重庆市大学城第一中学校人教版高中数学选修2-1导学案：第三章空间向量与立体几何复习

第三章空间向量与立体几何教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：+==a +b ，OAOB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本P92练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或a b．平行向量。

第三章第一节空间向量及其运算设计者：审核者： 执教： 使用时间:学习目标 1•了解空间向量的概念及其表示方法；2. 用类比的方法学习空间向量的性质；3. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律.自学探究问题1.平面向量的基本概念及表示方法是什么?问题2.平面向量的运算律是什么？【思维导航】(1 )平面向量的加法，减法的运算律是什么？(2)实数与向量的积的运算律是什么？(3 )平面向量的加法，数乘的交换律，结合律，分配律各是什么?问题3.类比平面向量的相关概念，表示及运算律，说出空间向量的概念，表示及运算律。

【试试】(1)空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变A Z-\ r~ — — 二二孑a. — —— —⑶ 点C 在线段AB 上，且 AC =5则AC =— AB ,BC = _____ AB . CB 2—问题4.空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ (1)加法交换律：a +b = b + a ；⑵加法结合律：（a + b ） +c =a + （ b + c ）； ⑶数乘分配律： 入（a + b ）=入 a + 入 b.为两个平面向量的加法和减法运算，右图中, (2)分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b,a-b.a bOB 二 _____________【技能提炼】并标出化简结果的向量:1.已知平行六面体ABCD -A'B'C'D '(如图)，化简下列向量表达式, ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AAA；彳彳⑶AB AD -CC'；⑷一(AB AD AA').2 2—工—■=■=■= ■=>【变式】在上图中，用AB, AD, AA'表示AC , BD'和DB'.【思考】类比平面向量的运算，你怎样在空间里去进行向量的运算？并与平面向量的运算相类比得出空间向量的相关运算方法•2 .化简下列各式：⑴ AB BC CA; ⑵ AB MB BO OM ; ⑶ AB 一AC BD 一CD;⑷ OA -0D _DC ;⑸ OA OC BO CO ; ⑹ AB _AD _DC ; ⑺ NQ QP MN - MP .【思考】怎么样去化简向量表达式教师问题创生学生问题发现变式反馈*1.已知向量a,b,c，则下列等式中错误的是()A. a (b c) = (a b) cB. a -(b - C) = (a - b) CC. (a-b) c-(a-b-c) =0D. (a-b) c -(a -b c) = 0*2.在空间四边形ABC［中, M G分别是BC CD的中点，贝U AB+—(BD + BC)等于()2A. ADB. GAC. AGD. MG*3.如图，在平行六面体ABC d ABGD中，设AB = a, AD二b, AA,= c, , E F分别是AD, BD中占I 八、、•—fc- —fc -b-(1)用向量a, b,c表示D1B, EF ;⑵化简：AB BB1 BC C1D1 2D1E.人教版高中数学选修2-1导学案。

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第1课时空间向量与平行关系1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法。

(重点）2.熟练掌握用方向向量,法向量证明线线、线面、面面间的平行关系。

(重点、难点）［基础·初探］教材整理1 直线的方向向量与平面的法向量阅读教材P102～P103“第2自然段”内容,完成下列问题。

1.直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_____________的非零向量，一条直线的方向向量有________个.【答案】平行或共线无数2。

平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的________a，则a叫做平面α的法向量。

【答案】方向向量若A(－1，0，1)，B(1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A.(1，2,3）B。

（1,3,2)C.（2,1，3)D.(3，2,1)【解析】错误!＝(2,4，6）＝2(1，2,3).【答案】A教材整理2 空间中平行关系的向量表示阅读教材P102～P103内容,完成下列问题.线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝（a1，b1，c1)，b＝（a2，b2，c2），则l∥m⇒________⇔________线面平行设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1），α的法向量为u＝（a2，b2，c2),则l∥α⇔________⇔________面面平行设α,β的法向量分别为u＝（a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2），则α∥β⇔________⇔________【答案】a∥b(a1,b1，c1）＝k（a2，b2,c2) a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 u∥v(a1，b1，c1）＝k(a2，b2，c2）若直线l的方向向量a＝（2,2，－1），平面α的法向量μ＝(－6,8，4），则直线l与平面α的位置关系是________。

第三讲空间位置关系与综合题目的向量解法[知识梳理]［知识盘点］一．平行关系（1）所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个。

（2）所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有个。

1．线线平行证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。

2线面平行证明线面平行的方法：（1）证明直线的方向向量与平面的法向量；（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量；（3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是。

3．面面平行的证明方法：（1）转化为、处理；（2）证明这两个平面的法向量是。

二．垂直关系4．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是；5．线面垂直的证明方法：（1）证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是；（2）证明直线与平面内的；6．面面垂直的证明方法：（1）转化为证明、；（2）证明这两个平面的法向量是。

［特别提醒］1.用向量证明立体几何问题，有两种基本思维：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；别一种是用向量的坐标表示几何量，共分为三步进行判断：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

2．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理。

例如要证明线面平行，只需要证明平面中的一条直线和平面内的一条直线平行，即转化为证明线线平行问题，也就是用向量方法证明直线//a b时，只需要证明直线,a b的方向向量a,b共线即可。

3．向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，只有掌握了向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工具解决实际问题。

4．以柱体、锥体为依托，考查空间中的线线、线面、面面关系，以及角和距离是高考的“热点”，在角题时，应深入挖掘里面的特殊关系，尤其是垂直关系，建立空间直角坐标系，是解决此类问题的关键。

3．1。

1空间向量及其线性运算［学习目标］1。

了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2。

掌握空间向量的线性运算及运算律,理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．知识点一空间向量的概念在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．知识点二空间向量的加减法（1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)错误!＝错误!＋错误!＝a＋b;错误!＝错误!－错误!＝a－b.(2）运算律交换律：a＋b＝b＋a;结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c）．知识点三空间向量的数乘运算（1)定义实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同;当λ〈0时,λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0。

λa的长度是a的长度的|λ｜倍．如图所示．(2）运算律分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb；结合律：λ（μa）＝(λμ)a。

知识点四共线向量定理（1）共线向量的定义与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b。

(2)充要条件对空间任意两个向量a，b(a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.思考（1）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同,则终点也相同．对吗？(2）零向量没有方向．对吗？(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗?答案(1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．(2）错误．不是没有方向，而是方向任意．（3）正确．题型一空间向量的概念例1判断下列命题的真假．(1）空间中任意两个单位向量必相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若｜a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(4)向量错误!与错误!的长度相等．解（1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．（2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．（3）假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．(4)真命题．因为错误!与错误!仅是方向相反，但长度是相等的．反思与感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中,（1)试写出与错误!相等的所有向量；(2)试写出错误!的相反向量；（3）若AB＝AD＝2,AA1＝1，求向量错误!的模．解（1）与向量AB，→相等的所有向量（除它自身之外)有错误!，错误!及错误!共3个．(2)向量错误!的相反向量为错误!，错误!，错误!，错误!。

安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shi
yan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：第三章 空间向量（复习） 制单人： 审核人：高二数学组
班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__
一. 自主学习 1学习目标
1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；
2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.
2学习指导
1. 空间向量的运算及其坐标运算：
空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.
2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算
二. 合作交流
1如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2,6ABC CB CA AA ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.
例3 2. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点E ,F 分别在11,BB DD 上，且1AE A B ⊥,1AF A D ⊥. ⑴ 求证：1A C ⊥平面AEF ;
⑵ 当14,3,5AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面11D B BD 所成的角的余弦值.
.三.
拓展延伸
1. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别为11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥;
⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦值； ⑶ 求CE 的长.。