扩展有限元的基本原理

扩展有限元有限元是将一个物理实体模型离散成一组有限的相互连接的单元组合体, 该方法在考虑物体内部存在缺陷时间，单元边界与几何界面一致，会造成局部网格加密，其余区域稀疏的非均匀网格分布，在网格单元中最小的尺寸会增加计算成本，再者裂纹的扩展路径必须预先给定只能沿着单元边界发展。

1999年，美国西北大学Beleytachko 提出了扩展有限法，该方法是对传统有限元法进行了重大改进。

扩展有限元法的核心思想是用扩充带有不连续性质的形函数来代表计算区域内的间断，在计算过程中，不连续场的描述完全独立于网格边界，在处理断裂问题有较好的优越性。

利用扩展有限元，可以方便的模拟裂纹的任意路径，还可以模拟带有孔洞和夹杂的非均质材料。

扩展有限元是以标准有限元的理论为框架，保留传统有限元的优点，目前商业软件中如Abaqus 等都加入扩展有限元的分析模块。

扩展有限元以有限元为基本框架，主要针对不连续问题进行研究，相对于传统有限元方法，它克服了裂纹扩展问题的不足。

其采用节点扩展函数，其中包括2个函数:裂纹尖端附近渐进函数表示裂纹尖端附近的应力奇异性;间断函数表示裂纹面处位移跳跃性。

整体划分位移函数表示为αααI =I I I =∑∑++=b x F a x H u x N x u N i )(])()[()('411式中:)(x N I 为常用的节点位移函数；I u 为常规形状函数节点自由度，适用于模型中的所有节点；)(x H 为沿裂纹面间断跳跃函数；I a 为节点扩展自由度向量，这项只对形函数被裂纹切开的单元节点有效；)(x F α为裂纹尖端应力渐进函数；αI b 为节点扩展自由度向量，这项只对形函数被裂纹尖端切开的单元节点有效。

沿裂纹面间断跳跃函数)(x H 表达式为：otherwisen x x if x H 0)(11)(*≥-⎩⎨⎧-= 式中:x 为样本点；*x 距x 最近点；n 为单位外法线向量。

各向同性材料的裂纹尖端渐进函数)(x F α表达式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2cos sin ,2sin sin ,2cos ,2sin )(θθθθθθαr r r r x F 裂纹尖端的渐进函数并不局限于各向同性弹性材料的裂纹建模。

摘要复合材料结构的连接形式主要分为胶接和机械连接，随着复合材料在航空航天领域的广泛应用，胶接因其在复合材料结构连接中的优良特性日益受到结构设计人员的青睐，具有连接效率高、结构轻、抗疲劳、密封性好等优点。

然而胶接设计也具有很大的挑战性，在结构强度计算中，胶接连接接头部位一般为危险部位，需要重点校核。

所以，对复合材料胶接接头的设计分析是十分必要的。

本选题利用成熟的有限元商用软件ABAQUS，使用XFEM（扩展有限元法）对胶层和复合材料层的应力场等进行分析。

通过分析计算这些应力，同时应用相应的失效准则，进而可预测初始裂纹的扩展与否及扩展的长度，为胶接接头设计的选择提供必要的依据。

在文章中，讨论了胶接长度、胶层厚度和初始裂纹的位置对裂纹扩展的影响。

通过对仿真结果的分析，提出了减小胶接长度和胶层厚度的观点，指出裂纹易于产生及扩展的区域，对胶接接头的设计进行了优化。

胶接接头的优化设计对拓宽复合材料在飞机结构上的应用范围，进一步减轻结构重量、提高疲劳性能和降低制造成本具有重要的工程使用价值。

关键词:复合材料板胶接接头扩展有限元裂纹扩展AbstractThe joint methods of composite structure contain cementing and mechanical connection.. With the use of composite in the field of aviation increased a lot in recent years for its high strength and lightness, the cementing is increasingly favored by the structure design staff for its excellent characteristics in the connection field of composite structure. The characteristics are high ligation efficiency, light structure, antifatigue and good sealing. However, glued design also has a great challenge. In the structural strength calculations, glued joints are generally connected to dangerous parts and need to focus on checking. Therefore, the design and analysis of composite bonded joint is very necessary.The topic use the sophisticated and commercial software -ABAQUS, in the field of finite element, and use XFEM ( extended finite element method ) as the foundation to analysis the stress field of bonding layers and composite layers. By analyzing and calculating these stresses, while applying the appropriate failure criterion, we can predict the initial crack extension and the length of the expansion. In this way, it can provide the necessary basis for the design of bonding joints. In the article, we discussed the impact of the bonding length, layer thickness and initial crack location on crack propagation. Through the analysis of simulation results, we presented two standpoints of reducing the length of bonding joint and the thickness of adhesive. Besides, we pointed the areas where cracks are easy to generate and expand. Optimal design of adhesive joints in composite materials has important engineering value to broaden the scope of application of the aircraft structure and further reduce the structural weight, improve the performance of fatigue and reduce manufacturing costs.Keywords:Composite plates, Adhesive joints, XFEM, Crack extension目录摘要 (I)Abstract ....................................................... I I 目录.......................................................... I II 第一章引言.. (1)1.1导言 (1)1.2胶接连接 (2)1.2.1 简介 (2)1.2.2胶接连接应当注意的问题 (3)1.2.3胶接连接研究现状 (3)1.3 胶接接头 (4)1.3.1胶接接头简介 (4)1.3.2胶接接头的基本形式 (5)1.3.3胶接接头的破坏模式 (6)1.3.4胶接接头处可能出现的裂纹及其影响 (7)第二章复合材料损伤和胶接连接的力学模型 (8)2.1导言 (8)2.2复合材料层板强度预测 (8)2.3复合材料和胶层断裂准则 (10)第三章利用ABAQUS建立复合材料胶接接的有限元模型 (13)3.1扩展有限元方法和工程软件ABAQUS简介 (13)3.1.1传统有限元方法 (13)3.1.2扩展有限元方法及基本原理 (14)3.1.3ABAQUS简介 (15)3.2利用ABAQUS建立复合材料板胶接模型的过程 (16)3.2.1几何模型的建立和约束条件 (16)3.2.2材料属性 (17)3.2.3定义接触 (19)3.2.4 对于XFEM定义 (19)第四章基于裂纹扩展分析的单面搭接接头设计 (21)4.1复合材料胶接接头在纵向载荷下的受力分析 (21)4.2不同搭接长度下胶接接头的裂纹扩展情况 (23)4.2.1搭接长度为15mm的情况 (23)4.2.2搭接长度为10mm的情况 (25)4.2.3搭接长度为20mm的情况 (26)4.2.4不同搭接长度下裂纹情况的对比及结论 (28)4.3不同胶层厚度下胶接接头的裂纹扩展情况 (29)4.3.1胶层厚度为0.1mm的情况 (29)4.3.2胶层厚度为0.2mm的情况 (31)4.3.3胶层厚度为0.3mm的情况 (33)4.3.4不同胶层厚度下裂纹情况的对比及结论 (34)带五章基于裂纹扩展的斜面搭接接头设计 (37)5.1斜面搭接接头在纵向载荷下的受力分析 (37)5.2不同裂纹位置下胶接接头的裂纹扩展情况 (38)5.2.1选取的三种不同裂纹位置 (39)5.2.2裂纹的扩展情况 (40)5.2.3三种情况对比及结论 (42)5.3单面搭接和斜面搭接情况的对比 (43)第六章全文总结及展望 (46)6.1全文总结 (46)6.2展望 (47)致谢辞 (49)参考文献 (50)第一章引言1.1导言复合材料作为一种新材料，在最近的半个多世纪中飞速发展，由于复合材料采用纤维加强结构，使得复合材料具有比重小、比强度和比模量大的特点，并且由于采用的是铺层结构，制造过程简单，容易成型。

基于扩展有限元的碳纤维复合材料裂纹扩展仿真韩少燕 门 静 韩海燕（西安交通大学城市学院，陕西 西安 710018）引言 碳纤维复合材料以其良好的力学性能被广泛的应用于汽车、航空航天等领域[1]。

碳纤维层合板在实际使用过程中容易受到冲击载荷产生大变形弯曲，导致局部产生应力集中与应变从而引起材料损伤，例如基体开裂、纤维断裂后或者层间分层等，材料损伤扩展会进一步导致力学性能降低，从而导致材料失效最终结构失效。

扩展有限元通过引入富集函数来修正传统有限元的近似位移函数，以描述间断界面，使间断的描述独立于有限元网格，避免了计算过程中的网格重构[2]。

本文采用扩展有限元法模拟了碳纤维复合材料层合板在弯曲载荷作用下的开裂过程，以预测材料抵抗外力损伤的性能。

1、扩展有限元 扩展有限元是以美国西北大学Belytschko 教授为首的研究组于1999年提出的一种求解不连续问题的数值方法，该方法可有效的求解强和弱不连续问题[2-3]。

扩展有限元的基本原理是基于单位分解法在传统有限元位移模式中加入特殊函数（加强函数），从而反应不连续性的存在，不同类型的不连续问题，只是加强函数不同而已。

1.1单位分解法单位分解法是Melenk 和Bubska 及Duarte 和Oden 于1996年先后提出的。

对于求解区域Ω，单位分解法用一些相互交叉的子域ΩI 来覆盖，每个子域都与一个函数()I ϕx 相联系。

函数()I ϕx 仅在ΩI 内非零，且满足单位分解条件()1I Iϕ=∑x (1)Duarte 和Oden 用K 阶移动最小二乘近似函数来构造单位分解，即1()()[()]mh k I iI i Ii b q ϕ==+∑∑ u x x u x (2) 其中：()i q x 可以是单项式基。

系数是未知量，可以通过Galerkin 法或配点法求解。

为了提高逼近精度，或满足对待定问题的特殊逼近要求，也可以包含其他一些形式的函数（称之为加强基函数）。

扩展有限元方法和裂纹扩展1.1 扩展有限元方法（XFEM ）基本理论1999年，美国Northwestern University 的Belytschko 和Black 领导的研究小组提出了扩展有限元方法，为解决裂纹这类强不连续问题带来了曙光。

他们正式应用扩展有限元法（XFEM ）这一专业术语是在2000年，截止到目前，扩展有限元法（XFEM ）成为我们解决强不连续力学问题的最有效的数值计算方法，也成为计算断裂力学的重要分支。

XFEM 在有限元的框架下进行求解，无需对构件内部的物理界面进行网格划分，具有常规有限元方法的所有优点。

它最明显的特点是用已知的特征函数作为形函数来使传统有限元的位移得到逼近，进而克服了在裂纹尖端和变形集中处进行高密度网络划分产生的困难，方便地模拟裂纹的任意路径，而且计算精度和效率得到了显著的提高[6]。

扩展有限元方法是将已知解析解的特征函数作为插值函数增强传统有限元的位移逼近，来使得单元内的真实位移特性得以体现，裂纹尖端和物理或几何界面独立于有限元网格。

XFEM 主要包括以下三部分内容：首先是不考虑构件的任何内部细节，按照构件的几何外形尺寸生成有限元网格；其次，采用水平集方法跟踪裂纹的实际位置；根据已知解，改进影响区域的单元的形函数，来反映裂纹的扩展。

最后通过引入不连续位移模式来表示不连续几何界面的演化。

因为改进的插值函数在单元内部具有单元分解的特性，其刚度矩阵的特点与常规有限元法的刚度矩阵特性保持一致。

单元分解法(Partition Of Unity Method)和水平集法（Level Set Method ）、节点扩展函数构成了扩展有限元法的基本理论，其中，单元分解法是通过引入加强函数计算平面裂纹扩展问题，保证了XFEM 的收敛性；水平集法是跟踪裂纹的位置和模拟裂纹扩展的常用数值方法，任何内部几何界面位置都可用它的零水平集函数来表示。

(1)单元分解法的基本思想是任意函数()x φ都可以用子域内一组局部函数()()x x N I ϕ表示，满足如下等式：()()()x x N x II ϕφ∑= （1）其中，它们满足单位分解条件：f I Iåx ()=1 ()x N I 是有限元法中的形函数，根据上述理论，便可以根据需要对有限元的形函数进行改进。

重力坝开裂过程扩展有限元数值模拟靳旭;董羽蕙【摘要】扩展有限元法(XFEM)是一种求解不连续问题的数值方法.它继承了常规有限元法(CFEM)的所有优点,在模拟裂纹扩展、界面、复杂流体等不连续问题时特别有效,近十多年得到了快速发展.介绍了XFEM的基本原理,给出了进行混凝土裂纹扩展分析的方法.利用XFEM模拟混凝土重力坝裂纹扩展,通过对比有、无裂纹情况下的重力坝应力分布,分析裂纹存在对重力坝应力场分布的影响；分析裂纹扩展受网格疏密程度的影响；计算在不同岩基弹性模量下裂纹的扩展方向.%Extended finite element method(XFEM)is a numerical solution for analyzing discontimuity problem . It inherited all the advantages of the conventional finite element method (CFEM) , in the simulation of crack extension , interface, complex fluid and other discontinuities are particularly effective , in the past decade it has been rapid development. The basic theory of XFEM in introduced and the method of analyzing concrete fracture is presented. The XFEM is utilized to simulate the crack propagation in concrete gravity dam. By the contrast of stress distribution under no crack and crack circumstance of gravity dam the discipline of stress field distribution is analyzed; It is also used for influence of mesh density to crack propagation and is calculated the crack propagation direction in batholith elastic modulus.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2012(012)033【总页数】6页(P9100-9104,9109)【关键词】重力坝;扩展有限元法;裂纹扩展;网格疏密;弹性模量【作者】靳旭;董羽蕙【作者单位】昆明理工大学建筑工程学院,昆明650500;昆明理工大学建筑工程学院,昆明650500【正文语种】中文【中图分类】TV313;TV642.3实际工程中，无论采用多么严格的裂缝控制措施，混凝土结构仍然会带裂缝工作。

扩展有限元法求解应力强度因子茹忠亮;申崴【摘要】在常规有限元单元形函数中加入模拟裂纹不连续位移场的跳跃函数，在裂纹尖端构造反映位移场奇异性的裂尖增强函数，采用相互作用积分法求得裂尖应力强度因子．算例结果表明，扩展有限元方法在分析断裂力学问题时具有计算精度高，对有限元网格依赖性小，操作简便等优点．%Based on the traditional finite element shape functions, Heaviside functions were introduced to simulate the discontinuity in the displacement field of a crack, and the near crack tip enrichment functions were constructed to represent the near tip asymptotic field, an interaction integral method was adopted to calculate the stress intensity factors. The results show that the extended finite element method has high precision in the analysis of fracture mechanics problems, and that the crack location was independent of the FEM mesh, which provides a simple and efficient treatment of cracks.【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)004【总页数】5页(P459-463)【关键词】断裂力学;裂纹;扩展有限元;应力强度因子【作者】茹忠亮;申崴【作者单位】河南理工大学土木工程学院,河南焦作454000;河南理工大学土木工程学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】TV3130 引言应力强度因子是表征外力作用下弹性体裂纹尖端附近应力场强度的一个重要参量，是判断裂纹是否进入失稳状态的重要指标．计算应力强度因子的方法有解析法和数值法，其中解析法包括复变函数法、积分变换法、权函数法等，这些方法仅能对边界条件简单的问题进行求解，而工程中应用更为广泛的是边界元法、有限单元法等数值算法．Irwin首先提出了I型裂纹尖端局部应变能积分公式，并研究了有限元数值算法[1]；Rybicki假设虚拟裂纹后面的张开位移与实际裂纹尖端前面位移近似相等，提出了虚拟闭合裂纹法[2]；Raju采用高阶单元和奇异单元对裂纹尖端位移场进行模拟，并对I型裂纹强度因子进行了计算[3]；Xie采用哑结点断裂单元对二维裂纹静态和动态应力强度应子进行了分析[4]．以上研究可知，对于含有裂纹的弹性体，一方面在裂纹面上产生不连续位移场，另一方面在裂纹尖端又会产生应力集中，而采用基于连续介质理论的有限单元法对其进行计算时，通常需要对裂纹尖端网格加密、或引入奇异单元，造成操作复杂、通用性差等不便．Belytschko与Mo⊇s基于单位分解的思想，在有限元位移函数中加入跳跃函数及裂尖增强函数，提出扩展有限元方法[5-6]，成为基于有限元方法解决不连续问题最有效的数值方法[7-10]．本文基于扩展有限元理论，对四边形单元跳跃函数及裂尖增强函数进行分析，结合相互作用积分法对复合型裂纹应力强度应子进行求解，推导出有限元列式，以中心斜裂纹板拉伸问题为例，计算裂尖应力强度因子KI，KII，并与其它方法进行了对比验证．1 扩展有限元基本原理1.1 位移函数如图1所示，在有限元计算网格内嵌入一条裂纹，由断裂力学理论可知，裂纹面两侧位移场不再连续，而出现跳跃变化，同时在裂纹尖端存在着应力、应变集中．为了能够描述裂纹面两侧位移间断，以及裂尖附近位移场的奇异性，Belytschko基于单位分解的思想，在常规有限元的基础上，加入了反映裂纹面的跳跃函数和裂尖增强函数[5].，(1)式中：i为所有结点的集合；j为被裂纹完全贯穿单元的结点集合(图1中‘○’表示)；k为含有裂尖单元的结点集合(图1中‘□’表示)；Ni，Nj，Nk分别为相应结点的形函数，ui，aj，分别为相应结点的位移；H(x)为跳跃函数，反映裂纹面位移的不连续性，且有(2)φα(x)为裂尖增强函数，反映裂尖位移场的奇异性，在以裂纹尖端为原点的极坐标系中φα(r,θ),,θ, θ，(3)其中r,θ为以裂纹尖端为坐标原点的极坐标系．图1中，4结点四边形单元(图1中单元a)常规有限元形函数N1为N1=0.25(1-r)(1-s)，(4)式中：r，s为等参单元局部坐标．形函数N1位移场如图2所示，在单元内位移场连续分布，若裂纹穿过四边形单元的相对边(图1中单元b)，则考虑裂纹两侧位移场的间断性，采用跳跃函数加强后的位移场如图3所示，若裂纹穿过四边形单元的邻边(图1中单元c)，加强后的位移场如图4所示．由图3和4可见，由于裂纹贯穿四边形单元，原来的连续位移场被打破，在裂纹面上形成位移的跳跃，采用H(x)函数加强后，能够对裂纹所造成的位移间断性进行合理的描述．裂尖加强函数φa(r,θ)如图5所示，为一组以裂纹尖端为原点的极坐标函数，并且在θ=±π处，即裂纹面上不连续．通过计算裂纹尖端与裂尖单元加强结点(图1中‘□’表示)的距离r及与裂纹面的夹角θ，代入裂尖加强函数φα(r,θ)，实现对裂尖单元位移场奇异性的模拟．1.2 有限元离散方程与常规有限元类似，将有限元近似位移函数(2)代入虚功方程，可得到离散方程：[k]{d}={f}，(5)式中：[k]为整体刚度矩阵，由单元刚度矩阵(式(6))集成：{d}为结点位移向量；{f}为等移结点截面向量.，(6)Ω (r,s=u,a,b)，(7)式中：为形函数的偏导数，，分别对应常规单元，裂纹贯穿单元和裂尖单元)，具体表示公式为，，(α=1～4)，为结点位移向量{d}中包括常规单元结点、裂纹贯穿单元结点及裂尖单元结点的位移，即{di}={ui,ai,,,,.(8)等效结点荷载向量{f}，由各单元等效结点荷载集合而成．设物体在边界条件下处于平衡状态，Γt,Γu,Γc分别为外力边界、位移边界、裂纹边界，ft,fb分别表示体力和外力．,,,,,，(9)式中，ΓΩ，ΓΩ，ΓΩ.2 相互作用积分求解应力强度因子线弹性断裂力学理论中，关于路径无关积分方法有J积分、L积分、M积分等．文献[11]研究结果表明，对于预先存在的微裂纹形成而引起的系统总能量的变化描述，相互作用积分提供的总能量释放的描述比能量释放率的描述更加自然、合理．对于复合裂纹，J积分与相应的应力强度因子有下列的关系,即，(10)式中E*与杨氏模量E和泊松比v的关系为E*.(11)考虑2种应力状态，状态，,为真实状态，状态,,为辅助状态，以状态2为渐近场，2种状态和的J积分为σ1j-Γ，(12)整理式(12)得J(1+2)=J(1)+J(2)+M(1,2)，(13)其中M(1，2)为状态1、2的相互作用积分M=[Wσ-σσΓ，(14).(15)式(13)可以写成(17)令，，可得到状态1的I型裂纹应力强度因子为.(18)同理令，，得到状态Ⅰ和Ⅱ型裂纹应力强度因子为.(19)3 算例分析中心斜裂纹拉伸板复合型断裂问题为例(图6).设W=2.5 m，h=5.0 m，a=1.0 m，材料参数E=200 GPa，v=0.3．板中心设置倾角θ=45°裂纹，采用本文方法计算裂纹尖端断裂因子KI，KII，并与文献[12]和[13]的虚拟裂纹闭合法计算结果进行比较(表1)．表1 无量纲应力强度因子Tab.1 Non-dimensional stress intensity gene计算方法KIσπaKIIσπa解析法0.571 90.529 0虚拟裂纹闭合法0.561 50.515 6扩展有限元法0.569 20.518 9图7为采用扩展有限元法计算得到裂纹倾角θ=45°时等效应力分布图.由于裂纹的存在，造成位移场不连续，裂纹面两侧应力很小，而在裂纹尖端则产生应力集中；表1对裂尖I型、II型应力强度因子无量纲处理，计算结果比虚拟裂纹法更接近解析解．扩展有限元在计算断裂力学问题时具有较高的计算精度，完全可以满足工程计算要求，同时在建立裂纹模型时，并没有刻意地按照裂纹的走向布置实体单元，只是很简单地在实体单元上设置一条表示裂纹的线段，在处理裂纹问题时更灵活、简便．4 结语扩展有限元通过在传统有限元形函数的基础上增加跳跃函数及渐近位移场函数反映裂纹力学行为，既保留了传统有限元的所有优点，又克服了在裂纹面及裂纹尖端高应力和变形集中区进行高密度网格剖分所带来的困难，结合相互作用积分法对复合型裂纹应力强度因子计算结果表明：裂纹设置与有限元网格不必保持一致，简化了前处理工作；应力强度因子计算结果精度高，为断裂力学数值分析提供了一种可靠的计算方法．参考文献：[1] IRWIN G R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate[J]. Journal of Applied Mechanics, 1957, 24(3): 361-364.[2] RYBICKI E F, KANNINEN M F. A finite element calculation of stress intensity factors by a modified crack closure integral[J]. Engineering Fracture Mechanics, 1977, 9(4): 931-938.[3] RAJU I S. Calculation of strain-energy release rates with higher-order and singular finite elements[J]. Engineering Fracture Mechanics，1987,28(3): 251-274.[4] XIE D, SHERRILL B, BIGGERS J. Calculation of transient strain energy release rates under impact loading based on the virtual crack closure technique[J]. International Journal of Impact Engineering, 2007, 34(6): 1047-1060.[5] BELYTSCHKO T, BLACK T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing[J]. International Journal for Numerical Method in Engineering, 1999, 45(5): 601-620.N, DOLBOW J, BELYTSCHKO T. A finite element method for crack growth without remeshing[J]. International Journal for Numerical Method in Engineering，1999, 46(1): 131-150 .[7] 茹忠亮,朱传锐,赵洪波.基于水平集算法的扩展有限元方法研究[J].工程力学,2011,28(7):20-25.[8] 茹忠亮,朱传锐,赵洪波.断裂问题的扩展有限元算法研究[J].岩土力学,2011,32(7):2171-2176.[9] 郭历伦,陈忠富,罗景润.扩展有限元方法及应用综述[J].力学季刊,2011,32(4):612-625.[10] 潘坚文,张楚汉,徐艳杰.用改进扩展有限元法研究重力坝强震断裂过程[J].水利学报,2012,43(2):168-174.[11] 王德法,高小云,师俊平.三维固体问题中M积分与总势能变化关系的研究[J].水利与建筑工程学报,2009,3(7):36-38.[12] MURAKAMI Y. Stress Intensity Factors Handbook[M]. New York: Pergamon, 1987.[13] 谢德,钱勤,李长安.断裂力学中的数值计算方法及工程应用[M].北京:科学出版社,2009.。