苏教版数学选修2-1：3.1 空间向量及其运算3.1.5

第3章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其线性运算双基达标 (限时20分钟)1.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，且向量BM →＝x a ＋y b＋z c ，则8xyz ＝________.解析 显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c ， 即x ＝－12，y ＝12，z ＝1，所以8xyz ＝－2. 答案 －22．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)化简的结果是________．解析 如图所示，因12(BD →＋BC →)＝BM →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BM →＝AM →. 答案 AM →3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________．解析 如图所示，因DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.答案 BD 1→4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列叙述正确的是________．①AB →＝AC →＋BC →②AB →＝－AC →－BC →③AC →与BC →同向④AC →与CB →同向解析 由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．答案 ④5．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)解析 EF →＝AB →＋CD →2＝a －2c ＋5a ＋6b －8c 2＝3a ＋3b －5c. 答案 3a ＋3b －4c6．已知平面四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，运用向量法证明EF ∥AB .解 因为EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，所以向量EF →与AB →是共线向量，且所在直线了 不重合，所以EF ∥AB .综合提高（限时25分钟）7.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a ，b ，c 表示向量MN →＝________.解析 MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c . 答案 －23a ＋12b ＋12c8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是________(填序号)．①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →＋DD 1→－2DD 1→＝BD 1→－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式运算的结果不为向量BD 1→.故填①②。

第3章 空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质 知识、方法 要求 学习建议空间向量的概念 了解 空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒空间向量共线、共面的充分必要条件 理解 共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同． 空间向量的加法、减法及数乘运算 理解 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒空间向量的坐标表示 理解 空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广．空间向量的数量积 理解 掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式．空间向量的共线与垂直 理解 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．AB C OM N G 和计算方法及运算律．(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．2．预习提纲(1)回顾平面向量的相关知识：①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共线向量)?⑤什么是相等向量? ⑥什么是相反向量?⑦平面向量共线定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道吗?(2)请你填一填：①对平面内任意的四点A ，B ，C ，D ，则AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ； ②设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==u u u r u u u r u u u r u u u r 且，则C 、D 的坐标分别是____________； ③已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = ；④若三点(1,1),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x = ____________；⑤已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则a b c ++r r r 的模等于____________；⑥已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且,,A B C 三点共线，则k = ；⑦等腰Rt ABC ∆中，2,AB AC AB BC ==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则= ；⑧已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=r r r ，则()a b c ⋅r r r 的值= ____________；⑨1,9a b a b ==⋅=-r r r r ，则a r 与b r 的夹角是____________；⑩已知,a b r r 是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+r r r r r r r 则与的夹角= ____________．(3)研读教材P71—P833．典型例题例1 如图，已知四面体OABC ，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量OG u u u r ． 解：23OG OM MG OM MN =+=+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 121211()[()]232322111111()233633OA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+-=++-=++-=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴313161++=点评：若变题为已知OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，求,,x y z ﹒则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组),,(z y x 知111,,633x y z ===． 例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若点P 满足向量关系z y x ++=(其中1x y z ++=)．试问：,,,P A B C 四点是否共面?解：由z y x ++=可以得到z y +=(见教材P75)由,,A B C 三点不共线，可知与不共线，所以，，共面且具有公共起点A ．从而,,,P A B C 四点共面．点评：若,,M A B 三点不共线，则空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对,x y 使得：y x +=，或对空间任意一点O 有：y x ++=． 例3 已知空间四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 中点， 求证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ． 证明：(法一)如图， 0EF FC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，0EF FB BA AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，两式相加得： 2()()()EF FC FB CD BA DE EA ++++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 20EF BA CD =++=u u u r u u u r u u u r r 所以，11()()22EF BA CD AB DC =-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得证． (法二)如图，在平面上任取一点O ，作OE uuu r 、OF u u u r ， ∵1()2OE OA OD =+u u u r u u u r u u u r ，1()2OF OB OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴11()()22EF OE OF OB OC OA OD =-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111()()()222OB OA OC OD AB DC =-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 点评：若表示向量1a u r ，2a u u r ，…，n a u u r 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则210n a a a +++=u r u u r u u r r L ．这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便．例4 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值．分析：OA 与BC 的夹角即为OA u u u r 与BC uuu r 的夹角，可根据夹角公式求解．解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r84cos13586cos12024=⨯⨯-⨯⨯=-o o∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，OA 与BC的夹角的余弦值为35-． 点评：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r 易错写成,45OA AC <>=o u u u r u u u r ． 例5 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积．分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅u u u r u u u r 来求面积 解：∵(1,2,2)AB =-u u u r ，(2,0,3)AC =--u u u r ，∴||3AB ==u u u r，||AC ==u u u r(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=u u u r u u u r ，∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rsin sin ,A AB AC =<>=u u u r u u u r ，∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=u u u r u u u r 例6 已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)C ，求满足//DB AC ，//DC AB 的点D 的坐标．分析：已知条件//DB AC ，//DC AB ，也即//DB AC u u u r u u u r ，//DC AB u u u r u u u r ，可用向量共线的充要条件处理．解：设点(,,)D x y z ，∴(,1,)DB x y z =---u u u r ，(1,0,2)AC =-u u u r ，∵//DB AC u u u r u u u r ，∴DB AC λ=u u u r u u u r ，∴(,1,)(,0,2)x y z λλ---=-，∴102x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，∴12x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴(,1,2)D λλ-，∴(,1,22)DC λλ=--+u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，又∵//DC AB u u u r u u u r ，∴设DC u AB =u u u r u u u r ，∴(,1,22)(,,0)u u λλ--+=-，∴1220u u λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩∴1u λ==-，所以，D 点坐标为(1,1,2)-．点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法．4．自我检测(1)已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为____________．(2)设(2,6,3)a =-r ，则与a r 平行的单位向量的坐标为 ．(3)已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=r r ，则||a b -r r 的最小值是 ．(4)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c ．则M B 1= ．(用a ，b ，c 表示)﹒(5)已知四边形ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为 ．(6)设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-r r r ，若c ma nb =+r r r ，则t = ，m n += ．(7)已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==r r ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是 ．三、课后巩固练习A 组1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ； (2)1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r ； (3)1()2AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r ． 2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，设→---AB =a r ，→---AD =b r ，→---1AA =c r ，E 、F 分别是AD 1、BD 中点，试用a r 、b r 、c r 表示下列向量：(1)→---B D 1；(2)→---AF ；(3)→---C D 1；(4)→---EF ． 3．正方体OASB CQRP -中，→--OA = i r ，→--OB =j r ，→--OC =k r ，→--OP =a r ，→--OQ =b r ，→--OS =c r ， 设→z =λa r ＋μb r ＋γc r ，则→z = i r ＋ j r ＋ k r ． 4．设a r 、b r 、c r 不共面，2,,453m a b n b c p a b c =-=+=--u r r r r r r u r r r r ，判断m u r 、n r 、p u r 是否共 面． 5﹒已知空间四边形ABCD ，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ，点M 在AB 上，且2AM MB =，N 为CD 中点，试用,,a b c r r r 表示MN u u u u r ．B 组6．已知,,A B C 三点不共线，O 为空间任意一点，若111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，试证： 点M 与,,A B C 共面．7．证明四点()()()()1,0,1,4,4,6,2,2,3,10,14,17A B C D 在同一平面上． 8．已知()()3,1,5,1,2,3a b ==-r r ，若9,4a c b c ⋅=⋅=-r r r r ，且→c 垂直于Oz 轴，求→c ．9．已知a r 、b r 、c r 是两两垂直的单位向量，求：(1)()a b c ⋅+r r r ； (2)()()23a b b c -⋅+r r r r ； (3)()()4332a b c a b c -+⋅+-r r r r r r ．10．已知直角坐标系内的a r 、b r 、c r 的坐标，判断这些向量是否共面?如果不共面，求出以 它们为三邻边所作的平行六面体的表面积：(1)()()()3,4,5,1,2,2,9,14,16a b c ===r r r ； (2)()()()3,0,1,4,3,0,1,2,2a b c =-=-=--r r r ．11．已知()()322,0,4,2,1,2,2,4,a b c a c b θ-=-=-⋅==r r r r r r 为,b c r r 夹角，求cos θ．12．已知()()1,0,2,2,1,0a b =--=--r rB CD M G A(1)求a r 与b r 夹角余弦值的大小； (2)若c =r c r 分别与,a b r r 垂直，求c r ．13. 平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求1AC 的长．14．已知()()()1,2,3,2,1,5,3,2,5A B C --，求：(1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高． 15．空间两个不同的单位向量()(),,0,,,0OA p q OB r s ==u u u r u u u r ，都与()1,1,1OC =u u u r 成4π角． (1)分别求出p q +和pq 的值；(2)若AOB ∠为锐角，求AOB ∠．四、学习心得五、拓展视野N 维向量空间的起源宇宙，一个人类永远的话题，也是人类永远探索的目标．“没人确切的知道宇宙是怎么开始的．有人推论是一场无序的灾难性爆炸使无尽的世界群不断旋转向黑暗--这些世界随后有了不可思议的生命形态和天差地别的炯异．也有人相信宇宙是被某个强大实体以整体形式创造出来的．”宇宙， 是一个空间概念． 它包括行星， 星系等实体．宇宙同时也是一个时间概念． 现代有人解释宇宙为“无限的空间与时间”，正好印证了中国的一本古书<淮南子>对宇宙的定义，其中说“四方上下谓之宇， 古往来今谓之宙”． “四方上下”概括了所有空间， "古往来今"则概括了部分的时间．为什么说是部分的时间呢? “古往来今”的含义是从永远的过去到现在的今天． 这样的定义没有把从现在到无限的未来包括进来．如果我们把时间用一个变量 t 表示．那么“古往来今”则表示的是 t 在负无穷大到零的区间，即(-∞， 0]，如果我们设定坐标零点为现在，负方向代表过去，正方向代表将来．对于无限的空间的定义(即，时间 t从永远的过去到永远的将来)，就成为了(-∞， ＋∞)．那么空间呢?同样我们可以用坐标系的方式来定义空间．问题的关键就在于，我们怎么看待我们生存的空间．我们不是生活在一个2维的平面上(而古代的中国人认为地是方的，就如同我小时候想得一样．)，而是生活在一个类似于球体的物体上．这样，很多人会说，我们生活在一个3维空间里面．这样一个3维空间由三个坐标轴 X ， Y ， Z 组成．在这样一个3维空间中，任何一个位置p 都可以用三个数(x ， y ， z )表示，x 为位置p 在X 轴上的取值(也是投影)，同理，y 和z 也是．同时，这三条坐标轴是正交的．何谓正交，就是三条坐标轴互相垂直．在这个3维空间中，我们有两点111,,)P y z 1（x (可能是伦敦)和2222,,)P x y z （(可能是巴黎)，从1P到2P 之间(伦敦到巴黎)的最小距离(直线距离)为D=||1P -2P ||=sqrt((1x -2x )2＋(1y -2y )2＋(1z -2z )2)．在一般情况，因为各种限制，我们可能用不了最小距离，但是最小距离给我们找到一个下限．宇宙不仅包括空间，而且包括时间，所以，我们的这个宇宙就变成了3＋1=4维的了．那么宇宙就可以描述为(),,,x y z t ，有了四条正交的坐标轴,,,X Y Z T ．比如说事件A 为(),,,x y z t 表示，事件A 发生在(),,x y z 地点，发生在t 时间．在这样一个4维空间中，两个事件之间的最小距离也可以表示出来．但是这个“距离”就不是空间上的相对位置的改变，而是表示两个事件之间的“关系”．跳出我们仅仅对宇宙作为时间＋空间的定义．如果我们将宇宙描述为包容万象的，我们就会看到仅仅用时间＋空间不能来完整来表示．比如说，如何表述一个人?如何表述我们情感?仅仅用四条坐标轴很难去表述这些东西．显然，我们需要更多的坐标轴．如果要表示我是高兴还是悲伤，我们可以加一条坐标轴e ，e=0表示我即不高兴也不悲伤，当e 取负值，越远离坐标原点，说明我越不happy ，相反，当e 取正值，越远离坐标原点，说明我越happy ．如果我们要描叙其他的属性，我们有加入了新的坐标轴．如果，要描述的属性不计其数，要加入的坐标轴也不计其数了．显然，这是有可能的，因为我们对事物的认识是没有止境的，所以，当我们要描叙一个事物时，其属性可能无限多．这也反过来说明了宇宙的包容一切．所以，宇宙是一个无限维的空间，定为n 维空间(n=∞)，其存在n 条正交的坐标轴．无数的基本元素组成了宇宙(注意，这里的元素与化学中提到的元素不同，这里的元素是指单元)．每个元素是一个向量v ， v = {v1， v2， v3， ．．．， vn}， n =∞，(其实就相当于3维和2维空间中的一个点)．无数个向量组成的空间叫做向量空间．向量空间的维度就是坐标轴的个数．宇宙就是一个n 维向量空间。

空间向量的数量积（2）一．学习目标：掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题。

二．重点、难点：理解空间向量的坐标运算规律及规律的应用 三、知识链接平面向量的数量积的坐标表示——见必修错误!第78、79页1若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a •=2若),(11y x A ，),(22y x B ，如何用向量的方法证明221221)(y y x x AB -+-=）（？3已知)12(-=，a ，)23(-=，b ，求）b a b a 2()3(-•-4已知直线021=-y x l ：和032=+y x l ：，求直线1l 和2l 的夹角5设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围。

四、学习过程（一）自主学习、合作探究阅读课本第82页到第83页，完成以下问题1 若),,(111z y x a =，),,(222z y x b =，求证：b a ⋅=212121z z y y x x ++（这就是数量积的坐标形式）2距离的坐标形式：错误!若向量),,(z y x a =，则向量a 的长度（模）公式： 错误!空间两点的距离公式 ：3向量夹角的坐标表示：4思考：当0><<<b a ,cos 1及-1><<<b a ,cos 0时，夹角分别在什么范围内？（二）知识应用、思维训练例1、已知)1,3,3(A 、)5,0,1(B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；高二数学 选修2-1 编写人： 使用日期（2）到A 、B 两点距离相等的点的),,(z y x P 坐标z y x ,,满足的条件。

例2、在正方体1111D C B A ABCD -中， F E ,分别为DC BB ,1的中点1求AE 与F D 1所成的角;2证明：⊥AE 面F D A 11反思总结：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。

空间向量及其运算一．空间向量及其加减运算二．空间向量的数乘运算1．空间向量的概念：(1) 在空间，我们把具有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。

(2) 向量的表示：几何表示法:用有向线段表示；字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

2．空间向量的加减运算：加法运算：平行四边形法则和三角形法则；减法运算：三角形法则。

3. 共面向量的定义：一般地，平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

4．共面向量的判定；平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是λ=，类比到空间向量，即有共面向量定理 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得y x +=α.这就是说，向量可以由不共线的两个向量b a ,线性表示。

5．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。

6．若b a ,为不共线且同在平面α内，则p 与b a ,共面的意义是p 在α内或//p 。

三．空间向量的数量积运算1．夹角的定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则A O B ∠叫做向量与向量的夹角，记作><,.规定：π>≤≤<,0。

2．数量积：已知两个非零向量,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos ||||叫作向量,的数量积，记作⋅，即⋅＝><,cos ||||。

特别的，,<=⋅。

3．空间向量的数量积的运算律：)()(⋅=⋅λλ；⋅=⋅（交换律）； ⋅+⋅=+⋅)(（分配律）。

4．如果0,>=<，那么与同向；如果π>=<,，那么与反向； 如果090,>=<，那么与垂直，记作⊥。

5．空间向量数量积的性质：（1）0a b a b ⊥⇔=（用于判定垂直问题）；（2）2a a =（用于求模运算问题）；（3）cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅（用于求角运算问题）。

3．1.5空间向量的数量积(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1) 掌握空间向量的定义及数量积公式．(2)掌握空间向量的数量积的坐标运算．(3)掌握向量垂直的充要条件．(4)掌握向量模长及夹角公式．2．过程与方法(1)通过比较平面向量、空间向量的数量积运算，培养学生观察、分析、类比转化的能力．(2) 通过向量数量积的运算过程，培养学生基本的运算能力．(3)通过向量数量积的应用，学会向量法探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式．(2)通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学的魅力，激发学生学数学、用数学的热情．●重点难点重点：空间向量数量积公式及其应用．难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题．(教师用书独具)●教学建议向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用．利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题．通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．本节课围绕“提出问题——分析问题——解决问题——应用拓展”的教学模式，让学生从几何体直观感知空间直线所成的角度，在熟练掌握平面向量数量积的基础上理解空间向量数量积的计算公式．这样在教师的引导下学生很容易得知空间向量也是在组成新的平面后进行运算．顺势直接对比分析与前面所学的平面内数量积运算的异同点，并在后续通过学生的自主探究使学生获得知识、形成能力．●教学流程回顾平面向量数量积的定义及公式，类比得出空间向量的夹角定义，得出空间向量的数量积的定义、运算公式．要注意类比思维的应用，注意平面向量与空间向量的数量积定义的区别与联系．⇒回顾平面向量数量积的运算性质及运算律，类比得出空间向量的运算性质及运算律．注意向量运算与实数运算的区别，注意数量积运算与数乘运算的区别．数量积的运算性质中蕴含了模与夹角的计算方法，应得出相应公式．⇒空间向量的数量积的坐标表示．在空间直角坐标系中，得出空间向量数量积的坐标公式，从而得出向量垂直的坐标条件，向量夹角与模的坐标公式，从而简化相应计算，⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求空间向量数量积的方法与步骤，掌握基向量法与坐标法两种形式的运算规律，比较两种运算方法的优劣．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握空间两向量夹角的求法，一是利用基向量，二是利用坐标法，坐标法更接近实数运算，更易操作．⇒通过例3及变式训练，使学生会利用数量积运算求空间两点间的距离，及求向量的模，关键是用基向量或坐标表示向量．⇒通过例4及变式训练，使学生会利用向量垂直的两个充要条件证明两条直线垂直，从而利用向量法证明空间垂直．⇒通过易错易误辨析，体会向量夹角与数量积的关系，向量夹角的大小决定数量积的正负，向量夹角是共起点时两射线的夹角，弄错就会导致数量积反号．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.空间向量的夹角【问题导思】a ，b 与b ，a 相等吗？a ，b 与a ，－b 呢？【提示】a ，b ＝b ，a ，a ，b ＝π－a ，－b ．a ，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角．记法：向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，a ，b 的范围是[0，π]，如果〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .空间向量的数量积设a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．我们规定：零向量与任一向量的数量积为0. cos a ，b ＝a·b |a ||b |(a ，b 是两个非零向量)．a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 是两个非零向量)． |a |2＝a·a ＝a 2.与平面向量一样，空间向量的数量积也满足如下的运算律： (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )(λ∈R )； (3)a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .若111222(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0(a ≠0，b ≠0)．(3)|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21＋z 21.(4)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21·x 22＋y 22＋z 22(a ≠0，b ≠0)．设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.【思路探究】 思路一，按基向量法，利用定义计算数量积；思路二，按坐标法，利用坐标运算求数量积．【自主解答】 法一 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(c －a ＋12b )·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a ) ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.法二 以A 为原点，AB ，AD ，AA 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1)∵B (2,0,0)，C (2,4,0)，E (1,0,1)，D 1(0,4,2) ∴BC →＝(0,4,0)，ED 1→＝(－1,4,1)， ∴BC →·ED 1→＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16. (2)∵B (2,0,0)，F (0,2,2)，A (0,0,0)，B 1(2,0,2)， ∴BF →＝(－2,2,2)，AB 1→＝(2,0,2)， ∴BF →·AB 1→＝－2×2＋2×0＋2×2＝0. (3)∵E (1,0,1)，F (0,2,2)，C 1(2,4,2)， ∴EF →＝(－1,2,1)，FC 1→＝(2,2,0)， ∴EF →·FC 1→＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.1．利用定义求向量数量积的步骤：(1)选定基底，用基向量表示要求数量积的两个向量；(2)利用数量积运算法则，进行数量积运算．2．利用坐标法求向量数量积的步骤：(1)恰当建立坐标系，求点的坐标；(2)求向量坐标；(3)利用数量积的坐标运算求数量积．图3－1－16已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于a ，如图3－1－16所示，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，求下列向量的数量积：(1)AB →·AC →；(2)AD →·BC →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos AB →，AC →＝a ×a ×12＝a 22.(2)∵BC →＝AC →－AB →， ∴AD →·BC →＝AD →·(AC →－AB →) ＝AD →·AC →－AD →·AB →. 又∵|AD →|＝|BC →|＝a ，AD →，AC →＝AD →，AB →＝60°，∴AD →·BC →＝a 22－a 22＝0.(3)∵G ，F 分别为CD ，AD 的中点， ∴GF →＝12CA →＝－12AC →.∴GF →·AC →＝－12AC 2→.∵AC 2→＝a 2，∴GF →·AC →＝－12a 2.(4)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF →＝12BD →.∴EF →·BC →＝12BD →·BC →＝12×a ×a ×12＝a 24.如图3－1－17，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求向量BC 1→与AC →的夹角的大小．图3－1－17【思路探究】 思路一，利用基向量；思路二，利用坐标法．【自主解答】 法一 基向量法 设正方体的棱长为1.BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝0＋|AD →|2＋0＋0 ＝|AD →|2＝1，又|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos BC 1→，AC →＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12·2＝12.∵BC 1→，AC →∈[0°，180°]， ∴BC 1→，AC →＝60°，即向量BC 1→与AC →的夹角的大小为60°. 法二 坐标法如图，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，∵A (0,0,0)，C (1,1,0)，B (1,0,0)，C 1(1,1,1)， ∴AC →＝(1,1,0)，BC 1→＝(0,1,1)，∴cos BC 1→，AC →＝(1，1，0)·(0，1，1)2×2＝12.∴BC 1→，AC →＝60°.1．通过以上两法可以看出，如果较易建立空间直角坐标系，坐标法优于基向量法，计算更快捷，叙述过程更简洁．2．两向量夹角的范围是[0，π]，利用夹角公式求出余弦值为正值时(不为1)，夹角为锐角；余弦值为负值时(不为－1)，夹角为钝角；余弦值为－1时，夹角为180°；余弦值为1时，夹角为0°.图3－1－18如图3－1－18所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 1，F 1分别是A 1B 1，C 1D 1的一个四等分点，求BE 1→，DF 1→夹角的余弦值．【解】 如图所示，不妨设正方体的棱长为1，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0,0)，B (1,1,0)，E 1(1，34，1)，F 1(0，14，1)．所以BE 1→＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，DF 1→＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，则|BE 1→|＝02＋(－14)2＋12＝174，|DF 1→|＝02＋(14)2＋12＝174，BE 1→·DF 1→＝(0，－14，1)·(0，14，1)＝0×0－14×14＋1×1＝1516.所以cos BE 1→，DF 1→＝BE 1→·DF 1→|BE 1→||DF 1→|＝1516174×174＝1517. 因此，BE 1→与DF 1→夹角的余弦值是1517.利用数量积求距离如图3－1－19所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．图3－1－19【思路探究】 求B ，D 间的距离可以转化为求向量BD →的模，但向量BD →的模直接求解较难，可以转化为其他向量，注意到折起后AB 与AC ，CD 与AC 的垂直关系没有发生改变，从而可以充分利用这种关系求解．【自主解答】 ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD →＝0.同理可得AC →·BA →＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴BA →，CD →＝60°或BA →，CD →＝120°，又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos BA →，CD →．∴当BA →，CD →＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2； 当BA →，CD →＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.1．应注意BA →，CD →应有两种取值60°或120°，不应只误为60°，而不进行分类讨论． 2．利用空间向量求线段的长度或两点间的距离的步骤如下：(1)结合图形将所求线段用相应向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a |＝a 2求出|a |，即得所求线段的长度或两点间的距离．如图3－1－20，已知平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝6，求PC 的长．图3－1－20【解】 ∵PC →＝P A →＋AD →＋DC →， ∴|PC →|2＝PC →2＝(P A →＋AD →＋DC →)2＝|P A →|2＋|AD →|2＋|DC →|2＋2P A →·AD →＋2P A →·DC →＋2AD →·DC → ＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝61－12＝49， ∴PC ＝7.图3－1－21如图3－1－21所示，在直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．求证：A 1B ⊥C 1M .【思路探究】 结合直三棱柱的特点建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，表示出A 1B →，C 1M →，进行数量积的坐标运算即可．【自主解答】 如图所示，以CA →，CB →，CC 1→为正交基底，建立空间直角坐标系C －xyz . 依题意得B (0,1,0)，A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，则M (12，12，2)，于是A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝(12，12，0)，∴A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，故A 1B ⊥C 1M .1．本例也可以CA →，CB →，CC 1→为基向量证明结论，不妨一试，证明从略． 2．利用数量积证明空间垂直，以算代证，较为方便．图3－1－22如图3－1－22，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB.【证明】以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵P A⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与底面ABCD所成的角，∵∠PBA＝30°，∴P A＝233a.∴A(0,0,0)，B(2a,0,0)，D (0，a,0)，P (0,0，233a )．∴AD →＝(0，a,0)，PB →＝(2a,0，－233a )．∵AD →·PB →＝(0，a,0)·(2a,0，－233a )＝0，∴PB →⊥AD →.又PB →⊥AE →，∴PB →⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE .弄错向量的夹角而致错图3－1－23如图3－1－23所示，在空间四边形ABCD 中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，求MN →·DC →.【错解】 MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos BD →，DC →＝12cos 60°＝14. 【错因分析】 本题错误的原因是误认为BD →，DC →＝60°，而实际上BD →，DC →＝120°.【防范措施】 求两个向量的夹角时，要注意向量夹角的顶点必须是向量的共同的起点，如果没有公共起点，要把其中一个向量平移，使其有公共起点，然后再求．【正解】 MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos BD →，DC → ＝12cos 120°＝－14.1．两向量的数量积是一个实数，而非向量，计算时有两种方式：(1)定义法．(2)坐标法．利用定义法时，注意向量的夹角不要弄错．2．利用向量的数量积运算可以计算向量的模及夹角，即|a|＝a·a＝a2，cos a，b＝a·b|a||b|，从而求空间线段的长及空间角的大小．3．两向量垂直的充要条件应用广泛，应注意该条件的双向应用，以此论证空间垂直问题.1．下列各命题中，正确的命题有________．①a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m、λ∈R)；③a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·a ； ④a 2b ＝b 2a ； ⑤a 2＝|a |2.【解析】 根据向量数量积定义可推得①②③⑤均正确，而④中，左边＝a 2b ＝|a |2·b ，右边＝|b |2·a ，显然当a ，b 不同向时一定不会相等，故④错．【答案】 ①②③⑤2．若a ＝(0,2，－2)，b ＝(1，－1,1)，则a·b ＝________.【解析】 a·b ＝(0,2，－2)·(1，－1,1)＝0×1＋2×(－1)＋(－2)×1＝－4. 【答案】 －43．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦值为89，则λ＝________.【解析】 ∵a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ， 又∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝5＋λ2×9×89＝85＋λ23，∴85＋λ23＝6－λ，解得λ＝－2或255.【答案】 －2或2554．已知向量a ＝(1，－2,4)，向量b 满足以下三个条件： (1)a ·b ＝0； (2)|b |＝10；(3)b 与向量c ＝(1,0,0)垂直． 试求向量b .【解】 设b ＝(x ，y ，z )， ∵a ·b ＝0，∴x －2y ＋4z ＝0，① ∵|b |＝10，∴x 2＋y 2＋z 2＝100.② ∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，∴x ＝0.③联立①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝45z ＝25或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－45z ＝－25∴b ＝(0,45，25)或b ＝(0，－45，－25).一、填空题1．下列结论中正确的序号是________． ①a·b ＝a·c (a ≠0)⇒b ＝c ； ②a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0； ③(a·b )·c ＝a ·(b·c )； ④a ·(λb )＝λ(a·b )；⑤若a·b <0，则a ，b 的夹角为钝角．【解析】 根据数量积的运算律可知④正确．①任取与a 垂直的两个向量作为b ，c ，都能保证此等式成立，所以b ＝c 不一定成立；②只要a ⊥b ，a ＝0，b ＝0有一个成立时，就有a·b ＝0，所以a ＝0或b ＝0不一定成立；③当a ，c 不共线时，此结论不成立；⑤当a ，b 反向共线时，a ，b 的夹角为π，a·b <0也成立，故不正确．【答案】 ④2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a·a ＋a·b ＝________. 【解析】 a·a ＋a·b ＝|a |2＋|a ||b |cos a ，b ＝1＋1×1×cos 120°＝12.【答案】 123．(2013·哈师大附中高二检测)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是________．【解析】 ∵(k a ＋b )⊥(2a －b )，∴(k a＋b)·(2a－b)＝0，∴2k a2＋(2－k)a·b－b2＝0，∴2k×2＋(2－k)(－1)－5＝0，∴k＝75.【答案】7 54．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.【解析】∵p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.【答案】－15．|a|＝2，|b|＝3，a，b＝60°，则|2a－3b|＝________.【解析】a·b＝2×3·cos 60°＝3，∴|2a－3b|＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×3＋9×32＝61.【答案】616．(2013·广州高二检测)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．【解析】∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)∴a·b＋b·c＋c·a＝a·b＋(a＋b)·c＝a·b－c2＝a·b－16∵c＝－(a＋b)，∴|c|2＝a2＋2a·b＋b2，∴a·b＝3，∴原式＝3－16＝－13.【答案】－137．已知|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ＝________.【解析】∵a⊥b，∴a·b＝0，又(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝12λ－18＝0，解得λ＝32.【答案】 328．(2013·潍坊高二检测)设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是________三角形(填“钝角”、“锐角”或“直角”)【解析】 ∵BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，∴BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cosBC →，BD→＝BC →·BD →|BC →||BD →|>0，则∠CBD 为锐角．同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形． 【答案】 锐角 二、解答题9．如图3－1－24所示，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，求：(1)AC ′→·DB ′→，cos AC ′→，DB ′→； (2)BD ′→·AD →.图3－1－24【解】 (1)由题意知AC ′→·DB ′→＝(a ＋b ＋c )·(a －b ＋c )＝a 2＋c 2＋2a·c －b 2＝1，易得|AC ′→|＝3，|DB ′→|＝3，故cos AC ′→，DB ′→＝AC ′→·DB ′→|AC ′→||DB ′→|＝13.(2)BD ′→·AD →＝(b ＋c －a )·b ＝b 2＋b ·c －b·a ＝1.10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AB ，BC 上的动点，且AM ＝BN . 求证：A 1N ⊥C 1M .【证明】 如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，不妨设正方体的棱长为1，设AM ＝BN ＝x (0≤x ≤1)，则M (1，x,0)，N (1－x,1,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．∴A 1N →＝(－x,1，－1)，C 1M →＝(1，x －1，－1)，∴A 1N →·C 1M →＝(－x,1，－1)·(1，x －1，－1)＝－x ＋x －1＋1＝0， ∴A 1N →⊥C 1M →，即A 1N ⊥C 1M .11．已知向量a ＝(cos 32x ，sin 32x,0)，b ＝(cos x 2，－sin x 2，0)，且x ∈[0，π2]，求：(1)a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求实数λ.【解】 (1)a ·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos 2x ，|a＋b|＝(cos 32x＋cosx2)2＋(sin 32x－sin x2)2＝2＋2cos 2x＝4cos2x＝2cos x.(2)由(1)知，f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－2λ·2cos x＝2cos2x－4λcos x－1＝2(cos x－λ)2－2λ2－1.∵x∈[0，π2]，∴cos x∈[0,1]，则当λ≤0时，f(x)min＝－1，与题意矛盾，舍去；当0＜λ＜1时，f(x)min＝－2λ2－1＝－32，∴λ＝12；当λ≥1时，f(x)min＝1－4λ＝－32，解得λ＝58，不满足λ≥1，舍去．综上，实数λ的值为12.(教师用书独具)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．【思路探究】 (1)利用向量夹角公式较易求解；(2)逆用两向量垂直的充要条件，列出关于k 的方程．【自主解答】 (1)∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，∴AB →＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，AC →＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．cos θ＝a·b |a ||b |＝1×(－1)＋1×0＋0×212＋12＋02·(－1)2＋02＋22 ＝－110＝－1010. ∴a 和b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝k (1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k ＋2，k ，－4)，又(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，解得k ＝－52或k ＝2.1．要熟记向量夹角公式及向量的垂直的坐标表示形式，第(2)问也可以按向量数量积的运算律求解，即(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝0，解得k ＝－52或k ＝2. 2．向量数量积的应用很多，尤其是向量的垂直可以用来证明空间两直线的垂直，也可以利用垂直反求待定系数的值．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →、AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a .【解】 (1)AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， cos A ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12， ∴sin A ＝32.∴S 平行四边形＝|AB →||AC →|sin A ＝7 3. ∴以AB →、AC →为边的平行四边形的面积为7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1).。

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．起点与重点重合的向量叫做零向量。

3．1空间向量及其运算_3．1.1空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算OB＝OA＋AB＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b，OC＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1]下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案](1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

3．1.5空间向量的数量积[对应学生用书P59]空间向量的夹角在帮助日本地震灾区重建家园的过程中，中国某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为 5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°，(其中g＝10 N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：设每个力大小为|F0|，合力为|F|，则|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6|F0|2.∴|F|＝6|F0|.∴|F0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．1．空间两个向量的夹角：定义图示表示范围已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAu u u r＝a，OBu u u r＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角〈a，b〉[0，π]2.如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b同向；如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b反向；如果〈a，b〉＝π2，那么向量a与b互相垂直，记作a⊥b.向量的数量积两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．①零向量与任何向量的数量积为0.②两非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由下面的公式求得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.③a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．④|a|2＝a·a＝a2.(2)运算律：①a·b＝b ·a；②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.数量积的坐标运算在平面向量中，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，我们知道a·b＝a1a2＋b1b2，那么在空间向量中，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则a·b为多少？提示：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.设空间两个非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(2)|a|＝x21＋y21＋z21；(3)cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.特别地，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1．数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零．2．数量积的运算不满足消去律和结合律，即a·b＝b·c推不出a＝c；(a·b)c≠a(b·c)．3．空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可以用来求解线段的长度和夹角问题．[对应学生用书P60]求空间向量的数量积[例1] 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1)BC u u u r ·1ED u u u u r ；(2)BF u u u r ·1AB u u uu r .[思路点拨] 法一：基向量法：BC u u u r 与1ED u u u u r ，BF u u u r 与1AB u u u u r 的夹角不易求，可考虑用向量AB u u u r 、AD u u ur 、1AA u u u u r 表示向量BC u u u r 、1ED u u u u r 、BF u u u r 、1AB u u u u r，再求结论即可．法二：坐标法：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．[精解详析] 法一：(基向量法)如图所示，设AB u u u r＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC u u u r ·1ED u u u u r ＝BC u u u r ·(1EA u u u r ＋11A D u u u u r)＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF u u u r ·1AB u u u u r ＝(1BA u u u r ＋1A F u u u u r )·(AB u u u r ＋1AA u u u u r )＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.法二：(坐标法)以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B (2,0,0)，C (2,4,0)，E (1,0,1)，D 1(0,4,2)，F (0,2,2)，A (0,0,0)，B 1(2,0,2)，∴BC u u u r ＝(0,4,0)，1ED u u u u r ＝(－1,4,1)，BF u u u r＝(－2,2,2)，1AB u u u u r ＝(2,0,2)，∴(1)BC u u u r ·1ED u u u u r ＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16；(2)BF u u u r ·1AB u u uu r ＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.[一点通]解决此类问题的常用方法有两种：(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．(2)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．1.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，DC 的中点，试计算下列各式的值：(1)AB u u u r ·AC u u u r ；(2)AD u u u r ·DB u u u r；(3) GF u u u r ·AC u u u r ；(4)AD u u u r ·BC u u ur . 解：在棱长为1的正四面体ABCD 中，(1)∵|AB u u u r |＝|AC u u u r |＝1，〈AB u u u r ，AC u u ur 〉＝60°， ∴AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r ||AC u u u r |cos 60°＝1×1×12＝12；(2)∵|AD u u u r |＝|BD u u u r |＝1，〈AD u u u r ，DB u u u r 〉＝180°－60°＝120°， ∴AD u u u r ·DB u u u r ＝|AD u u u r ||DB u u u r |cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12； (3)∵|GF u u u r |＝12，|AC u u u r|＝1，又GF ∥AC ，∴〈GF u u u r ，AC u u u r〉＝180°，∴GF u u u r ·AC u u u r ＝|GF u u u r ||AC u u u r |cos 180°＝12×1×(－1)＝－12；(4)∵BC u u u r ＝DC u u u r －DB u u u r ，又〈DC u u u r ，AD u u u r 〉＝〈DB u u u r ，AD u u ur 〉＝120°，∴AD u u u r ·BC u u u r ＝AD u u u r ·(DC u u u r －DB u u u r )＝AD u u u r ·DC u u u r －AD u u u r ·DB u u u r ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12－1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝0. 2．已知a ＝(－2,0，－5)，b ＝(3,2，－1)，求下列各式的值： (1)a ·a ；(2)|b |；(3)(3a ＋2b )·(a －b )． 解：(1)a ·a ＝a 2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29； (2)|b |＝b 2＝32＋22＋(－1)2＝14；(3)法一：因为3a ＋2b ＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，a －b ＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)，所以(3a ＋2b )·(a －b )＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60；法二：因为a ·b ＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1， 所以(3a ＋2b )·(a －b )＝3a 2－a ·b －2b 2＝3×29－(－1)－2×14＝60.利用数量积解决夹角和距离问题[例2] 如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求AC 'u u u u r 与AC u u u r的夹角的余弦值．[思路点拨] 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC 'u u u u r的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．[精解详析] (1)∵AC 'u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u ur ＋AA 'u u u r ， ∴|AC 'u u u u r |2＝(AB u u u r ＋AD u u ur ＋AA 'u u u r )2＝|AB u u u r |2＋|AD u u u r |2＋|AA 'u u u r |2＋2(AB u u u r ·AD u u u r ＋AB u u u r ·AA 'u u u r ＋AD u u u r ·AA 'u u u r )＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.∴|AC 'u u u u r|＝85.(2)法一：设AC 'u u u u r 与AC u u u r的夹角为θ，∵ABCD 是矩形，∴|AC u u u r|＝32＋42＝5.∴由余弦定理可得cos θ＝AC ′2＋AC 2－CC ′22AC ′·AC ＝85＋25－252·85·5＝8510.法二：设AB u u u r＝a ，AD u u u r ＝b ，AA 'u u u r ＝c ，依题意得AC 'u u u u r ·AC u u u r＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝a 2＋2a ·b ＋b 2＋a ·c ＋b ·c＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋152＝852，∴cos θ＝AC 'u u u u r ·AC u u u r| AC 'u u u u r |·|AC u u u r |＝85285×5＝8510.[一点通]1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a ·a ，即|a |＝a ·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a 、b ，有cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，故〈a ，b 〉∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，它们互补．3．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．解：∵1BA u u u r ＝BA u u u r ＋1AA u u u u r ＝BA u u u r ＋1BB u u u u r ，AC u u u r ＝BC u u u r －BA u u u r，且BA u u u r ·BC u u u r ＝1BB u u u u r ·BA u u u r ＝1BB u u uu r ·BC u u u r ＝0，∴1BA u u u r ·AC u u u r ＝－2BA u u u u r ＝－1. 又|AC u u u r |＝2，|1BA u u u r|＝1＋2＝3，∴cos 〈1BA u u u r ，AC u u u r 〉＝1BA u u u r ·AC u u ur |1BA u u u r ||AC u u u r |＝－16＝－66， 则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. 4.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求AD u u u r的模．解：∵AD u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u ur ＋CD u u u r ，∴|AD u u u r |2＝AD u u u r ·AD u u u r ＝(AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r )·(AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r )＝|AB u u u r|2＋|BC u u u r |2＋|CD u u u r |2＋2AB u u u r ·BC u u u r ＋2BC u u u r ·CD u u u r ＋2AB u u u r ·CD u u ur .① ∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴|AB u u u r|＝|BC u u u r |＝|CD u u u r |＝2.②又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴AB u u u r ·BC u u ur ＝0.③ ∵CD ⊥BC ，∴CD u u u r ·BC u u u r＝0.④把②③④代入①可得|AD u u u r |2＝4＋4＋4＋2AB u u u r ·CD u u ur ＝12＋2|AB u u u r ||CD u u u r |cos 〈AB u u u r ，CD u u ur 〉＝12＋8cos 〈AB u u u r ，CD u u ur 〉．⑤∵∠DCF ＝30°，∴∠CDF ＝60°. 又∵AB ⊥α，DF ⊥α， ∴AB ∥DF .∴〈AB u u u r ，DC u u ur 〉＝〈DF u u u r ，DC u u u r 〉＝60°.∴〈AB u u u r ，CD u u ur 〉＝120°.代入⑤式得到＝12＋8cos 120°＝8，∴|AD u u u r |＝2 2.利用数量积解决平行和垂直问题[例3] 已知空间三点A (－2,0,2)、B (－1,1,2)、C (－3，0,4)．设a ＝AB u u u r，b ＝AC u u u r .(1)设|c |＝3，c ∥BC u u u r，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[思路点拨] (1)根据c 与BC u u u r 共线，设c ＝λBC u u u r→根据模列出关系式→求λ；(2)写出k a ＋b ，k a －2b 的坐标→利用垂直列关系式→求k .[精解详析] (1)∵BC u u u r ＝(－2，－1,2)且c ∥BC u u u r，∴设c ＝λBC u u u r＝(－2λ，－λ，2λ)．∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．(2)∵a ＝AB u u u r＝(1,1,0)，b ＝AC u u u r ＝(－1,0,2)，∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[一点通]向量平行与垂直问题主要有两种题型： (1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．5．将本例中条件“若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直”改为“若向量k a ＋b 与a ＋k b 互相平行”，其他条件不变，求k 的值．解：a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，a ＋kb ＝(1,1,0)＋(－k,0,2k )＝(1－k,1,2k )， ∵k a ＋b 与a ＋k b 平行，∴k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －1，k,2)＝λ(1－k,1,2k )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λ(1－k )，k ＝λ·1，2＝λ·2k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，λ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1.∴k 的值为±1.6．已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴AB u u u r ·CD u u u r ＝0，AC u u u r ·BD u u u r＝0， ∴AD u u u r ·BC u u u r ＝(AB u u u r ＋BD u u u r )·(AC u u u r －AB u u u r )＝AB u u u r ·AC u u u r ＋BD u u u r ·AC u u u r －2AB u u u u r －AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·AC u u u r －2AB u u u u r －AB u u u r ·BD u u u r＝AB u u u r ·(AC u u u r －AB u u u r －BD u u u r )＝AB u u u r ·DC u u ur ＝0. ∴AD u u u r ⊥BC u u ur ，从而AD ⊥BC .7．已知空间四边形OABC 中，M ，N ，P ，Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明： 如图，设OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，又P 、M 分别为OA 、BC 的中点．∴PM u u u r ＝OM u u uu r －OP u u u r＝12(b ＋c )－12a ＝12[(b －a )＋c ]． 同理，QN u u u r ＝ON u u u r －OQ u u u r ＝12(a ＋c )－12b＝－12[(b －a )－c ]．∴PM u u u r ·QN u u u r ＝12[(b －a )＋c ]·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12[(b －a )－c ] ＝－14(|b －a |2－|c |2)．又AB ＝OC ，即|b －a |＝|c |.∴PM u u u r ·QN u u ur ＝0， ∴PM u u u r ⊥QN u u ur ，∴PM ⊥QN .1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3.但不等价于a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.2．在处理两向量夹角为锐角或钝角时，一定要注意两向量共线的情况．[对应课时跟踪训练(二十二)]1．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为________．解析：AB u u u r ＝(0,3,3)，AC u u u r ＝(－1,1,0)，∴cos 〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝332×2＝12，∴〈AB u u u r ，AC u u u r〉＝60°.答案：60°2．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________. 解析：a ·b ＝2×3×cos 60°＝3.∴|2a －3b |＝4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81＝61.答案：613．若AB u u u r ＝(－4,6，－1)，AC u u u r ＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a ⊥AB u u u r，a ⊥AC u u u r ，则a ＝________________________________________________________________________.解析：设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a·AB u u u r ＝0，a ·AC u u u r＝0，|a|＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.答案：⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313，－413，－1213 4．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________. 解析：∵p ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)， q ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1. 答案：－15．如图，120°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在两个半平面内，且都垂直于AB .若AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．解析：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴AC u u u r ·AB u u u r ＝0，BD u u u r ·AB u u u r＝0.又∵二面角为120°，∴〈CA u u u r ，BD u u u r〉＝60°， ∴CD u u u r 2＝|CD u u u r |2＝(CA u u u r ＋AB u u u r ＋BD u u u r )2 ＝CA u u u r 2＋AB u u u r 2＋BD u u u r 2＋2(CA u u u r ·AB u u u r ＋CA u u u r ·BD u u u r ＋AB u u u r ·BD u u u r )＝164， ∴|CD u u u r|＝241.答案：2416．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．解：k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063. 7．已知A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)，求△ABC 的面积．解：∵AB u u u r ＝(1,1,1)，AC u u u r ＝(2,1,3)，∴|AB u u u r |＝3，|AC u u u r |＝14，AB u u u r ·AC u u u r ＝6，∴cos ∠BAC ＝cos 〈AB u u u r ，AC u u u r 〉＝AB u u u r ·AC u u u r |AB u u u r ||AC u u u r |＝63×14＝427， ∴sin ∠BAC ＝1－cos 2A ＝17＝77， ∴S △ABC ＝12|AB u u u r ||AC u u u r |sin ∠BAC ＝12×3×14×77＝62. 8．在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求直线AO 1与B 1E 所成的角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求点O 1到点D 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)， ∴1AO u u u u r ＝(－2,0,2)，1B E u u u u r ＝(－1,0，－2)，∴cos 〈1AO u u u u r ，1B E u u u u r 〉＝－2210＝－1010. 故AO 1与B 1E 所成的角的余弦值为1010. (2)由题意得1O D u u u u r ⊥AC u u u r ，AD u u u r ∥AC u u u r ，∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，∴1O D u u u u r ＝(x ，y ，－2)，AD u u u r ＝(x －2，y,0)，AC u u u r ＝(－2,3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧ x ＝1813，y ＝1213，∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0. O 1D ＝|1O D u u u u r |＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4 ＝1 144132＝228613.。