人教A版数学选修21-空间向量与立体几何3-【完整版】
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选修2-1(空间向量)页数:28
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高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算一、学习任务1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程．2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的正交分解及其坐标表示．3. 理解空间向量的线性运算及其性质；理解空间向量的坐标运算．4. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直．二、知识清单空间向量的概念与表示空间向量的坐标运算三、知识讲解1.空间向量的概念与表示空间向量的概念及表示方法与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．向量可以用有向线段来表示，也可用 ， 等表示，还可以用有向线段的起点与终点字母表示，如 ．长度为 的向量叫做零向量（zero vector），记为 ．模为 的向量称为单位向量（unitvector）．与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector）．空间向量的加减运算①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则；②空间向量的加 减运算满足交换律及结合律：，．空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vector by scalar）．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是 的长度的 倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：，结合律：．空间向量基本定理（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）．a →b →AB −→−00→1a →a →−a →+=+a →b →b →a →(+)+=+(+)a →b →c →a →b →c →λa →λa →λ>0λa →a →λ<0λa →a →λa →a →|λ|λ(+)=λ+λa →b→a →b →λ(μ)=(λμ)a →a →vector）．（1）；（2）；（3）AP N A 1，则 ∠BA =∠DA =A 1A 16013−−√23−−√高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教A版数学选修21-空间向量与立体几何-【完整版】
表示如图．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量
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类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
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(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
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[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量
(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章 空间向量与立体几何3.2.2
[思路点拨] 建系 → 求点B，C，E坐标
→
求A→E，B→C的坐标
→
cos
θ＝
→→ AE·BC →→
|AE||BC|
→ 求θ
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0)，
C(2，2 2，0)，E(1， 2，1)，A→E＝(1， 2，1)，
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．用向量法求二面角的步骤 (1)寻求平面 α，β 的法向量 u，v. (2)利用公式 cos〈u，v〉＝|uu|·|vv|，求出法向量 u，v 的夹 角 φ.
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
1．已知二面角 α－l－β 等于 θ，异面直线 a，b 满足 a
⊂α，b⊂β，且 a⊥l，b⊥l，则 a，b 所成的角等于( )
A．θ
B．π－θ
C.π2－θ 解析： 答案：
D．θ 或 π－θ 应考虑 0≤θ≤π2与π2<θ≤π 两种情况． D
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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(3)平面 α 的法向量 n 与 AB 所成的锐角 θ1 的余角 θ 就是 直线 AB 与平面 α 所成的角．
(4)斜线和它在平面内的射影所成的角(即斜线与平面所 成的角)是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
→
求A→E，B→C的坐标
→
cos
θ＝
→→ AE·BC →→
|AE||BC|
→ 求θ
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0)，
C(2，2 2，0)，E(1， 2，1)，A→E＝(1， 2，1)，
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．用向量法求二面角的步骤 (1)寻求平面 α，β 的法向量 u，v. (2)利用公式 cos〈u，v〉＝|uu|·|vv|，求出法向量 u，v 的夹 角 φ.
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
1．已知二面角 α－l－β 等于 θ，异面直线 a，b 满足 a
⊂α，b⊂β，且 a⊥l，b⊥l，则 a，b 所成的角等于( )
A．θ
B．π－θ
C.π2－θ 解析： 答案：
D．θ 或 π－θ 应考虑 0≤θ≤π2与π2<θ≤π 两种情况． D
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)平面 α 的法向量 n 与 AB 所成的锐角 θ1 的余角 θ 就是 直线 AB 与平面 α 所成的角．
(4)斜线和它在平面内的射影所成的角(即斜线与平面所 成的角)是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。
2019人教A版数学选修2-1同步配套课件：第三章 空间向量与立体几何3-1-5
• 『规律总结』 空间向量的坐标运算类似于 平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用 的关键．这些公式为我们用向量的知识解决 立体几何问题提供了有力的工具．
• 〔跟踪练习1〕 • 已知向量 a＝(2，－3,1)、b＝(2,0,3)· (b＋c)＝______ ； ] (1)b＋c＝(2,0,5)，a· (b＋c) •＝(2(2)( a＋ 2b＝ )· (a－2b)＝__________． ，－3,1)· (2,0,5) 9．
(2)向量平行、垂直，向量的模、夹角的坐标表示： 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a1＝λb1， a2＝λb2， a ＝λb . 3 3 ①若 a∥b(b≠0)，则_______________
②若 a⊥b，则 a· b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
2 2 3 a ＋ a ＋ a 1 2 3 ③|a|＝ a· a＝__________________ ；
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b ④cos〈a，b〉＝|a||b|＝ 2 2 2 2 2 2． a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3
2．向量的坐标及两点间的距离公式 → (x －x ，y －y ，z －z ) 2 ____ 1 ____ 2 ____ 1 ____ 2____1 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝ ____ ______，
• (1)空间向量的线性运算及数量积的坐标 表示 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a 1－ ， a 2－ a 3－ b3)b＝(b ，b ，b )，则 • 设a(＝ (b a11 ， a2b， a ) ， 2， 3 1 2 3 (λa1，λa2，λa3)(λ∈R) • ①a ab ＋ b ＝ 1 1＋a2b2＋a3b3 ______________________________； • ②a－b＝ ______________________________； • ③λa＝
人教A版数学选修21： 空间向量与立体几何 3
A→A1＝5k，则A→C1＝( )
A．i＋j＋k
B.13i＋12j＋15k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
解析：由向量的加法法则知 C 正确．
答案：C
4．如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间 直角坐标系．已知 AB＝AD＝2，BB1＝1.5，则A→D的坐标 为_______，A→C1的坐标为_______，A→C的坐标为________．
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c 全不
是零向量；
③如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个
基底，则一定有 a 与 b 共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
解析：①④错误，②③正确．
答案：C
D．3
2．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量 的一个基底的是( )
解析：根据已建立的空间直角坐标系 知 A(0，0，0)，C(2，2，0)，C1(2，2，1.5)，
D(0, 2，0)，则A→D的坐标为(0，2，0)， A→C1的坐标为(2，2，1.5)，A→C的坐标为(2，2，0)． 答案：(0，2，0) (2，2，1.5) (2，2，0)
5．设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是 空间的一组基底，给出下列向量组：
又因为O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， 所以G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. 所以O→G＝13(a＋b＋c)；G→H＝－13a.
归纳升华 1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表 示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一 的． 2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问 题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的 应用．
高二数学(人教A版)选修2-1课件第三章 空间向量与立体几何
(5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．
6．运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 a· b 利用公式 cos〈a，b〉＝ ， |a|· |b| 但务必注意两异面直线所成角 θ
(3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法： 一种方法是利用平面角 的定义， 在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向 量， 然后求出这两个方向向量的夹角， 由此可求出二面角的大 小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角， 它与二面角的大小相等或互补．
7．运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、 点与面的距离． (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度， 因此也就是 这两点对应向量的模．
二、利用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成的角 设 a，b 分别是异面直线 l1，l2 上的方向向量，θ 为 l1，l2 |a· b| 所成的角，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a||b|. (2)求直线与平面所成的角 设 l 为平面 α 的斜线，a 为直线的方向向量，n 为平面 α 的法向量，θ 为 l 与 α 所成的角，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ |a· n| . |a||n|
成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
第三章
章末归纳总结
知识梳理
1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、 减法的平行四边形法则， 三角形法则以及相关的运算律仍然成 立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都 是平面向量在空间中的推广， 空间向量基本定理则是向量由二 维到三维的推广．
( 人教A版)最新高中数学选修2-1 第三章空间向量与立体几何章末优化总结课件 (共27张PPT)-
(1)证明：M→N＝1－ 42， 42，－1， O→P＝0， 22，－2，O→D＝－ 22， 22，－2. 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，由n·O→P＝0，n·O→D＝0，
得
22y－2z＝0，
－
22x＋
22y－2z＝0.
取z＝ 2，得n＝(0,4， 2)．
∵M→N·n＝1－ 42×0＋ 42×4＋(－1)× 2＝0，∴M→N⊥n. 又MN⊄平面OCD，∴MN∥平面OCD.
如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱
形，∠ABC＝
π 4
，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为
BC的中点．
(1)证明：直线MN∥平面OCD；
(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．
[解析] 作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线 为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)， P0， 22，0，D－ 22， 22，0， O(0,0,2)，M(0,0,1)， N1－ 42， 42，0.
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证： (1)AD1∥平面BDC1； (2)A1C⊥平面BDC1.
[解析] 以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz. 设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)， A1(1,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， A→D1＝(－1,0,1)， A→1C＝(－1,1，－1)．
所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量． 取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)， 设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
2020秋新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何 3.1.4 .pptx
基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},
其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个
-14-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底.
-9-3.1.4 空间向量的交分解 及其坐标表示目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.空间向量的坐标表示 剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相 垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k} 或{e1,e2,e3}表示. (2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底 {i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、 y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz, 点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
-10-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设 i,j,k 为坐标向量,则存在有序实数组{x,y,z},使 a=xi+yj+zk,把 x,y,z 叫 做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,记为 a=(x,y,z).
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个
-14-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底.
-9-3.1.4 空间向量的交分解 及其坐标表示目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.空间向量的坐标表示 剖析:(1)单位正交基底.如果空间的一个基底的三个基向量互相 垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k} 或{e1,e2,e3}表示. (2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底 {i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、 y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz, 点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
-10-
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
(3)空间向量的坐标.给定一个空间直角坐标系和向量 a,且设 i,j,k 为坐标向量,则存在有序实数组{x,y,z},使 a=xi+yj+zk,把 x,y,z 叫 做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,记为 a=(x,y,z).
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
(人教)高中数学选修2-1课件：第3章空间向量与立体几何3.1.3
•3.1空间向量及其运算•3.1.3空间向量的数量积运算自主学习新知突破目标导航•1.掌握空间向量的数量积的概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律.•2.能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直.入门答疑•为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5 000 kg,在它的顶点处分别受大小相同的力件，F2,耳并且每两个力之间的夹角都是60°.（其中g=10N/kg）•［问题1］向量“和一巧夹角为多少？•［提示1］120°.•［问题2］每个力最小为多少时，才能提起这+41汩宦丄土皿片o块混凝土构件？［提示2］每个力大小为IFol,合力为IFI, .•.IFI2=(F1+F2+F3)-(F1+F2+F3)=(F1+F2+F3)2=6IF O I2・•・ \F\=y［6\F0\走进教材空间向量的夹角互相垂直日丄b•如果〈°,方〉=,那么向量a, b ___________ 记作❹思维启迪〕对空间向量夹角的认识⑴通常规定OW〈a, b) W TT,这样两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a, b) = {b, a}.(2)作向量。
与〃的夹角时，必须使力，亦为同起点的向量，例如：在正四面体ABCD中，＜AB, AC) =60°,而〈赢BC) =120°.空间向量的数量积❶思维启迪〕•对空间向量的数量积的理解-(1)数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零；•(2＞力二Ooa丄〃(a , 〃为非零向量)；•(3)向量a , 〃的夹角(a f b)与点的坐标(a z 6不同；•(4)a力的几何意义:a与方的数量积等于a的长度⑷与〃在a的方向上的投影血cos 0的乘积・自主练习1.下列各命题中，不正确的命题的个数为（②加(加)•方=(mX)a・b(m,久W R)；③a・(b+c) = e+c)・a；®(Tb—lra.A・4 B・3C・2D・1•解析:•答案:命题①②③正确/④不正确•2・在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是（）A.历与dZB.石与cFC.布与4彷D.旋与B G解析：<AB, A f C f ) = {AB, AC) =45°,〉=180°- <AB, AC) =135°,〈赢4'力〉=〈赢AD) =90°,〈赢B f~A f〉= 180°・答案：B7T 7T3.设a丄b,〈a, c} =y {b, c) =g,且lal=l, I方1=2, lcl = 3,则向量a+b+c的模是 __________________ .解析：因为la+b+cF = (a+b+c)2= \a\2-\-\b\2~\~\c\2-\-2(a-b~\~a-c-\~b-c)( 1 、问)= l+4+9 + 2^0+lX3X-+2X3X^j= 17 + 6^3, 所以la+b+cl =寸17+6寸§.答案：寸17+6帝• 4・如图所示，平行六面^ABCD-A i B i C i D i 中，AB=l, AD=2, AA] = 3, ABAD—90° ,/BAA]=z£>AAi=60° ,求AC】的长.解析：因^AC X=AB+M)+AA X,所以AC\=(^+AD+AA^=葫+必+荷+2(ikib+葫萬+巫彼). 因为ZBAD=90°, ZBAAi = ZDAAi = 60。
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算1空间向量及其加减法2课件新人教A版选修2
于平面MAB内的充要 条件是存在有序实数
论
对(x，y)，使 MP
＝ x MA＋y MB ，
或对空间任意一点O
若在l上取 AB ＝a，则①式可化 来说，有 OP ＝OM
为
OP＝ OA ＋t AB.
＋xMA＋ y MB .
小结
1.λa是一个向量.当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 2.平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运 算，结论仍然成立． 3.共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重 要依据，条件b≠0不可遗漏．
4.直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条 直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
5.共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式， 说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面 向量表示出来.另外，还可以用OP ＝xOA＋yOB＋zOC ，且 x ＋y＋z＝1 判断 P,A,B,C 四点共面．
跟踪训练
5．在下列条件中，使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：∵ MA＋ MB＋ MC ＝0， ∴ MA＝－ MB－ MC ， ∴M 与 A,B,C 必共面．
DF ＝－CF
②
将②代入①中，两式相加得 2 EF ＝ AD＋ BC .
所以 EF ＝12 AD＋12BC ，即 EF 与 BC , AD共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练 进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本 题实质上是证明存在实数 x，y 使向量 EF ＝x AD＋yBC 成 立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形， 用 AD, BC 表示 EF .
高中数学人教A版选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算(系列三)
∴O→E＝12(O→A＋O→B)， C→G＝2C→E＝2(O→E－O→C)
33 ∴O→G＝O→C＋C→G＝ O→C＋2(O→E－O→C)＝
3 13(O→A＋O→B＋O→C) ∴λ＝3.
答案：3
5．如图 2，四棱锥 P—OABC 的底面为一矩形， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E、F 分别是 PC 和 PB 的中点，用 a，b，c 表示B→F、B→E、A→E、E→F.
D．既不充分也不必要条件
解析：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底， 否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为 非零向量．
答案：B
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b， q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量组成的集合 就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个集合可以看作是由 向 量 a 、 b 、 c 生 成 的 ， 我 们 把 {a ， b ， c} 叫 做 空 间 的 一 个 基 底．a、b、c叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构 成空间的一个基底．
人教版 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
空间向量的正交分解及其坐标 表示
学习目标
1.了解空间向量的正交分解的含义． 2．掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理
解决一些简单问题． 3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出
向量的坐标.
新知导入
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在
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人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何 3 - 精品课件pp t( 实用版)
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[迁移探究 2] (变换条件)其他条件同典例 3，空间直 角坐标系的建立不同于典例 3.建立如图所示的空间直角 坐标系，求M→N，D→C的坐标．
例如，在图②所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB ＝3，AD＝2，AA1＝1，则 A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0， 3，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3， 1)，D1(0，0，1)．
[思考尝试·夯基] 1．给出的如下四个命题． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
解析：根据已建立的空间直角坐标系 知 A(0，0，0)，C(2，2，0)，C1(2，2，1.5)，
D(0, 2，0)，则A→D的坐标为(0，2，0)， A→C1的坐标为(2，2，1.5)，A→C的坐标为(2，2，0)． 答案：(0，2，0) (2，2，1.5) (2，2，0)
5．设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是 空间的一组基底，给出下列向量组：
因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C＝M→A＋ A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)＝－12A→B＋A→P＋12(－A→P＋A→D＋A→B) ＝12A→P＋12A→D＝12e3＋12e2.所以M→N＝0，12，12.
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又因为O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， 所以G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. 所以O→G＝13(a＋b＋c)；G→H＝－13a.
归纳升华 1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表 示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一 的． 2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问 题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的 应用．
(3)空间向量的坐标表示：空间任一向量 p 作正交分 解可得 p＝xi＋yj＋zk，则 x，y，z 称作向量 p 在单位正交 基底{i，j，k}下的坐标，记作 p＝(x，y，z)．
温馨提示 空间一点的坐标的确定方法
对空间的一点 P(x，y，z)，如图① Nhomakorabea示，过点 P 作面 xOy 的垂线，垂足为 P′，在面 xOy 中，过 P′分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z| ＝PP′，根据点 A，C，D 的位置即可确定 x，y，z 的符号．
系 Axyz，如题图所示．则D→C＝(0，1，0)，M→N＝M→A＋A→P ＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)＝ －12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，
从而可知M→N＝－12，0，12.
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类型 3 空间向量的坐标表示(互动探究)
[典例 3] 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，
M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA＝AD＝1.在如图
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归纳升华
1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一
点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这
样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，
即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点
落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角
A→A1＝5k，则A→C1＝( )
A．i＋j＋k
B.13i＋12j＋15k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
解析：由向量的加法法则知 C 正确．
答案：C
4．如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间 直角坐标系．已知 AB＝AD＝2，BB1＝1.5，则A→D的坐标 为_______，A→C1的坐标为_______，A→C的坐标为________．
的把直角边放在坐标轴上．
2．求空间向量坐标的一般步骤．
(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
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(2)连接A→D1(图略)，则M→D1＝M→A＋A→D1. M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)，A→D1＝A→D＋A→A1＝b＋c， 故M→D1＝M→A＋A→D1＝－13(a＋b)＋b＋c＝－13a＋23b＋c.
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c 全不
是零向量；
③如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个
基底，则一定有 a 与 b 共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
解析：①④错误，②③正确．
答案：C
D．3
2．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量 的一个基底的是( )
第三章 空间向量与立体几何
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
[学习目标] 1.空间向量基本定理(重点)． 2.用基底 表示已知向量(难点)． 3.在不同坐标系中向量坐标的相 对性(易错点)．
[知识提炼·梳理] 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
类型 1 基底的概念与判断(自主研析) [典例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b， b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解：假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ，μ 使 得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以 a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. 因为{a，b，c}为基底．所以 a，b，c 不共面． 所以11＝＝μλ，， 此方程组无解，所以 a＋b，b＋c，c＋a
[变式训练] 已知 a，b，c 是不共面的三个向量，则
能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：由平面向量基本定理知 C 正确．
答案：C
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
所示的空间直角坐标系中，求向量M→N的坐标．
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解：因为 PA＝AD＝AB＝1， 所以可设A→B＝e1，A→D＝e2，A→P＝e3.
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解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
温馨提示 1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知 向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而 且表示的结果是唯一的． 2．空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共 面向量均可作为空间向量的基底．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
0＝λ＋μ. 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
①{a，b，x}；②{x，y，z}； ③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组是____(填序号)． 解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→D，c ＝A→A1，则 x＝A→C，y＝A→D1，z＝A→B1，a＋b ＋c＝A→C1.由 A，B1，C，D1 四点不共面可知， 向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b，c，z；x，y，a＋b ＋c 也不共面． 答案：②③④
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[迁移探究 2] (变换条件)其他条件同典例 3，空间直 角坐标系的建立不同于典例 3.建立如图所示的空间直角 坐标系，求M→N，D→C的坐标．
例如，在图②所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB ＝3，AD＝2，AA1＝1，则 A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0， 3，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，1)，B1(2，3，1)，C1(0，3， 1)，D1(0，0，1)．
[思考尝试·夯基] 1．给出的如下四个命题． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
解析：根据已建立的空间直角坐标系 知 A(0，0，0)，C(2，2，0)，C1(2，2，1.5)，
D(0, 2，0)，则A→D的坐标为(0，2，0)， A→C1的坐标为(2，2，1.5)，A→C的坐标为(2，2，0)． 答案：(0，2，0) (2，2，1.5) (2，2，0)
5．设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是 空间的一组基底，给出下列向量组：
因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C＝M→A＋ A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)＝－12A→B＋A→P＋12(－A→P＋A→D＋A→B) ＝12A→P＋12A→D＝12e3＋12e2.所以M→N＝0，12，12.
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又因为O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， 所以G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. 所以O→G＝13(a＋b＋c)；G→H＝－13a.
归纳升华 1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表 示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一 的． 2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问 题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的 应用．
(3)空间向量的坐标表示：空间任一向量 p 作正交分 解可得 p＝xi＋yj＋zk，则 x，y，z 称作向量 p 在单位正交 基底{i，j，k}下的坐标，记作 p＝(x，y，z)．
温馨提示 空间一点的坐标的确定方法
对空间的一点 P(x，y，z)，如图① Nhomakorabea示，过点 P 作面 xOy 的垂线，垂足为 P′，在面 xOy 中，过 P′分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A，C，则|x|＝P′C，|y|＝AP′，|z| ＝PP′，根据点 A，C，D 的位置即可确定 x，y，z 的符号．
系 Axyz，如题图所示．则D→C＝(0，1，0)，M→N＝M→A＋A→P ＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C)＝ －12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，
从而可知M→N＝－12，0，12.
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类型 3 空间向量的坐标表示(互动探究)
[典例 3] 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，
M，N 分别是 AB，PC 的中点，并且 PA＝AD＝1.在如图
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归纳升华
1．建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一
点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这
样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，
即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点
落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角
A→A1＝5k，则A→C1＝( )
A．i＋j＋k
B.13i＋12j＋15k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
解析：由向量的加法法则知 C 正确．
答案：C
4．如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立空间 直角坐标系．已知 AB＝AD＝2，BB1＝1.5，则A→D的坐标 为_______，A→C1的坐标为_______，A→C的坐标为________．
的把直角边放在坐标轴上．
2．求空间向量坐标的一般步骤．
(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
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(2)连接A→D1(图略)，则M→D1＝M→A＋A→D1. M→A＝－13A→C＝－13(a＋b)，A→D1＝A→D＋A→A1＝b＋c， 故M→D1＝M→A＋A→D1＝－13(a＋b)＋b＋c＝－13a＋23b＋c.
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c 全不
是零向量；
③如果向量 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个
基底，则一定有 a 与 b 共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
解析：①④错误，②③正确．
答案：C
D．3
2．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量 的一个基底的是( )
第三章 空间向量与立体几何
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
[学习目标] 1.空间向量基本定理(重点)． 2.用基底 表示已知向量(难点)． 3.在不同坐标系中向量坐标的相 对性(易错点)．
[知识提炼·梳理] 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
类型 1 基底的概念与判断(自主研析) [典例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b， b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解：假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ，μ 使 得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以 a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. 因为{a，b，c}为基底．所以 a，b，c 不共面． 所以11＝＝μλ，， 此方程组无解，所以 a＋b，b＋c，c＋a
[变式训练] 已知 a，b，c 是不共面的三个向量，则
能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：由平面向量基本定理知 C 正确．
答案：C
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
所示的空间直角坐标系中，求向量M→N的坐标．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何 3 - 精品课件pp t( 实用版)
解：因为 PA＝AD＝AB＝1， 所以可设A→B＝e1，A→D＝e2，A→P＝e3.
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何 3 - 精品课件pp t( 实用版)
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
温馨提示 1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知 向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而 且表示的结果是唯一的． 2．空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共 面向量均可作为空间向量的基底．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
0＝λ＋μ. 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
①{a，b，x}；②{x，y，z}； ③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组是____(填序号)． 解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→D，c ＝A→A1，则 x＝A→C，y＝A→D1，z＝A→B1，a＋b ＋c＝A→C1.由 A，B1，C，D1 四点不共面可知， 向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b，c，z；x，y，a＋b ＋c 也不共面． 答案：②③④