选修2-1(空间向量)

高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点，希望对你有帮助。

高二数学空间向量的数量积运算知识点定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。

若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。

3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

高中数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

(2)建立数学纠错本。

把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

争取做到：找错、析错、改错、防错。

达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

AA 1DCB B 1C 1图高二数学（选修2-1）空间向量试题姓名：_________班级：________ 得分：________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．105 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 图图7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621B ．338 C60210 D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32 B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）A ．66 B ．3316 C ．316D ．1611．有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。

高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。

2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。

3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。

4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。

三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。

X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。

0a 0=λ=λ时，。

运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。

θ>=<b a ,。

运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。

3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理明目标、知重点 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.理解向量a在向量b上的投影的概念，了解向量的数量积的几何意义.3.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．1．标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．2．标准正交分解与向量的坐标设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a ＝x i＋y j＋z k，则把a＝x i＋y j＋z k叫作a的标准正交分解．(x，y，z)叫作向量a的坐标．3．向量坐标与投影(1)一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．4．空间向量基本定理(1)如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.(2)空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．探究点一空间向量的标准正交分解与坐标表示思考1类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件．答 此时可选用单位正交基底，如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i ，j ，k 表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直． 思考2 在空间直角坐标系中，向量OP →和点P 的坐标有何关系？ 答 O 为坐标原点，OP →与P 点的坐标相同．例1 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，P A ＝AB ＝1，求MN →的坐标．解 ∵P A ＝AB ＝AD ＝1，且P A 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设AD →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .以i ，j ，k 为单位正交基建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－23AB →＋AP →＋23PC →＝－23AB →＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB →)＝13AP →＋23AD →＝23i ＋13k ，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫23，0，13. 反思与感悟 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间几何体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与几何体中相关直线的夹角．跟踪训练1 在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．解 ∵DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →) ＝－[OO 1→＋12(OA →＋OB →)]＝－OO 1→－12OA →－12OB →.又|OO 1→|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)，∵A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝OB →－OA →－AA 1→. 又|OB →|＝2，|OA →|＝4，|AA 1→|＝4， ∴A 1B →＝(－4,2，－4)． 探究点二 向量的投影思考1 什么是向量a 在坐标轴正方向上的投影？答 设a ＝x i ＋y j ＋z k ，我们把a·i ＝x ，a·j ＝y ，a·k ＝z 分别称为向量a 在x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影．思考2 什么是向量a 在向量b 上的投影？答 若b 0为b 的单位向量，称a·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影． 思考3 怎样利用数量积来求向量a 在向量b 方向上的投影？ 答 ∵b 0＝b |b |，∴a·b 0＝|a|·|b |·cos θ|b |＝a·b|b |.例2 如图，已知单位正方体ABCD — A ′B ′C ′D ′.求： (1)向量CA ′→在CD →上的投影； (2)向量CA ′→在DC →上的投影． 解 (1)CA ′→在CD →上的投影是 |CA ′→|cos ∠A ′CD ＝|CD →|＝1； (2)CA ′→在DC →上的投影是|CA ′→|cos(π－∠A ′CD )＝－|DC →|＝－1.反思与感悟 (1)求向量a 在向量b 上的投影，应先求出|a |，再求出两个向量a 与b 的夹角，最后计算|a |cos 〈a ，b 〉，即为向量a 在向量b 上的投影，它可正、可负，也可以为零． (2)也可利用数量积计算向量的投影．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝AA 1＝2，求向量AC 1→在向量AD 1→上的投影．解 向量AC 1→在向量AD 1→上的投影是|AC 1→|cos ∠C 1AD 1＝|AD 1→|＝22＋22＝2 2.探究点三 空间向量基本定理思考1 类比平面向量基本定理，思考怎样表示任何一个空间向量？答 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在三元有序实数(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .三个不共面的向量a 、b 、c 叫做这个空间的一个基底． 思考2 用基底表示向量应注意哪些问题？答 (1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示； (2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．思考3 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且a ，b ，c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①a ，b ，x ，②x ，y ，z ，③b ，c ，z ，④x ，y ，a ＋b ＋c ，其中可以作为空间的基底的向量组有________(写出序号)． 答案 ②③④解析 如图所示，设a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→，由A 、B 1、C 、D 1四点不共面，可知向量x 、y 、z 也不共面，同理可知b 、c 、z 不共面，x 、y 、a ＋b ＋c 也不共面．例3 如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是平行四边形A ′B ′C ′D ′的对角线的交点，N 是棱BC 的中点．如果AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →. 解 因为MN →＝MC ′→＋C ′C →＋CN →， 而MC ′→＝12A ′C ′→＝12AC →＝12(a ＋b )，C ′C →＝－c ， CN →＝12CB →＝－12b ，所以MN →＝12(a ＋b )－c －12b＝12a －c . 反思与感悟 用基底表示未知向量关键是结合图形，从所求向量出发，进行合理的分解． 跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 是CA ′上的点，且CQ ∶QA ′＝4∶1， 用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →； (2)AM →； (3)AN →； (4)AQ →. 解 连接AC 、AD ′、AC ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )； (2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(AB →＋2AD →＋AA ′→)＝12a ＋b ＋12c ； (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA ′→)＝12a ＋b ＋c ； (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA ′→－AC →)＝15AB →＋15AD →＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c .1．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为( ) A ．1 B ．－1 C.14 D ．－14 答案 A解析 a·i ＝|a|·|i |·cos 〈a ，i 〉，则|a |·cos 〈a ，i 〉＝a·i |i |＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝i 2＝1.2．已知e 1，e 2，e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴，y 轴，z 轴同向的单位向量，且p ＝e 1＋2e 2－3e 3，则p 的坐标是( ) A ．(1,2,3) B ．(－1，－2,3) C ．(1,2，－3) D ．(1，－2，－3)答案 C3．已知点A 在基底a ，b ，c 下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A在基底i ，j ，k 下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10) D ．(4,3,2)答案 A解析 设点A 在基底a ，b ，c 下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底i ，j ，k 下的坐标为(12,14,10)．4．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a .[呈重点、现规律]1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示．2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．一、基础过关1．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若a ，b ，c 为空间向量的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确． 2．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．3．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →、OB →、OC →共线 B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线 D ．O 、A 、B 、C 四点共面答案 D解析 由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面．4．在空间直角坐标系中，下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与点B 的坐标相同 B ．向量AB →与点A 的坐标相同 C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同 答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →， ∴AB →与OB →－OA →的坐标相同．5．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是______________．答案 －12a ＋12b ＋c解析 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12BD →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →)＝B 1B →＋12(－A 1B 1→＋A 1D 1→)＝－12a ＋12b ＋c .6.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为__________，DC 1→的坐标为__________，B 1D →的坐标为__________．答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1) 解析 DC 1→＝AA 1→＋AB →，B 1D →＝B 1A 1→＋B 1C 1→＋B 1B →＝－AB →＋AD →－AA 1→.7.如图所示，在正方体AC 1中，取AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c 作为基底． (1)求BD 1→；(2)若M ，N 分别为边AD ，CC 1的中点，求MN →. 解 (1)BD 1→＝BD →＋DD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝－a ＋b ＋c . (2)MN →＝MC →＋CN →＝MD →＋DC →＋12CC 1→＝12AD →＋AB →＋12AA 1→ ＝a ＋12b ＋12c .二、能力提升8．一个向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(1,2,3)，则p 在a ＋b ，a －b ，c 下的坐标为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，－12，3 9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D →＝0 (λ∈R )，则λ＝______. 答案 －12解析 如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ，∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，∴λ＝－12.10．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________． 答案 x ＝y ＝z ＝0解析 若x ≠0，则a ＝－y x b －zxc ，即a 与b ，c 共面．由{a ，b ，c }是空间的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0. 11．平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c . (1)用a ，b ，c 表示向量AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.解 (1)AC ′→＝AC →＋CC ′→＝OC →－OA →＋OO ′→＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )．12．已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，P A ＝3，求向量PC →在向量CD →和向量CB →上的投影．解 如图，∵P A ⊥平面ABCD . ∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∴CD ⊥PD ，故PC →在CD →上的投影为|PC →|·cos(π－∠PCD )＝－|CD →|＝－2. 同理PC →在CB →上的投影为|PC →|·cos(π－∠PCB )＝－|CB →|＝－2. 三、探究与拓展13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝1，BC ＝3，∠ABC ＝60°，P A ＝2，求向量PB →在AC →上的投影． 解 ∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥AB ，P A ⊥BC ， 则P A →·AB →＝0，P A →·BC →＝0. 又∠ABC ＝60°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|·cos 〈AB →，BC →〉 ＝3cos 120°＝－32.又∵AC →·PB →＝(AB →＋BC →)·(P A →＋AB →) ＝AB →·P A →＋|AB →|2＋BC →·P A →＋BC →·AB → ＝|AB →|2－32＝1－32＝－12.AC →＝AB →＋BC →，∴|AC →|＝(AB →＋BC →)2＝AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝1＋9＋2×3cos 120°＝ 7，∴向量PB →在AC →上的投影为 PB →·AC →|AC →|＝－127＝－714.。