抛物线学生版

专题02 将军饮马和最小【例1】如图，抛物线215222y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，与y 轴相交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；【变式训练1】已知抛物线26(0)y ax bx a =++≠交x 轴于点(6,0)A 和点(1,0)B -，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P 是抛物线上位于直线AC 上方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，E ，当PD PE +取最大值时，求点P 的坐标；【变式训练2】如图，抛物线23y ax bx =+-经过点(2,3)A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P ，使PB PC +的值最小，求点P 的坐标；【变式训练3】如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ． （1）求抛物线的解析式；（2）设点E 为x 轴上一点，且AE CE =，求点E 的坐标；（3）设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C -三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，抛物线213y x mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴1x =．（1）求出抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在对称轴上方是否存在点D ，使三角形ADC 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由（使用图1)；【变式训练2】如图，已知二次函数24(0)y ax x c a =-+≠的图象与坐标轴交于点(1,0)A -和点(0,5)B -．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP ∆的周长最小，请求出点P 的坐标；【例3】如图，抛物线2y=+x轴交于A，B两点(A点在B点的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC．（1）求顶点D的坐标及直线AC的解析式；（2）如图，P为直线AC上方抛物线上的一动点，连接PC、PA，当PAC∆面积最大时，过P作PQ x⊥轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点++的最小值．N．连接PM，NQ，求PM MN NQ【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴、y 轴的交点分别为(8,0)C ，(0,6)B ，5CD =，抛物线215(0)4y ax x c a =-+≠过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以每秒5个单位长度的速度沿D A B C →→→的方向运动到达C 点后停止运动．动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿OC 方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止运动时，点N 也停止运动，设运动时间为t ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ，D ，C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，求t 的值；（4）过点D 与x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段BA 沿过点B 的直线翻折，点A 的对称点为A '，求A Q QN DN '++的最小值．差最大【例1】如图，已知抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点(1,0)A 和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）①若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，则PBC ∆的面积最大值为 ； ②若点T 为对称轴直线2x =上一点，则TC TB -的最大值为 ．【变式训练1】如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，抛物线交x 轴于C 、D 两点，已知(3,0)C -（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使||MB MD -的值最大，请求出点M 的坐标及这个最大值．【变式训练2】如图，已知抛物线上有三点(4,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C -．（1）求出抛物线的解析式；（2）是否存在一点D ，能使A 、B 、C 、D 四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在，请求出D 点坐标，若没有，请说明理由．（3）在（2）问的条件，P 为抛物线上一动点，请求出||PD PB -取最大值时，点P 的坐标．【变式训练3】如图，二次函数21212y x x =-++的图象与一次函数1y x =-+的图象交于A ，B 两点，点C 是二次函数图象的顶点，P 是x 轴下方线段AB 上一点，过点P 分别作x 轴的垂线和平行线，垂足为E ，平行线交直线BC 于F ．（1）当PEF ∆面积最大时，在x 轴上找一点H ，使||BH PH -的值最大，求点H 的坐标和||BH PH -的最大值；。

专题18二次函数与旋转变换综合问题【例1】（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A （﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A 的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．【例3】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y 轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【例4】．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共20小题）1．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D′，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022•双流区模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A 在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．（1）求a的值及顶点D的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．3．（2022•灞桥区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+6与x 轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC＝3．（1）求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；（2）将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点（点F在点E的左侧），与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使|QF﹣QM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由．4．（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．5．（2022•深圳三模）已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．6．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．7．（2022•沙湾区模拟）如图，抛物线f（x）：y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于点A、B（点A 位于点B左边），与y轴交于点C（0，．（1）求抛物线f（x）的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接线段AC，作∠CAB的平分线AE交抛物线于点E，将抛物线f（x）沿对称轴向下平移经过点C'得到抛物线f'（x）．在射线AE上取点F，连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120°交抛物线f'（x）于点P．当△ACF为等腰三角形时，求点P的横坐标．8．（2022•灌南县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．9．（2022•红花岗区三模）如图（1），△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P在线段AC 上，从C点向A点运动，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于点D，完成下列问题：（1）①点E到BC边的距离为；②若CD＝x，△BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为；（不写自变量取值范围）（2）当△BDE的面积为15时，若PC＜AC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、y轴建立坐标系如图（2），抛物线C1过点A、D、B；①点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QN⊥PB，垂足为点N，是否存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明理由；②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2，当﹣2a≤x≤﹣a时（a＞0），抛物线C2有最大值2a，求a值．10．（2022•乳源县三模）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．11．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．12．（2021秋•北京期中）定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点（0，0）在抛物线y＝﹣x2+2x上，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点（1，1）也在抛物线y＝x2上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2+2x关联．（1）已知抛物线C1：y＝（x+1）2﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x2+2x+1和抛物线C3：y＝2x2+2x+1与抛物线C1是否关联；（2）抛物线M1：的顶点为A，动点P的坐标为（t，2），将抛物线M1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；（3）抛物线M1：的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标．13．（2021•锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD 的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由．14．（2022秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+3交x轴于点A，y轴于点D，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t，连接AP、DP，△APD的面积为s，求s 关于t的函数关系式；（不要求写自变量t的取值范围）（3）在（2）的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD＝2∠PDC，过点E作EF⊥PD交PD于G，y轴于点F，连接PF，若，求线段PF的长．15．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，点A（4，0），∠AOC＝60°，点C的纵坐标为，点D是边BC上一点，连接OD，将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．给出如下定义：如果抛物线y＝ax2+bx（a≠0）同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2+bx（a≠0）为关于点A，E的“伴随抛物线”．（1）如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为，此时关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为；（2）如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接写出a的取值范围．16．（2020秋•天心区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c 与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．17．（2022•大庆模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F 在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．18．（2022•苏州一模）如图，二次函数y＝x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是；（2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；（3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E 点的坐标．19．（2022•大连模拟）已知抛物线G：y＝（m+1）x2+2（n﹣1）x+n+1（m≠﹣1，m为常数）的对称轴与直线y＝kx+k（k＞0，k为常数）相交于x轴上一点P．（1）求m与n的数量关系；（2）若直线y＝kx+k与y轴交于点Q，且OQ＝OP，①把直线y＝kx+k绕点Q顺时针旋转45°得到的直线与抛物线G相交于A、B两点，若AB＝4，求m的值；②将直线y＝kx+k向上平移2k个单位，得到的直线与抛物线G的两个交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜x2＜2，求m的取值范围．20．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．。

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式
一、运用平移求解析式
1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式．
2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值．
3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，
，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式．
二、运用对称求解析式
4．将抛物线()214y x =--沿直线32x =
翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式．
5．如图，已知抛物线1C ：2216833
y x x =
++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．
三、运用旋转求解析式
6．将抛物线221
=-+的图象绕它的顶点A旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式．
y x x。

二次函数1【知识框架】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧、增减性、图像的共存、对称和旋转、对称性、平移、参数判断、解析式、对称轴和顶点坐标图像和性质定义二次函数87654321 【入门测】1、关于抛物线122+-=x x y ，下列说法错误的是（)A 、开口向上B 、与x 轴有两个重合的交点C 、对称轴是直线x =1D 、当x >1时，y 随x 的增大而减小2、已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ＜0)过A （﹣2，0)、B （0，0)、C （﹣3，y 1)、D （3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是（ ) A 、y 1＞y 2B 、y 1=y 2C 、y 1＜y 2D 、不能确定3、当_________时，函数是二次函数，其函数关系式是____，图象的对称轴是_________．4、已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y <0时，自变量x 的取值范围是（ )A 、x <0B 、-1<x <1或x >2C 、x >-1D 、x <-1或1<x <2m =22(3)3m m y mx m x -+=+-+二次函数的定义【笔记】 【例1】下列函数：)8(x x y -=，2211x y -=，42-=x y ，xx y 62-=，其实以x 为自变量的二次函数有（ ) A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【例2】当m =______时，函数()()334-y 422+-+=--x m x m m m 是关于y 与的二次函数，其解析式是__________________．【过关检测】（☆)1、下列函数不属二次函数的是（ ) A 、 B 、C 、D 、231x y -=2、若()1211+--=+x x a y a 是关于与的二次函数，则= .一、二次函数的图象与性质（一）对称轴和顶点坐标 【笔记】【例1】抛物线223y x x =++的顶点坐标是_____________.【例2】将二次函数1322-+=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式是____________.【过关检测】1、求二次函数)2)(1(21+-=x x y 的对称轴是_______；顶点坐标是________. 2、将二次函数322+-=x x y 化为的形式，则=+k h ____.（二）二次函数的解析式 【笔记】1、一般式：2、顶点式：【例1】已知二次函数的图象经过点、)2,0(、，求二次函数的解析式。

2.2.3 抛物线的参数方程 （检测学生版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、错误！未找到引用源。

圆锥曲线2x t y 2t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)的焦点坐标是( ) A.(1,1) B.(1,2) C.(1,0) D.(2,0)2.参数方程242x y cos πθ⎧=⎪⎨⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎩(θ 为参数，02πθ≤≤)所表示的曲线是( ) A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分，且过点112⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.抛物线的一部分，且过点112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3、参数方程()cos sin 2211sin ? 2x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， (0≤θ＜2π)表示( ) A.双曲线的一支，这支过点112⎛⎫⎪⎝⎭， B.抛物线的一部分，这部分过点112⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.双曲线的一支，这支过点112⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.抛物线的一部分，这部分过点112⎛⎫- ⎪⎝⎭，4、点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．25、下列参数方程能与方程2y x =表示同一曲线的是（ ）A. 2{(x t t y t ==为参数) B. 2sin {(x t t y sint==为参数)C. {x t t y ==为参数) D. 1cos2{(1cos2tx t t y tant-=+=为参数) 6．曲线1xy =的一个参数方程是（ ）A. 1212,{ x t y t -== B. 2{ 2tt x y -== C. 22log { log t tx y == D. { 1sin x sin y αα== 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 9、已知两曲线参数方程分别sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数，0θπ≤< )和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t 为参数)，它们的交点坐标为10、已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩和()254R x t t y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________．三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11、如图2­2­2所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2­2­ 212、已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB(如下图)．(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；(2)求弦AB中点M的轨迹过程．。

第12讲 二次函数焦点与准线知识导航抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F 和一条直线l (l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F 叫做抛物线的焦点。

直线l 叫做抛物线的准线(高中选修2-1,P65)【例1】(1)如图，抛物线221x y =的焦点F(0,21)，准线l 的解析式为21-=y ,求证：抛物线221x y =上任意一点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，即PF=PH.(2)已知点M(2,3)，F(0,21)，点P(m ，n)为抛物线221x y =上一动点，则用含m 的式子表示PF= ；PF+PM 的最小值是 .练：如图，在平面直角坐标系中，A(0,2)，点P 是抛物线1412+=x y 上一动点。

(1)过点P 作PB⊥x 轴于点B ，求证：PA=PB ；(2)若点C(2,5)，连PA ，PC ，PA+PC 是否存在最小值?如果存在，求点P 的坐标；若不存在， 说明理由.【例2】如图。

抛物线21212-=x y 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，点P 是抛物线上一动点(不包括A 、B)，PM⊥x 轴于点M.点P 的横坐标为t.(1)若,11<<-t 求证：OP+PM 为定值，并求出该值. (2)若1-<t 或,1>t 求证：OP-PM 为定值，并求出该值.练：如图，点P 为抛物线21212-=x y 上一动点，PH⊥x 轴于点H ，连OP. (1)当点P 在第一象限的抛物线上时，求PO=PH 的值; (2)当点P 在第四象限的抛物线上时，求PO+PH 的值.【例3】将抛物线C 1：34412+-=）（x y 先向左平移4个单位,再向下平移2个单位，得到抛物线C 2。

(1)直接写出抛物线C 2的解析式；(2)如图1，y 轴上是否存在定点F ，使得抛物线C 2上任意一点P 到x 轴的距离与PF 的长总相等？若存在，求出点F 的坐标；(3)如图2，D 为抛物线C 1的顶点，P 为抛物线C 2上任意一点，过点P 作PH⊥x 轴于点H ，连接DP ，求PH+PD 的最小值及此时点P 的坐标.图1 图2练：如图1，P(m ，n)是抛物线1412-=x y 上任意一点，是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点P 作直线PH⊥l 于点H.(1)填空：当m=0时，OP= ； PH= ；当m=4时，OP= ；PH= .(2)对任意点P,猜想OP 与PH 的大小关系,并证明你的猜想;(3)如图2,若A 、B 是抛物线1412-=x y 上的两个动点且AB=6,求A 、B 两点到直线l 的距离之和的最小值.图1 图2【例4】如图1，在以O 为原点的平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=241与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C(0,-1).连接AC.AO=2CO,直线l .过点G(0,t)且平行于x 轴,t<-1. (1)求抛物线方程； (2)①若D(4,-m)为抛物线c bx x y ++=241上一定点，点D 到直线l 的距离记为d,当d=DO 时, 求t 的值;○2若D 为抛物线上c bx x y ++=241一动点，点D 到①中的直线l 的距离与OD 的长是否恒相等, 说明理由；(3)如图2，若E 、F 为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF 的中点为M ，求点M 纵坐标的最小值.图1 图2练：如图,过点F(0,1)的直线b kx y +=与抛物线241x y =交于M(11,y x )和N(22,y x )两点 (其中0,021><x x ). (1)求21x x ⋅的值.(2)分别过M ，N 作直线l ：1-=y 的垂线，垂足分别是M 1,N 1，连接FM 1，FN 1，判断△M 1FN 1的形 状，并证明你的结论.练：如图,在平面直角坐标系中,A(0,2),点P 为抛物线1412+=x y 上的一点.直线）（0>=k kx y 交抛物线于点D ，P ，连接AP ，AD ，若AP=2AD ，求k 的值.。

抛物线的标准方程与性质1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质开口方向类型一 抛物线的定义及应用例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )A ．217B .17C ．215D .15练习1：已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92练习2：F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．类型二 抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A .45B .35C ．－35D ．－45练习1：已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12练习2：(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．类型三 抛物线焦点弦的性质例3：已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k 等于( )A .13B .23C .23D .223练习1：过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.类型四 直线与抛物线的位置关系例4：如图所示，O 为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON.练习1：设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）Ａ． B ． C ． D ．练习2：抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OP →·OQ →＝________．1.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．()13，()14，()23，()24，2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=22143x y -=2.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. B.C.D.3.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.434.抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则_________5.曲线y ＝e －5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．6.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．11BF AF --2211BF AF --11BF AF ++2211BF AF ++p =_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1.抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，182.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1C.12D.143．点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x24．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．45．已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．4 B.92C ．5D.112【答案】B6.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B ．3C.52D ．27.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332 D.94能力提升（2）8．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________．9．已知一条过点P (2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．10．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________．11.如图1­4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．图1­412.已知动点P(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，求线段EG的长度．。

专题四、椭圆、双曲线、抛物线一、知识梳理圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝________.(1)(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程 ( ) A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 (2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．专题突破练习 一、选择题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1B.y 23－x 2＝1C.3x 24－3y 28＝1D.3y 24－3x 28＝1 3． (2013·江西)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶34． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C ．2D. 55． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316B.38C.233D.4336． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1)D ．[12，1)二、填空题7． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．8． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 9． (2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．三、解答题11．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．。

圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选30题) 1(2024·山东·二模)已知椭圆的焦点分别是F13,0,F2-3,0，点M在椭圆上，且MF1+MF2=4．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y=kx+2与椭圆交于A,B两点，且OA⊥OB，求实数k的值．2(2024·江苏南通·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，且△AF1F2的周长是4+23.(1)求椭圆C的方程；(2)当AB=32DE时，求△ODE的面积.3(2024·河北邯郸·二模)已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过M 2,0 ,N 1,-32 两点．(1)求C 的方程．(2)A ,B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4(2024·广东广州·模拟预测)已知椭圆C :x 28+y 2b2=1(0<b <22)，右顶点为E ，上､下顶点分别为B 1,B 2,G 是EB 1的中点，且EB 1 ⋅GB 2=1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点D -4,0 的直线l 交椭圆C 于点M ,N ，点A -2,-1 ，直线MA ,NA 分别交直线x =-4于点P ,Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5(2024·辽宁·二模)平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点A ,B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且OP =23OA +33OB，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点E 4,1 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点M ,N 时，在线段MN 上取点Q ，满足|EM |⋅|QN|=|QM |⋅|EN|．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6(2024·福建厦门·三模)在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ,N 两点，且当l 的斜率为1时，MN =8．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q (异于原点)，线段MN 的中点为R ，若QR ≤3，求△MNQ 面积的取值范围．7(2024·浙江丽水·二模)已知抛物线E :y 2=4x ，点A ,B ,C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方(B 在C 左侧)，A ,C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值(O 为坐标原点)；(2)若点Q 的横坐标为-1，且MB ⋅MC =89，求△AQB 的内切圆的方程.8(2024·江苏苏州·模拟预测)已知点A (1,0)，B (0,1)，C (1,1)和动点P (x ,y )满足y 2是PA ⋅PB ，PA⋅PC的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线C 1按向量a =-34,116平移后得到曲线C 2，曲线C 2上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点Q (0,b )，如果∠MON (O 为坐标原点)为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在(2)的条件下，如果b =2时，曲线C 2在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9(2024·江苏南通·二模)已知双曲线E的渐近线为y=±33x，左顶点为A-3,0.(1)求双曲线E的方程；(2)直线l:x=t交x轴于点D，过D点的直线交双曲线E于B，C，直线AB，AC分别交l于G，H，若O，A，G，H均在圆P上，①求D的横坐标；②求圆P面积的取值范围.10(2024·江苏南京·二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)有公共的焦点F，且p=4b．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).(1)求E的渐近线方程；(2)若实数λ满足λ1|OP|+1 |OQ|=1|AF|-1|BF|，求λ的取值范围．11(2024·重庆·三模)已知F 2,0 ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线x =12的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN分别与直线x =12交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.(i )证明：QF ⊥MN ；(ii )记△PMQ ，△HNQ ，△MNQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1+S2S 3是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12(2024·河北·二模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22．(1)若椭圆E 过点2,2 ，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线l 1，l 2均过点P p n ,0 0<p n <a ,n ∈N * 且互相垂直，直线l 1交椭圆E 于A ,B 两点，直线l 2交椭圆E 于C ,D 两点，M ,N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点Q t n ,0 ，设p n =13n .(ⅰ)求t n ；(ⅱ)记a n =PQ ，求数列1a n的前n 项和S n ．13(2024·辽宁沈阳·二模)以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为6和3，P为大圆上一动点，大圆半径OP与小圆相交于点B,PP ⊥x轴于P ,BB ⊥PP 于B ,B 点的轨迹为Ω．(1)求B 点轨迹Ω的方程；(2)点A2,1，若点M、N在Ω上，且直线AM、AN的斜率乘积为12，线段MN的中点G，当直线MN与y轴的截距为负数时，求∠AOG的余弦值．14(2024·广东佛山·二模)两条动直线y=k1x和y=k2x分别与抛物线C:y2=2px p>0相交于不同于原点的A，B两点，当△OAB的垂心恰是C的焦点时，AB=45.(1)求p；(2)若k1k2=-4，弦AB中点为P，点M-2,0关于直线AB的对称点N在抛物线C上，求△PMN的面积.15(2024·广东深圳·二模)设抛物线C：x2=2py(p>0)，直线l：y=kx+2交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线y=-2于点M．对任意k∈R，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．(1)求C的方程；(2)若直线l ⎳l，且l 与C相切于点N，证明：△AMN的面积不小于22．16(2024·湖南·一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(b>a>1)的渐近线方程为y=±2x，C的半焦距为c，且a4+b4+4=4c2．(1)求C的标准方程．(2)若P为C上的一点，且P为圆x2+y2=4外一点，过P作圆x2+y2=4的两条切线l1,l2(斜率都存在)，l1与C交于另一点M,l2与C交于另一点N，证明：(ⅰ)l1,l2的斜率之积为定值；(ⅱ)存在定点A，使得M,N关于点A对称．17(2024·湖南岳阳·三模)已知动圆P过定点F(0,1)且与直线y=3相切，记圆心P的轨迹为曲线E．(1)已知A、B两点的坐标分别为(-2,1)、(2,1)，直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，证明：k1-k2=1；(2)若点M x1,y1、N x2,y2是轨迹E上的两个动点且x1x2=-4，设线段MN的中点为Q，圆P与动点Q的轨迹Γ交于不同于F的三点C、D、G，求证：△CDG的重心的横坐标为定值．18(2024·湖北·二模)已知双曲线P的方程为x24-y2=1,B-a,0,C a,0，其中a>2,D x0,y0x0≥a,y0>0是双曲线上一点，直线DB与双曲线P的另一个交点为E，直线DC与双曲线P的另一个交点为F，双曲线P在点E,F处的两条切线记为l1,l2,l1与l2交于点P，线段DP的中点为G，设直线DB, DC的斜率分别为k1,k2．(1)证明：4<1k1+1k2≤4aa2-4；(2)求GBGC的值．19(2024·湖北·模拟预测)已知椭圆C1:x2a2+y2=1和C2:x2b2+y2=1a>b>0的离心率相同，设C1的右顶点为A1，C2的左顶点为A2，B0,1，(1)证明：BA1⊥BA2；(2)设直线BA1与C2的另一个交点为P，直线BA2与C1的另一个交点为Q，连PQ，求PQ的最大值．参考公式：m3+n3=m+nm2-mn+n220(2024·山东·二模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，设C的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线与C于D,E两点，当直线DE垂直于x轴时，△ADE的面积为9 2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)连接AD和AE分别交圆(x+1)2+y2=1于M,N两点．(ⅰ)当直线DE斜率存在时，设直线DE的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，求k1k2；(ⅱ)设△ADE的面积为S1,△AMN的面积为S2，求S1S2的最大值．21(2024·山东潍坊·二模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为23，右焦点F 2到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C 上一点P 13,2 作C 的切线l 1，l 1与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，P 2为点P 1关于坐标原点的对称点，过P 2作C 的切线l 2，l 2与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为H 1，H 2，是否存在点Q ，满足QH 1 +QH 2 =2，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22(23-24高三下·湖北武汉·阶段练习)已知抛物线E :y =x 2，过点T 1,2 的直线与抛物线E 交于A ,B 两点，设抛物线E 在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，已知l 1与x 轴交于点M ,l 2与x 轴交于点N ，设l 1与l 2的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若△PMN 面积为2，求点P 的坐标；(3)若P ,M ,N ,T 四点共圆，求点P 的坐标.23(2024·福建漳州·一模)已知过点F 1-1,0 的直线l 与圆F 2：x -1 2+y 2=16相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过GF 1的中点F 且平行于EF 2的直线交GF 2于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若A ,B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM =λOA +μOB(λ，μ∈R )，其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为-34；③λ2+μ2=1．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24(2024·福建福州·模拟预测)点P 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上(左、右端点除外)的一个动点，F 1-c ,0 ，F 2c ,0 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：x =a 2c 的距离为d ，证明PF 2 d为定值，并求出这个定值；(2)△PF 1F 2的重心与内心(内切圆的圆心)分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.(ⅰ)求椭圆E 的离心率；(ⅱ)若椭圆E 的长轴长为6，求△PF 1F 2被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25(2024·福建三明·三模)已知平面直角坐标系xOy中，有真命题：函数y=mx+nx(m≥0,n>0)的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y=mx和y轴．例如双曲线y=4x的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点O顺时针旋转π4得到双曲线x2-y2=8的图象．(1)求双曲线y=1x的离心率；(2)已知曲线E:x2-y2=2，过E上一点P作切线分别交两条渐近线于A,B两点，试探究△AOB面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y=33x+32x的图象为Γ，直线l:x+3y-3=0，过F(1,3)的直线与Γ在第一象限交于M,N两点，过M,N作l的垂线，垂足分别为C,D，直线MD,NC交于点H，求△MNH面积的最小值．26(2024·浙江绍兴·二模)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点到准线的距离为2，过点A2,2作直线交C于M，N两点，点B-1,1，记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.(1)求C的方程；(2)求3k1k2-2k1+k2的值；(3)设直线BM交C于另一点Q，求点B到直线QN距离的最大值.27(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知抛物线C:y2=2px的焦点F，直线l过F且交C于两点M、N，已知当MF=3NF时，MN中点纵坐标的值为23 3.(1)求C的标准方程.(2)令F -p 2 ,0，P为C上的一点，直线F P，FP分别交C于另两点A，B.证明：AF PF·PFBF=1.(3)过A,B,P分别作C的切线l1,l2,l3，l3与l1相交于D，同时与l2相交于E，求四边形ABED面积取值范围.28(2024·河北保定·二模)平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高所在直线的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍.已知△ABC的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，A13,0.(1)若E3,0，点B在第二象限，直线BC⊥x轴，求点B的坐标；(2)若A，D，E三点共线，椭圆T：x2a2+y2b2=1a>b>0与△ABC内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.29(2024·浙江杭州·模拟预测)设双曲线C :x 22-y 2=1，直线l :y =x +m 与C 交于A ,B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于A ,B 的P ,Q 两点，使得PA ⋅PB =QA ⋅QB=t .(i )当t =4时，求P ,Q 到点-2m ,-m 的距离(用含m 的代数式表示)；(ii )当t =2时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点-m ,m ，求d 的取值范围.30(2024·湖北·一模)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 1为左焦点，且△ABF 1的面积为32．(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．(i )若点P 1,32，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设△APF 和△CDF 的面积分别为S 1，S 2若S 1-S 2=32，求点D 的坐标：(ii )若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2k QN -k QC 为定值，并求出此定值(其中k QN 、k QC 分别为直线QN 和直线QC 的斜率)．。

专题01 二次函数范围问题1. （2022舟山中考）已知抛物线：（）经过点．（1）求抛物的函数表达式．（2）将抛物线向上平移m （）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线上，求m 的值．（3）把抛物线向右平移n （）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n 的取值范围．1L 2(1)4y a x =+-0a ≠(1,0)A 1L 1L 0m >2L 2L 1L 1L 0n >3L (8,)P t s -(4,)Q t r -3L 6t >s r >2. （2022丽水中考）如图，已知点在二次函数的图象上，且．（1）若二次函数的图象经过点．①求这个二次函数的表达式；②若，求顶点到的距离；（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧，求a的取值范围．()()1122,,,M x y N x y 2(2)1(0)y a x a =-->213x x -=(3,1)12y y =MN 12x x x ≤≤3.（2022嘉兴中考）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．4. （2022自贡中考）已知二次函数．（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；（3）若且，一元二次方程 两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小．()20y ax bx c a =++≠1a =-()0,3()2,5-x 3y ≥x 0a b c ++=a b c >>20ax bx c ++=a c -121P c,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭()132Q c,y +12,y y5. （2022长春中考） 在平面直角坐标系中，抛物线（b 是常数）经过点．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （）．以点A 为中心，构造正方形，，且轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式：（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接．当时，求点B 的坐标；（3）若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，或者y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m 的值．2y x bx =-()2,00m ≠PQMN 2PQ m =PQ x ⊥BC 4BC =0m >PQMN 34两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ，BD ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求的度数；（2）若，求m 的值；（3）若在第四象限内二次函数（m 是常数，且）的图像上，始终存在一点P ，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．OBC ∠ACO CBD ∠=∠2221y x mx m =-+++0m >75ACP ∠=︒6. （2022苏州中考） 如图，在二次函数（m 是常数，且）的图像与x 轴交于A ，B 2221y x mx m =-+++0m >．点在此抛物线上，其横坐标为．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．①求值；②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．的(0,3)B P m P x m P P 2m -m PA PAQ Q Q 7. （2022吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点2y x bx c =++b c (1,0)A（1）若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值；（2）若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围．（3）阅读下面材料：设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以；②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即；③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需．综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为：请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围．1a =()1,4-()2,11a =2b =-1c m =+x m 0a >x A B A B a b c x 2Δ40b ac =->A B 0x =x 0c >A B 02b a-<a b c 20Δ40002a b ac c b a >⎧⎪=->⎪⎪>⎨⎪⎪-<⎪⎩223y ax x =-+1x =x a 8. （2022永州中考） 已知关于的函数．x 2y ax bx c =++（1）如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．x ()3,0A y ()0,3B -AB P A P PH x ⊥H AB M P M PH P 43y x n =+y C 2y x bx c =++()3,0D -CD CDFE F x CE b 9. （2022湘潭中考）已知抛物线．2y x bx c =++点C ，线段CB ∥x 轴，交该抛物线于另一点B ．（1）求点B 的坐标及直线AC 的解析式；（2）当二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的自变量x 满足m ≤x ≤m+2时，此函数的最大值为p ，最小值为q ，且p ﹣q ＝2，求m 的值；（3）平移抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3，使其顶点始终在直线AC 上移动，当平移后的抛物线与射线BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n ，请直接写出n的取值范围．10．（2022天门中考）（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3的顶点为A ，与y 轴交于线由直线平移得到，与轴交于点．四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．（1）填空：______，______；（2）若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；（3）当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．①当时，直接写出的取值范围；②求的取值范围．l BC y ()0,E n MNPQ ()1,3M m m ++()1,N m m +()5,P m m +()5,3Q m m ++=a b =M l M k y x=2n l MNPQ 22y ax bx =+-l l l MNPQ 22y ax bx =+-3m =-n m 11. （2022宜昌中考） 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直22y ax bx =+-x ()1,0A -()4,0B y C象中y 轴左侧部分沿x 轴翻折，保留其他部分得到新的图象C ．（1）求b 的值；（2）①当时，图象C 与x 轴交于点M ，N （M 在N 的左侧），与y 轴交于点P ．当为直角三角形时，求m 的值；②在①的条件下，当图象C 中时，结合图象求x 的取值范围；（3）已知两点，当线段与图象C 恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．0m <MNP △40y -≤<(1,1),(5,1)A B ---AB 12.（2022大庆中考） 已知二次函数图象的对称轴为直线．将二次函数图2y x bx m =++2x =2y x bx m =++13. 已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）如图，过点A 的直线与抛物线的另一个交点为C ，点P 为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P 的纵坐标为m ，当时，求m 的值；（3）将线段AB 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN ，若抛物线与线段MN 只有一个交点，请直接写出a的取值范围．2y x 2x 3=-++:1l y x =--PA PC 、PA PC =2(23)(0)y a x x a ++≠=-14. （2022北京中考） 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为（1）当时，求抛物线与y 轴交点的坐标及的值；（2）点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．xOy (1,),(3,)m n 2(0)y ax bx c a =++>.x t =2,c m n ==t 00(,)(1)x m x ≠,m n c <<t 0x15．（2022江西中考）（9分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达点，且此时，，求基准点的高度；②若时，运动员落地点要超过点，则的取值范围为 ；（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由．K K OA 66m K 75m h (m h A ()y m ()x m 2(0)y ax bx c a =++≠c K 150a =-910b =K h 150a =-Kb 25m 76m K16. （2022安徽中考）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN 与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段，，，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED 上．设点横坐标为，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．的1P 4P 1234PP P P 12PP 23P P 34P P 2P 3P 1P ()06m m <≤1234PP P P 1P 1P 4P。