )在R 上递增.（2）（理）由于f (x )在R 上递增，不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧>+--<-+-0304222k kx x k kx x ，对于任意x ∈[0，1]恒成立. 令42)(2<-+-=k kx x x F 对任意x ∈[0，1]恒成立，必有⎩⎨⎧<<0)1(0)0(F F ，即⎩⎨⎧<-+-<-042104k k k ，解之得-3<k <4， 再由032>+--k kx x对任意x ∈[0，1]恒成立可得214)1(14)1(2)1(1322-+++=+++-+=++<x x x x x x x k ，在x ∈[0，1]恒成立，因此只需求132++x x 的最小值，而.2214)1(•x x ≥-+++ 当且仅当x =1时取等号，故k <2.综上可知，k 的取值范围是（-3，2）.（文）同（理）思路点拨 判断函数的单调性可以利用导数，在得出函数的单调性之后就可以利用函数的单调性把⎪⎩⎪⎨⎧->-->-)3()()4()2(22k f kx x f k f x kx f 等价转化为关于x 的不等式，再利用二次函数的图象特点进行求解. 需要注意的是，第（2）小题不要盲目代入函数表达式，否则就会使表达式变得非常复杂，实际上第（2）小题就是把函数f (x )看成一个单调递增的抽象函数，这样使问题反而变得简单. 这体现了抽象与具体的转化思想.19．不等式12|52|1-<-+x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<-≥+12522521x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-<-<+12252521x x x ，∴2<2x <4. 即}0))((|{,}21|{,212<--=<<=<<a x a x x ••A •x x •B •x ，因A ∩B =A ，则B •A ⊆. （1）若a =a 2，即a =0或a =1，则A =，满足B •A ⊆；（2）若a <a 2，即a <0或a >1，则}|{2a x a x A <<=，若有B •A ⊆， 则⎩⎨⎧≤≥212a a ，所以.21•a ≤< （3）若a >a 2，即10<<a ，则}|{2a x a x A <<=，若有B •A ⊆，则⎩⎨⎧≤≥212a a ，所以a∈.综上所述，a 的取值范围为.021=≤≤•a •a 或思路点拨 集合之间的运算关系通常可以转化为集合的包含关系，本题首先把A ∩B =A 转化为B •A ⊆，然后再考虑集合中的不等式，一般思路是能解出的直接解出，而对于集合A 中含有参数的二次不等式通常需要进行分类讨论，还要需要注意的是A =这一特殊情况.20．（1）机器投产x 天，每天的平均损耗是 ;874998000500)1(815000005001500415004250041500000500•x x ••x x x ••x ••xx ••y ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=（2）=+∙≥++=87499800050028749980000500x x ••x x ••y 8799987499500=+，当且仅当8000500x x ••=，即x =2000时取等号. 所以这台机器使用2000天应当报废.思路点拨 解应用题的第一步是先根据条件建立相应的函数关系，实际上就是我们的说的建模，它是体现数学应用价值的主要方法. 这里主要是建立平均损耗与天数的关系，然后再根据函数的特点选用合适的方法求最值，这里选择的是最常见的均值不等式. 某些问题可能还要根据等号是否能取得的情况选择函数的单调性进行解题.21．（1）因为c bx x x f ++='2)(，故方程x x f =')(可化为.0)1(2•c x b x =+-+ 故.4124)1(2)()(2221221212c •b b c b x x x x x x -+-=--=-+=-又1||21>-x x ，所以1412)(2212>-+-=-c b b x x ，所以.422c •b b >-（2）因为x 1是方程x x f =')(的一个根，所以)(11x f x '=，且b x x -=+121，于是211x x b -=+，所以)1)(())(()()()(211111x t x t b x t x t x f t f x t f -+-=++-='-'=-'.因为b x ••x •x x t-=+<<<1,02121，所以，.01•x t <- 又根据条件可知112>-x x ，即0121<-+x x ，所以011212<-+<-+x x x t ， 所以0)(1>-'x t f ，故.)(1••x t f <'（3）因为切线的倾斜角范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡π••••,434,0，所以，切线斜率为[-1，1]， 故条件可以转化为：当x ∈[-1，1]时，.1|)(|••x f ≤' 所以1|1||)1(|,1|||)0(|≤++='≤='c b f ••c f ，故211|||1||1||1|=+≤-+++≤-++=+c c b c c b b ，即2|1|≤+b ，所以.13••b ≤≤- 思路点拨 通过求导把问题转化为二次方程根的有关问题，再利用韦达定理便可解决此题. 这里对两个式子大小的比较采用了最常用的比较法，而韦达定理沟通了字母之间的关系，使得问题得以转化.22．（1）由⎪⎩⎪⎨⎧+-==xx y x y 3233消去y 可得x x x 3233+-=，即0,0333>=-x •••x x 又，故x =0或x =1，即两交点分别为O （0，0），A （1，1）；（2）由⎩⎨⎧==t x x y 3及⎩⎨⎧=+-=tx x x y 323可得直线x =t 与曲线的交点),(3•t t •B ，)32,(3t t •t •D +-，所以，t t BD 33||3+-=，于是四边形ABCD 的面积为.)10)(33(21||21|01|||21)(3•t t t BD BD S S t S OBD ABD <<+-==-∙=+=∆∆ （3）由（2）可知，)10)(33(21)(3<<+-=t t t t S ， 则2329)(2+-='t t S ，令0)(='t S 可得33=t . 所以，当330<<t 时，0)(>'t S ，从而S （t ）在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛33,0••上单调递增； 当133<<t 时，0)(<'t S ，从而)(t S 在区间⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33•上单调递减， 所以，当33=t 时，S （t ）有最大值.3333•S =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 思路点拨 无论讨论函数的单调性还是求曲线的切线都离不开求导，所以，正确求出函数的导数便是解本题的关键. 求几何图形面积的最常用方法是把它进行合理划分，分解成几个容易求出面积的小三角形来进行求解. 这样便建立了面积的函数关系式，求面积的最值仍然回到导数的方法上，这一题目充分体现了导数在解决函数问题与切线问题中的优越性.。

炎德英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在x ∈Z ，220x x m ++”的否定是()A.存在x ∈Z ，220x x m ++> B.不存在x ∈Z ，220x x m ++>C.任意x ∈Z ，220x x m ++ D.任意x ∈Z ，220x x m ++>2.若集合{}2341,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于()A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.∅3.已知奇函数()()22cos x x f x m x -=+⋅，则m =()A.-1B.0C.1D.124.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是()A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥B.m l ⊥，l αβ⋂=，m α⊂C.m l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m l ，m β5.已知函数()()4cos (0)f x x ωϕω=+>图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭()A.0B.2ϕC.4D.2ϕ6.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线2:30l nx my m n +--=（m ，n ∈R ，220m n +≠）相交于点P ，则PM 的取值范围为()A.1,1⎤-⎦B.1⎤⎦C.1,1⎤-⎦D.1⎤-+⎦7.P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，120PF PF ⋅= ，点Q 在12F PF ∠的角平分线上，O 为原点，1OQ PF ，且OQ b =.则C 的离心率为()A.12B.33C.63D.328.设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是()A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()f x 满足()()22f x f x ππ+=-，()()0f x f x ππ++-=，并且当()0,x π∈时，()cos f x x =，则下列关于函数()f x 说法正确的是()A.302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.最小正周期2T π=C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于(),0π-对称11.若双曲线22:145x y C -=，1F ，2F 分别为左、右焦点，设点P 是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为12PF F △的内心，()0,4A ，则下列说法不正确的是()A.双曲线C 的渐近线方程为045x y±=B.点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PF PF =，12PI xPF yPF =+，则29y x -=D.不存在点P ，使得1PA PF +取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.13.ABC△各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b ca c a b+++，则角A 的取值范围为________.14.对任意的*n ∈N ，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -，BC AD ，1AB BC ==，3AD =，点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2DE PE ==.（1）若F 为线段PE 的中点，求证：BF平面PCD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-有两个极值点为1x ，()212x x x <，a ∈R .（1）当52a =时，求()()21f x f x -的值；（2）若x 2≥ex 1（e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，H 为E 上任意一点，且HF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知P 为平面上一动点，且过P 能向E 作两条切线，切点为M ，N ，记直线PM ，PN ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足123112k k k +=.①求点P 的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆，使得过P 可以作圆Q 的两条切线1l ，2l ，切线1l ，2l 分别交抛物线E 于不同的两点()11,A s t ，()22,B s t 和点()33,C s t ，()44,D s t ，且1234s s s s 为定值？若存在，求圆Q 的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a ，2a ，3a ，…，n a （N n ∈且3n ），令123n n S a a a a =++++，如果存在{}()1,2,3,,p a p n ∈，使得pn p a S a - ，那么称p a是该向量组的“长向量”.（1）设(),2n a n x n =+，n ∈N 且0n >，若3a是向量组1a，2a，3a的“长向量”，求实数x 的取值范围；（2）若sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ∈N 且0n >，向量组1a ，2a ，3a ，…，7a 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“长向量”，其中()1sin ,cos a x x = ，()22cos ,2sin a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列1P ，2P ，3P ，…，n P ，满足1P 为坐标原点，2P 为3a的位置向量的终点，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，22k P +与21k P +（k ∈N 且0k >）关于点2P 对称，求10151016P P的最小值.。