3.3.1-3.3.2抛物线的方程与性质 教师版

抛物线的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质类型一 抛物线的定义及应用例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )A ．217B .17C ．215D .15【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.∵直线与抛物线交于A 、B 两点， ∴Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，即k>－1. 又x 1＋x 22＝2k ＋2k2＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)． ∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝542－4＝215.【答案】C练习1：已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92【答案】A练习2：F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．【答案】52类型二 抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A .45B .35C ．－35D ．－45【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－45.故选D .【答案】D练习1：已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12【答案】Ｃ练习2：(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．【答案】1类型三 抛物线焦点弦的性质例3：已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k 等于( )A .13B .23C .23D .223【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA|＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB|＝x 2＋2，∵|FA|＝2|FB|，∴x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1，∴B(1,22)，代入y ＝k(x ＋2)得k ＝223，选D .【答案】D练习1：过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.【解析】直线y ＝x －p 2，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2y 2＝2px ，∴x 2－3px ＋p24＝0，|AB|＝8＝x 1＋x 2＋p ，∴4p ＝8，p ＝2. 【答案】2类型四 直线与抛物线的位置关系 例4：如图所示，O 为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON.【解析】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得 k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k2k2＝4.由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1.∴OM ⊥ON.【答案】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得 k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k2k2＝4.由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1.∴OM ⊥ON.练习１【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）Ａ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，【答案】Ｄ练习2：抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OP →·OQ →＝________．【答案】201.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )Ａ．2212128x y -= Ｂ．2212821x y -= Ｃ．22134x y -= Ｄ．22143x y -= 【答案】Ｄ2.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A.3.（2014·辽宁卷）已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43【答案】D4.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_________【答案】ｐ＝２5.（2014·广东卷）曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【答案】y ＝－5x ＋36.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)由已知得：曲线C 上的点到点F(1,0)与到x ＝－1的距离相等，∴曲线C 是以F(1,0)为焦点的抛物线，设y 2＝2px(p>0)，∵p 2＝1，∴p ＝2，∴方程为：y 2＝4x(x>0)． (2)假设存在M(m,0)(m>0)． 当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝m ， 设交点A(m,2m)，B(m ，－2m)，FA →＝(m －1,2m)，FB →＝(m －1，－2m)， ∴FA →·FB →＝m 2－6m ＋1<0， ∴3－22<m<3＋2 2.当直线l 斜率存在时，l ：y ＝k(x －m)(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k x －m∴ky 2－4y －4km ＝0，∴Δ＝16＋16k 2m>0恒成立， y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4m ，又y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋8m ，∵FA →·FB →＝(y 214－1)·(y 224－1)＋y 1y 2＝y 1y 2216－14(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋12 ＝m 2－14(16k 2＋8m)－4m ＋12＝m 2－6m ＋1－4k2<0，即：4k 2>m 2－6m ＋1对∀k ≠0恒成立，又4k 2>0，∴m 2－6m ＋1<0恒成立， ∴3－22<m<3＋22，综上，m 的取值范围是：3－22<m<3＋2 2._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1.抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18【答案】D2.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1C.12D.14【答案】A3．点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x2【答案】D4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4【答案】B5．已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．4 B.92C ．5D.112【答案】B6.（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3C.52D ．2【答案】B7.（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332 D.94【答案】D能力提升（2）8．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________． 【答案】29．已知一条过点P (2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．【答案】x-y-1=010．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________．【答案】011.（2014·湖南卷）如图1­4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．图1­4【答案】12.已知动点P(x ，y)(y ≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)设圆M 过点A(0,2)，且圆心M(a ，b)在曲线C 上，若圆M 与x 轴的交点分别为E(x 1,0)、G(x 2,0)，求线段EG 的长度．【答案】(1)依题意知，曲线C 是以F(0,1)为焦点，y ＝－1为准线的抛物线． ∵焦点到准线的距离p ＝2， ∴曲线C 方程是x 2＝4y.(2)∵圆M ∴其方程为(x －a)2＋(y －b)2＝a 2＋(b －2)2令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.则x1＋x2＝2a，x1·x2＝4b－4.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.又∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.∴线段EG的长度是4.课程顾问签字： 教学主管签字：。

第三章圆锥曲线的方程3.3 抛物线3.3.2 抛物线的简单几何性质一、教学目标1、掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2、能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3、在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.二、教学重点、难点重点：掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质难点：灵活根据抛物线的几何性质解决抛物线的有关问题三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【情景一】抛物线的魅力展现【情景二】抛物线的标准方程与图形【思考】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？（二）阅读精要，研讨新知【类比、发现】抛物线的简单几何性质解读【例题研讨】阅读领悟课本134P 例3、例4（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）例3已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程.解：依题意，可设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，因为点(2,M -在抛物线上，所以 2(22p -=⨯，解得2p = 因此，所求抛物线的标准方程是24y x =.例4斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于,A B 两点，求线段AB 的长. 解：由已知，抛物线的焦点为(1,0)F ， 准线方程为1x =-，如 图3.3-4， 设1122(,),(,)A x y B x y ，,A B 两点到准线的距离分别为,A B d d ，由抛物线的定义， 可知12||1,||1A B AF d x BF d x ==+==+，于是12||||||2AB AF BF x x =+=++ 由已知，设直线:1l y x =-由2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，所以126x x +=，所以，12||28AB x x =++= 所以，线段AB 的长是8.【小组互动】完成课本136P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】【例题研讨】阅读领悟课本136P 例5、例6（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）例5经过抛物线焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.证明：如图3.3-5， 以抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxyz .设抛物线的方程为22(0)y px p => ①点2000(,)(0)2y A y y p ≠， 则直线OA 的方程为02py x y = ② 抛物线的准线方程是2px =-③联立②③，可得2D p y y =-，当220y p ≠时，直线AF 的方程为02202()2py py x y p =-- ④ 联立①④，消去x ，可得2222000()0y y y p y y p ---=即200()()0y y y y p -+=，可得2B p y y =-所以D B y y =，即DB 平行于x 轴. 当220y p =时，易知结论成立.所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴.例6如图3.3-6， 已知定点(,)B a h -，BC x ⊥轴于点C M 是线段OB 上任意一 点，MD x ⊥轴于点D ME BC ⊥于点E ，OE 与MD 相交于点P ，求点P 的轨迹方程.解：设点(,),(,)P x y M x m ，其中0x a ≤≤ 则点(,)E a m .由题意，直线OB 的方程为hy x a =-① 因为点M 在OB 上，所以hm x a=- ②所以点P 的横坐标x 满足②.直线OE 的方程为my x a= ③因为点P 在OE 上，所以点P 的坐标(,)x y 满足③.将②代人③，消去m ，得22(0)a x y x a h=-≤≤，即点P 的轨迹方程 【发现】例6中，设点B 关于y 轴的对称点为A ，则方程22(0)a x y x a h=-≤≤对应的轨迹是常见的抛物拱AOB (图3.3-7).抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.3-8)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.【小组互动】完成课本138P 练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1.已知F 是抛物线2y x =的焦点, ,A B 是该抛物线上的两点, ||||3AF BF +=,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D. 74解：由已知，12p =，由抛物线的定义,有||||()()322A B A B p pAF BF x x x x p +=+++=++=,所以532A B x x p +=-=,故线段AB 的中点到y 轴的距离为54. 故选C.2.设F 为抛物线24y x =的焦点, ,,A B C 为抛物线上不同的三点,点F 是ABC ∆的重心, O 为坐标原点,,,OFA OFB OFC ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ,则222123S S S ++= ( )A.9B.6C.3D.2解：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ,由已知(1,0)F ，所以112233111||,||,||222S y S y S y === 所以2222221231231231()4S S S y y y x x x ++=++=++， 因为点F 是ABC ∆的重心,所以1233x x x ++=,所以2221233S S S ++=. 故选C.3. 已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点(7,8)A ,则||||PA PM +的最小值是________.解：如图,由24y x =,得2p =,所以(1,0)F ,||||||12pPM PF PF =-=-,所以2||||||||1||1(71)(80)19PA PM PA PF AF +=+-≥-=-+-=答案:9（四）归纳小结，回顾重点抛物线的简单几何性质图形焦点位置 x 轴的正半轴上 x 轴的负半轴上 y 轴的正半轴上y 轴的负半轴上标准方程 22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x py p =->范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈,0x R y ∈≥,0x R y ∈≤对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =（五）作业布置，精炼双基1. 完成课本138P 习题3.3 5、6、9、10、11、12、132. 阅读140P 《圆锥曲线的光学性质及其应用》3. 阅读143P 《小结》4. 完成 复习参考题3五、教学反思：（课后补充，教学相长）。