高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义

第三章 空间向量与立体几何单元小结[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)重要结论：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a ·a②cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图3­1①，AB ，CD 是二面角α­l ­β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．图3­1(ⅱ)如图3­1②③，n 1，n 2分别是二面角α­l ­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．[体系构建][题型探究]类型一、空间向量的基本概念及运算例1、如图3­2，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：图3­2①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________． 【答案】 ③④【解析】容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[规律方法] 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟踪训练]1.如图3­3，已知ABCD ­A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.图3­3【答案】32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]类型二、空间向量的坐标运算例2、(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥C ． ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值.【答案】(1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.[规律方法] 熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2). (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. [跟踪训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题例3、 在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． 【答案】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ． (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ． 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD ．[规律方法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．[跟踪训练]3．如图3­4，长方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．图3­4(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置.【答案】(1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0， 解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13， 所以线段AA 1上存在一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .类型四、利用空间向量求空间角例4、如图3­5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2)图3­5(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．【答案】(1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H .因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD ­B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值为155. [规律方法] 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)二面角：如图3­6，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．图3­6[跟踪训练]4．在如图3­7所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB是圆台的一条母线．图3­7(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ． (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F ­BC ­A 的余弦值.【答案】 (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC ． 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC ．(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ．又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．11 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧ －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33.因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝77，所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.。

第三章空间向量与立体几何1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

⑵加法结合律：（a b ） c ⑶数乘分配律：（a b ） 3. 共线向量。

（1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a 〃b 。

当我们说向量a 、b 共线（或a// b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线 可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ），a// b 存在实数入， 使a =入b 。

4. 共面向量（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

rr（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，P 与向量a,b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量P ， 存在一个唯一的有序实数组x, y,z ，使p xa yb zc 。

若三向量ab,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向2. uuu r OB a b a (b c)b a量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个uuu uuu uuu uuur有序实数x, y,z，使OP xOA yOB zOC。

ib平移前7. 空间向量的直角坐标系：(1) 空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 (x,y,z)，使OA xi yi zk ，有序实数组(x, y,z)叫作向量A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作A(x, y, z)， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直．梳理 空间向量基本定理(1)定理内容：不共面．3e ，2e ，1e 条件：三个向量①②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.(2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC →. 知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理 (1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )．(2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一 空间向量基本定理及应用命题角度1 空间基底的概念例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA →＝x OB →＋y OC →成立．所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3。

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量知识点二 空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB →＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋c ； BA →＝OA →－OB →＝a －b ＝－c .若P 在直线OA 上，则OP →＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a ＋b ＝b ＋a ；(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )． 知识点三 共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一 空间向量的概念及应用例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1—→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1—→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1—→，DC →及D 1C 1—→，共3个． (2)向量AA 1—→的相反向量有A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→，共4个． (3)|AC 1—→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2＝22＋22＋12＝9＝3. 引申探究如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→，CC ′—→，C ′C ——→，DD ′—→，D ′D ——→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A ——→，A ′D ——→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B ——→，B ′C ——→，CB ′—→.反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 跟踪训练1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的命题的序号为________． 答案 ①②解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→成立，故③正确；④显然正确．类型二 空间向量的线性运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→. 解 结合加法运算，得AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型三 向量共线定理的理解与应用例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC —→.求证：E ，F ，B 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ， 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c . 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a ＋25b －25c －23b ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a ＝λb .2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )． 3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线 (1)是否存在实数λ，使P A →＝λPB →.(2)对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →.(3)对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用AB →，CD →表示向量EF →.解 EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12AD → ＝12AB →－12(AD →－AC →)＝12AB →－12CD →.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →. 答案 ②解析 若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故④不正确．2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量A ′B ′→相等的向量有________个． 答案 33．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→；③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.其中运算的结果为AC 1—→的有________个． 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1—→.4．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0. 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 ±1解析 由k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，故k ＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号) ①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等． 答案 ④解析 容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 c －a －b 解析 如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0， 即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD →＝c －a －b .3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →＝________. 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →) ＝AC →－CA →＝2AC →.4．对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →|.其中一定不成立的是____________．(填序号) 答案 ②解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：A B →＋B C →＝A C →恒成立；对于③：当A B →，B C →，A C →方向相同时，有|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；对于④：当B C →，A B →，A C →在一条直线上且B C →与A B →，A C →方向相反时，有|A B →|－|A C →|＝|B C →|. 只有②一定不成立．5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________． 答案 0解析 延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝DF →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________，DD 1→－AB →＋BC →＝________.答案 AC 1—→ BD 1—→解析 AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋BC →＋CC 1—→＝AC 1—→， DD 1—→－AB →＋BC →＝DD 1—→－(AB →－AD →) ＝DD 1—→－DB →＝BD 1—→.7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B —→＝________.答案 －a ＋b －c 解析 如图，A 1B —→＝A 1A —→＋AB →＝C 1C —→＋(CB →－CA →) ＝－CC 1—→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E —→＝14A 1C 1—→，AE →＝x AA 1—→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________. 答案 1 14解析 ∵AE →＝AA 1—→＋A 1E —→＝AA 1—→＋14A 1C 1—→＝AA 1—→＋14AC →＝AA 1—→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－n AA 1—→，则m ，n 的值分别是________． 答案 12，－12解析 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1—→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，所以m ＝12，n ＝－12.10．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号) ①EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0； ②EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0； ③EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0； ④EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0. 答案 ②解析 易知四边形EFGH 为平行四边形， 所以EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝EB →＋BF →＋GE →＋EH → ＝EF →＋GH →＝0.11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)答案 3a ＋3b －5c解析 设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD → ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′—→；(3)AB →＋CB →＋AA ′—→；(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →.解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→＝AC ′—→.(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DA →＋AB →＋BB ′—→＝DB ′—→.(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC → ＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →) ＝－OA →＋12(OD →＋AB →) ＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →) ＝－32OA →＋12OD →＋12OB →， ∴x ＝12，y ＝－32. 三、探究与拓展14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案 －8解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．证明 连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →. ∵E 为CD 的中点，∴BE →＝12BC →＋12BD →. ∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE → ＝AB →＋13(BC →＋BD →) ＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)] ＝13(AB →＋AC →＋AD →)．。

描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。

空间向量及其运算【知识梳理】一、空间向量及其加减运算 1. 空间向量的概念及其表示(1)概念：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，如空间中的位移、速度、力等。

(2)表示方法：和平面向量一样，向量的表示有三种形式：a ,，有向线段。

(3)零向量：长度为零的向量是零向量，也即模等于零的向量，记作0。

注意：零向量的方向是无法确定的。

但我们规定：零向量的方向与任一向量平行，与任意向量共线，与任意向量垂直。

零向量的方向不确定，但模的大小确定。

零向量与任意向量的数量积为0。

2. 单位向量：单位向量是指模等于1的向量。

由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。

3. 相等向量和相反向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等的向量。

即：若a 与b 相等，则记作b a =。

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量，若a 与b 相反，则记作b a -=。

4. 空间向量的加减运算(1)空间向量的加法与减法是平面向量运算的推广． (2)加法交换律：a b b a +=+; 加法结合律：()()a b c a b c ++=++ 二、空间向量的数乘运算 1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)向量a 与λa 的关系：(3)设λ，μ是实数，则有①分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb .②结合律：λ(μ a )＝(λμ)a .如果l为经过点A平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O，点P 在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示. 若在l 上取AB＝a，则①式可化为OP＝OA ＋t AB . 数对(x，y)，使MBOP MA＋y MB.三、空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角四、空间向量的正交分解及其坐标表示 1．空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a ，b ，c ，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组 ，使得 ． (2)基底：空间中任一组 的三个向量a ，b ，c 都可以组成空间的一个基底，即 ． (3)基向量：空间的一个基底{a ，b ，c }中的三个向量 叫做基向量． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底：三个有公共起点O 的 的单位向量e 1，e 2，e 3称为 ． (2)空间直角坐标系：以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .(3)空间向量的坐标表示：①对于空间任意一个向量p ，一定可以把它 ，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝ ．把 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作 ，即点P 的坐标为 ．②在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)． 五、空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的加减和数乘的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R)；(4)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3. 2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23； (4)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)． (1) AB ＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB |＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.【经典例题】考点一 空间向量及其加减运算 题型一 空间向量概念的应用 例题1. 给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有=; ④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是( ) A．1 B ．2C ．3D ．4题型二 空间向量的运算例题1. 化简：（ ） ( )练习1.在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用 b ，c ，d 表示向量，、，，和。

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一) 3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2 空间向量基本定理学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示知识点二 空间向量基本定理思考 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理 (1)空间向量基本定理(2)基底条件：三个向量a ，b ，c 不共面． 结论：{a ，b ，c }叫作空间的一个基底．基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫作基向量．1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．(√)3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)类型一 基底的判断例1 下列能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断 答案 (1)C (2)B解析 (1)对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，可知MA →，MB →，MC →共面，故选C. (2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．2a B ．2b C ．2a ＋3b D ．2a ＋5c答案 D(2)以下四个命题中正确的是( ) A ．基底{a ，b ，c }中可以有零向量B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．空间向量的基底只能有一组 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间基底可以有无数多组，故D 不正确．类型二 空间向量基本定理的应用例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点．试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 因为OG →＝OA →＋AG →， 而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 又因为GH →＝OH →－OG →， OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， 所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .反思与感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →；(2)若D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1—→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1—→＋D 1B —→) ＝12(－c ＋a －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.类型三 空间向量的坐标表示例3 (1)设{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标答案 (4，－8,3)，(－2，－3,7)解析 由于{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． (2)已知a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)，e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)，求a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)， e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)， 设a ＝αe 1＋βe 2＋λe 3，即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2α＋β＝3，－α＋β＋3λ＝4，α－β＋3λ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝76，β＝23，λ＝32，所以a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解为a ＝76e 1＋23e 2＋32e 3.反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 (1)在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，12，12 解析 ∵OM ＝2MA ，点M 在OA 上， ∴OM ＝23OA ，∴MN →＝MO →＋ON →＝－OM →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12b ＋12c .∴MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，12，12. (2)已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为P A ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3. 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(－AP →＋AD →＋AB →)＝12AP →＋12AD →＝12e 3＋12e 2， 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D解析 由AB →＝－i ＋j －k 只能确定向量AB →＝(－1,1，－1)，而向量AB →的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．2．在下列两个命题中，真命题是( )①若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 ①为真命题；②中，由题意得a ，b ，c 共面，故②为假命题，故选A.3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋λc ，则α，β，λ的值分别为________． 考点 空间向量的正交分解题点 空间向量在单位正交基底下的坐标答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋λ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋λ)e 1＋(α＋β－λ)e 2＋(α－β＋λ)e 3 ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋λ＝1，α＋β－λ＝2，α－β＋λ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，λ＝－12.5．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG →，BG →.考点 空间向量的正交分解 题点 向量在单位正交基底下的坐标解 延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，PG →＝23PN →＝23⎣⎡⎦⎤12(PC →＋PD →) ＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP →＝13i ＋23j －23k . BG →＝BC →＋CN →＋NG →＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－⎝⎛⎭⎫16AB →＋13AD →－13AP → ＝23AD →－23AB →＋13AP → ＝－23i ＋23j ＋13k .1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直． 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D3．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 C解析 ∵OC →＝12a －12b 且a ，b 不共线，∴a ，b ，OC →共面，∴OC →与a ，b 不能构成一组空间基底．4．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.5．{a ，b ，c }为空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 的值分别为( ) A ．0,0,1 B ．0,0,0 C ．1,0,1D ．0,1,0 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 若x ，y ，z 中存在一个不为0的数，不妨设x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，∴a ，b ，c 共面．这与{a ，b ，c }是基底矛盾，故x ＝y ＝z ＝0.6．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的是( ) A ．仅① B ．仅② C ．①②D ．不确定 考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 对于①∵a －b 与a ，b 共面， ∴a －b 与a ，b 不能构成空间的一个基底．对于②∵a ＋b －c 与a ，b 不共面，∴a ＋b －c 与a ，b 构成空间的一个基底．7．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14 B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1—→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)， ∵OG →＝3GG 1—→＝3(OG 1—→－OG →)， ∴OG →＝34OG 1—→＝34(OA →＋AG 1—→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A.二、填空题8.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1→的坐标为________，AC 1→的坐标为________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系，知A (0,0,0)，C 1(2,2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1→的坐标为(2,2,1)．9．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 10．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即点D 坐标为(5,13，－3)． 三、解答题11.如图所示，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→ ＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝12(OO ′－OC )＝12(c －b )． 12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 1→，DE →，DF →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3， 其方向与各轴的正方向相同，则DB 1→＝DA →＋AB →＋BB 1→＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴DB 1→＝(2,2,2)．∵DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE →＝(2,2,1)．∵DF →＝e 2，∴DF →＝(0,1,0)．13．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量的基本定理 (1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →， 所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.四、探究与拓展14．已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 3a ＋3b －5c解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 15.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→＝12AA ′→＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→ ＝AB →－12AD →－12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0.。

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨：1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ⋅=⇔⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．3、公式cos ,a b a b a b⋅<>=⋅是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别,再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等．4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 1线线平行证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量．2线线垂直证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ⋅=⇔⊥．3线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．4线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．5面面平行①证明两个平面的法向量平行即是共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题．6面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 1求两异面直线所成角利用公式cos,a ba ba b⋅<>=⋅,但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦,故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．2求线面角求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ＝| cosφ|．3求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．1点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模．2点与面的距离点面距离的求解步骤是：①求出该平面的一个法向量；②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离．备考建议：1、空间向量的引入,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,应体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想像能力和几何直观能力．2、灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题．3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时,直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用,它的特点是用代数方法解决立体几何问题,无需进行繁、难的几何作图和推理论证,起着从抽象到具体、化难为易的作用．因此,应熟练掌握平面法向量的求法和用法．4、加强运算能力的培养,提高运算的速度和准确性．第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中,既有大小又有方向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有大小而没有方向的量．2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表示向量的大小,用有向线段的方向表示向量的方向．若向量a对应的有向线段的起点是A,终点是B,则向量a可以记为AB,其模长为a或AB．3、零向量长度为零的向量称为零向量,记为0．零向量的方向不确定,是任意的．由于零向量的这一特殊性,在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”． 4、单位向量模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量,在以后的学习中还要经常用到． 5、相等向量长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a 与向量b 相等,记为a =b .零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关．6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．a 的相反向量记为－a 二、共面向量 1、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2、共面向量定理若两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y,使得p =xa yb +;3、空间平面的表达式空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y 使MP xMA yMB =+或对空间任一定点O,有或OP xOA yOB zOM =++其中1x y z ++=这几个式子是M,A,B,P 四点共面的充要条件．三、空间向量基本定理 1、定理如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在唯一的有序实数组x 、y 、z,使p =xa yb +zc +2、注意以下问题1空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．2由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不是0;3一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念．由空间向量的基本定理知,若三个向量a 、b 、c 不共面;那么所有空间向量所组成的集合就是{}|,,,p p xa yb zc x y z R =++∈,这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的,所以我们把{},,a b c 称为空间的一个基底;a 、b 、c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 3、向量的坐标表示 1单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用{},,i j k 表示．2空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{},,i j k 以点O 为原点,分别以i 、j 、k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴．则建立了一个空间直角坐标系O －xyz,点O 叫原点,向量i 、j 、k 都叫坐标向量． 3空间向量的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ,且设i 、j 、k 为坐标向量,存在唯一有序数组x,y,z 使a xi y j zk =++,有序数组x,y,z 叫做a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标,记为a =(),,x y z ;对坐标系中任一点A,对应一个向量OA ,则OA =a xi y j zk =++;在单位正交基底i 、j 、k 中与向量OA 对应的有序实数组x,y,z,叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标,记为Ax,y,z. 四、空间向量的运算 1、空间向量的加法三角形法则注意首尾相连、平行四边形法则, 加法的运算律：交换律 a b b a +=+ 结合律()()a b c a b c ++=++2、空间向量的减法及几何作法几何作法：在平面内任取一点O,作,OA a OB b ==,则BA a b =-,即从b 的终点指向a 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义． 3、空间向量的数乘运算 1定义实数λ与a 的积是一个向量,记为a λ,它的模与方向规定如下： ①a aλλ=⋅② 当0λ>时,a λ与a 同向；当0λ<时,a λ与a 异向；当0λ=时．0a λ=注意：① 关于实数与空间向量的积a λ的理解：我们可以把a 的模扩大当λ>1时,也可以缩小λ< 1 时,同时,我们可以不改变向量a 的方向当0λ>时,也可以改变向量a 的方向当0λ<时; .② 注意实数与向量的积的特殊情况,当0λ=时,0a λ=；当0λ≠,若0a =时,有0a λ=;③ 注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算．比如a λ+,a λ-无法运算; 2实数与空间向量的积满足的运算律 设λ、μ是实数,则有()()a aλμλμ= 结合律()a a a λμλμ+=+ 第一分配律()a b a bλλλ+=+ 第二分配律实数与向量的积也叫数乘向量．4、共线向量 1共线向量定义若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量,也叫做平行向量;若a 与b 是共线向量,则记为a b a b b 0a b a b a =+OP OA ta a AB a=(),(1)OP OA t AB OP OA t OB OA t OA tOB=+∴=+-=-+12t =1122OP OA OB =+AB λ111OP OA OB λλλ=+++11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 12PP =222z y x |OP |++=→→→→><b a b ,a 与为性质若→→b a 、是非零向量,→e 是与→b 方向相同的单位向量,θ是→→e a 与的夹角,则 1θcos |a |e a a e →→→→→=⋅=⋅ 20b a b a =⋅⇔⊥→→→→3若→→b a 与同向,则|b ||a |b a →→→→⋅=⋅； 若→→b a 与反向,则|b ||a |b a →→→→⋅-=⋅；特别地：→→→→→→⋅==⋅a a |a ||a |a a 2或4若θ为|b ||a |ba cosb a →→→→→→⋅⋅=θ的夹角，则、5|b ||a ||b a |→→→→≤⋅2. 运算律 1结合律)b a (b )a (→→→→⋅=⋅λλ 2交换律→→→→⋅=⋅a b b a3分配律→→→→→→→⋅+⋅=+⋅c a b a )c b (a不满足消去律和结合律即：典型例题例1. 已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点,连结PA 、PB 、PC 、PD,点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心;求证：E 、F 、G 、H 四点共面; 证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交对边于M 、N 、Q 、R ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点,顺次连结MNQR 所得四边形为平行四边形,且有 ∵MNQR 为平行四边形,则∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面;例2. 如图所示,在平行六面体'D 'C 'B 'A ABCD -中,→=→a AB ,→=→b AD ,→=→c AA ,P 是CA'的中点,M 是CD'的中点,N 是C'D'的中点,点Q 是CA'上的点,且CQ ：QA'=4：1,用基底}c b a {→→→，，表示以下向量： 1→AP ；2→AM ；3→AN ；4→AQ ;解：连结AC 、AD'1)c b a (21)'AA AD AB (21)'AA AC (21AP →+→+→=→+→+→=→+→=→；2→+→+→=→+→+→=→+→=→c21b a 21)'AA AD 2AB (21)AD AC (21AM ；3)'AD AC (21AN →+→=→4)AC 'AA (54AC CQ AC AQ →-→+→=→+→=→点评：本例是空间向量基本定理的推论的应用．此推论意在用分解定理确定点的位置,它对于以后用向量方法解几何问题很有用,选定空间不共面的三个向量作基向量．并用它们表示出指定的向量,是用向量解决几何问题的一项基本功．例3. 已知空间四边形OABC 中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC;M 、N 分别是OA 、BC 的中点,G 是MN 的中点;求证：OG ⊥BC;证明：连结ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ又设→=→a OA ,→=→b OB ,→=→c OC ,则|c ||b ||a |→=→=→;又)ON OM (21OG →+→=→∴)b c ()c b a (41BC OG →-→⋅→+→+→=→⋅→∴OG ⊥BC例4. 已知空间三点A0,2,3,B －2,1,6,C1,－1,5; 1求以→→AC AB 和为邻边的平行四边形面积；2若3|a |=→,且→→→AC AB a 、分别与垂直,求向量→a 的坐标;解：1由题中条件可知∴23AC AB sin >=→→<， ∴以→→AC AB 、为邻边的平行四边形面积：2设），，（z y x a =→由题意得解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===1z 1y 1x 1z 1y 1x 或∴），，＝（）或，，（111a 111a ---→=→第二讲 直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用 1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行或共线的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面．1若有直线l , 点A 是直线l 上一点,向量a 是l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,则对于直线l 上任意一点P,一定存在实数t,使得AP t AB =,这样,点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置,还可具体表示出l 上的任意点．2空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定,若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ,P 为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对x ,y ,使得OP =xa yb +,这样,点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量也有无数个,它们是共线向量．2、在空间中,给定一个点A 和一个向量a ,那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的． 三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ,则有l 1⇔1u 2u ⇔1u 2u 1v 2v ⇔1v 2v ⇔1v 2v u v ⇔u v ⇔u v (,,)n x y z =111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩a b a b ()a kbk R =∈a αn //l α⊥a n 0⋅=a n2根据线面平行的判定定理：“如果直线平面外与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．3根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 3、面面平行1由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2若能求出平面α、β的法向量u 、v ,则要证明αu v a b a b 0a b ⋅=a u a u ////,//a a b b /a /b02πθ<≤a b ϕcos |cos |a b a bθϕ⋅==⋅02πθ≤≤a u a u ϕsin |cos |cos sin a u a uθϕθϕ⋅===⋅或[0,]πl αβ--AB CD 1n 2n l αβ--1n 2n BO BA =cos cos BA BO ABOABO BO⋅⋅∠∠=nAB n BO n⋅=n n n=0d AB n =⋅nCD n d AB n⋅==设→→b a 、分别是直线l 1、l 2的方向向量,根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系; 1→a =2,3,－1,→b =－6,－9,3； 2→a =5,0,2,→b =0,4,0；3→a =－2,1,4,→b =6,3,3解：1∵），，（132a -=→,→b =－6,－9,3∴→→-=b31a ,∴→→b //a ,∴l 1→a →b 0b a =⋅→→→→⊥b a =→a →b →→b a 与设→→v u 、分别是平面α、β的法向量,根据下列条件判断α、β的位置关系：1→u =1,－1,2,→v =3,2,21-；2→u =0,3,0,→v =0,－5,0；3→u =2,－3,4,→v =4,－2,1;解：1∵→u =1,－1,2,→v =3,2,21-∴0v u =⋅→→ →→⊥∴v u∴α⊥β2∵→u =0,3,0,→v =0,－5,0∴βα//v//u v53u ∴∴-=→→→→3∵→u =2,－3,4,→v =4,－2,1∴→→v u 与既不共线、也不垂直,∴α与β相交点评：应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件;例3. 已知点A3,0,0,B0,4,0,C0,0,5,求平面ABC 的一个单位法向量; 解：由于A3,0,0,B0,4,0,C0,0,5,∴→AB =－3,4,0,→AC =－3,0,5设平面ABC 的法向量为→n x,y,z则有0AC n 0AB n =→⋅→=→⋅→且即⎩⎨⎧=+-=+-0z 5x 30y 4x 3 取z=1,得35x =,45y =于是→n =14535，，,又12769|n |=→∴平面α的单位法向量是)769127691576920(n ，，=→例4. 若直线l 的方向向量是→a =1,2,2,平面α的法向量是→n =－1,3,0,试求直线l 与平面α所成角的余弦值;分析：如图所示,直线l 与平面α所成的角就是直线l 与它在平面内的射影所成的角,即∠ABO,而在Rt △ABO 中,∠ABO=-2π∠BAO,又∠BAO 可以看作是直线l 与平面α的垂线所成的锐角,这样∠BAO 就与直线l 的方向向量a 与平面α的法向量n 的夹角建立了联系,故可借助向量的运算求出∠BAO,从而求出∠ABO,得到直线与平面所成的角; 解：∵→a =1,2,2,,→n =－1,3,0∴3|a |=→,10|n |=→,5n a =⋅→→∴610|n ||a |na n ,a cos =⋅⋅>=<→→→→→→若设直线l 与平面α所成的角是θ则有><=→→n ,a sin cos θ∵610n ,a cos >=<→→ ∴626n ,a sin >=<→→因此626cos =θ,即直线l 与平面α所成角的余弦值等于626;例5. 如图a 所示,在正方体1111D C B A ABCD -中,M 、N 分别是C C 1、11C B 的中点;求证：1MN BD A 1C D B //BD A 111平面1DD 21211A →MN 2121BD A 1→n 0DB n 0DA n 1=⋅=⋅→→→→且⎩⎨⎧=+=+0y x 0z x 1y -=1z -=→∴n →→⋅n MN 2121→⊥→n MN BDA 1→=→-→=→-→=→-→=→111111111DA 21)D D A D (21C C 21B C 21M C N C MN →→1DA //MN BD A //MN 1平面→-→=→M C N C MN 11→-→=D D 21A D 21111→→→DB DA MN 1与可用→→→DB DA MN 1、与→MN BD A 1→n →m→→n //m 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,O 为AC 与BD 的交点,G 为CC 1的中点;求证：A 1O ⊥平面GBD;证明：设→=→→=→→=→c A A b D A a B A 11111，，,则 而)b a (21c )AD AB (21A A AO A A O A 111→+→+→=→+→+→=→+→=→∴)a b ()b 21a 21c (BD O A 1→-→⋅→+→+→=→⋅→同理0OG O A 1=→⋅→∴BD O A 1⊥,OG O A 1⊥又O OG BD = ,∴⊥O A 1面GBD; 例7. 2004年天津如图a 所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,E 是PC 的中点;1证明：PA 2a 2a 2a 2a →PA →EG 2a 2a -→=→EG 2PA ⊂⊄2a →FE 2a →FB 2a →DC 0FB FE =→⋅→0DC FE =→⋅→55a 252a |FB ||FE |==→→=55正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别是11D A 、11C A 的中点,求：1异面直线AE 与CF 所成角的余弦值；2二面角C —AE —F 的余弦值的大小; 解：不妨设正方体棱长为2,分别取DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系,则A2,0,0,C0,2,0,E1,0,2,F1,1,21由→AE =－1,0,2,→CF =1,－1,2,得5|AE |=→,6|CF |=→∴→⋅→CF AE =－1＋0＋4=3 又>→→<>=→→<⋅→⋅→=→⋅→CF ,AE cos 30CF ,AE cos |CF ||AE |CF AE∴1030CF ,AE cos >=→→<,∴所求值为10302∵→EF =0,1,0 ∴→⋅→EF AE =－1,0,2·0,1,0=0∴AE ⊥EF,过C 作CM ⊥AE 于M则二面角C —AE —F 的大小等于>→→<MC ,EF∵M 在AE 上,∴→=→AE m AM 设则→AM =－m,0,2m,→-→=→AM AC MC =－2,2,0－－m,0,2m=m －2,2,－2m∵MC ⊥AE ∴→⋅→AE MC =m －2,2,－2m ·－1,0,2=0∴52m =,∴)54,2,58(MC --=→,556|MC |=→ ∴→⋅→MC EF =0,1,0·58-,2,54-=0＋2＋0=2又>→→<>=→→<⋅→⋅→=→⋅→MC ,EF cos 556MC ,EF cos |MC ||EF |MC EF∴35MC ,EF cos >=→→< ∴二面角C —AE —F 的余弦值的大小为35例9. 已知正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,H 是EF 与AC 的交点,CG ⊥面ABCD,且CG=2;求BD 到面EFG 的距离;分析：因BD//平面EFG,故O 到面EFG 与BD 到面EFG 距离相等,证明OM 垂直于面EFG 即可;解：如图所示,分别以CD 、CB 、CG 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系; 易证BD//面EFG,设BD AC =O,EF ⊥面CGH,O 到面EFG 的距离等于BD 到面EFG 的距离,过O 作OM ⊥HG 于M,易证OM ⊥面EFG,可知OM 为所求距离;另易知H3,3,0,G0,0,2,O2,2,0;设→=→GH GM λ,→GH =3,3,－2则)22,23,23()2,2,2()2,3,3(GO GM OM +---=---=→-→=→λλλλ 又0GH OM =→⋅→,∴0)22(2)23(3)23(3=---+-λλλ∴118=λ,∴)116,112,112(OM =→ ∴11112)116()112(2|OM |22=+⨯=→即BD 到平面EFG 的距离等于11112励志故事习惯父子俩住山上,每天都要赶牛车下山卖柴;老父较有经验,坐镇驾车,山路崎岖,弯道特多,儿子眼神较好,总是在要转弯时提醒道：“爹,转弯啦”有一次父亲因病没有下山,儿子一人驾车;到了弯道,牛怎么也不肯转弯,儿子用尽各种方法,下车又推又拉,用青草诱之,牛一动不动;到底是怎么回事 儿子百思不得其解;最后只有一个办法了,他左右看看无人,贴近牛的耳朵大声叫道：“爹,转弯啦”牛应声而动;牛用条件反射的方式活着,而人则以习惯生活;一个成功的人晓得如何培养好的习惯来代替坏的习惯,当好的习惯积累多了,自然会有一个好的人生;。

空间向量与立体几何1、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=． 9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．17、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．19、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =20、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．21、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 22、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 23、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 24、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．25、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．26、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．27、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．28、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．29、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．30、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 31、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．32、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.OC OB OA OM --=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++OC OB OA OMD.0=++MC MB MA3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于A.41B.41- C.43 D.43-4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=OA ，)8,2,3(=OB ，)0,1,0(=OC ，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453 D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥俯视图 正(主)视图 侧(左)视图2 3 2 2D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 A.6 B.552 C.15 D.10 10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52 二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A B C D -是正方体，其中 2,6AB PA ==，则1B 到平面PAD的距离为.三、解答题（共80分）15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG.. 17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证：2262GF C'B'D'MP DC BA俯视图正视图121121ED C BA P （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D CB A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论; （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E AF C --的余弦值． 参考答案 一、选择题1.)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A. 2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于MC MB MA MC MB MA C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在MC MB MA MC y MB x MA y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且, 41120cos 1121,cos 21210-=⨯⨯⨯>=<⋅=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC BD DC EF 故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D10.由于4,cos =⋅=><⋅=ACAC AB AC AB AB AD ，所以522=-=AD AB BD ,故选A PBECD FAD 'C 'B'A'PD C BA二、填空题 11.912.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则DB CD AC AB ++=∵θθcos 6)180cos(,0,0,2,5,30-=-⋅=⋅=⋅=⋅===DB AC DB AC DB CD CD AC DB CD AC00222222222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=∴θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC DB CD AC AB14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系 设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离1655B A m d m⋅==. 三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21AB AP AD BP BC BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于 23)]110(2211[41)](2[41)(4122222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=∴c b c a b a c b a c b a BM 2626的长为，BM BM ∴=∴. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=．（3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥．因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥，从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，ABC DE FGA 'B 'C 'D '所以BC '∥面EFG ． 17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得m=21DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）因为0011cos 2DH CC +⨯'<>==，， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，． 因为01101cos 2DH DC ++⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EBzyxEDC BAP∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==23=BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===-设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt EAH △中，3AE =， 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan 2AE EHA AH AH ∠===，因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， 在Rt AOE △中，3sin 302EO AE ==，3cos302AO AE ==， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 454SO AO ==，又SE ===Rt ESO △中，cos SO ESO SE ∠===， 即所求二面角的余弦值为5． 解法二：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，， 所以31(300)122AE AF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，m m 因此111101022x y z =++=⎪⎩，． 取11z =-，则(021)=-，，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量．B又(0)BD =-，，所以cos 5BD BD BD<>===，m m m ． 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5． 空间向量与立体几何2一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ） A ．19 B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（）A ．21B ．22C ．－21D ．07．设n m 、表示直线，βα、表示平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）． A ．βα⊥⊥m ,m ，则α//β B ．m//n ,=βαα ，则m//n C ．α⊥m ,β//m , 则βα⊥D ．n //m ,α⊥m , 则 α⊥n 8．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）．ABDA．3 B．362C．2D．229、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行 B．相交且垂直C．异面 D．相交成60°10、点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的（）A．外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）（A）2（B）12（C）22+（D）112、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=ba，则(23)(2)a b a b-+=__________________。

表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ,的相等向量OA 和OB ，则∠AOB 叫作向量a b ,的夹角，记作〈〉，a b ，规定0π≤〈〉≤，a b ．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．a 平行于b 记作b a//，此时．a b 〈〉，=0或a b 〈〉，=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量a ，我们把aa叫作向量a 的单位向量，记作0a ．0a 与a 同向．（4）当a b 〈〉，=0或π时，向量a 平行于b ，记作b a //；当 a b 〈〉，=2π时，向量a b ，垂直，记作a b ⊥．要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类型几何方法运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则：OC OA ABa b=+=+加法交换率： .a b b a +=+ 加法结合率：()()a b c a b c ++=++()a b a b -=+- AB BC=AC +0AB BA=+2三角形法则：OB OA AB a b=+=+向 量 的 减 法 三角形法则：BA OA OB a b=-=-AB OA OB =-向 量 的 乘 法 a λ是一个向量，满足： λ>0时，a λ与a 同向； λ<0时，a λ与a 异向；λ=0时， a λ=0()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+a ∥b a b λ⇔=向 量 的 数 量 积 1．a b 是一个数：||||cos()a b a b a b =，；2．0a =，0b=或a b ⊥⇔b a •=0．a b b a =()()()a b a b a b λλλ==()a b c a c b c +=+22||a a =||||||a b a b ≤要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使b aλ=． 共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯2(AB x == AB 的中点坐标为⎛⎝② 212,,a b x y y -=-1(,a x y λλλ=12a b x x y ⋅=+a a a x ==b b b ==(1212222221122cos a b a b a bx zx y ==≠≠++++，，空间向量平行和垂直的条件②12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． 要点五：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行 （a //b ）a //b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线线垂直 （a b ⊥）⊥a b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线面平行 （l //α）⊥a n ，即0=⋅a n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量）．线面垂直 （l α⊥）a //n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量）面面平行 （α//β）//u v（u v ，分别是平面α，β的法向量）面面垂直 （αβ⊥）⊥u v ，即0=u v（u ，v 分别是平面α，β的法向量）要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角||cos||||AC BDAC BDθ⋅=⋅（A，C是直线a上不同的两点，B，D是直线b上不同的两点）直线和平面的夹角||sin|cos|||||θϕ⋅==⋅a ua u（其中直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的角为ϕ）二面角cosθ（平面α与β的法向量分别为1n和2n，平面α与β的夹角为θ）要点七：用向量方法求距离图示向量证明方法点到平面的距离PAd=AA'=nn（n为平面π的法向量）与平面平行的直线到平面的距离PAd=AA'=nn（n是平面π的公共法向量）两平行平面间的距离PAd=AA'=nn（n是平面α，β的一个公共法向量）要点八：立体几何中的向量方法用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题） 用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤 1．建立适当的空间直角坐标系； 2．写出相关点的坐标及向量的坐标； 3．进行相关的计算； 4．写出几何意义下的结论．二、重点和难点1、（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面．2、（1）空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为'P ，在面xOy 中，过'P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A C 、，则|'|||||x P C y AP z PP ===，，＇＇．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a ba b |a ||b|cos a b cos a b |a ||b|⋅⋅=<⋅>⇒<⋅>=⋅，其中θ的范围是[0,]π．3、（１）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．4、①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。

第三章 空间向量与立体几何
一、坐标运算
二、共线向量定理
三、共面向量定理
,,.a b p a b x y p xa yb ←−−→∃=+充要若与不共线，则与共面使
,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←−−−→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线
,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←−−→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点
()()
()11,
1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性
、、、四点共面，
，
，
，
令 六、空间向量基本定理
{}
,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ∃若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.
七、立体几何中的向量方法
121212,,.n n l l v v αβ设平面和的法向量为和直线和的方向向量为
八、角、距离
cos cos d PA n PA n PA n
d PA n θ
θ⋅=⋅⋅⋅∴=⋅=说明：由图可知为在方向上的投影的绝对值，。

第三章空间向量与立体几何一、坐标运算()()111222,,,,,a x y z b x y z ==()()()()121212121212111121212,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=⋅=⋅⋅⋅则 二、共线向量定理(),0,=.a b b a b a b λλ≠←−−→∃充要对于使 三、共面向量定理,,.a b p a b x y p xa yb ←−−→∃=+充要若与不共线，则与共面使,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←−−−→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←−−→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点()()()11,1.P A B C AP x AB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性、、、四点共面，，，，令()()()1,1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理{},,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ∃若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.七、立体几何中的向量方法121212,,.n n l l v v αβ设平面和的法向量为和直线和的方向向量为 11121111121212121212n v l l l n v l l l v v l l v v n n n n αααβαβ⊥⇒⊂⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇔⊥⇔⊥①或②若③④⑤⑥八、角、距离()1θ异面直线的夹角，cos cos ,AB CDAB CD AB CDθ⋅==⋅则 ()2,θ线与面的夹角sin cos a na nθα⋅==⋅则()3,θ二面角 1212cos cos n n n n θα⋅==⋅则 θ说明：只能由已知图观察锐钝. ()4,d 点到平面的距离cos PA n d PA n θ⋅=⋅=则cos cos d PA n PA n PA nd PA nθθ⋅=⋅⋅⋅∴=⋅=说明：由图可知为在方向上的投影的绝对值，。