2016秋高中数学第一章立体几何初步1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球球及组合体练习新人教B版必修2

张喜林制§1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球教材知识检索考点知识清单基本概念1．以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做____，旋转轴叫做____，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆柱的____，平行于轴的边旋转形成的曲面叫做圆柱的____，无论旋转到什么位置都不垂直于轴的这条边叫做____．2.以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做____，斜边旋转形成的曲面叫做____，无论旋转到什么位置，这条边都叫做 ，另一条直角边旋转形成的面叫做____．3.以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做 ，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆台的 ，另一条斜腰旋转形成的曲面叫做圆台的 ，这条边无论旋转到什么位置都叫做____．4．一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做 ；球面围成的几何体，叫做 ；形成球的半圆的圆心叫做 ；连接球面上的点和球心的线段，叫做 ；连接球面上两点且通过球心的线段叫做____，球面也可以看作 的点的集合．要点核心解读1．圆柱、圆锥、圆台的性质(1)对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是轴线垂直于圆柱的底面；二是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆，轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形，平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．(2)对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类截面——平行于底面的截面是与底面相似的圆，过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线l 、高h 和底面圆的半径R 组成一个直角三角形，有关圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，往往会用到关系式.222R h l +=(3)对于圆台的性质，要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以由任意两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圆台的母线l 、高h 和上底面圆的半径r 、下底面的半径R 组成一个直角梯形，且有222)(r R h l -+=成立，有关圆台的计算问题，常归结为解这个直角梯形：2．球的截面性质(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)如图1-1-3 -1所示，球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r ，有如下关系：.22d R r -=球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．由于球的大圆含有球的全部元素，所以在解答有关球的计算问题时，常作出球的一个大圆，化“球”为“圆”，利用平面几何的有关定理来解决．3．圆柱、圆锥和圆台的轴截面及侧面展开图(1)圆柱的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -2所示）．(2)圆锥的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -3所示）．(3)圆台的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -4所示）4．球面距离(1)球面距离的概念．在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的-段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离．(2)地球的经度和纬度．当把地球看作—个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆.00经线（本初子午线）、东经180。

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；2.能在几何体中进行相关的简单运算；3. 能描述一些简单组合体的结构.学法指导自学教材P11~ P12，弄清楚圆柱、圆锥、圆台的结构特征探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做旋转轴叫做圆柱的；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为OO .探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台.圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O.探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.※典型例题例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体______________________________.※动手试试'',剩下的几何体是什么?截去的几何体是什练.如图，长方体被截去一部分，其中EH‖A D么?三、总结提升※学习小结1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；2. 简单组合体的结构特征.※知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. Rt ABC∆三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（）.A.是底面半径3的圆锥B.是底面半径为4的圆锥C.是底面半径5的圆锥D.是母线长为5的圆锥2. 下列命题中正确的是（）.A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（）.A. B.4. 已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.5. 圆锥母线长为R__________.课后作业1.如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图形，若将180后形成一个组合体，下面它绕轴旋转0说法不正确的是___________A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍然关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点,则球心到截面的距离为多少？2. 用一个平面截半径为25cm的球,截面面积是249cm。

第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A 中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )解析：截面图形应为图C 所示的圆环面．答案：C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π解析：若矩形的长为圆柱底面周长，则2πR ＝4.所以2R ＝4 π. 因此圆柱轴截面面积S 1＝2R ·2＝8 π. 若矩形的宽为圆柱底面周长，则2πr ＝2.所以2r＝2π，则圆柱轴截面面积S2＝2r·4＝8π.综上可知，圆柱的轴截面面积为8π.答案：B二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．指出如图①②所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．图①是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图②是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm 和5 cm ，圆台的母线长是12 cm ，求圆锥SO 的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD ，由已知可得上底半径O 1A ＝2 cm ，下底半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，所以l ＝20 cm. 故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B 级 能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.。

圆柱、圆锥、圆台和球教学目标：1．能根据几何结构特征理解空间旋转体形成过程；2．认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；3．掌握圆柱、圆锥、圆台和球的截面及它们之间的关系．教材先让学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的生成规律，然后给出它们的定义，让学生初步理解“旋转体”的概念．教学中可结合实物模型或计算机演示圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程，引导学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；也可以类比棱柱、棱锥、棱台的生成过程认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征；类比圆的定义得出球面的定义．教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台和球的概念．教学难点：难点是区分一个旋转体由哪些基本几何体构成．教学方法：观察、发现、探究．探究学习为主，发挥同学之间合作关系。

教学过程：一、问题情境1．复习棱柱、棱锥、棱台的有关概念．小结：移——缩——截．2．旋转会产生什么样的结果呢？仔细观察下面的几何体，它们有什么共同特点或生成规律？二、学生活动通过观察、思考、交流、讨论得出结论．三、建构数学1．圆柱、圆锥、圆台的概念；2．圆柱、圆锥、圆台的相关概念（轴、高、底面、母线）；思考：圆柱、圆锥、圆台之间有何关系？（引导学生从概念的形成和结构特征来分析三者之间的关系）3．球面及球的概念；半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体．球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合4．球的相关概念（球心、球半径、球的表示）；5．旋转面、旋转体的概念（引导学生总结）．四、数学运用1．例题．例1 将直角梯形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是有哪些简单的几何体构成的？例2 以下几何体是由哪些简单几何体构成的？例3（课本P12例1）把一个圆锥截成一个圆台，已知圆台的上下底面半径是1∶4，母线长为 4cm ，求圆锥的母线长．2．练习．（1)①如图1将平行四边形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？AB C D图1 图2②如图2钝角三角形ABC绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？（图1） （图2）（2）下列命题中的说法正确的有________①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．⑤在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念；2．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征；3．圆柱、圆锥、圆台和球的应用．第二课时教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念。

第4课时 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球——圆柱、圆锥、圆台课时目标1.在初中学习的基础上，学会用旋转的方式概念圆柱、圆锥、圆台，探讨和研究圆柱、圆锥、圆台之间的关系．2．熟悉圆柱、圆锥、圆台的截面图形，并学会运用这些图形解决一些简单的问题．识记强化1．圆柱、圆锥、圆台能够别离看做以矩形一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形别离旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度)叫做那个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做那个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做那个几何体的侧面，不管旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．2．圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这种几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴．课时作业一、选择题(每一个5分，共30分)1．将①②③中的展开图还原后取得的几何体别离是( )A．圆柱、圆锥、棱柱B．圆柱、圆锥、棱锥C．圆台、圆柱、棱锥D．圆台、圆锥、棱柱答案：B解析：图①中的两个圆别离为圆柱的两个底面，长方形为圆柱的侧面；图②中的圆为圆锥的底面，半圆为圆锥的侧面；图③显然能还原成棱锥．2．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周取得的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周取得的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④别离以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个答案：B解析：圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，因此①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，因此②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的概念，随意以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所取得的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，因此④正确，因此答案选B.3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( ) A ．10 B ．12 C ．20 D ．15 答案：B解析：圆锥的轴截面是等腰三角形，两腰为圆锥的母线，底边为圆锥的底面圆的直径，因此轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B. 4．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则球的表面积等于( )π π π π 答案：C解析：由题意，没有水的部份的体积是正四面体体积的18，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为13×34×42×16－163＝1623，∴没有水的部份的体积是223，设其棱长为a ，则13×34a 2×63a ＝223，∴a ＝2，设小球的半径为r ，则4×13×34×22r ＝223，∴r ＝66， ∴球的表面积S ＝4π·16＝23π.故选C.5．若是圆锥的侧面展开图是半圆，那么那个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( ) A ．30° B．45° C ．60° D．90°答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. 6．若边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从点E 沿圆柱的侧面到相对极点G 的最短距离是( ) A ．10 cm B ．5 2 cmC ．5π2＋1 cm π2＋4 cm 答案：D解析：圆柱的侧面展开图如图所示，展开后EF ＝12·2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52π.∴EG ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．二、填空题(每一个5分，共15分)7．用长、宽别离是3π与π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________．答案：32或12解析：当矩形的宽为轴时，3π＝2πr ，r ＝32；当矩形的长为轴时，π＝2πr ，r ＝12.8．圆台轴截面的两条对角线相互垂直，且上下底面半径的比为34，又其高为142，则圆台的母线长是__________．答案：20解析：如图所示，由已知有r R ＝34＝O 1OOO 2，因为OB ⊥OC ，因此△AOB ，△DOC 均为等腰直角三角形．又O 1O 2＝142，因此O 1O ＝r ＝62，OO 2＝R ＝82，在Rt △BOC 中，OB 2＋OC 2＝l 2，因此r 2＋OO 21＋R 2＋OO 22＝l 2，代入数据得l ＝20.9．一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面面积是S ，则它的底面面积是________．答案：π4S解析：设底面半径为r ，则4r 2＝S ，故底面面积为πr 2＝π·S 4＝π4S .三、解答题10．(12分)一圆台的母线长为13，下底面与上底面直径的差为10，求圆台的高． 解：如图，O 1，O 2别离为圆台上、下底面圆的圆心，连接O 1O 2作AB ⊥O 2C 于B ，则有BC ＝102＝5，AC ＝13，因此圆台的高h ＝AC 2－BC 2＝132－52＝12.11．(13分)一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ； (2)当x 为何值时，S 最大？ 解：画出圆柱和圆锥的轴截面．如图，设圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似可得x 6＝2－r 2，解得r ＝2－x3.(1)圆柱的轴截面面积S ＝2r ·x ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 3·x ＝－23x 2＋4x ，x ∈(0,6)；(2)∵S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x 2－6x )＝－23(x －3)2＋6∴当x ＝3时，S 有最大值6.能力提升12．(5分)如图，一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长和圆锥的轴截面的面积．解：设圆锥的底面圆直径为AB，SO为高，SA为母线，如图，则∠ASO＝30°.在Rt△SAO中，AO＝SO·tan30°＝2×33＝233，SA＝SOcos30°＝232＝433.而S△ASB＝12SO·2AO＝SO·AO＝2×233＝433，因此圆锥母线长为433，它的轴截面面积为433.13．(15分)如图所示圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，P点为母线B′B的中点，∠AOB＝2π3，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最小路程．解：将圆柱侧面沿母线A′A剪开展平取得如图所示的平面图．则知最短路径为平面图中线段AP.在Rt△ABP中，AB＝2π3×2＝4π3，PB＝2.∴AP＝16π29＋4＝24π29＋1＝234π2＋9 cm.故蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最小路程为234π2＋9 cm.。