第三章 空间向量与立体几何
一、坐标运算
()()111222,,,,,a x y z b x y z ==
()
()
()
()121212121212111121212,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=⋅=⋅⋅⋅则
二、共线向量定理
(),0,=.a b b a b a b λλ≠←−−→∃充要对于使
三、共面向量定理
,,.a b p a b x y p xa yb ←−−→∃=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←−−−→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线
,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←−−→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点
()()()11,
1.P A B C AP x AB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性
、、、四点共面，
，，，
令()()() 1,
1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理
{}
,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ∃若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,
,都叫做基向量.
七、立体几何中的向量方法
121212,,.n n l l v v αβ设平面和的法向量为和直线和的方向向量为
111211111212
1212
12
12n v l l l n v l l l v v l l v v n n n n α
α
αβαβ⊥⇒⊂⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇔⊥⇔⊥①或②若③④⑤⑥
八、角、距离
()1θ异面直线的夹角，
cos
cos ,AB CD
AB CD AB CD θ⋅==⋅则
()2,θ线与面的夹角
sin cos a n a n θα⋅==
⋅则
()3,θ二面角
1212cos cos n n n n θα⋅==
⋅则
θ说明：只能由已知图观察锐钝.
()4,d 点到平面的距离
cos PA n d PA n θ⋅=⋅=则
cos cos d PA n PA n PA n
d PA n θ
θ⋅=⋅⋅⋅∴=⋅=说明：由图可知为在方向上的投影的绝对值，
