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作者： 冯贤桂
作者机构： 重庆大学工程力学系 讲师
出版物刊名： 中国大学教学
页码： 38-40页
主题词： 挠曲线;拉氏变换;边界条件;初值条件;等效载荷;静定梁;中都;约束反力;拉普拉斯变换;一阶导数
摘要： 梁的弯曲变形的计算就是求解挠曲线近似微分方程,使求得的挠曲线满足一定的边界条件。
利用拉氏变换我们可以把挠曲线微分方程化为象函数的代数方程,由这个象函数的代数方程求出象函数,然后由拉氏逆变换就可得到挠曲线微分方程的解。
很多文献中都采用奇异函数来计算梁的弯曲变形,本文在此方法的基础上引入奇异函数的拉氏变换,使求解过程进一步简化。
1.基本公式计算梁的变形时,采用如下挠曲线近似微分方程。
第49卷第12期中南大学学报(自然科学版) V ol.49No.12 2018年12月Journal of Central South University (Science and Technology)Dec. 2018 DOI: 10.11817/j.issn.1672−7207.2018.12.010用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形吴晓，刘奇元，罗佑新(湖南文理学院机械工程学院，湖南常德，415000)摘要：为得到不同模量梁弯曲正应力及挠度的实用计算公式，采用材料力学方法分析复杂外载荷下的不同模量梁的弯曲变形，将材料力学方法得到的计算结果与弹性理论方法得到的计算结果进行比较。
研究结果表明：用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形不但计算精度较高，而且计算过程也简便，克服了弹性理论存在一题一解及计算过程复杂繁琐的缺陷；不同模量梁的剪切形状因子与不同模量材料的拉压弹性模量有关，而各向同性材料梁的剪切形状因子与材料的弹性模量无关。
关键词：材料力学；模量；梁；弯曲变形；剪切；形状因子中图分类号：O341 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2018)12−2972−07Research of bending deformation of beam withdifferent modulus by material mechanics methodWU Xiao, LIU Qiyuan, LUO Youxin(College of Mechanical Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)Abstract: In order to get the practical calculation formulas of bending normal stress and deflection of the beam with different modulus, the material mechanics method was used to research the bending deformations of the beam with different modulus under external load. The calculation results obtained by the material mechanics method were compared with those obtained by the elastic theory. The results show that the accuracy is high and the procedure is simple for calculating the bending deformations of the beam with different modulus. This method overcomes the defects of elastic theory that one problem is with one solution and that the calculation process is complicated and cumbersome. The shear shape factor of the beam with different modulus is related to the elastic modulus of tension and compression of the different modulus material, and the shear shape factor of the beam with isotropic material is independent of the elastic modulus.Key words: material mechanics; modulus; beam; bending deflection; shear; shape factor不同模量材料已经在工程中得到广泛应用[1−7]。
目录引言 (2)一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2)1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2)1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5)1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7)1.4 圣维南原理 (9)1.5 工程结构实例分析 (11)二圆轴扭转 (15)2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15)2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15)2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15)(1) 横截面上的切应力 (15)(2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15)三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20)3.1 梁的弯曲内力、变形 (20)3.2 弯曲应力 (27)3.3 工程实例： (31)四、压杆稳定 (35)4.1、压杆稳定的概念 (35)4.2、临界压力 (35)4.3、三类压杆的临界载荷 (36)4.4、压杆稳定性计算 (36)4.5 工程实例4 (38)引 言《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。
为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。
本研究内容包括三部分：（1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画；（2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。
（3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。
一 杆件受拉压的内力、应力、变形1.1轴向拉压的内力、轴力图在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。
奇异函数在材料力学中的应用奇异函数是一类特殊的函数，它们在某些点上的值无限大或无限小，但在其他点上却是有限的。
在数学中，奇异函数是研究的重要对象之一，但在材料力学中，奇异函数也有着非常重要的应用。
在材料力学中，奇异函数主要应用于弹性力学和塑性力学的研究中。
在弹性力学中，奇异函数被用来描述材料的应力和应变的分布情况。
在塑性力学中，奇异函数则被用来描述材料的变形和塑性区的分布情况。
在材料的弹性变形中，应力和应变的分布是非常关键的。
奇异函数可以用来描述材料中的应力和应变分布情况，从而更好地理解材料的弹性行为。
例如，在弹性体中应力分布的奇异函数解可以用来描述弹性体在表面上的应力分布情况，而应变分布的奇异函数解则可以用来描述弹性体在内部的应变分布情况。
在材料的塑性变形中，奇异函数同样可以起到重要的作用。
塑性区的分布情况影响着材料的塑性行为，而奇异函数可以用来描述塑性区的分布情况。
例如，在金属的拉伸过程中，金属表面上的应力是不均匀的，塑性区的分布也是不均匀的。
这时，奇异函数可以用来描述金属表面上的应力分布和塑性区的分布情况，从而更好地理解金属的塑性行为。
除了在弹性力学和塑性力学中的应用，奇异函数还可以在材料的断裂力学和疲劳力学中起到重要的作用。
在断裂力学中，奇异函数可以用来描述材料的裂纹尖端的应力和应变分布情况，从而更好地理解材料的断裂行为。
在疲劳力学中，奇异函数可以用来描述材料中的应力和应变分布情况，从而更好地理解材料的疲劳行为。
奇异函数在材料力学中有着广泛的应用，它可以用来描述材料中的应力和应变分布情况，从而更好地理解材料的弹性、塑性、断裂和疲劳行为。
奇异函数的研究不仅是理论上的重要问题，也是解决实际问题的有效工具。
用奇异函数建立变参数连续梁挠度统一方程的新方法曾纪鹏【摘要】介绍了奇异函数的基本概念和运算规则,对不同的荷栽形式和构件截面变参数用奇异函数来表示,并进一步建立了连续梁的挠度统一方程,推导了两个奇异函数连乘的简化表达式.由于求解过程规整,利于编制程序实现电算化,该连续梁挠度统一方程可以用于结构分析中连续梁内力的计算.【期刊名称】《四川建筑》【年(卷),期】2011(031)001【总页数】3页(P128-130)【关键词】奇异函数;挠度方程;连续梁【作者】曾纪鹏【作者单位】华信邮电咨询设计研究院有限公司,浙江杭州,310014【正文语种】中文【中图分类】TU313.1我们通常把δ函数及其各阶导数和各阶积分的函数族称为“奇异函数”，在式子中采用麦考利(W．H．Macauley)＜＞括号来表示［1］，奇异函数的最大优越性是在处理不连续问题(例如荷载、构件截面参数等)。
以往的方法在处理不连续问题时，需要在间断处分段，在每一段分别处理，然后在交接处通过边界条件来求解，这样求解的方法导致变量很多，计算过程复杂。
而利用奇异函数来求解，不需要分段分别处理，可以列一个计算式子来统一表达，从而使问题能够完整地、简单地表述，在求解上也能够得到很大的简化，并且利于编制程序实现电算化。
奇异函数于20世纪60年代开始在力学、振动问题中得到应用，而在我国，奇异函数于20世纪70年代末80年代初才得到广泛地介绍，在力学领域的更广泛的介绍和研究则是最近十多年来的探讨的课题。
我国在进入20世纪90年代后，一些学者把奇异函数用于力学问题的求解，发表了一些学术论文，但论文数量仍然极少，把奇异函数更加深入地用于力学和结构分析中还有待于进一步研究。
在结构的分析计算中，必须求解连续梁的内力，以往的方法是要在不同荷载、截面变参数处分段，在不同段分别建立挠度方程，再联立相邻段的位移边界条件来求解，整个过程烦琐，边界条件多。
本文利用奇异函数，不再进行分段求解，而是在全长范围内统一建立挠度微分方程，从而使计算大为简化。
用奇异函数求梁的弯曲内力和变形
1．概念
挠曲线：当梁在xy 面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为xy 面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。
挠度：横截面的形心在垂直于梁轴（x 轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号v 表示。
()x f =ν
转角：横截面的角位移，称为截面的转角，用符号θ表示。
从图中可以看到，截面C 的转角C θ等于挠曲线以C 点的切线与x 轴的夹
角。
()x f dx
d tg '==
ν
θ ()dx dv
x f tg ==≈'θθ
综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程()x f =ν
2．挠曲线近似微分方程
梁轴的曲率半径ρ与弯矩M 的关系为
EI
x M x )
()(1=ρ 将微分弧段ds 放大，有如下关系：
θρd ds =，
()EI
M
x ds d =
=ρθ1 。
由于挠度很小，dx ds ≈，上式可以写成 EI
M
dx d =
θ 考虑到弯矩的符号与dx d θ一致，上式写成EI
M
dx d =θ
将dx
dv
≈
θ代入上式得出
EI x M dx
dv )
(2
''= 对EI
x M v )
('
'=
两侧积分，可得梁的转角方程为 C dx EI
x M v x +==⎰)
()('θ
再积分一次，即可得梁的挠曲线方程
D Cx dx dx EI x M x v ++⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰⎰)()(
式中C 和D 为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。
固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。
弯曲变形的对称点上转角等于零。
在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。
例：所示简支梁AB 受到集中力P 作用，讨论它的弯曲变形。
解：
①求反力并列梁的弯矩方程
P l b R A =
P l
a
R A = ②建立坐标系xAy ，分两段列出AB 梁的弯矩方程为：
AC 段 111)(Px l b
x M =
)0(1a x ≤≤ CB 段 )()(2222a x P Px l
b
x M --= )(2l x a ≤≤
③对挠曲线近似微分方程积分，将AC 和CB 两段的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。
L
2
确定积分常数 积分常数1C 、1D 和2C 、2D ，需要连续条件和边界条件来确定。
即挠曲线在C 截面的连续条件为
当a x x ==21时，21θθ= 21v v = 即：
22212)(266C a l P
a l P
b C a l Pb +--=+ 2233113)(6
66D a C a l p a l Pb D a C a l Pb ++--=++ 由上两式解得
2121,D D C C ==
此外，梁在A 、B 两端的边界条件为
01=x 时， 01=y l x =2时， 02=y
即：
0)(6
60
23
2
1=+--=l C a l P l l Pb
D 解得
021==D D )(622
21b l l
Pb C C --
== 梁AC 和CB 段的转角方程和挠曲线方程列于下表：
⎥⎦⎤2④求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为
EIl b l Pab x a x A 6)
()(1
11+-
===θθ
在梁右端截面的转角为
EIl
a l Pa
b x a
x B 6)
()(2122+=
==θθ
当b a >时，可以断定B θ为最大转角。
为了确定挠度为极值的截面，先确定C 截面的转角
)(3)(1
11b a EIl
Pab
x a x C -=
==θθ 若b a >，则转角0>C θ。
AC 段挠曲线为光滑连续曲线，而0<A θ，当转角从截面A 到截面C 连续地由负值变为正值时，AC 段内必有一截面转角为零。
为此，令0)(11=x θ，即
0)3(62
022=---
x b l EIl
Pb 解得
3
2
20b l x -=
0x 的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。
由AC 段的挠曲线方程可求得AB 梁的最
大挠度为
[])(39)(2211max 0
1
b l EIl
Pb x v x x -=
==ν。
