选修2-1(空间向量)
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高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点高二数学向量的数量积是《向量》这一章的重要内容,下面是店铺给大家带来的高二数学选修2-1第三章空间向量的数量积运算知识点,希望对你有帮助。
高二数学空间向量的数量积运算知识点定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。
若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由a·b=a·c (a≠0),推不出b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
高中数学学习方法(1)记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。
争取做到:找错、析错、改错、防错。
达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
高二数学选修2-1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版(理)【本讲教育信息】一、教学内容:选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标:1.理解空间向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2.理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3.掌握空间向量的数量积的计算,掌握空间向量的线性运算,掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系;掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析: 1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量注:向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2.空间向量的运算定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下(如图)b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律:(1)加法交换律:a b b a+=+(2)加法结合律:)()(c b a c b a++=++(3)数乘分配律:b a b aλλλ+=+)(3.共线向量定理:对于空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b的充要条件是存在实数λ,使a=λb .4.共面向量定理:如果两个向量b a ,不共线,那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ,使得b y a x p +=。
5.空间向量基本定理:如果三个向量c ,b ,a 不共面,那么对空间任一向量p ,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使c z b y a x p ++= 6.夹角定义:b a ,是空间两个非零向量,过空间任意一点O ,作b OB a OA ==,,则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角,记作><b a , 规定:π>≤≤<b a ,0特别地,如果0,>=<b a ,那么a 与b 同向;如果π>=<b a ,,那么a 与b 反向;如果90b ,a >=<,那么a 与b 垂直,记作b a ⊥。
AA 1DCB B 1C 1图高二数学(选修2-1)空间向量试题姓名:_________班级:________ 得分:________一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共60分). 1.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为( )A .60°B .90°C .105°D .75°2.如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1=D 1F 1=411B A ,则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A .1715 B .21 C .178 D .23 3.如图,A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱,∠BCA =90°,点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点,若BC =CA =CC 1,则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( )A .1030 B .21 C .1530 D .1015 4.正四棱锥S ABCD -的高2SO =,底边长2AB =,则异面直线BD 和SC 之间的距离( )A .515 B .55 C .552 D .105 5.已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱,D 是侧棱1CC 的中点.点1C 到平面1AB D 的距离( )A .a 42 B .a 82 C .a 423 D .a 22 6.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离( )A .63 B .33 C .332 D .23 图图7.在三棱锥P -ABC 中,AB ⊥BC ,AB =BC =21PA ,点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC ,则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值( )A .621B .338 C60210 D .302108.在直三棱柱111C B A ABC -中,底面是等腰直角三角形,90=∠ACB ,侧棱21=AA ,D ,E分别是1CC 与B A 1的中点,点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G .则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值( )A .32 B .37C .23 D .73 9.正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3,侧棱3231=AA ,D 是C B 延长线上一点,且BC BD =,则二面角B AD B --1的大小( )A .3π B .6πC .65πD .32π10.正四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面边长为22,侧棱长为4,E ,F 分别为棱AB ,CD 的中点,G BD EF =⋂.则三棱锥11EFD B -的体积V ( )A .66 B .3316 C .316D .1611.有以下命题:①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么b a ,的关系是不共线; ②,,,O A B C 为空间四点,且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底,则点,,,O A B C 一定共面;③已知向量c b a ,,是空间的一个基底,则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。
高二数学选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版(理) 【本讲教育信息】 一、教学内容:选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标:1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。
2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。
3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理,并能利用它们讨论证明空间的线面关系。
4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。
三、知识要点分析:(一)平面向量与空间向量的相同点:1. 向量夹角:过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。
X 围:[0,]π2. 加减运算:加减运算法则:向量的平行四边形法则(三角形法则) 运算律:结合律:)()(c b a c b a ++=++,交换律:a b b a +=+3. 数乘运算法则:向量a 与实数λ的乘积是一个向量,记作:a λ,满足(i )||||λλ=a ||a ,(ii )当0>λ时,a λ与a 方向相同,反之,相反。
0a 0=λ=λ时,。
运算律:(i )).(,R a a ∈=λλλ(ii ))R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.(iii )),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积:θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。
θ>=<b a ,。
运算律:交换律:a b b a ⋅=⋅分配律:c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅,(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质:(1)a a |a |⋅,(2)0b a b a =⋅⇔⊥,(3)|b ||a ||b a |⋅≤⋅注:向量的数量积运算不满足乘法的结合律。
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理明目标、知重点 1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.理解向量a在向量b上的投影的概念,了解向量的数量积的几何意义.3.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题.1.标准正交基在给定的空间直角坐标系中,x轴,y轴,z轴正方向的单位向量i,j,k叫作标准正交基.2.标准正交分解与向量的坐标设i,j,k为标准正交基,对空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z),使得a =x i+y j+z k,则把a=x i+y j+z k叫作a的标准正交分解.(x,y,z)叫作向量a的坐标.3.向量坐标与投影(1)一般地,若b0为b的单位向量,则称a·b0=|a|cos〈a,b〉为向量a在向量b上的投影.(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.4.空间向量基本定理(1)如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.(2)空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3表示向量a关于基底e1,e2,e3的分解.探究点一空间向量的标准正交分解与坐标表示思考1类比平面向量的正交分解,空间向量也可以正交分解,请思考此时的基底应满足什么条件.答 此时可选用单位正交基底,如果空间一个基底的三个基向量互相垂直,且长度都为1,则这个基底叫做单位正交基底,通常用i ,j ,k 表示.单位——三个基向量的长度都为1;正交——三个基向量互相垂直. 思考2 在空间直角坐标系中,向量OP →和点P 的坐标有何关系? 答 O 为坐标原点,OP →与P 点的坐标相同.例1 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M 、N 分别是AB ,PC 的三等分点且PN =2NC ,AM =2MB ,P A =AB =1,求MN →的坐标.解 ∵P A =AB =AD =1,且P A 垂直于平面ABCD ,AD ⊥AB , ∴可设AD →=i ,AB →=j ,AP →=k .以i ,j ,k 为单位正交基建立如图所示的空间直角坐标系. ∵MN →=MA →+AP →+PN → =-23AB →+AP →+23PC →=-23AB →+AP →+23(-AP →+AD →+AB →)=13AP →+23AD →=23i +13k ,∴MN →=⎝⎛⎭⎫23,0,13. 反思与感悟 空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线.在空间几何体中不具备此条件时,建系后要注意坐标轴与几何体中相关直线的夹角.跟踪训练1 在直三棱柱ABO —A 1B 1O 1中,∠AOB =π2,AO =4,BO =2,AA 1=4,D 为A 1B 1的中点,则在如图所示的空间直角坐标系中,求DO →,A 1B →的坐标.解 ∵DO →=-OD →=-(OO 1→+O 1D →) =-[OO 1→+12(OA →+OB →)]=-OO 1→-12OA →-12OB →.又|OO 1→|=4,|OA →|=4,|OB →|=2, ∴DO →=(-2,-1,-4),∵A 1B →=OB →-OA 1→=OB →-(OA →+AA 1→)=OB →-OA →-AA 1→. 又|OB →|=2,|OA →|=4,|AA 1→|=4, ∴A 1B →=(-4,2,-4). 探究点二 向量的投影思考1 什么是向量a 在坐标轴正方向上的投影?答 设a =x i +y j +z k ,我们把a·i =x ,a·j =y ,a·k =z 分别称为向量a 在x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影.思考2 什么是向量a 在向量b 上的投影?答 若b 0为b 的单位向量,称a·b 0=|a |cos 〈a ,b 〉为向量a 在向量b 上的投影. 思考3 怎样利用数量积来求向量a 在向量b 方向上的投影? 答 ∵b 0=b |b |,∴a·b 0=|a|·|b |·cos θ|b |=a·b|b |.例2 如图,已知单位正方体ABCD — A ′B ′C ′D ′.求: (1)向量CA ′→在CD →上的投影; (2)向量CA ′→在DC →上的投影. 解 (1)CA ′→在CD →上的投影是 |CA ′→|cos ∠A ′CD =|CD →|=1; (2)CA ′→在DC →上的投影是|CA ′→|cos(π-∠A ′CD )=-|DC →|=-1.反思与感悟 (1)求向量a 在向量b 上的投影,应先求出|a |,再求出两个向量a 与b 的夹角,最后计算|a |cos 〈a ,b 〉,即为向量a 在向量b 上的投影,它可正、可负,也可以为零. (2)也可利用数量积计算向量的投影.跟踪训练2 如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =4,AD =AA 1=2,求向量AC 1→在向量AD 1→上的投影.解 向量AC 1→在向量AD 1→上的投影是|AC 1→|cos ∠C 1AD 1=|AD 1→|=22+22=2 2.探究点三 空间向量基本定理思考1 类比平面向量基本定理,思考怎样表示任何一个空间向量?答 如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在三元有序实数(x ,y ,z ),使得p =x a +y b +z c .三个不共面的向量a 、b 、c 叫做这个空间的一个基底. 思考2 用基底表示向量应注意哪些问题?答 (1)明确目标.向量表示过程中可能出现新的向量,要逐步拆分,都用基向量表示; (2)结合图形的几何性质,利用向量的线性运算;(3)只要基底选定,空间任一向量用基底表达的形式是唯一的.思考3 设x =a +b ,y =b +c ,z =c +a ,且a ,b ,c 是空间的一个基底,给出下列向量组:①a ,b ,x ,②x ,y ,z ,③b ,c ,z ,④x ,y ,a +b +c ,其中可以作为空间的基底的向量组有________(写出序号). 答案 ②③④解析 如图所示,设a =AB →,b =AA 1→,c =AD →,则x =AB 1→,y =AD 1→,z =AC →,a +b +c =AC 1→,由A 、B 1、C 、D 1四点不共面,可知向量x 、y 、z 也不共面,同理可知b 、c 、z 不共面,x 、y 、a +b +c 也不共面.例3 如图,在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,M 是平行四边形A ′B ′C ′D ′的对角线的交点,N 是棱BC 的中点.如果AB →=a ,AD →=b ,AA ′→=c ,试用a ,b ,c 表示MN →. 解 因为MN →=MC ′→+C ′C →+CN →, 而MC ′→=12A ′C ′→=12AC →=12(a +b ),C ′C →=-c , CN →=12CB →=-12b ,所以MN →=12(a +b )-c -12b=12a -c . 反思与感悟 用基底表示未知向量关键是结合图形,从所求向量出发,进行合理的分解. 跟踪训练3 在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,AB →=a ,AD →=b ,AA ′→=c ,P 是CA ′的中点,M 是CD ′的中点,N 是C ′D ′的中点,点Q 是CA ′上的点,且CQ ∶QA ′=4∶1, 用基底{a ,b ,c }表示以下向量:(1)AP →; (2)AM →; (3)AN →; (4)AQ →. 解 连接AC 、AD ′、AC ′.(1)AP →=12(AC →+AA ′→)=12(AB →+AD →+AA ′→) =12(a +b +c ); (2)AM →=12(AC →+AD ′→)=12(AB →+2AD →+AA ′→)=12a +b +12c ; (3)AN →=12(AC ′→+AD ′→)=12[(AB →+AD →+AA ′→)+(AD →+AA ′→)] =12(AB →+2AD →+2AA ′→)=12a +b +c ; (4)AQ →=AC →+CQ →=AC →+45(AA ′→-AC →)=15AB →+15AD →+45AA ′→=15a +15b +45c .1.已知i ,j ,k 为标准正交基底,a =i +2j +3k ,则a 在i 方向上的投影为( ) A .1 B .-1 C.14 D .-14 答案 A解析 a·i =|a|·|i |·cos 〈a ,i 〉,则|a |·cos 〈a ,i 〉=a·i |i |=(i +2j +3k )·i =i 2=1.2.已知e 1,e 2,e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴,y 轴,z 轴同向的单位向量,且p =e 1+2e 2-3e 3,则p 的坐标是( ) A .(1,2,3) B .(-1,-2,3) C .(1,2,-3) D .(1,-2,-3)答案 C3.已知点A 在基底a ,b ,c 下的坐标为(8,6,4),其中a =i +j ,b =j +k ,c =k +i ,则点A在基底i ,j ,k 下的坐标是( ) A .(12,14,10) B .(10,12,14) C .(14,12,10) D .(4,3,2)答案 A解析 设点A 在基底a ,b ,c 下对应的向量为p ,则p =8a +6b +4c =8i +8j +6j +6k +4k +4i =12i +14j +10k ,故点A 在基底i ,j ,k 下的坐标为(12,14,10).4.从空间一点P 引出三条射线P A ,PB ,PC ,在P A ,PB ,PC 上分别取PQ →=a ,PR →=b ,PS →=c ,点G 在PQ 上,且PG =2GQ ,H 为RS 的中点,则GH →=________________.(用a ,b ,c 表示)答案 -23a +12b +12c解析 GH →=PH →-PG →=12(b +c )-23a .[呈重点、现规律]1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底;基底选定后,任一向量可由基底唯一表示.2.向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示.在表示向量时,要结合图形的几何性质,充分利用向量的线性运算.一、基础过关1.以下四个命题中正确的是( )A .空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B .若a ,b ,c 为空间向量的一个基底,则a ,b ,c 全不是零向量C .△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →=0 D .任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B解析 使用排除法.因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示,故A 不正确;△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →=0,可能是BC →·BA →=0,也可能是CA →·CB →=0,故C 不正确;空间向量基底是由三个不共面的向量组成的,故D 不正确. 2.下列说法中不正确的是( )A .只要空间的三个向量的模为1,那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B .竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C .纵坐标为0的向量都共面D .横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外,还要求三个向量两两垂直.3.O 、A 、B 、C 为空间四点,且向量OA →,OB →,OC →不能构成空间的一个基底,则( ) A.OA →、OB →、OC →共线 B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线 D .O 、A 、B 、C 四点共面答案 D解析 由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面,所以O 、A 、B 、C 四点共面.4.在空间直角坐标系中,下列说法正确的是( ) A .向量AB →与点B 的坐标相同 B .向量AB →与点A 的坐标相同 C .向量AB →与向量OB →的坐标相同 D .向量AB →与向量OB →-OA →的坐标相同 答案 D解析 ∵AB →=OB →-OA →, ∴AB →与OB →-OA →的坐标相同.5.如图,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设A 1B 1→=a ,A 1D 1→=b ,A 1A →=c ,则下列向量中与B 1M →相等的向量是______________.答案 -12a +12b +c解析 B 1M →=B 1B →+BM →=B 1B →+12BD →=B 1B →+12(BA →+BC →)=B 1B →+12(-A 1B 1→+A 1D 1→)=-12a +12b +c .6.如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则AB →的坐标为__________,DC 1→的坐标为__________,B 1D →的坐标为__________.答案 (1,0,0) (1,0,1) (-1,1,-1) 解析 DC 1→=AA 1→+AB →,B 1D →=B 1A 1→+B 1C 1→+B 1B →=-AB →+AD →-AA 1→.7.如图所示,在正方体AC 1中,取AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c 作为基底. (1)求BD 1→;(2)若M ,N 分别为边AD ,CC 1的中点,求MN →. 解 (1)BD 1→=BD →+DD 1→=BA →+AD →+DD 1→=-a +b +c . (2)MN →=MC →+CN →=MD →+DC →+12CC 1→=12AD →+AB →+12AA 1→ =a +12b +12c .二、能力提升8.一个向量p 在基底a ,b ,c 下的坐标为(1,2,3),则p 在a +b ,a -b ,c 下的坐标为__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫32,-12,3 9.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心,若EF →+λA 1D →=0 (λ∈R ),则λ=______. 答案 -12解析 如图,连接A 1C 1,C 1D ,则E 在A 1C 1上,F 在C 1D 上易知EF 綊12A 1D ,∴EF →=12A 1D →,即EF →-12A 1D →=0,∴λ=-12.10.若{a ,b ,c }是空间的一个基底,且存在实数x ,y ,z 使得x a +y b +z c =0,则x ,y ,z 满足的条件是________. 答案 x =y =z =0解析 若x ≠0,则a =-y x b -zxc ,即a 与b ,c 共面.由{a ,b ,c }是空间的一个基底,知a ,b ,c 不共面,故x =0,同理y =z =0. 11.平行六面体OABC —O ′A ′B ′C ′,且OA →=a ,OC →=b ,OO ′→=c . (1)用a ,b ,c 表示向量AC ′→;(2)设G ,H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心,用a ,b ,c 表示GH →.解 (1)AC ′→=AC →+CC ′→=OC →-OA →+OO ′→=b +c -a . (2)GH →=GO →+OH →=-OG →+OH → =-12(OB →+OC ′→)+12(OB ′→+OO ′→)=-12(a +b +c +b )+12(a +b +c +c )=12(c -b ).12.已知P A ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,AB =2,P A =3,求向量PC →在向量CD →和向量CB →上的投影.解 如图,∵P A ⊥平面ABCD . ∴P A ⊥CD ,又CD ⊥AD , ∴CD ⊥平面P AD , ∴CD ⊥PD ,故PC →在CD →上的投影为|PC →|·cos(π-∠PCD )=-|CD →|=-2. 同理PC →在CB →上的投影为|PC →|·cos(π-∠PCB )=-|CB →|=-2. 三、探究与拓展13.如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB =1,BC =3,∠ABC =60°,P A =2,求向量PB →在AC →上的投影. 解 ∵P A ⊥底面ABCD , ∴P A ⊥AB ,P A ⊥BC , 则P A →·AB →=0,P A →·BC →=0. 又∠ABC =60°,∴AB →·BC →=|AB →||BC →|·cos 〈AB →,BC →〉 =3cos 120°=-32.又∵AC →·PB →=(AB →+BC →)·(P A →+AB →) =AB →·P A →+|AB →|2+BC →·P A →+BC →·AB → =|AB →|2-32=1-32=-12.AC →=AB →+BC →,∴|AC →|=(AB →+BC →)2=AB →2+BC →2+2AB →·BC → =1+9+2×3cos 120°= 7,∴向量PB →在AC →上的投影为 PB →·AC →|AC →|=-127=-714.。
3.1 空间向量及其运算1 空间向量及其加减运算、数乘运算【学习目标】1.类比平面向量,理解空间向量的相关概念;2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算的运算法则,比较与平面向量的异同,加深理解.【重难点】概念的理解【新知探究】一、空间向量的有关概念1.空间向量的定义:在空间,我们把_________________________的量叫做空间向量[思考] 空间向量间能否比较大小?二、空间向量的加减法1.定义:空间向量的加、减运算结果仍是_______,其法则类似于平面向量的加、减法的运算法则:加法满足________法则和_________________________法则;减法为加法的__________,与平面向量的减法运算一样.2.运算律:空间向量的加法满足__________和_____________,即:a_____________;==+b(_______________________________.a)+c+b[探究] 结合律的证明[结论] 1.空间三个不共面向量的和向量可以与这三个向量移到相同起点后构造的平行六面体的对角线联系;2.首尾相接的若干向量之和,等于____________________________________, 即:_________________________________________________3.首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则这些向量的和为________4.若P是线段AB的中点,则=____________________三、空间向量的数乘运算1.定义:与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个______,记为_______.称为向量的数乘运算.其方向和长度规定如下:(1)长度规定:λa的长度是a的长度的________,(2)方向规定:当λ>0时, λ与向量的方向________;当λ<0时, λa与向量a的方向________;2.运算律:空间向量的数乘运算满足分配律及结合律: 结合律:____________________ 分配律1:__________________ 分配律2:__________________【例题分析】例1、如图,在三棱柱111C B A ABC -中,M 是1BB 的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:(1)1BA CB +; (2)121AA CB AC ++;(3)CB AC AA --1 C 1B 1CBAA 1例2、如图,在长方体///B D CA OADB -中,1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ,点E ,F 分别是//,B D DB 的中点,设k OK j OJ i OI ===,,,试用向量k j i ,,表示OE 和OFF E D'B'CBO D A'I JK例3、空间四边形ABCD 中,连接AC ,BD ,△BCD 的重心为G ,若z y x ++=,求x ,y ,z 的值。
【变式练习】已知空间四边形ABCD ,连接,AC BD ,设,M G 分别是,BC CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:(1)AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r;(2)1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r;(3)1()2AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r .BCDMGA2 共线向量与共面向量【学习目标】1.类比平面共线向量学习空间共线向量,注意体会平面到空间的变化;2.理解共面向量定理;3.掌握三点共线、四点共面的充要条件;4.了解直线和平面的向量表示.【重点、难点】共线向量定理和共面向量定理及其简单运用【新知探究】一、共线向量1.定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_________________,则这些向量叫做共线向量或_______________.2.共线向量定理对于空间任意两个向量,a(≠____),//等价于________________________________________________________________3.空间直线的向量表示式空间中的直线l可由直线上的一点A以及平行于直线l的非零向量(向量叫做直线l的__________________)确定.即对空间任意一点O,点P在直线l等价于存在实数t,使_____________________①若在l上取=,则①式可化为_____________________②①和②式都称为空间直线的向量表示式.4.三点共线问题空间中三点A,B,C共线⇔_______________________________________________⇔_______________________________________________二、共面向量1.定义___________________________的向量,叫做共面向量2.空间中任意两个向量一定是共面向量.三个向量则不一定.3.共面向量定理___________________________________________________________________________ 4.平面的向量表示式空间中任意平面可由空间一点及两个不共线的向量确定空间一点P 位于平面ABC 内等价于存在___________________,使______________. 或对空间任意一点O ,有________________________________③③式称为空间平面ABC 的向量表示式 5.四点共面问题空间中四点A ,B ,C ,D 共面⇔______________________________________________⇔_______________________________________________【例题讲析】 例1、(1)设1e ,2e 是空间中两个不共线的向量,已知212e k e AB +=,213e e CB +=212e e CD -=且A ,B ,D 三点共线,求k 的值(2) 已知两个非零向量21,e e u r u u r 不共线,如果21AB e e =+u u u r u r u u r ,2128AC e e =+u u u r u r u u r,2133AD e e =-u u u r u r u u r,求证:,,,A B C D 共面.例2、(1)若三点A ,B ,C 共线,P 为空间任意一点,且y x =+,则x -y =_______ (2)已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外一点,若由向量OC OB OA OP λ++=3251确定的点P 与A ,B ,C 共面,则λ=__________例3、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设直线A 1C 与平面BDC 1的交点为E ,求1CA CE1例4、已知平行四边形ABCD ,过平面AC 外一点O 做射线OA ,OB ,OC ,OD ,则四条射线上分别取点E ,F ,G ,H ,并且使k ODOHOC OG OB OF OA OE ====,求证:E ,F ,G ,H 四点共面例5、E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点,求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)平面AEF//平面BDHG1A例6、已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE 上,且BM=31BD,AN=31AE,求证:MN//平面CDE3 空间向量的数量积运算【本节要求】1. 正确理解数量积和向量的夹角等的概念;2. 了解投影及数量积的几何意义;3. 掌握数量积的运算律、性质;4. 比较数量积和实数运算的异同点,进一步理解数量积的概念5. 能运用数量积解决垂直、距离、线线角等问题.【知识点解读】 1.向量的夹角 (1)定义及记法(2)起点相同,>-<->=-<->=-->=<>=<<,,,,,ππ (3)范围:________________.①0°:________;②90°:_________;③180°:_________. 2.向量的投影称_________为在方向上的投影,称_________为在方向上的投影.3.空间向量的数量积(1)定义及记法:_______________________________________________,且结果是_______ (2)几何意义 (3)运算律①_________________,②__________________,③_________________. (4)性质①_______,__________⇔⊥②与同向,则_______________,与反向,则_______________, ③______________||≤⋅b a ④__________||=⑤><,cos =_________________[思考] 教材90页[自学] 教材91页例2、例3【典例剖析】类型一数量积的正确理解例1、判断下列说法的正误则它们垂直均不为与若,0)()()3(|;|||||)2(;)()1(22222bcacbaaqpqpqpqpqp⋅⋅-⋅⋅-=-⋅+⋅=⋅类型二求向量的模或求空间中的线段长度例2、(1) (导学案90页基础学习交流第3题) 设a⊥b,<a,c>=,<b,c>=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则向量a+b+c的模为.(2) (导学案91页探究三) 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D两点间的距离.类型三证线线垂直例3、(1) (导学案90页探究一) 已知正三棱柱ABC—A1B1C1,底面边长AB=2,若M为BC1的中点.求证:AM⊥BC.若A在PB、PC上的射影分别是E、F.求证:EF⊥PB.类型四求异面直线所成的角例4、(1) (导学案90页基础学习交流第4题) 如图所示,在空间四边形OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=60°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.(2) (导学案90页探究二) 已知S—ABC是棱长为1的正四面体,M、N分别是AB、SC的中点,求异面直线SM与BN所成角的余弦值.4 空间向量的坐标表示、空间向量运算的坐标表示【目标】1.理解空间向量基本定理;2.理解空间向量的坐标表示;3.正确理解并掌握空间向量运算的坐标表示【新知探究】1.空间向量基本定理定理如果三个向量a,b,c________________,那么对空间中任一向量p,存在______有序实数组(x,y,z),使得____________________.把{a,b,c}叫做空间的一个________,a,b,c都叫做__________.把有序实数组(x,y,z)叫做在基底{a,b,c}下的坐标.空间任何_________________的向量都可构成空间的一个基底.练习. (导学案95页基础学习交流1) .已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是().A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2ªC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c例1.(教材98页11题)例2.(导学案95页探究一) 在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{,,}为基底,则=.2.空间向量的正交分解、空间向量的坐标表示(1)设,,k是空间三个_____________的_______向量,分别以,,k的方向为x轴,y 轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,空间任意一个向量都可以用,,唯一表示,即存在______________________使得______________,我们把x,y,z称作向量在单位正交基底,,k下的坐标,记作__________________①设点P(x0,y0,z0),则=________________________;②设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=_____________________,AB的中点坐标为_____________________,|AB|=_________________________________.3.空间向量运算的坐标表示(1)空间向量运算的坐标表示设=(x1,y1,z1),= (x2,y2,z2),则①+=_______________,-=_______________,λ=_________________.②a·b=________________(2)空间向量平行和垂直的坐标表示设=(x1,y1,z1),= (x2,y2,z2),则①a//b⇔_________⇔________________或_________________________②⊥⇔_________⇔________________(3)空间向量的模、夹角的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b= (x2,y2,z2),则①||=_____________________________;②cos<,>=___________________________________________________.例3.(导学案96页探究二) 已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值.(2)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值.例4.(导学案96页探究三) 已知向量a=(5,3,1),b=(-2,t ,-),若a 与b 的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.例5.(导学案97页基础智能检测1) 若ABCD 为平行四边形,且A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则顶点D 的坐标为( ).A.(,4,-1)B.(2,3,1)C.(-3,1,5)D.(5,13,-3).例6.如图,已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M 是AB 的中点,点N 在PC 上,且PN =2NC .P A =AD =1,建立适当的空间直角坐标系,求MN DC ,的坐标CDAPN变练.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面边长为1,高为2,建立适当的空间直角坐标系,写出111,AC 的坐标.C 1A 1A13.2 立体几何中的向量方法1 用向量法证明直线、平面的平行和垂直[知识点探析]1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量若____________________,则向量a叫作直线l的方向向量.(2)平面的法向量如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量_____________,记作_______,如果_______,那么向量a叫作平面α的法向量.2.用空间向量表示立体几何中的平行于垂直关系设直线l、m的方向向量分别为a、b,平面α、β的法向量分别为u、v,当l、m不重合,α、β不重合且l、m不在平面α、β内时,有(1)线线平行:l∥m⇔____________线面平行: l∥α⇔ ______________________________面面平行:α∥β⇔_________________________________________(2)线线垂直: l⊥m_______________________________________线面垂直: l⊥α⇔_________________________________________面面垂直:α⊥β⇔__________________________________________[典例探析]例1. (1) 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:BF //ED 1F1A(2)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥DA 11A例2.(导学案P100探究一) 已知A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(abc≠0),求平面ABC的一个法向量.变练.(导学案P101应用一) 已知正方体ABCD—A'B'C'D',点E、F、G分别是AB、BC、AA'的中点.求平面EFG的一个法向量.G1A例3. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1C,且A1E=2EC,求证:(1)AD1//平面BDE,(2)A1C⊥平面BDE1 A例4.在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两垂直,D为AB的中点,点E,F,G分别在BC,PB,PD 上,且DG:GP=BE:EC=PF:FB=1:2,求证:平面EFG⊥平面PBCP变练1.(导学案P102应用二) 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是BB1的中点,F是CD的中点.求证:平面A1D1F⊥平面ADE.变练2.(导学案P102应用三) 图1,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D 是AP的中点,E、F、G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD,如图2.求证:AP∥平面EFG.3.2 立体几何中的向量方法2 用向量法求空间角[回顾] 三类空间角[新知]一、用向量法求异面直线所成的角设异面直线l ,m 所成的角为θ,它们的方向向量分别为a 、b ,则___________________ [例1] (导学案P 105应用一) 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 和CN 所成角的余弦值是 .[变练1] (导学案P 105探究一)在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是D 1D ,BD 的中点,G 在CD 上,且CG=CD ,H 为C 1G 的中点.则EF 与B 1C 所成角为 ;EF 与C 1G 所成角的余弦值为 ;EF 与B 1H 所成角的余弦为_____二、用向量法求直线与平面所成的角设直线l 与平面α所成的角为θ,直线l 的方向向量为,平面α的法向量为,则________________[例2] 已知三棱锥P -ABC 中,P A ⊥平面ABC ,AB ⊥AC ,P A =AC =21AB ,N 为AB 上一点,且AB =4AN ,M ,S 分别为PB ,BC 的中点,求SN 与平面CMN 所成角的大小.A BCPNMS[变练2] (导学案P105探究二) 如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°, AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.三、用向量法求二面角设二面角βα--l的平面角为θ①如图1,若lbla⊥⊥,,则________________②如图2,设α的法向量为m,β的法向量为n,则___________________________llαβmn图2图1baβα[例3] (导学案P106探究三) 如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求二面角A—A1D—B的余弦值.[变练3] (导学案P106应用三) 正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2,P是侧棱AA1上任意一点.(1)判断直线B1P与平面ACC1A1是否垂直,请证明你的结论;(2)当BC1⊥B1P时,求二面角C—B1P—C1的余弦值.1 AAP3.2 立体几何中的向量方法3 用向量法求空间距离一、点与点间的距离若能建立空间直角坐标系,则可得出两点的坐标,然后用距离公式求解;可转化为计算向量的模[例1] (导学案P110基础学习交流1) 在直角坐标系中,设A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角,则A、B两点间的距离为().A.2B.C.4D.3二、点到直线的距离[例2] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到EF 的距离.三、点到平面的距离[例3] (导学案P111探究一) 如图,已知ABCD是边长为4的正方形,点E、F分别是AD、AB的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点B到平面FEG的距离.[变练3-1] (导学案P112应用一) 如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,点E、F分别为棱AB、BC的中点.求点D1到平面B1EF的距离d.四、线到面的距离,面到面的距离[例4-1] (导学案P111探究二) 如图,边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、C1C的中点,DG=DD1,过E、F、G的平面交AA1于点H,求A1D1到面EFGH的距离.[例4-2] (导学案P111探究三) 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中.求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离.五、异面直线间的距离1.概念:对于异面直线a,b,若直线AB∩a=A,直线AB∩b=B,且AB⊥a,AB⊥b,则称直线AB 为异面直线a,b的公垂线,线段AB称为异面直线a,b的公垂线段.称公垂线段AB的长度为异面直线a,b间的距离.2.异面直线间的距离的求法(1)若能找出公垂线段,则可用两点间的距离的求法求之,(2)不能(或不易)找出公垂线段时可采用向量法:[例5] 如图,两条异面直线a,b所成的角为 ,在直线a,b上分别取点A,B和C,D,使AC⊥a,AC⊥b.已知AB=m,BD=l,CD=n,求AC的长[例6] 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点.求BD1与DE之间的距离1 D3.2 立体几何中的向量方法4 用向量法解探究性问题[例1] 如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,且∠BAD=60°,A 1A=AB ,E 为BB 1延长线上的一点,D 1E ⊥面D 1AC ,设AB=2.在D 1E 上是否存在一点P ,使A 1P ∥面EAC ?B 1C 1D 1CDBAA 1E[变练1-1] 如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为4正三角形,AA 1⊥平面ABC ,AA 1=26,M 为A 1B 1的中点.在棱CC 1上是否存在点P ,使得MC ⊥平面ABP ?若存在,确定点P 的位置;若不存在,说明理由.[变练1-2] 如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长2正三角形,侧棱与底面垂直,且长为3,D 是AC 的中点.在线段AA 1上是否存在一点E ,使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD ,若存在,求出AE 的长;若不存在,说明理由.[例2] 等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足21==EA CE DB AD ,(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使二面角A 1-DE-B 成直二面角,连结A 1B 、A 1C (如图2). (Ⅰ)求证:A 1D⊥平面BCED :(Ⅱ)在线段BC 上是否存在点P ,使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为23?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.[变练2-1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD=2,PB=1,E,F分别是BC,PC的中点.(Ⅰ)证明:平面ADP⊥平面DEF;(Ⅱ)在线段AE上是否存在一点M,使二面角M-DF-E的大小为60°,若存在求出EM:MA,若不存在,则说明理由.。