初中抛物线常见结论汇总(教师版)

初中抛物线常见结论汇总(教师版)1.(唯一交点或最值)(1)已知抛物线y=x 2 — 2x — 3,过点D (0,-4)求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。

(判别式)(2)已知抛物线y=X 2 — 2x — 3,在第四象限的抛物线上求点P,使四边形ACPB 的面积最大。

(焦点—准线：顶点上下41a 个单位)已知抛物线y=52 — x+1,直线过点1,1)与抛物线交于A 、B 。

过A 、 B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。

(1)连PM 、PN,求证：4PMN 为直角三角形；(2)①求证：AB=AM+BN ；②求£++的值。

AP BP(3)已知点D (1, 0),求证：DP 经过4ABD 的内心。

，对称轴上有一点E (1, 4),在抛物线上求点P,使NEPD=90°4.(定直角特殊点一一特殊)已知抛物线y=1x 2,过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点2构成以。

点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。

(定点：顶点向上平移1/a 个单位长度)2. 3.Ox5.（定直角特殊点一一半特殊）如图：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B，个单位长度到D,过D作EF〃AB,交抛物线于E、F,NECF = 90°。

求t与与y轴交于C,交点C向上平移t a的关系。

6. （定直角特殊点般）如图：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B,与y轴交于C,点P （m,n）为抛物线上任意一点，过D （0, n+t）作EF〃AB,交抛物线于E、F,NEPF = 90°。

求t与a的关系。

（纵向平分对称点—一特殊）已知抛物线y=1x2,过对称轴上P点的任意一条直线与抛物线的两交点为A、B，2在对称轴负半轴上有点Q （0, -2）,且NAQB被对称轴平分，求P点坐标,Y、x8.（纵向平分对称点----- 般）如图，抛物线y=x2-x — 2与x轴交于A、B称轴对称，MN〃AD,交抛物线于M、N,直线MD、ND分别交y轴于E、F。

抛物线焦点弦的八大结论
第一类是常见的基本结论；
第二类是与圆有关的结论；
第三类就是由焦点弦得出结论有关直线横向的结论；
第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。

1、以焦点弦为直径的圆与准线切线（用抛物线的定义与梯形的中位线定理融合证明）。

2、1/|af|+1/|bf|=2/p(p为焦点到准线的距离，下同）。

3、当且仅当焦点弦与抛物线的轴横向（此时的焦点弦称作“通径”）时，焦点弦的长度获得最小值2p。

4、如果焦点弦的两个端点是a、b，那么向量oa与向量ob的数量积是-0.75p^2。

抛物线具备这样的性质，如果它们由反射光的材料做成，则平行于抛物线的对称轴前进并喷发其凹面的光被散射至其焦点，而不管抛物线在哪里出现散射。

恰好相反，从焦点处的点源产生的光被散射成平行（“电子束”）光束，并使抛物线平行于对称轴。

声音和其他形式的能量也可以产生相同的效果。

这种散射性质就是抛物线的许多实际应用领域的基础。

抛物线十大经典结论1. 抛物线的定义抛物线是指平面上到一个定点F（称为焦点）距离等于到一条直线L（称为准线）距离的所有点的集合。

焦点F和准线L之间的距离被称为抛物线的焦距。

2. 抛物线的方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c都是常数，a称为抛物线的开口方向和大小（a>0表示向上开口，a<0表示向下开口），b称为抛物线在x方向上的位置，c称为抛物线在y方向上的位置。

3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是离焦点最近的点，也是离准线最远的点。

顶点的坐标为（-b/2a，c-（b^2/4a））。

4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过焦点并且垂直于准线的一条直线。

它的方程为x = -b/2a。

5. 抛物线的焦点坐标抛物线的焦点坐标为（0，1/4a），其中a为抛物线开口的大小和方向。

6. 抛物线的准线方程抛物线的准线方程为y = -1/4a，其中a为抛物线开口的大小和方向。

7. 抛物线的直线切线抛物线的直线切线是通过抛物线上某一点的一条直线，它的斜率等于该点处的导数。

抛物线在顶点处有一条水平切线。

8. 抛物线的渐近线抛物线的渐近线是指抛物线趋近于一条直线的情况。

当a=0时，抛物线的渐近线为y = b。

9. 抛物线与圆的关系当平面上一抛物线的焦距等于准线的长度时，它与以焦点和准线为直径的圆相切于抛物线的顶点。

10. 抛物线的面积抛物线与x轴之间的面积可以用定积分来计算。

其公式为∫[a,b]（ax^2+bx+c）dx = 1/3a(b^3-a^3)+1/2b(ac-b^2)+c(b-a)。

其中a、b 为抛物线的两个端点。

一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次函数，其图像呈现出对称轴且开口方向确定的特点。

一般而言，抛物线的标准方程可表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。

二、抛物线的图像特点1. 抛物线的开口方向由二次项系数a决定，若a>0则开口向上，若a<0则开口向下。

2. 抛物线的对称轴是与顶点相关的直线，其方程为x=-b/2a。

3. 抛物线的顶点的纵坐标为c-b^2/4a。

4. 抛物线的焦点坐标为(-b/2a, c-b^2+1/4a)。

5. 抛物线的焦距为1/4a。

三、抛物线的焦点及直边1. 抛物线是缺点耀焦点在n位上。

2. 抛物线与其焦点的连线是垂直的。

3. 抛物线是直行的。

四、抛物线与直线的关系1. 抛物线与直线的交点个数与直线的位置关系有关，一般情况下有两个交点。

2. 若抛物线和直线相切，则称该直线为抛物线的切线。

五、抛物线与拱门的关系1. 拱门的形状大多呈现出抛物线的形态，这也是抛物线在建筑和土木工程中的应用之一。

2. 抛物线拱桥由于其结构特点，比较稳固且能够将荷载有效地传递到桥墩上，因此在桥梁工程中得到广泛应用。

六、抛物线的几何性质1. 抛物线的离心率为1，故它是一种特殊的椭圆。

2. 两条平行于抛物线对称轴的直线与抛物线所夹的面积是相等的。

3. 顶点位于原点的抛物线的焦点至原点的距离等于焦距的一半。

七、抛物线的物理应用1. 在物理学中，抛物线经常用来描述抛体运动的轨迹，比如抛出的子弹、投掷的物体等。

2. 抛物线还被用来研究光学中的抛物线面镜、抛物面反射器等设备。

八、抛物线的数学模型1. 抛物线可以用来建立二次函数方程的数学模型，利用这种模型，可以求解许多现实生活中的问题，比如自由落体运动、物体弹跳的高度等。

九、抛物线的轨迹方程1. 一个抛物线上的点P(x, y)的轨迹方程为y=ax^2。

十、抛物线的渐近线1. 抛物线的渐近线是与抛物线趋于无穷远时的方向呈现出一定的趋势的直线。

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

结论二：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p+。

结论三：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二：例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+，22pBF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2124p x x =。

则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =222()424AB p p p p AB p =+-+（常数证明：结论四： 已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN切。

证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。

由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。

探索与研究圆锥曲线中抛物线的有关结论山东省德州市实验中学 肖成荣由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。

下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2(pF 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2(p F ，2||1p x AF +=；2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上，且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ2sin 2||pAB =（θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）； 3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。

（1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.（2）三直角：①∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =243p OB OA -=⋅；②n BF m AF ==,mn GF =||.③22sin AOBp S θ∆= 二、点)0,(p D 处的结论例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点，)0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程；ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ∆面积的最小值.结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ⇔直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=.四、准线上的有关结论 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。

抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。

AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。

证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。

2.证明：|BF|=x^2/(2p)。

3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。

5.证明：∠A’FB’=90°。

6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。

7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。

8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。

9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。

11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。

12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。

1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。

方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。

2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。

(y1+y2)/2)，证毕。

3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。

t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。

y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。

抛物线的有关结论由于抛物线具有常数离心率，因此具有许多自身规律性。

加上抛物线方程相对简单，使得其灵活性更加突出。

了解这些规律性可以在处理相关问题时事半功倍。

下面整理了抛物线的结论以供参考。

一、焦点F(p22sin二、点D(p,)处的结论对于抛物线y2=2px，点D(p,)是到点A(a,)距离最近的点，其中A为抛物线上的一点，且A为顶点的分界点。

当A(a,)在D(p,)左侧时，右侧横坐标为a-p的两个点到点A(a,)的距离最近。

三、点E(2p,)处的结论设A(x1,y1)和B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点，且OA 垂直于OB。

则有以下结论：1.焦半径长：AF为直线FB上的点到焦点F的距离。

2.焦点弦长：AB为过点A和B的直线，且过焦点F。

|AB|=x1+x2+p或2psinθ。

3.过焦点F的直线与抛物线相交于A和B两点，分别过A和B两点作准线的垂线，垂足分别为M和N，MN的中点为G。

1) 两相切：以焦半径AF为直径的圆与y轴相切。

以焦点弦AB为直径的圆与抛物线准线相切。

2) 三直角：①∠AGB=90°；②直线AB过定点(2p,)；③求AB中点的轨迹方程。

3) 六定值：焦点弦两端点MA和RA；直线AB与抛物线的交点C；过O向AB引垂线，垂足T的轨迹方程；求ΔAOB 面积的最小值。

四、准线上的有关结论对于抛物线y2=2px，点P(x,y)在准线上，其横坐标为p2/x，纵坐标为-py/2x+p。

其中x和y的乘积为定值：x1x2=4p2.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点A、B，以A、B 为切点作抛物线的切线，交点在抛物线的准线上，并且两条切线垂直。

反过来，准线上任意一点做抛物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。

下面对上述结论进行证明。

一、焦点F(p/2,0)处的结论1.焦半径长：设点A(x1,y1)，则|AF|=x1+ p/2.证明：根据抛物线的定义，|AF|=AM=x1+ p/2.2.焦点弦长：设点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线上，且AB 过焦点F，则|AB|=x1+x2+p，或|AB|=2p*sinθ（θ为直线l与抛物线对称轴的夹角）。

抛物线焦点弦8个常用结论
，
弦与抛物线的关系是最常见的平面曲线，由此可得出8个常用的结论，这对于求解抛物线和计算它的相关特性是非常有帮助的。

抛物线与弦的结论一：抛物线的根与弦的焦点、顶点与因弦而开的弦同线。

其中，焦点所在的弦和根所在的因弦相互垂直，且它们之间距离相等。

抛物线与弦的结论二：可在抛物线上定义满足恒等式的两个特点弦。

这两条弦包括了抛物线的上准线和下准线，它们经过抛物线的关键位置。

抛物线与弦的结论三：所有抛物线的焦点弦的斜率是抛物线的解析根。

这种斜率表明抛物线的方程是关于两个变数的二阶方程。

抛物线与弦的结论四：考虑抛物线和它的焦点弦时，它们必定有一些共线点，这个点也就是抛物线因弦所垂直的焦点弦的根处。

抛物线与弦的结论五：任一焦点弦上的点都是抛物线上准线或是抛物线下准线的顶点所确定的弦同线上的一点。

抛物线与弦的结论六：如果焦点弦的斜率与因弦弦同线的斜率不相等，那么在焦点弦上的任一点P都是抛物线的一个顶点。

抛物线与弦的结论七：若抛物线的焦点F1、F2分别与弦A存在关系，则另一顶点V1也在弦A上，那么另一顶点V2也在弦A上。

抛物线与弦的结论八：若抛物线在它的两个上下准线上都有一个点，那么这个点必定位于该抛物线的焦点弦上。

总的来说，抛物线与弦的关系是一种极其重要的数学关系，可以为解决抛物线特性和其它一些复杂问题提供有力的帮助。

高等教育学与高校，可以用到上述8个结论，有助于更好地搞好教学、科研，进而更好地提升教育水平，密切社会实际。