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导入新课复习上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.(1) 加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则. (2) 运算律加法交换律及结合律.两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．教学目标知识目标正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算律；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用.能力目标经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.情感目标1. 通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；2. 通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.教学重难点重点共线向量概念、基本定理及推论．难点共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.知识要点1. 空间向量数乘运算的定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.（1）结果仍然是一个向量;（2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同;当λ<0时，λa与a方向相反;当λ=0时，λa是零向量0; （3）大小: λa的长度是a长度的|λ|倍.aλa(λ<0)a λa(λ>0)2.数乘运算的运算律显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律（）λ(a +b )=λa +λbλ+μa =λa +μaλ(μa )=(λμ)a 即：知识要点（1） λa与a 之间是什么关系？（2） λa 与a 所在直线之间的关系？对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.知识要点3.共线向量（或平行向量）的定义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）记作a//b（1）向量平行与直线平行的比较;（2）关注零向量; （3）对空间任意两个向量a 与b ,如果 ,那么a 与b 有什么相等关系?反过来呢?b //a 零向量与任何向量平行（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;（2）当我们说a // b时，也具有同样的意义.知识要点4.共线向量基本定理对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使a = λb（1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一;（2）若a // b，b // c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）5.共线向量基本定理的推论如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对于空间任意一点像O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 OP = OA + ta. (1) AaOP B其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector）在l上取AB=a，则(1)式可化为OP = (1- t)OA + t OB.(2)说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.知识要点6.共面向量定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.7.共面向量的定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使p = x a + y b8.共面向量的定理的推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP = xMA + yMB或对空间任一定点O，有OP = OM + xMA + yMB.Ma AbB A' p P对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1）的四点P 、A 、B 、 C 是否共面？OP =xOA+yOB +zOC解答原式可以变形为OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA), AP=y AB+z AC,所以，点P与点A，B，C共面.例题如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使OE OF OG OH====kOA OB OC OD求证：四点E、F、G、H共面.D'A'B'C'DA B CO分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.证明:因为 所以 OE=kOA ，OF=kOB ， OG=kOC ，OH=kOD. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC=AB+AD. 解答OE OFOGOH====kOA OB OC OD继续因此EG=OG-OE=kOC-kOA=k AC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH.由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.课堂小结1.空间向量的数乘运算.2.空间向量的数乘运算的运算律.满足分配律及结合律.3.共线向量与共面向量共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重合. 平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 定理 推论 运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面)0a (b //a ≠b λa =p b a b y αx p +=ABt OA OP +=AC y AB x OA OP ++=共面1)y (x OBy OA x OP =++=1)z y (x 0OC z OB y OA x OP =++=++=高考链接1.（2006年福建卷）已知|OA|=1，|OB|= ，OA·OB=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB (m 、n ∈R)，则 等于_______. 3nm 3D. 33 C. 3B. 31 A. BOA =1,OB =3,OA.OB =0,解析: 点C 在AB 上，且∠AOC=30°设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0， )C 点的坐标为(x ，y)=( ， ) OC =mOA+nOB(m,n R)∈33434则∴ 3n m ，41，n 43m ===课堂练习1.选择（1）若对任一点O 和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P 、A 、B 、C 共面的（） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 R),z y,(x,OC z OB y OA x OP ∈++= C（2）对于空间任意一点O ，下列命题正确的是（）. A.若 ，则P 、A 、B 共线 B.若 ，则P 是AB 的中点C.若 ，则P 、A 、B 不共线D.若 ，则P 、A 、B 共线 OP =OA+t AB3OP =OA+AB OP=OA -t AB OP=-OA+AB A（3）下列命题正确的是（）CA.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面C.零向量没有确定的方向D.若a // b，则存在唯一的实数λ使得a = λb解答A.中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量.答案C.点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 .2.解答题已知：且m，n，p不共面.若a∥b,求x，y的值.,p2yn8m1)(xb0,p4n2m3a+++=≠--=空间向量在运算时，注意到如何利用空间向量共线定理.解答 ∵a // b,且a ≠0， ∴b= λ a ，即 又∵m ，n ，p 不共面，∴.p 4λn 2λm 3λp 2y n 8m 1)(x --=+++8.y 13,x ,42y 2831x =-=∴-=-=+习题答案1. （1）AD; （2）AG;（3）MG2. （2）x=1; （2）x=y=1/2; （3） x=y=1/2;3.CA QBRPSO。
空间向量的数乘运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是( )A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量【解析】选C.由题意知,==-,所以向量,,是共面向量.2.(2014·沈阳高二检测)下列命题中正确的是( )A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面C.空间任意两个向量共面D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb【解析】选C.对A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb,错误,当b=0时不成立.【变式训练】与共线是直线AB∥CD的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若与共线,则∥,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若AB∥CD,则必有与共线.3.(2014·西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是( )A.=++B.=++C.=-++D.以上都不对【解析】选B.因为=++,所以3=++,所以-=(-)+(-),所以=+,所以=--,所以P,A,B,C共面.【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6=+2+3,则( )A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【解析】选B.由6=+2+3,得(-)=2(-)+3(-),即=2+3.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则( ) A.a∥e1 B.a∥e2C.a与e1,e2共面D.以上三种情况均有可能【解析】选C.若a∥e1,则存在实数t使得a=t e1,所以t e1=λe1+μe2,所以(t-λ)e1=μe2,则e1与e2共线,不符合题意.同理,a与e2也不平行.由向量共面的充要条件知C正确.5.(2014·南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于( )A.2-B.-+2C.-D.-+【解析】选A.由已知得2(-)+(-)=0,所以=2-.6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c【解析】选A.=+=+(-)=+-=-a+b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线(填是或否).【解析】设a=λb,即3e1+4e2=λ(-3e1+8e2)=-3λe1+8λe2,所以⇒所以不存在λ,使a=λb,即a与b不共线.答案:否8.(2014·福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用,,表示向量,则= .【解析】=++=++(+)=++(-+)=++.答案:++9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,=a,=b,=c,若=x a+y b+z c,则x+y+z= .【解析】在△OBD中,=+=+-=+-=+--(-)=+-=a-b+c,故x+y+z=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,=2.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示.【解析】如图所示,连接AN,则=-=+-=+-(+)=+(-)-(+)=c+(b-c)-(a+b)=-a+b+c.【拓展延伸】数形结合法表示向量用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将表示为=++.11.(2014·武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足=++.(1)判断,,三个向量是否共面.(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1)由已知,得++=3,所以-=(-)+(-),所以=+=--.所以向量,,共面.(2)由(1)知向量,,共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面,所以点M在平面ABC内.【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面. 【证明】如图,在封闭图形ABNM中,=++, ①在封闭图形CDNM中,=++, ②又因为M,N分别为线段AC,BD的中点,所以+=0,+=0,①+②得2=+,即=+,所以向量,,共面.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量的为( )A.+2+2B.-3-2C.+3-2D.+2-3【解析】选 C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知=x+y.由图知x=3,y=-2,所以=+3-2.2.(2014·济南高二检测)下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若a,b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0正确;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误;③若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R)且x+y+z=1,则P,A,B,C 四点共面.【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )A.=3-2-B.+++=0C.++=0D.=-+【解析】选C.因为++=0,所以=--,所以M与A,B,C必共面.3.(2013·温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于( )A. B.3 C.3 D.2【解析】选B.-+=-(-)=-=+=+2=3.4.(2014·石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为( )A.1B.0C.3D.【解析】选D.因为=x++,且M,A,B,C四点共面,所以x++=1,x=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=m i+n j是i,j,k共面的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面⇔存在惟一的一对实数x,y使k=x i+y j.答案:充要6.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).【解析】根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且,有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.答案:②③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.【证明】如图,过B1作l3∥l1取点C2∈l3且BC=B1C2.因为=,=,所以=2,=2.因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,所以=λ=2λ,=μ=2μ.于是=+=+=+(-)=(+)=(2λ+2μ)=λ+μ.因此,,共面.故M,N,P,Q四点共面.8.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设=a,=b,=c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N,使=k,=k(0≤k≤1).求证:(1)与向量a和c共面.(2)MN∥面A′AB.【证明】(1)显然=k=k b+k c,且=+=a+k=a+k(-a+b)=(1-k)a+k b,=-=(1-k)a+k b-k b-k c=(1-k)a-k c.因此,与向量a和c共面.(2)由(1)知与向量a,c共面,a,c在面A′AB内,而不在面A′AB内,所以MN∥面A′AB.。
3.1.2 空间向量的数乘运算【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；一、自主学习1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题复习1：化简：⑴ 5（32-）；b a-）+4（23a b⑵()()-+--+-.a b c a b c63复习2：在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是2.导学提纲1.空间任意两个向量有____种位置关系？如何判定它们的位置关系？任意两个向量的夹角的范围是______________?2. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫_____________3对空间任意两个向量,a b（0a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得______,为何要求b≠），//b≠？3.如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是4.对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.5.空间一点P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使⑵ 对空间任意一点O ，有6.向量共面的充要条件的理解（1）MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．二、典型例题例1.1. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB x AD y AB z AA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++； B. 1122a b c ++；C.1122a b c -+； D. 1122a b c --+. 6. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.A ．0 B.1 C. 2 D. 37.下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ） ①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 4例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ; ⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ '111222AD AB A A +-例3 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使,OE OF OG OHk OA OB OC OD==== 求证：E,F,G,H 四点共面.变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面.三、变式训练：课本第89页练习1-3 四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后巩固1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，ABCDFE G H0a ≠，若//a b ，求实数,x y .2.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．。
相对目标设置法在高校速度滑冰教学中的运用研究作者：刘晓鹏来源：《青少年体育》 2014年第10期刘晓鹏（长春师范大学体育学院，吉林长春 130032 ）收稿时间：2014-09-12作者简介：刘晓鹏（1981~），硕士，讲师。
研究方向：花样滑冰、速度滑冰等冰雪项目。
高校大学生经常参加滑冰锻炼，能促进心血管和呼吸系统机能的改善，增强腰、腹、腿部肌肉的力量和各关节的灵活性和韧性，还能有效地增强抗寒、耐寒能力，对人体的平衡能力有特殊作用，通过滑冰锻炼，还可以培养学生勇敢、顽强、不畏困难的意志品质。
但高校滑冰教学实践中教学效率和质量并不高，如何提高高校冰雪教学质量是值得研究的问题。
1 研究对象与方法1.1 研究对象本研究以高校大学生的速度滑冰中的直道滑跑教学为研究对象，以沈阳市某大学滑冰专项课的2 个教学班40 名学生，分为a 班、b 班（每班10 男、10 女）。
2 个教学班中采用随机抽样方式确定学生所在班级。
1.2 研究方法本课题采用文献资料、教学等组实验法、实地观察等方法，做4 次课的对比教学实验。
相同教师、相同教学、课时、内容和评价条件下, 实验组（a 班）运用相对目标设置, 对照组（b 班）采用传统的教学，对比a 班、b 班教学效果。
实验时间为2014 年下半学期中期4 次课。
2 结果与分析2.1 理论概述2.1.1 相对目标设置法相对目标设置教学法是在目标设置理论的基础上结合目标教学法而提出的一种新的教学方法，它是指教师在教学实践中根据学生的具体情况通过不断合理的设置相对于学生个体的目标，逐渐激励学生进步和提高，不断地主动完成自我超越，进而达到教学任务的教学方法。
相对目标设置的教学法的步骤主要包括以下环节：测评学生的初使水平→教学内容的学习→根据学生的实际水平为学生设置合理的相对目标→让学生明确并挑战自己的相对目标→目标的完成和反馈和归因→教学内容的在次（或新的教学内容的）学习→目标的在次完成和反馈和归因→新水平下一个相对目标的设定、教学内容的学习、目标的完成与反馈归因，循环往复。
