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扩展有限元有限元是将一个物理实体模型离散成一组有限的相互连接的单元组合体, 该方法在考虑物体内部存在缺陷时间，单元边界与几何界面一致，会造成局部网格加密，其余区域稀疏的非均匀网格分布，在网格单元中最小的尺寸会增加计算成本，再者裂纹的扩展路径必须预先给定只能沿着单元边界发展。
1999年，美国西北大学Beleytachko 提出了扩展有限法，该方法是对传统有限元法进行了重大改进。
扩展有限元法的核心思想是用扩充带有不连续性质的形函数来代表计算区域内的间断，在计算过程中，不连续场的描述完全独立于网格边界，在处理断裂问题有较好的优越性。
利用扩展有限元，可以方便的模拟裂纹的任意路径，还可以模拟带有孔洞和夹杂的非均质材料。
扩展有限元是以标准有限元的理论为框架，保留传统有限元的优点，目前商业软件中如Abaqus 等都加入扩展有限元的分析模块。
扩展有限元以有限元为基本框架，主要针对不连续问题进行研究，相对于传统有限元方法，它克服了裂纹扩展问题的不足。
其采用节点扩展函数，其中包括2个函数:裂纹尖端附近渐进函数表示裂纹尖端附近的应力奇异性;间断函数表示裂纹面处位移跳跃性。
整体划分位移函数表示为αααI =I I I =∑∑++=b x F a x H u x N x u N i )(])()[()('411式中:)(x N I 为常用的节点位移函数；I u 为常规形状函数节点自由度，适用于模型中的所有节点；)(x H 为沿裂纹面间断跳跃函数；I a 为节点扩展自由度向量，这项只对形函数被裂纹切开的单元节点有效；)(x F α为裂纹尖端应力渐进函数；αI b 为节点扩展自由度向量，这项只对形函数被裂纹尖端切开的单元节点有效。
沿裂纹面间断跳跃函数)(x H 表达式为：otherwisen x x if x H 0)(11)(*≥-⎩⎨⎧-= 式中:x 为样本点；*x 距x 最近点；n 为单位外法线向量。
各向同性材料的裂纹尖端渐进函数)(x F α表达式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2cos sin ,2sin sin ,2cos ,2sin )(θθθθθθαr r r r x F 裂纹尖端的渐进函数并不局限于各向同性弹性材料的裂纹建模。
基于ABAQUS 扩展有限元的裂纹模拟化工过程机械622080706010 李建1 引言1.1 ABAQUS 断裂力学问题模拟方法在abaqus中求解断裂问题有两种方法（途径）：一种是基于经典断裂力学的模型；一种是基于损伤力学的模型。
断裂力学模型就是基于线弹性断裂力学及其基础上发展的弹塑性断裂力学等。
如果不考虑裂纹的扩展，abaqus可采用seam型裂纹来分析(也可以不建seam，如notch型裂纹)，这就是基于断裂力学的方法。
这种方法可以计算裂纹的应力强度因子，J积分及T-应力等。
损伤力学模型是指基于损伤力学发展而来的方法，单元在达到失效的条件后，刚度不断折减，并可能达到完全失效，最后形成断裂带。
这两个模型是为解决不同的问题而提出来的，当然他们所处理的问题也有交叉的地方。
1.2 ABAQUS 裂纹扩展数值模拟方法考虑模拟裂纹扩展，目前abaqus有两种技术：一种是基于debond的技术（包括VCCT）；一种是基于cohesive技术。
debond即节点松绑，或者称为节点释放，当满足一定得释放条件后（COD 等，目前abaqus提供了5种断裂准则），节点释放即裂纹扩展，采用这种方法时也可以计算出围线积分。
cohesive有人把它译为粘聚区模型，或带屈曲模型，多用于模拟film、裂纹扩展及复合材料层间开裂等。
cohesive模型属于损伤力学模型，最先由Barenblatt 引入，使用拉伸-张开法则（traction-separation law）来模拟原子晶格的减聚力。
这样就避免了裂纹尖端的奇异性。
Cohesive 模型与有限元方法结合首先被用于混凝土计算和模拟，后来也被引入金属及复合材料。
Cohesive界面单元要服从cohesive 分离法则，法则范围可包括粘塑性、粘弹性、破裂、纤维断裂、动力学失效及循环载荷失效等行为。
此外，从abaqus6.9版本开始还引入了扩展有限元法（XFEM），它既可以模拟静态裂纹，计算应力强度因子和J积分等参量，也可以模拟裂纹的开裂过程。
第28卷第7期 V ol.28 No.7 工 程 力 学 2011年 7 月 July 2011 ENGINEERING MECHANICS20———————————————收稿日期：2009-12-01；修改日期：2010-01-12基金项目：国家自然科学基金项目(50804014，41072224)；教育部新世纪优秀人才计划项目(NCET-08-0662)；河南省教育厅自然科学研究计划项目(2008A44005)作者简介：∗茹忠亮(1977―)，男，山西晋城人，副教授，博士，从事结构工程计算研究(E-mail: ruzhongliang@)；朱传锐(1986―)，男，河南信阳人，硕士生，从事结构工程计算研究(E-mail: zcr241@)； 赵洪波(1972―)，男，河北邯郸人，副教授，博士，从事结构工程计算研究(E-mail: hbzhao@).文章编号：1000-4750(2011)07-0020-06基于水平集算法的扩展有限元方法研究*茹忠亮，朱传锐，赵洪波(河南理工大学土木工程学院，焦作 454010)摘 要：扩展有限元是一种以单位分解思想为基础，在常规有限元位移中加入跳跃函数和渐近位移场函数，以处理不连续问题的数值方法。
将水平集算法应用到裂纹界面的描述及加强单元类型的判别，并与扩展有限元相结合，用于分析材料断裂问题。
相比传统有限元，有限元网格与裂纹面位置相互独立，不需满足裂纹为单元边、裂尖为单元节点和在裂纹附近进行高密度的网格划分的要求。
通过算例分析了单元积分方案，裂尖积分区域对应力强度因子计算精度的影响。
关键词：扩展有限元；裂纹；水平集法；应力强度因子；数值方法 中图分类号：TV313;O241.82 文献标志码：A STUDY ON THE EXTEND FINITE ELEMENT METHOD BASED ONLEVEL SET ALGORITHM*RU Zhong-liang , ZHU Chuan-rui , ZHAO Hong-bo(College of Civil Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454010, China)Abstract: The Extended Finite Element Method (XFEM), which is based on the partition of unitym, is a novel numerical approach to solve discontinuous problems. It employs jump function and asymptotic crack tip displacement field function in Classical Finite Element Method, and applies the Level Set algorithm to describe the crack interface and judge the element types. It can be used to analyze the problem of material fracture. Compared with the classical finite element method, where the finite element mesh and the location of crack are mutual independent, the XFEM does not need to construct a mesh which conforms to the crack surface, and thus achieves fine granularity partition around the crack tip. The results from the case analysis demonstrate the impact of the scheme of element integration and the integral region of crack tip on the calculation accuracy of stress intensity factor.Key words: extend finite element method; fracture; level set; stress intensity factor; numerical method扩展有限元(Extend Finite Element Method, XFEM)是在常规有限元框架内求解不连续问题的数值方法。
扩展有限元法
#### 1.一维稳定性
有限元法可以用来解决一维稳定性问题，利用一维稳定性的基本原理，通过对实际结构的有限元单元网格进行分形集中或分散处理，以及对单元类型和形式进行选择，有效获取和分析各种参数，如材料参数、载荷参数、面宽参数以及梁中无弯度形状参数，从而得出有限元反应的刚度、弯矩、变形和应力的计算结果，进而估计和预测一维结构的承载能力、抗屈曲、变形或塑性扭曲变形。
#### 2.刚构结构
利用有限元法，可以进行刚构结构的力学分析，可以知晓构件在由外力所作用下，构件各点的位移、变形，以及构件各点的应力、应变，同时由于刚构结构个别构件之间也会存在约束关系，故必需考虑构件之间的相互影响，利用约束条件完成构件的组合，以此来估计稳定的系统的性能。
基于扩展有限元方法的基坑突涌研究姜徐彬;王立忠;洪义【摘要】传统理论基于弹塑性力学计算基坑内部的塑性区域并将塑性区域等价为破坏区域,无法获得具体的突涌位置.文中首次利用扩展有限元方法研究基坑突涌现象,模拟了一处位于加拿大的垃圾填埋场基坑的突涌现象,获得了3个突涌位置和与之对应的涌水通道,与现场结果吻合较好.对影响基坑裂纹扩展的参数进行了分析,结果表明,土体的渗透系数与孔隙率越小,流体粘度越大,则裂纹内孔压越大,最终的裂纹张开尺寸越大.通过对基坑开挖离心机实验进行扩展有限元模拟,确认了基坑突涌中裂纹属于I型张拉裂纹,且窄开挖基坑的突涌位置位于墙后,宽开挖基坑的突涌位置位于基坑内.【期刊名称】《低温建筑技术》【年(卷),期】2019(041)004【总页数】6页(P88-92,119)【关键词】扩展有限元;基坑突涌;参数分析;突涌位置【作者】姜徐彬;王立忠;洪义【作者单位】浙江大学建筑工程学院,杭州310058;浙江大学建筑工程学院,杭州310058;浙江大学建筑工程学院,杭州310058【正文语种】中文【中图分类】TU460 引言随着工程技术的发展和城市化建设的加速，地下工程逐渐遇到了大埋深、高水头的地质条件，由承压水作用引起地下工程突涌的风险越来越高。
突涌的案例在国内外屡见不鲜。
如，Malpasset拱坝[1]和Teton土坝[2]的破坏事故；上海浦东陆家嘴金融贸易区的“世纪大都会”2～3地块项目出现突涌事故[3]；郑州某24层大厦在开挖过程中基坑底部出现涌水涌浆事故[4]；宁波轻轨基坑不稳定事故[5]；漳州中银大厦基坑突涌事故[6]；加拿大安大略省垃圾填埋场突涌事故[7]；浦东煤气厂过江管线嫩江路竖井基坑工程发生突涌事故[8]；英国牛津一处基坑出现涌水事故[9]等。
地下工程底部的承压水使得基坑底部产生突涌，承压水沿着产生的裂纹涌入基坑，使得围护结构倒塌，工程报废，还会危及周边环境的安全，造成严重的生命和财产损失[10]。
人工边界的有限元扩展解（原创实用版）目录1.引言2.人工边界的概念与应用3.有限元方法的发展与优势4.人工边界的有限元扩展解法5.应用案例与效果分析6.结论正文【引言】在现代工程技术领域，解决复杂数学问题和物理现象的分析与计算至关重要。
人工边界和有限元方法作为工程技术中的两种重要手段，广泛应用于诸多领域，如力学、热力学、电磁学等。
本文将探讨人工边界的有限元扩展解法，以期为相关领域的研究和应用提供有益参考。
【人工边界的概念与应用】人工边界，又称人为边界，是指在求解问题时所设定的一种边界条件。
通过设定人工边界，可以将实际问题简化为易于求解的问题。
人工边界在实际应用中有着广泛的应用，例如在有限元分析中，通过设置人工边界，可以将无限大的求解域转化为有限大小的求解域，从而降低计算复杂度。
【有限元方法的发展与优势】有限元方法是一种求解偏微分方程的数值方法，它通过将求解域离散化为有限个小的子域（有限元），并在每个子域内求解微分方程，从而实现对整个求解域的数值求解。
有限元方法具有以下优势：1.适用于各种形状的求解域；2.可以灵活设置人工边界，简化问题求解；3.计算精度高，适用范围广。
【人工边界的有限元扩展解法】人工边界的有限元扩展解法是指在有限元方法中应用人工边界条件的一种求解策略。
该方法通过对有限元方法进行改进，使其能够在考虑人工边界条件的情况下，求解更复杂的问题。
人工边界的有限元扩展解法主要包括以下步骤：1.根据问题特点，设定合适的人工边界条件；2.对有限元方法进行改进，使其能够适应人工边界条件；3.编写或选用相应的数值计算程序，实现对人工边界条件下的有限元求解。
【应用案例与效果分析】人工边界的有限元扩展解法在多个领域均有成功应用，例如在力学问题中，通过对梁、板等结构件施加人工边界条件，可以有效模拟实际工程中的固定边界、滑动边界等复杂情况。
在热力学问题中，人工边界的有限元扩展解法可以应用于热传导、热辐射等问题的求解，为工业生产中的温度场控制提供理论依据。
基于拓展有限元的应力强度因子方法研究【摘要】本文应用拓展有限元方法，首先研究不同参数对于结果精确性的影响。
并编写了基于拓展有限元的Matlab程序,改进了判定应力强度因子的方法,并与Abaqus得出的结果进行比较，结果发现，比用Abaqus判定得到的结果更为准确。
【关键词】拓展有限元，Matlab，Abaqus，应力强度因子，SIF0 前言在工程中的许多问题都能采用基本的物理方法来解决。
这些基本的物理方法加上偏微分方程，或者是我们平时所说的控制方程。
然而在大多数情况下使用控制方程并不能得到精确地解，主要还是因为处理现实生活中的问题面临着更复杂的情况和边界条件。
普通的基于h-p方法[1]的有限元方法在处理连续场问题中可以表现的非常优异，然而对于不连续场问题为了获得精确地解，使用多项式近似法的有限元方法会需要花费更多的精力在网格的重划分上，这就是说每步的裂缝增长都需要依靠有限元软件的对于裂缝开展间断的重新划分。
为了突破有限元对于不连续场问题的限制，由Belytschko 和Black[2]共同提出了拓展有限元方法。
这种方法克服了有限元方法在解决不连续场问题中重划分问题。
拓展有限元方法能很好的应用在断裂力学中的不连续问题，如裂缝扩展，存在于复合材料截面裂缝问题。
如今拓展有限元已经能应用在工程中的各个领域，然而为了能模拟更多的问题，拓展有限元还需要更多的进步，如多尺度的模拟。
本文主要目的是使用现在流行的商用有限元软件Abaqus的拓展有限元模块进行裂缝模拟，提出改进的裂缝扩展的计算公式，编写出Matlab程序然后进行比较。
通过两者计算结果的比较得出程序的准确性。
1拓展有限元基本原理一般来说拓展有限元大部分是基于有限元的方法，所以应用在有限元的方程还是可以使用的，然而对于不连续的部分，拓展有限元提出了新的概念-子区间。
简单来说，子区间就是使用一组新的目标函数对位移函数来内插值。
最终的位移函数如下式(1)其中N 是节点的个数，Nl是标准的形函数,H(x)是富集函数，也可称为跳远函数，它遵循着单位分解原则。
扩展有限元在混凝土裂缝问题研究中的应用本文通过扩展有限元模拟了工程中大体积混凝土裂缝形成以及发展过程，为研究大体积混凝土工程中的裂缝控制问题提供了理论依据。
1 概述水利水电工程在经济发展中起了重要的作用，同时由于自身的安全特性导致了建筑物的溃坝事故的发生，给相关工程的当地人民带来了安全隐患。
在这些问题中，一部分安全隐患主要是由于混凝土的裂缝导致的，在大体积混凝土工程中，裂缝决定着工程的成功与否以及使用寿命。
混凝土裂缝的成因主要可以分为两类：1、外部因素，可以简单的概括为荷载，例如自重、水压力、温度以及动力荷载等因素的影响；2、内部因素，主要是混凝土材料的强度指标的大小、时效性、区域性等等。
目前对于内部因素，国内外研究的成果在工程中得到了广泛的应用，而对于外部因素如何影响混凝土裂缝的产生以及发展的研究，在工程中的应用不足。
本文利用国内外最新的数值计算方法，来讨论混凝土裂缝的发展过程，以期为工程的风险分析提供一种更为准备的数值计算手段。
2 扩展有限元2.1 建模方法使用传统有限元方法建立固定不连续性质，如裂纹，要求网格划分符合几何不连续。
因此，很多的网格重构需要建立用以更好地模拟裂纹尖端附近奇异渐进场。
建立扩展裂纹模型更加复杂，这是由于网格需要连续不断地更新以适应裂纹扩展过程中几何不连续性。
扩展有限元方法（XFEM）可以缓解裂纹面网格划分带来的缺点。
扩展有限元方法由Belytschko and Black（1999）首次提出。
该方法基于整体划分的概念(Melenk and Babuska 1996)，属于传统有限元方法的扩展。
该整体划分概念使扩展函数方便地插入到有限元近似当中。
间断性可以通过与额外自由度相关联的扩展函数来确定。
然而，扩展有限元方法保留了有限元框架及一些特性，如刚度矩阵的稀疏性及对称性等。
XFEM已经在通用的有限元程序ABAQUS中实现，本文以ABAQUS平台，利用XFEM来模拟大体积混凝土裂缝的开裂及扩展。
基于扩展有限元（XFEM ）裂纹扩展总结通过四个算例总结了用ABAQUS 计算裂纹扩展应用情况。
算例1基于XFEM 使用虚拟裂缝闭合技术结合Cohesive 单元，实现混凝土基体断裂和钢筋混凝土界面脱层的混合失效模式；算例2基于XFEM 以VCCT 准则判断裂缝的开裂扩展，研究了偏荷载作用下不同配筋率对裂缝扩展方向的影响，并对比了考虑钢筋与混凝土粘结滑移与不考虑粘结滑移的裂缝扩展情况；算例3则是以粘聚力模型判断裂缝扩展,研究了裂缝扩展情况；算例4对比了Cohesive 和VCCT 两种开裂准则下钢筋混凝土（纵、箍筋组合）的裂缝扩展情况。
扩展有限元基本原理扩展有限元法（XFEM ）是在单位分解法的基础上对常规有限元位移逼近函数进行改进加强，引入附加函数。
以二维裂纹（图1）为例，对于裂纹贯穿单元，采用Heaviside 函数来描述裂纹两侧的不连续性；对于裂尖单元，采用裂尖渐进函数来反映裂纹尖端应力的奇异性。
扩展有限元的位移逼近为：()()()()()()∑∑∑∑∈=∈∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=K i i i i J i i i I i i xfem b x F x N a x H x N u x N x u 41ααα （1）式中，I 为所有节点集合，()x N i 为节点i 的形函数，i u 为节点i 的标准自由度，J 为裂纹贯穿单元节点集合（图1中圆圈所示节点），K 为裂尖单元节点集合（图1中方形所示节点），()x H 和()x F α分别为Heaviside 形函数和裂尖渐进函数，i a 和αi b 为相应节点自由度。
图1 扩展有限元中的富集节点描述裂纹面不连续性的Heaviside 形函数可表示为 ()⎩⎨⎧−≥•=*otherwise 10n )x -(x if 1x H （2）式中，*x 为点x 到裂纹面最近处的投影，n 为*x 点处的单位外法线向量（如图2所示）。
可以看出，节点位于裂纹面上侧时()1=x H ，节点位于裂纹面下侧时()1−=x H ，Heaviside 形函数能较好的描述裂纹面两侧的不连续性。
