考点52 抛物线(教师版) 备战2020年高考理科数学必刷题集

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

抛物线（易错必刷25题4种题型专项训练）➢抛物线的定义➢抛物线的方程➢抛物线的焦半径➢直线与抛物线的位置关系一．抛物线的定义（共5小题）1．已知抛物线214y x =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．1716B ．5C ．6D ．【答案】B【详解】依题意，由抛物线的定义知，点A 到抛物线焦点的距离即点A 到准线1y=-的距离，即4(1)5--=.故选：B.2.（多选）已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3M m -到焦点的距离为5，则m 的值为（ ）A ．B ．-C ．D ．-3.,P Q 分别是抛物线 22x y = 和 x 轴上的动点， ()2,1M - ，则 PM PQ + 的最小值为（ ）A ．5B ．52C D ．24．已知点()01,P y 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，且点P 到C 的焦点距离为2，则p = ．【答案】2【详解】抛物线准线方程为故答案为：2.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，且点M 到直线2x =-的距离为6，则MF = .二．抛物线的方程（共3小题）6.已知曲线()2024log 3y x =-过抛物线2:C y mx =的焦点，则C 的准线方程为（ ）A ．14=-x B ．4y =-C ．4x =-D ．14y =-【答案】C【详解】易知函数()2024log 3y x =-过x 轴上定点()4,0，即为C 的焦点，故C 的准线方程为4x =-.故选：C.7.过抛物线C ：22y px =（0p >）的顶点O ，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为A ，若8OA =，则抛物线的方程为 ．由题意可知4,OB AB ==代入抛物线方程得488p =故答案为：212y x=8.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22142x y-=的渐近线相交于A 、B 两点，若ABF △的周长为42，则抛物线方程是 ．故答案为：24y x=三．抛物线的焦半径（共8小题）9．设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()00,P x y 为C 上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为A ，若3PF PA =，则cos FPA Ð=（ ）A ．223B ．2-C ．13D ．13-所以022,y O =为原点，10.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若4AF BF =，则AF = .11.已知M 是抛物线28y x =上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点．若120MFO Ð=o ，则线段MF 的长为 .【答案】8【详解】如图所示：设MF a =，易求(F 因为 120MFO Ð=o 所以在Rt MEF V ，ME 所以 132,22M a æ+ççè12.已知抛物线216y x =，的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆C ：()()22624x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为 .13.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 、B 是抛物线C 上不同的两点，且A 、B 中点的横坐标为2，则AF BF += .【答案】6【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由A ，B 中点的横坐标为2，可得124x x +=，所以||||+=AF BF 12116x x +++=．故答案为：6.14.直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点.若3AF BF =，则AB =（ ）A ．83B ．3C ．163D ．32设1122()A x y B x y ,,(,)，则由3AF BF =，得1y 由3AF BF =，得1x 联立解得3x =，x =15．（多选）设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线方程是=1x -B ．焦点到准线的距离为4C ．若()2,1A ，则PA PF +的最小值为3D ．以线段PF 为直径的圆与y 轴相切由抛物线的定义，得PF因此，以PF 为直径的圆与故选：ACD16．（多选）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是．（ ）A ．若O 为线段PQ 中点，则l 的斜率为±2B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ^D ．PFQ △面积的最小值为2若O 为PQ 中点，则OHP △即H 与焦点F 重合，所以x 代入方程24y x =，得P y =±所以直线l 的斜率为2PPy x =±B 项，若4=PF ，则PF =四．直线与抛物线的位置关系（共9小题）17．（多选）在平面直角坐标系中，过抛物线C ：24y x =的焦点F 作一条与坐标轴不平行的直线l ，与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线OB 与准线交于点D ，则0AD k =B ．对任意的直线l ，121x x =C ．2AF BF +的最小值为3+D ．以AF 为直径的圆与y 轴的公共点个数为偶数【答案】ABC【详解】对于A ，点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)在抛物线C ：24y x =上，18．已知抛物线2:4C y x =的焦点为,,F A B 为C 上的两点．若直线FA 的斜率为12，且0FA FB ×=，延长,AF BF 分别交C 于,P Q 两点，则四边形ABPQ 的面积为．【答案】50【详解】由题可知，抛物线的焦点坐标为119.斜率为2的直线l 与抛物线2y px =相交于A 、B 两点，若A 、B 两点的中点为()2,1M ，则p 的值是 20.已知抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，y 轴被以AB 为直径的圆所截得的弦长为6，则AB = ．【答案】10【详解】抛物线C ：24y x =的焦点故设直线AB 的方程为y 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)．则()24,1,y x y k x ì=ïí=-ïî即22k x ()2222Δ244k k k =+-×21．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P ，12PF F V (1)求椭圆C 的方程；(2)过点P 的直线l 交椭圆C 于另一点A ，若212PAF PF F S S =△△，求l 的方程.直线()1:261AF y x =-+，联立()22261143y x x y ì=-+ïí+=ïî，消去y 得，23364280x x ++=，解得23x =-或1411x =-，当23x =-时，22626133y æö=--+=-ç÷èø，22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，抛物线24x y =的焦点为点F ，过点F 作y 轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，||PQ =．(1)求椭圆的标准方程；(2)过抛物线上一点A 作抛物线的切线l 交椭圆于B ，C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴于点G ，若GED V ，FOD V 的面积分别记为1S ，2S ，且121849S S =，点A 在第一象限，求点A 的坐标．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，且其一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AB 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点(2,1)M -是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.24．已知抛物线21:3C y x =及抛物线22:2(0)C y px p =>，过2C 的焦点F 的直线与1C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ^.过F 的两条直线MN ，PQ 与2C 交于M ，N ，P ，Q 四点，其中M ，P 在第一象限，若直线MP 与x 轴的交点为(),0T t .(1)求2C 的方程；(2)若2t=-，求直线NQ与x轴的交点的坐标；(3)是否存在点T，使得M，N，P，Q四点共圆？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.（2）由（1）可得设直线MN的方程为由2123y xx myì=í=+î，得（3）由（2）可得1y y 若M ，N ，P ，Q 四点共圆，则有即2212331212y y æöæö++=ç÷ç÷èøèø即22223124y y y y +=+，所以25．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且90MFN Ð=°，求MFN △面积的最小值．【答案】(1)2p =；∵F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x my n=+，M由24y xx my nì=í=+î可得，24y-。

2020高考数学押题专项练习抛物线篇1．（2020·广西柳州高级中学高三开学考试（文））若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【详解】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．2．（2020·湖南高三期末（理））已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C 【解析】【分析】根据圆的几何性质，结合抛物线的定义，根据F 到准线的距离，求得AF . 【详解】因为,,A F B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥.由抛物线定义知1||2||||2AD EF AF AB ===，所以30ABD ︒∠=.因为F 到准线的距离为6，所以||||2612AF BF ==⨯=.3. （2020·河北高三期末（文））如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m ，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（ ）A ．6mB ．6.5mC ．7.5mD ．8m【答案】D 【解析】【分析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m 时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:设宽度为36m 时与抛物线的交点分别为,A B .当宽度为12m 时与抛物线的交点为,C D .当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m ，由抛物线性质可知236p =,则抛物线方程为236x y =-，则()18,9A -，当宽度为12m 时,设()6,C a 代入抛物线方程可得2636a =-,解得1a =-，所以直线AB 与直线CD 的距离为()()198h =---=，即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m ，故选:D【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,抛物线几何性质的应用,属于基础题.4.（2020·辽宁高三期末（理））抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与C 交于A ，B 两点，若8AB =，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】设过F 且斜率为1的直线方程为2py x =-,与抛物线方程联立可得根与系数关系,再利用弦长公式()21212||(11)4AB x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦,即可得出p .【详解】设过F 且斜率为1的直线方程为2p y x =-,联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,化为22304p x px -+=,设()()1122,,,A x y B x y ,则212123,4p x x p x x +==,()()2221212||(11)4298AB x x x x p p ⎡⎤∴=++-=-=⎣⎦,解得2p =.故选:C.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题、根与系数、弦长公式,属于中档题.5. （2019·天水市第一中学高三月考（理））设抛物线2:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>u u u v u u u u v，若4MF =，则λ的值（ ）A ．32B ．2C ．5 2D ．3【答案】D 【解析】【分析】过M 向准线l 作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得''MM FF =MN NF=1λλ-，即可得出结论．【详解】过M 向准线l 作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得''MM FF =MN NF=1λλ-，又4MF =，∴|MM′|=4，又|FF′|=6， ∴''MM FF =46=1λλ-，3λ∴=.故选D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. （2020·广东高三期末（理））直线过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于,两点，若线段,AF BF 的长分别为,m n ，则4m n +的最小值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解4m n +的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知1121m n p +==，则()1144445529m n m n m n m n m n n m n m ⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当3,32m n ==时等号成立.即4m n +的最小值是9.本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.（2020·江西高三期末（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF与抛物线C 的一个交点，若3FP FQ u u u r u u u r=，则||QF 的值为（ ）A ．43B ．32C ．2D ．3【答案】A 【解析】【分析】作图，根据抛物线上一点到焦点的距离等于这一点到准线的距离，得到MQ FQ =，再利用3FP FQ=u u u r u u u r ，得到23MQ FN =，代入2FN =，求解即可. 【详解】根据题意，如图，24y x =的焦点(1,0)F ，准线l ：1x =-，过点Q 作准线l 的垂线，并交准线l 于点M ，3FP FQ =u u u r u u u r ⇒3FP FQ=⇒23PQ PF=， 由相似，23MQ FN =，因为2FN =，所以43MQ =， 又MQ FQ =，所以43FQ =.故选：A 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，一般和抛物线相关的题，一定考虑抛物线上的点到到焦点的距离等于这一点到准线距离的转化，还考查数形结合和转化的思想，属于基础题. 8．（2020·江西高三期末（文））已知点11,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭和抛物线2:2C x y =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若PA PB ⊥u u u r u u u r，则直线斜率k 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】【分析】由题可先求出焦点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线AB 的方程，直线与抛物线联立方程组得：22210x kx --=，可得韦达定理，再根据PA PB ⊥u u u r u u u r结合韦达定理，计算出斜率k .【详解】因为抛物线2:2C x y =，焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过焦点的直线AB 的方程为：12y kx =+， 设()()1122,,,A x y B x y 联立2212x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2210x kx --=，所以12122,1x x k x x +==-，又因为PA PB ⊥u u u r u u u r ，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r 得1122111,1,022x y x y ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()11221,11,10x kx x kx -+⋅-+= 化简得()()()()121211110x x kx kx --+++=，得：()()()212121120kx x k x x ++-++=代入12122,1x x k x x +==-，得：2210k k -+= ，解得：1k =.故选:D.【点睛】本题考查抛物线与直线的综合运用，涉及抛物线的焦点坐标，点斜式方程，联立方程组，向量垂直，结合韦达定理化简运算.9. （2020·内蒙古高三期末（理））设抛物线C :2x py =(0p >)焦点为F ,点M 在C 上,且3MF =,若以MF 为直径的圆过点()2,0,则C 的方程为( )A ．24x y =或28x y =B ．22x y =或24x y =C ．24x y =或216x y =D ．22x y =或216x y =【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线C :2x py =(0p >),可得其焦点坐标为:0,4p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线为4p y =-,设(),M x y ,故M 点到准线的距离为:+4py ,根据抛物线定义可得:+4p MF y =,画出图形,结合已知,即可求得答案.【详解】设以MF 为直径的圆的圆心为N ，画出几何图形:Q 抛物线C :2x py =(0p >)，其焦点坐标为:0,4p ⎛⎫⎪⎝⎭,准线为4p y =-，设(),M x y ,故M 点到准线的距离为:4p y +根据抛物线定义可得:+4p MF y =，∴ 344p py MF =-=- 根据中点坐标公式可得:,M F 的中点N 为:2,22p y x ⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭Q 以MF 为直径的圆过点()2,0,根据几何关系可得:22x=，∴ 22x =∴ 22,34p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 代入2x py =，可得()22234p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即:212320p p -+= 解得4p =或8p =∴C 的方程为:24x y =或28x y =，故选:A.【点睛】本题考查了求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线的定义和根据题意画出几何图形,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．（2020·湖北高三月考（文））已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k，且12k k ⋅=l 恒过定点（ ）A．(- B．(- C．(- D．(【答案】C 【解析】【分析】设直线l 为x my n =+,与抛物线方程联立可得2660y my n --=,即126y y n =-,利用斜率公式代入12k k ⋅=n ,进而得出结论【详解】设直线l 为x my n =+,联立26x my ny x =+⎧⎨=⎩,消去x 可得2660y my n --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,所以126y y n =-,因为12k k ⋅=即1212y y x x ⋅=所以122212123636666y y y y y y n ===-⋅所以n =-所以x my =-所以直线l一定过点()-,故选:C【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用11. （2020·福建高三期末（理））已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则4AF BF +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．9D ．12【答案】C 【解析】【分析】当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，从而可得121x x ==，利用焦点弦公式求出4AF BF +；当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 方程：()1y k x =-，将直线方程与抛物线方程联立，可得121=x x ，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知1212444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭，当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，所以121x x ==，即410AF BF +=；当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 方程：()1y k x =-，则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，整理可得()222240k x k x k -++=，所以121=x x ，所以122214454559AF BF x x x x +=++=++≥=，当且仅当211,22x x ==时，取等号， 故4AF BF +的最小值为9.故选：C【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式以及基本不等式求最值，属于基础题.12. （2020·河南高三期末（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M 、N 和M 、P 两点，其中直线2l 过点F ，MR RN =u u u v u u u v，(),R R R x y .若2R py MN =-，则当MFN ∠取到最大值时，MP =（ ） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】B 【解析】【分析】先求出p 的值，得出抛物线C 的方程为24x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出2MF NF MN +=，然后在MNF ∆中利用余弦定理可求出cos MFN ∠的最小值，由等号成立的条件可知MNF ∆为等边三角形，可设直线2l的方程为1y =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出MP .【详解】依题意，可知2p =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由抛物线定义可得122y y MF NF ++=+.因为2R py MN =-，即1212y y MN +=-，所以2MF NF MN +=. 由余弦定理可得()2222236111cos 284842MF NF MF NF MNMF NF MFN MF NFMF NFMF NF++-⋅∠==-≥-=⋅⋅⋅，当且仅当MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为3π，此时MFN ∆为等边三角形，不妨直线MP 的方程为1y=+，联立241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得240x --=，故13x x +=)1313214y y x x +=++=，故16MP =.故选：B.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.13. （2020·上海高三）若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为________.【答案】2 【解析】【分析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m 的值．【详解】由抛物线方程得：焦点坐标,04m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴142m =，2m ∴=，故答案为：2．【点睛】本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．14.（2020·吉林高三期末（理））抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为______.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M 纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M 到坐标原点的距离即可. 【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=，可得OM ==． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．15. （2020·湖南高三月考（文））过抛物线C :2y x =上的一点M (非顶点)作C 的切线与x 轴､y 轴分别交于A ､B 两点，则MAMB=______. 【答案】12【解析】【分析】利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果.【详解】由2y x =，则2y x '=.设点()()200,0M x x x≠,则曲线C 在M 处的切线的斜率为02k x =.所以曲线C 在M 处的切线方程为：20002()y x x x x -=-.即2002y x x x =-.所以()2000,0,2x A B x ⎛⎫-⎪⎝⎭， 由,,M A B 三点的坐标可得，A 点为BM 的中点.所以12MA MB =.故答案为：12【点睛】本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题.16. （2020·安徽高三月考（文））已知点()0 2A ，，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若此抛物线的准线上存在一点P ，使得APF ∆是以APF ∠为直角的等腰直角三角形，则p 的值等于___________. 【答案】43【解析】【分析】根据题意作出图形,设点0,2p P y ⎛⎫-⎪⎝⎭,在Rt APF ∆中利用22,2AP PF PF AP ==，建立关于0,p y 的方程,解方程即可求解.【详解】根据题意作图如下：因为APF ∆是等腰直角三角形, APF ∠90=o ,所以22,2AP PF PF AP ==,即()()22220022224424p y p y p p y ⎧+-=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩,整理得2016163y p -=()01y <代入()2220424p p y +=+，整理化简得,20031480y y -+=,解得002,43y y ==，因为01y <,所以 20216,39y p ==，因为0p >,所以43p =.故答案为:43【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其简单几何性质;重点考查学生的运算能力和数形结合思想的应用;属于中档题.17．（2020·黑龙江高三期末）若抛物线24y x =的一点P 到其准线的距离为3，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．32B ．2C ．22D ．42【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义，求解点P 的横坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】由题意，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，由P 到其准线的距离为3，则有2P x =，代入抛物线方程，解得22P y =±，则点P 到x 轴的距离是22故答案为：22 【点睛】本题考查抛物线的准线方程，属于基础题.18.（2020·四川省金堂中学校高三）已知抛物线214y x =的焦点F 是椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A 、B 两点，若FAB ∆是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B 1C ．3D 1【答案】C 【解析】抛物线214y x =，即24x y =，焦点为()01，，故1c =，22c =，FAB Qn 为正三角形，则边长为3故43a =a =c e a ===，故选C19．（2020·新疆高三期末）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则||MD =（ ）A ．4B ．C ．2D【答案】B 【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M 的坐标，即可得N 点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D 的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD 的长度. 【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点()1,0F ，故直线FM 的方程为)1y x =-，联立抛物线方程24y x =可得231030x x -+=，解得13x =或3x =，因为点M 在第一象限，故可得(M .又因为准线方程为1x =-，故可得(N -.则直线FN 的方程为)1y x =-，令0x =，解得y =(D .故MD ==.故选B.【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.20．（2020·山西高三月考）已知点P 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上的一点，且10PF =，点Q是直线1:230l x y -+=与2:260l x y +-=的交点，若PQ QF ⊥，则抛物线的方程为（ ）A ．24y x =B ．24y x =或236y x =C ．212y x =D ．212y x =或228y x =【答案】B 【解析】【分析】依题意，(,0)2pF ；设200(,)2y P y p ，求出Q 点坐标，由PQ QF ⊥列出关于p 与0y 的方程可得0y 的值，由10PF =可得p 的值，可得答案.【详解】依题意，(,0)2pF ；设200(,)2y P y p ，联立230260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得0,3x y ==，故()0,3Q ，200(,3),(,3)22p y QF QP y p =-=-u u u r u u u r ；因为PQ QF ⊥，故220000(,3)(,3)=3(3)0224p y y QF QP y y p ⋅=-⋅---=u u u r u u u r ，解得06y =，且18(,6)P p ；又由10PF =10，解得2p =或18p =，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质，需灵活运用已知条件解题，属于中档题. 21.（2020·山西高三月考）已知点F 是抛物线22(0)y px p =>（O 为坐标原点）的焦点，倾斜角为3π的直线l 过焦点F 且与抛物线在第一象限交于点A ，当2AF =时，抛物线方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】B 【解析】【详解】过点A 作AB x ⊥轴于点B ，则Rt ABF ∆中，060,2AFB AF ∠==，所以1cos 1,sin 2BF AF AFB AF AB AF AFB =∠===∠=，所以点A的坐标为0(x，得020122p x px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得1p =，所以所求抛物线的方程为22y x =，故选B.22．（2020·汕头市潮阳实验学校高三月考）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率大于0的直线l 交抛物线于点,A B （点A 位于第一象限），交其准线于点C ，若3BC BF =，且3AF =，则直线AB 的方程为（ ）A．0y --= B0y --= C．0y --= D0y -=【答案】A 【解析】【分析】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .根据抛物线的定义得1BB BF =，由3BC BF =，1cos CBB ∠13=，从而得出直线的斜率，再根据三角形相似求得p ，由直线的点斜式得出直线的方程.【详解】作出图象如下图所示，作1AA ⊥准线于1A ，1BB ⊥准线于1B ，11FF AA ⊥于1F .在1Rt BCB ∆中，11||cos ||BB CBB BC ∠=||1||3BF BC ==，1tan CBB ∴∠=l ∴的斜率为11BCB AFF ∆∆:，11||||13AF AF ∴==，11||2p A F ∴==，所以()1,0F ，∴直线AB的方程为1)y x =-，即0y --=，故选A.【点睛】本题考查抛物线的定义，标准方程，以及直线的方程，关键在于将已知条件中的线段间的关系通过抛物线的定义转化为角的关系，得出直线的斜率，属于中档题.23．（2020·湖南明达中学高三）已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ）A．2BCD【答案】C 【解析】【分析】利用抛物线的几何性质，求得,E F 的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为1cos PEFμ=∠的形式.根据余弦函数的单调性可以求得μ的最大值.【详解】由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PE FEP PF μ∠==∠11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠，cos y x =Q 在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max μ∴== C.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.24．（2020·宁夏大学附属中学高三月考（文））已知圆22:1O x y +=，直线:l 250x y -+=上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用数形结合思想可得，当OP 最小时，PA 有最小值，通过几何分析可知，当OP l ⊥时，OP 有最小值，代入点到直线的距离公式求出圆心O 到直线:250l x y -+=的距离即为OP 的最小值，利用勾股定理即可求出PA 的最小值.【详解】根据题意，作图如下:因为PA 为圆O 的切线，所以PA AO ⊥，在PAO ∆中，由勾股定理可得，PA ==，所以当OP 最小时，PA 有最小值，结合图形可知，当OP l ⊥时，OP 有最小值，由点到直线的距离公式可得，圆心O 到直线:250l x y -+=的距离为d ==即OP 此时PA 有最小值为2.故选D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和切线长公式的应用；利用数形结合思想、转化与化归的思想以及点到直线的距离公式是求解本题的关键；属于中档题.25．（2020·南昌市新建区第二中学高三）已知圆C ：228140x y y +-+=，直线l ：310mx y m --+=与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点.设圆C 上任意一点P 到直线的距离l 为d ，若d 取最大值时，PAB ∆的面积（）A ．B ．8C ．6D ．【答案】B 【解析】【分析】直线l ：310mx y m --+=过定点()3,1M ，当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大，求出最大距离d 以及AB ，进而可得PAB ∆的面积.【详解】直线l ：310mx y m --+=过定点()3,1M ，圆C ：228140x y y +-+=的圆心()0,4C，半径r =当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大，∵1MC k =-，∴1l k =，即直线l 方程为20x y --=， 则()2,0A ，()0,2B -，AB =C 到直线l=P 到直线l的最大距离d r ==PAB∆的面积182S =⨯=，故选B. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当MC l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大是关键，是中档题.26．（2020·湖南长沙一中高三月考）已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于P ，Q 两点，则||||AB PQ +的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．20D ．10【答案】A 【解析】【分析】设1l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是1212,y y y y +，由弦长公式求得弦长AB ，由垂直得2l 方程，同理可得PQ ，求出AB PQ +，应用基本不等式可得最小值．【详解】设1l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入得2440y my --=，故124 y y m +=，124y y =-．则()2||41AB m ==+，同理21||41PQ m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，221||||4216AB PQ m m ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭…，当且仅当1m =±时取“=”，故选A ．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，采取设而不求思想求弦长．27．（2020·湖南长郡中学高三月考）已知A ，B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，||AB =（ ）A B C D 【答案】A 【解析】【分析】求出圆C 的圆心与半径，可得当PA ，PB 是圆C 的切线时，APB ∠取得最大值，即A ，B 是圆C 的切点，利用距离公式及函数的导数求解最值，然后转化求解即可.【详解】依题意可得，当PA ，PB 是圆C 的切线时，APB ∠取得最大值，即A ，B 是圆C 的切点，设2APB α∠=，2002x P x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.∵圆22:82160C x y x y +--+=，∴圆心(4,1)C ，半径为1，从而1sin PCα=， ∵()2222000404181724x x PC x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令4()8174x f x x =-+，则3()8f x x '=-.∴当2x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,2)-∞上为减函数；当2x >时，()0f x '>，即函数()f x 在(2,)+∞上为增函数.∴min ()(2)5f x f ==，即min PC =∴max (sin )α=，此时APB ∠最大.∴2cos 2cos AB AC αα===.故选A. 【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合及导数在函数单调性中的应用，考查学生利用数形结合的思想解决问题的能力.28.（2020·榆树市第一高级中学校高三期末）抛物线2:2(0)C x py p =>焦点F 与双曲线22221y x -=一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于M 、N ，若OMN ∆的面积为4，则||AF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】双曲线的一个焦点为()0,1F ，所以2p =，设点211,4x A x ⎛⎫⎪⎝⎭，则利用导数得到A 处切线方程21124x x y x =-，求出,M N 的坐标后利用OMN ∆的面积为4得到14x =±，最后利用焦半径公式可求AF . 【详解】双曲线的一个焦点为()0,1F ，所以2p =.设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故抛物线在点A 处切线的斜率为12x k =，切线方程为()22111112424x x x x y x x x =-+=-，所以211,0,0,24x x M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以311428OMN x S ∆==，故14x =±，2141542x pAF =+=+=，故选C.【点睛】若求抛物线()220x py p =>上点A 的切线，我们一般可利用导数求出切线的斜率，再结合切线方程讨论相关问题.注意求焦半径的大小时应利用抛物线的焦半径公式来求.29.（2020·江苏金陵中学高三开学考试）已知抛物线24y x =上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______． 【答案】(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=±，即这点的坐标为()4,4±．30.（2020·天津市和平区教育局高三月考）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点M 的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，||2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=__________． 【答案】45【解析】设F 到直线AB 的距离为d ，则1·21·2BCFACFBC d BC BB S S AC AA AC d '=='=V V 设AB：(y k x =-代入22y x =中易得123x x =，从而可得32,,2A B x x ==54,225BCF ACF S AA BB S ∴==∴''=V V . 31.（2020·江西省宁都中学高三月考）过抛物线()2:20C y px p =>的焦点且斜率为2的直线与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与C 的准线有公共点M ，若点M 的纵坐标为2，则p 的值为______.【答案】4. 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为N 分析可得以AB 为直径的圆与C 的准线相切.再利用点差法求点M 的纵坐标即可求得p 的值.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭，则12AB x x p =++，故半径为122x x p ++，又中点1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭到准线2p x =-的距离为122x x p ++.故以AB 为直径的圆与C 的准线相切，且12,22y y p M +⎛⎫-⎪⎝⎭为切点.故1222y y +=，即124y y +=，又()2221112121221212222222y px y y p y y p x x x x y y y px ⎧=-⇒-=-⇒=⎨-+=⎩，又直线斜率为2，124y y +=，故2244pp =⇒=.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了点差法求解弦中点的问题，同时也考查了焦点弦与准线的性质.属于中等题型. 32.（2020·河南高三）已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|12|NF =，则p =__________． 【答案】8【解析】【分析】设()0,E b ，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由M 为EF 的中点，求得()E ，直线EF 的方程代入22y px =，得22450x px p -+=，求得点N 的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解． 【详解】设()0,E b ，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为M 为EF 的中点，所以点M 的坐标为,4p y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22242p p y p =⨯=，即,42p M p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又由022b p +=，则b =，即()E ，直线EF 的方程为y =-，代入22y px =，得22450x px p -+=，设(),N x y ，则544p x p +=，解得x p =，由抛物线的定义得：122pNF p =+=，解得：8p =．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．33．（2020·广西蒙山中学高三）抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()1,0D ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线y 2=2px 的焦点坐标为（2p，0），即有p=2，即可得到焦点坐标为()1,0. 【详解】抛物线y 2=2px 的焦点坐标为（2p，0），则抛物线y 2=4x 的2p=4，解得 p=2，则焦点坐标为（1，0），故选C【点睛】本题考查抛物线的方程和性质, 抛物线y 2=2px 的焦点坐标为（2p，0）.是基础题. 34.（2020·荆门市龙泉中学高三）抛物线2y ax =的焦点是直线x y 10+-=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A ．1x 4=-B ．x 1=-C ．1y 4=-D ．y 1=-【答案】D 【解析】【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得a 的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在y 轴上，直线10x y +-=与y 轴交点为()0,1，故111,44a a ==，即抛物线的方程为24x y =，故准线方程为1y =-，故选D.【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.35．（2020·江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知双曲线()222103y x t t -=>的一个焦点与抛物线218y x =的焦点重合，则实数t 等于（ ）A．1 B ．2C ．3D【答案】A 【解析】【分析】计算抛物线的焦点为()0,2，得到234t +=，解得答案. 【详解】抛物线218y x =，即28x y =的焦点为()0,2.故234t +=，故1t =.故答案为：1. 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的焦点问题，意在考查学生对于双曲线和抛物线的理解.36．（2020·北京高三）如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =（ ）A．±B ．C ．±D ．【答案】C 【解析】【分析】先求出抛物线22y px =的准线方程，然后根据点()4,A m 到准线的距离为6，列出462p+=，直接求出结果.【详解】抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，由题意得462p+=，解得4p =.∵点()4,A m 在抛物线22y px =上，∴2244m =⨯⨯，∴m =±±【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.37．（2020·河南高三）已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12【答案】D 【解析】 【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 联立()2222212404y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩（）， 则212222442k x x k k++==+，因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k=+，所以41612λ=-=-故选：D. 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

抛物线专练-2020年高考数学热点题型和提分秘籍1．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x【解析】由题意可知p >0，因为抛物线y 2＝2px ，所以其准线方程为x ＝－p2，因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以|－p2－2|＝4，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x 。

故选C 。

9．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．25－1B ．2 5C ．3D ．4 【答案】C【解析】设抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，过点P (x 0，y 0)作准线l ：x ＝－1的垂线，垂足为N ，则x 0＋|PQ |＝|PN |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|CF |－2＝＋2＋42－2＝5－2＝3，当且仅当C ，P ，F 三点共线且点Q 在线段CF上时取等号，则x 0＋|PQ |的最小值是3，故选C ．10．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB→＝λAB →，则实数λ为( )A ．13B ．12C ．3D ．2 【答案】D11．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________________．【答案】t >0或t <－3【解析】因为直线l 与圆相切，所以|t ＋1|1＋k 2＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0， 解得t >0或t <－3.12．设抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F .若抛物线C 上点P 的横坐标为2，则|PF |＝________.【答案】52【解析】由题意知p ＝1，点P 的横坐标x P ＝2，则由抛物线的定义，得|PF |＝x P ＋p 2＝2＋12＝52.13．已知点P (2,1)，若抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好是以P 为中点，则弦AB 所在直线方程是________．【答案】2x －y －3＝0【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2，且y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得2(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，且x 1≠x 2，则直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，又弦AB 过点P ，则所求直线方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__________.【答案】2315．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (a ，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。

微专题04 抛物线——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】抛物线的定义、标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，题型仍将是选择题、填空题，有时出现解答题，分值5~12分,重点考查考生的数学运算的核心素养.考点一抛物线的定义、标准方程与几何性质【必备知识】1、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.数学表达式:|MF|=d(其中d为点M到准线的距离).p的几何意义:焦点F l【常用结论】1、过焦点垂直于对称轴的弦称为通径,通径长等于2p,是过焦点最短的弦.2、四倍关系:ax y =2的焦点坐标为)0,4(a ，准线方程为4ax -=.3、如图,AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的一条弦,设),(),,(2211y x B y x A ,AB 的中点),(00y x M ,相应的准线为l ，(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切.(2)p x x AB ++=21）（220px +=(焦点弦长与中点关系). (3)若直线AB 的倾斜角为α,则α2sin 2pAB =.(4)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即2212214p y y p x x -=⋅=⋅，. (5)BF AF 11+为定值p2. (6)焦点F 对A,B 在准线上射影的张角为90°.【典型例题】【例1】已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,若△FPM 为边长是6的等边三角形,则此抛物线的方程为________.【解析】因为△FPM 为等边三角形,所以|PM|=|PF|,由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线,设),2(2m p m P ,则点）（m p M ,2-,因为焦点）（0,2p F ,△FPM 是等边三角形,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+6)22(622222m p p pp m ，解得⎩⎨⎧==3272p m.因此抛物线方程为x y 62=.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.待定系数法求抛物线方程的步骤：（1）定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向； （2）设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程； （3）寻关系：根据条件列出关于p 的方程； （4）得方程：解方程，将p 代入所设方程为所求.【类比训练】已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点,且平行于直线x y 22=的直线交抛物线于)(),(),,(212111x x y x B y x A <两点,若 29=AB ,求该抛物线的方程. 【解析】直线AB 的方程是)2(22px y -=与px y 22=联立,得05422=+-p px x ,所以4521p x x =+, 由抛物线定义得294521=+=++=p p p x x AB ，所以p=2, 所以抛物线方程为x y 42=.【自我总结】过焦点的弦长的求解方法设过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦的端点为),(),,(2111y x B y x A ,则p x x AB ++=21,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出21x x +即可.考点二 直线与抛物线的综合问题 【必备知识】直线与抛物线位置关系的判断方法设直线b kx y l +=:,抛物线)0(22>=p px y ,将直线方程与抛物线方程联立消元得:0)22(222=+-+b x p kb x k .(1) 若02=k ,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2) 若02≠k ,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.【例2】已知过抛物线y x 42=焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点(点A 在第一象限),若3=,则直线l 的方程为( )A. 033=--y xB.033=+-y x B. 01-3=-y x D.013=+-y x【解析】选B.由题知F(0,1),设直线1:+=kx y l ,与抛物线y x 42=联立，得0442=--kx x .设),(),0(),(22111y x B x y x A >,则有⎩⎨⎧-=⋅=+442121x x kx x ①,又因为3=，所以213x x -=,与①联立解得33=k ,故直线l 的方程为133+=x y , 即033=+-y x .【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组. (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.【类比训练】 已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0),线段AB 恰被M(2,1)所平分. (1)求抛物线E 的方程. (2)求直线AB 的方程.【解析】(1)由于抛物线的焦点为(1,0),所以12=p,即p=2, 所求抛物线的方程为x y 42=. (2)解法一:设),(),,(2211y x B y x A ，则1214x y = ①,2224x y = ②,且2,42121=+=+y y x x , 由②-①得)(4))((121212y x y y y y -=-+,又21x x ≠, 所以21212=--x x y y ，所以所求直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.解法二:显然AB 不垂直于x 轴,故可设弦AB 所在的直线方程为y-1=k(x-2),k ≠0, 设),(),,(2211y x B y x A ,由⎩⎨⎧=-=-x y x k y 4)2(12消去x 整理得04842=+--k y ky ,所以k y y 421=+,又M 点是AB 的中点, 所以221=+y y ,所以k=2,故直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法（1）有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.（2）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.（3）中点弦问题解题策略两方法方法一：点差法（将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由2121x x y y k --=求斜率，再由点斜式求解）方法二：传统法（设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x 或y 得到关于y 或x 的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横）坐标的2倍，从而求斜率） 【例3】已知抛物线x y C 421=：和)0(222>=p py x C ：的焦点分别为21F F ，,点P(-1,-1),且OP F F ⊥21(O 为坐标原点).(1)求抛物线2C 的方程.(2)过点O 的直线交1C 的下半部分于点M,交2C 的左半部分于点N,求△PMN 面积的最小值.【解析】(1))2,0(),0,1(21pF F 所以)2,1(21p F F -=，则02-11-1-)2,1(21==⋅-=⋅pp F F ），（ 所以p=2,所以2C 的方程为y x 42=. (2)设过点O 的直线为y=kx,联立⎩⎨⎧==x y kx y 42得M ）（k k 4,42 联立⎩⎨⎧==y x kxy 42得N ）（24,4k k (k<0),所以|MN|=)44(14412222k k k k k k -+=-+， 点P 到直线MN 的距离211k k d +-=，所以)44(11121222k k k k k S PMN -+⋅+-⋅=∆)11(212)1()1(2)1)(1(222223++-+=++-=--=kk k k k k k k k k k ）（. 令kk t 1+=(t ≤-2),则=PMN S 2(t-2)(t+1), 当t=-2时,PMN S 有最小值8,此时k=-1.即当过原点的直线为y=-x 时,△PMN 的面积取得最小值8.【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、换元思想、函数思想，核心素养是数学运算.与抛物线有关的最值问题求解策略(1)数形结合:一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”, ①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”; ②将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”.这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (2)构造函数:将所求转化为函数求最值.做高考真题 提能力素养【选择题组】1、（2019全国II 卷 高考理科T8）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则p =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【解析】答案：D.因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．2、(2018·全国卷I 高考理科·T8)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为32的直线与C 交于M ,N 两点,则·= ( )A .5B .6C .7D .8【解析】选D .由题意知直线MN 的方程为)2(32+=x y ,F (1,0).设),(),,(2211y x N y x M ,与抛物线方程联立有{y =23(x +2),y 2=4x ,可得{x 1=1,y 1=2或{x 2=4,y 2=4,所以=(0,2),=(3,4),所以·=0×3+2×4=8.3、(2017·全国乙卷理科·T10)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线21,l l ,直线1l 与C 交于A,B 两点,直线2l 与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10【解析】选A.设直线1l 方程为)1(1-=x k y ,联立方程⎩⎨⎧-==)1(412x k y x y 得0422121221=+--k x x k x k ,设),(),,(),,(),,(44332211y x E y x D y x B y x A ,所以x 1+x 2=-221122112424k k k k --+=, 同理直线2l 与抛物线的交点满足x 3+x 4=222224k k+,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=p x x x x 24321++++=222124k k++222224k k++4=214k +224k,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号.【非选择题组】1、(2018·全国Ⅲ高考理科·T16)已知点M (-1,1)和抛物线C:y 2=4x,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若ⅢAMB=90°,则k= .【解析】由抛物线的方程y 2=4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0), 所以直线AB 的方程为y=k(x -1),由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以1,)2(2212221=+=+x x k k x x , 因为ⅢAMB=90°,所以·=(x 1+1,y 1-1)·(x 2+1,y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+(y 1-1)(y 2-1)=(x 1+1)(x 2+1)+[k(x 1-1)-1]·[k(x 2-1)-1] =(1-k -k 2)(x 1+x 2)+(1+k 2)x 1x 2+k 2+2k+2 =(1-k -k 2)2(k 2+2)k 2+(1+k 2)+k 2+2k+2=0,整理可解得k=2.答案:22、（2019全国I 卷高考理科T19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u r u u u r，求|AB |．【解析】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB =u u u r u u u rQ 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===3、（2019全国III 卷高考理科T21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【解析】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =， 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得112210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线， 所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立，所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+2222121212||1||1()42(1)AB t x x t x x x x t =+-=++-=+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则21221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()()22121||312S AB d d t t =+=++. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时42S = 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.5、(2017·浙江高考·T21)如图,已知抛物线x 2=y.点A 11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭,B 39,24⎛⎫⎪⎝⎭,抛物线上的点P(x,y)1322x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP 斜率的取值范围. (2)求PA PQ ⋅的最大值.【解析】(1)设直线AP 的斜率为k,k=21412x x -+=x -12, 因为-12<x<32,所以直线AP 斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是=Q X ()224321k k k -+++, 因为12x ⎫+⎪⎭)(x x Q -=211k k -+, 所以|PA|·|PQ|=-(k -1)(k+1)3,令f(k)=-(k -1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k -2)(k+1)2,所以f(k)在区间11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 因此当k=12时,|PA|·|PQ|取得最大值2716. 6、(2017·北京高考理科·T18)已知抛物线C:y 2=2px 过点P(1,1).过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M,N,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP,ON 交于点A,B,其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程.(2)求证:A 为线段BM 的中点.【解析】(1)把P(1,1)代入y 2=2px 得p=12,所以C:y 2=x, 所以焦点坐标1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线:x=-14. (2)设21:+=kx y l ,),(),,(2211y x N y x M , OP:y=x ,ON:x x y y 22=, 由题知),(),,(221111x y x x B y x A , 由212y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 得k 2x 2+(k -1)x+14=0, 所以22122141,1k x x k k x x =⋅-=+.所以y 1+122x y x =kx 1+12+22212k x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kx 1+1222x x x +, 由22122141,1kx x k k x x =⋅-=+, 上式=2kx 1+2211124k k k x -⨯=2kx 1+(1-k)·2x 1=2x 1, 所以A 为线段BM 的中点.。

2020高考数学冲刺复习考点44 抛物线1．（江苏省苏州市2019届高三5月高考信息卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______.【答案】13【解析】由题意知：P ，Q 关于原点对称，可设(),Q m n ，(),P m n -- 又(),0A a ，(),0F c ，则,22a m n M -⎛⎫-⎪⎝⎭ (),FQ m c n ∴=-u u u r ，,22a m n FM c -⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r Q Q ，F ，M 三点共线 //FQ FM ∴u u u r u u u u r()22n a m m c n c -⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭，整理可得：13c a = 即椭圆C 的离心率：13e = 本题正确结果：132．（江苏省高三泰州中学、宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试）椭圆T ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个顶点(,0)A a ，(0,)B b ，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点），若3BC AD =，则椭圆T 的离心率为_____．【解析】依题意可得1BC AD AB a k k k b==-=， 因为过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆T 于D ，C （不同于顶点）， 所以直线BC ：a y x b b =+，直线AD ：()ay x a b=-． 由()4423222222220ay x bba x ab x bb x a y a bì=+ï?+=íï+=î，所以3232444422C B C a b a b x x x b a b a--+=⇒=++. 由()4425624222222()20ay x a ba x a x a ab bb x a y a bì=-ï?-+-=íï+=î，所以62444A D a a b x x a b -⋅=+，5444D a ab x b a-=+. 因为()210C aCB x b 骣琪=+?琪桫，()21D aAD a x b 骣琪=+?琪桫，由3BC AD =可得33D C x x a -=，所以223a b =，椭圆T 的离心率22161133b e a =-=-=6。

2020年高考数学三轮冲刺微专题（文理通用）最值问题之抛物线篇【例】【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记,AFG CQG△△的面积分别为12,S S．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标．【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为31+G（2，0）．【解析】（1）由题意得12p=，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设()()(),,,,,A AB B c cA x yB x yC x y，重心(),G GG x y.令2,0Ay t t=≠，则2Ax t=.由于直线AB过F，故直线AB方程为2112tx yt-=+，代入24y x=，得()222140ty yt---=，故24Bty=-，即2Byt=-，所以212,Bt t⎛⎫-⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B cx x x x y y y y=++=++及重心G在x轴上，故220ct yt-+=，得242211222,2,,03t tC t t Gt t t⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，直线AC方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q在焦点F的右侧，故22t>.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Act ttFG y tS t t tt tS t tQG y t tt t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t=-，则m>0，1221222134324S mS m m mm=-=--=+++++….当m=时，12SS取得最小值1G（2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.【例】（2017新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：24y x=的焦点，过F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D、E两点，则||||AB DE+的最小值为A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】由已知1l垂直于x轴是不符合题意，所以1l的斜率存在设为1k，2l的斜率为2k，由题意有121k k⋅=-，设11(,)A x y，22(,)B x y，33(,)D x y，44(,)E x y，此时直线1l方程为1(1)y k x=-，取方程214(1)y xy k x⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k--+=，∴21122124kx xk--+=-212124kk+=同理得22342224kx xk++=，由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p+=++++22122222121224244448816k kk k k k++=++=++=≥，当且仅当121k k=-=（或1-）时，取得等号．【例】（2017浙江）如图，已知抛物线2x y=．点11(,)24A-，39(,)24B，抛物线上的点(,)P x y13()22x-<<，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ⋅的最大值．【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，2114122xk xx-==-+，因为1322x-<<，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)-。

历年高三数学高考考点之<抛物线>必会题型及答案体验高考1.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4) 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0， 2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上， 将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.2.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 3.(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33B.23C.22D.1 答案 C 解析 如图，由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立.故选C.4.(2016·课标全国乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B解析 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5， 点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2， ②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.5.(2015·上海)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝______. 答案 2解析 根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ |min ＝p2＝1⇒p ＝2.高考必会题型题型一 抛物线的定义及其应用例1 已知P 为抛物线y 2＝6x 上一点，点P 到直线l ：3x －4y ＋26＝0的距离为d 1.(1)求d 1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点P 到抛物线的准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值. 解 (1)设P (y 206，y 0)，则d 1＝|12y 20－4y 0＋26|5＝110|(y 0－4)2＋36|，当y 0＝4时，(d 1)min ＝185，此时x 0＝y 206＝83，∴当P 点坐标为(83，4)时，(d 1)min ＝185.(2)设抛物线的焦点为F ， 则F (32，0)，且d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，它的最小值为点F 到直线l 的距离|92＋26|5＝6110，∴(d 1＋d 2)min ＝6110.点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 (1)(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________.(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2，1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.(14，1) B.(14，－1)C.(1，2) D.(1，－2) 答案 (1)9 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.(2)抛物线y 2＝4x 焦点为F (1，0)，准线为x ＝－1， 作PQ 垂直于准线，垂足为M ，根据抛物线定义，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋|PM |，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ |＋|PM |的最小值是点Q 到抛物线准线x ＝－1的距离. 所以点P 纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，－1).题型二 抛物线的标准方程及几何性质例2 (2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.点评 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)， 由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ， 则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上， 且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )， 则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ， 即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |， 即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3x P ， 代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝43，∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知圆C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝1，定直线l 的方程为y ＝－1.动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；(2)直线l ′与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l ′的垂线恰好经过点A (0，6)，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为△POQ (O 为坐标原点)的面积，求S 的值. 解 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，动圆半径为R ， 则|CC 1|＝x 2＋(y －2)2＝R ＋1，且|y ＋1|＝R ， 可得x 2＋(y －2)2＝|y ＋1|＋1.由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方， ∴有y ＋1>0，x 2＋(y －2)2＝y ＋2，整理得x 2＝8y ，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 208)，则y ＝x 28，y ′＝14x ，k l ′＝x 04，k PQ ＝－4x 0，∴直线PQ 的方程为y ＝－4x 0x ＋6.又k PQ ＝x 208－6x 0，∴x 208－6x 0＝－4x 0，x 20＝16，∵点P 在第一象限，∴x 0＝4，点P 的坐标为(4，2)，直线PQ 的方程为y ＝－x ＋6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋6，x 2＝8y ，得x 2＋8x －48＝0，解得x ＝－12或4，∴点Q 的坐标为(－12，18). ∴S ＝12|OA |·|x P －x Q |＝48.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A.y 2＝9x B.y 2＝6x C.y 2＝3x D.y 2＝3x 答案 C解析 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得： |BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ， 故∠BCD ＝30°. 在直角三角形ACE 中，∵|AF |＝3，∴|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ， ∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6， 从而得a ＝1，∵BD ∥FG ， ∴1p ＝23，求得p ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A.2±3B.2＋3C.3±1D.3－1 答案 A解析 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.3.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值是( ) A.6B.8C.9D.12 答案 D解析 由抛物线方程，得F (2，0)，准线方程为x ＝－2. 设A ，B ，C 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则由抛物线的定义，知|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝x 1＋x 2＋x 3＋6. 因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以(x 1－2＋x 2－2＋x 3－2，y 1＋y 2＋y 3)＝(0，0)， 则x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝6， 所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝|FA |＋|FB |＋|FC | ＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12，故选D.4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2，2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A.2B.22C.12D.2 答案 D解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程可得 k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1·x 2＝4， 所以y 1＋y 2＝8k，y 1·y 2＝－16， 因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.5.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12B.23C.34D.43答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12. 因为切点在第一象限，所以k ＝12. 将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43. 6.已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝8x 的一个动点，B (x 2，y 2)是圆(x －2)2＋y 2＝16上的一个动点，定点N (2，0)，若AB ∥x 轴，且x 1<x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是( )A.(6，10)B.(10，12)C.(8，12)D.(8，10)解析 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，又定点N (2，0)，∴△NAB 的周长即为△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x 1＋2＋(x 2－x 1)＋4＝6＋x 2， 由抛物线y 2＝8x 及B (x 2，y 2)在圆(x －2)2＋y 2＝16上，∴x 2∈(2，6)，∴6＋x 2∈(8，12)，故选C.7.如图，从点M (x 0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0＝________.答案 6解析 由题意得P (2，4)，F (2，0)⇒Q (2，－4)，因此N (6，－4)，因为QN ∥PM ，所以MN ⊥QN ，即x 0＝6.8.已知直线l 过点(0，2)，且与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1y 1＋1y 2＝_____.答案 12解析 由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线y 2＝4x 可得y 2－4k y ＋8k＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12. 9.已知抛物线y 2＝4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，|AB ||BC |＝2，则直线l 的斜率为________.解析 设A (x 0，y 0)，则|AB |＝x 0，|BC |＝1，由|AB ||BC |＝x 01＝2，得x 0＝2，y 0＝4×2＝22， 又焦点F (1，0)，所以直线l 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析 因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点为P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1得2x 2＋2bx －b 2－3＝0， 所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2，所以b ＝m2， 所以P (－m 4，34m ). 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ，解得m ＝0或m ＝－8. 11.(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ， 所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1，0)满足y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0). 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ， 代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。