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材料力学课件：梁弯曲变形的叠加法

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叠加法求梁弯曲变形

叠加法求梁弯曲变形
( )F1F2 ( )F1 ( )F2
二、叠加法应用 结合查表4.2，求某特定截面的挠度和转角。
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布 载荷q,求wC及θ A、θB。
F q
A
B C
2
2
wC
wC q
wC F
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
A
B
A
q
A
F
ql 3 24EI
θ
′
B
θ
″
B
w′A w″A
θ
″
B
12 2
Fl 2 16EI
例 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和
两端截面的转角θ A、θB ，梁的抗弯刚度为EI 。
5(q 2)l 4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A1
B1
(q 2)l3 24EI
ql 3 48EI
wC 2 0
A2
B2
(q
2)(l 2)3 24EI
叠加法求梁的变形 ---基本原理及应用
一、叠加法 1.力的独立作用原理
线弹性结构发生小变形时，力对结构的作用不因 其它力的存在而改变。
2.叠加原理 线弹性梁发生小变形时，挠度和转角与载荷是线 性关系，所以几种载荷共同作用下的挠度和转角， 等于每个载荷单独作用下挠度和转角的叠加。
(w)F1F2 (w)F1 (w)F2
1）在qa单独作用时，
B
qa(qa) 2 16EI
qa 3 4EI
wA
B
a
qa 4 4EI
2）在均布载荷q单独作用时 逐段刚化法
左段刚化，BA段为悬臂梁

材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2

材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2

3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？

材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)

材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)

§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2

M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2

材料力学第5章弯曲变形ppt课件

材料力学第5章弯曲变形ppt课件

qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D

北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形

北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形

3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25

材料力学梁的弯曲变形第3节 用叠加法求梁的变形

材料力学梁的弯曲变形第3节 用叠加法求梁的变形
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。
• 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。
a
x


5ql 4 384 EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷
梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。
（2）查表得这两钟情况下
截面 B 的挠度和转角
yBq


ql3 2EI


2ql
3
（顺时针）
3EI
例6-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。
解： 1）简化、分解载荷
2）分别计算 B 截面挠度：
悬臂梁因 B 截面产生转角引
起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 载荷作用下产生的挠度 yC2
0.5qa2
qa
+
B


yA3

ql4 8EI

7ql 4 384EI

5Fl3 48EI
41ql4 5Fl3 384EI 48EI
代入数值得：
yA 3.89 103 m 3.89mm（）

ql 4 8EI
+
Bq


ql3 6EI

用叠加法求弯曲变形

用叠加法求弯曲变形

yC
3 i 1
yCi
5ql4 384EI
ql 4 48EI
ql4 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql3 24EI
ql3 16EI
ql3 3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
材料力学
材料力学
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI
d2y dx2
EIy''
M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 M i ( x) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有：
EIy''i Mi ( x)
材料力学
7-4
解 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形
为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用
yC
的情形，计算各自C截面的挠度和转角。
等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
材料力学
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B

第八章叠加法求变形(3,4,5)

第八章叠加法求变形(3,4,5)
§8-3
用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形——简捷方法 叠加法应用的条件 在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 即挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系 计算梁变形时须记住梁在简单荷载作用下 的变形——转角、挠度计算公式（见附录Ⅳ）。
3 3
pl 7 pl 3 pl wc wc1 wc 2 24 EI 48EI 16 EI

B
c
c
p
这种分析方法叫做梁的逐段刚化法。
例题2 用叠加法求AB梁上E处的挠度 E
p
p
p
wE 2
wE 1
B
wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2
wB=?
P
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
例题 2
按叠加原理得
wC wC 1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql 3 ql 3 3ql 3 A A1 A2 48EI 384EI 128EI ql 3 ql 3 7ql 3 B B1 B 2 48EI 384EI 384EI
c
c
A
P M =Pl/2 B C B

材料力学 弯曲变形PPT课件

材料力学 弯曲变形PPT课件

EIw ql x3 - q x4 Cx D 12 24
(3) 利用边界条件确定积分常数
x 0: w0 D0 x l : w 0 C ql3
24
(4) 求转角方程、挠度方程 EIw ql x q x2 0 x l
22
w q l3 6lx2 4x3
转角方程
EI为常量 EIw [ M (x)dx] dx Cx D 挠度方程
C、D 为积分常数；由边界条件和连续性条件确定。
边界条件: 固定端：w＝0；θ＝0；
铰支座：w＝0；
弯曲变形的对称点：θ＝0。
连续性条件: 挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个
值。
[例7-3-1]用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝
第七章 弯曲变形
第七章 弯曲变形
§7.1 概述 §7.2 挠曲线的近似微分方程 §7.3 用积分法求挠度和转角 §7.4 用叠加法求挠度和转角 §7.5 梁的刚度计算 §7.6 简单超静定梁 §7.7 梁的弯曲应变能 §7.8 提高弯曲刚度的措施
§7-1 概述
一、工程中的弯曲变形问题
若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工 作的平稳性。
又如，车床主轴：
若变形过大，不 仅会影响齿轮的 啮合和轴承的配 合，使传动不平 稳，磨损加快， 而且还会严重地 影响加工精度。
4
又如，如图所示轮轴： 若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工 作的平稳性等。
5
但有时又有相反要求，要求构件有适当变形，才能 符合使用要求。
如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆 行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。
24EI
w
q
w qx l3 2lx2 x3

第七章弯曲变形第二节叠加法

第七章弯曲变形第二节叠加法

B
C
wC1 3EI
l/2
l/2
F
2）令BC 不变形，只考虑AB变形
B
C C1
F
Me Fl / 2
A
C
B
2）令BC 不变形，只考虑AB变形
（ a ）在F作用下
A
5F l / 23
wC2

F
62EI
（ b ）在Me作用下
Mel / 2
B2

Me
2EI
A
解：
q
A
C
B
l/2
l/2
叠加法的要点 —— 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形 2）记住常用结论 3）必须画出叠加变形图 4）掌握叠加法的常用技巧
第五节 弯曲刚度计算
一、梁的刚度条件
w ≤w max
式中，[w] 为梁的许用挠度
二、提高梁的弯曲刚度的措施
1. 合理选材 选用弹性模量 E 较高的材料 结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义
wB2
Me
Me l / 22
4EI
A
wC2
Me

ห้องสมุดไป่ตู้
wB
M
e


B
Me
l
/ 2

M el2 16EI

M el 4EI
l 2
A
3M el2 16EI
F
2EI
EI
B
C
l/2
l/2
F Me Fl / 2
C
B
F
C
B
B2F
C2F
Me Fl / 2

材料力学课件第六章1 弯曲变形

材料力学课件第六章1 弯曲变形
代入通解得方程组： F (0) 2 Fl (0) C 0
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：

1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y

w x
x

3
F
因此有：
2

2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：

材料力学_-刘鸿文-第四版_第六章_课件__弯曲变形

材料力学_-刘鸿文-第四版_第六章_课件__弯曲变形

A
B
x l
y A
θ maxB
max
x
' Plx Px2
EI 2EI Plx 2 Px3
2EI 6EI
l
P
max 及 ωmax 都发生在自由端截面处
max
|xl
Pl 2 EI
Pl 2 2EI
Pl 2 2EI
（
）
max
|xl
Pl 3 3EI
（）
例题： 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ωmax 和最大转角 max .
B
A
B
例题：确定梁的边界条件和连续条件
A
B
C
D
边界条件
A 0 D 0, D 0
EI M(x)
A
B
C
D
连续条件
C左 C右 , C左 C右 B左 B右
例题 ： 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ωmax 和最大转角 max .
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1 (x)
| (1
''| '2 ) 32
1 M(x)
( x) EI
| ''|
(1
'2
)
3 2
M ( x) EI
| ''|
(1
2
)
3 2
M ( x) EI
在规定的坐标系中，x 轴水平向右
为正，y 轴竖直向上为正。
y
M>0

第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档

第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第九章 梁的弯曲变形
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
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11.梁弯曲变形的叠加法

11.梁弯曲变形的叠加法

（对于土木工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属 地位）
§4.5 梁的刚度计算
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看： 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载 梁的支座和荷载有关外还取决于 梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素： 下面三个因素 材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比 成反比； 材料 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I z成反比 成反比； 截面—— 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比 次幂成正比。 跨长 次幂， （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 的 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EIz） 、增大梁的抗弯刚度（ 2、减小跨长或增加支座 、 方法——同提高梁的强度的措施相同 方法 同提高梁的强度的措施相同 3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反， 一定的抵消作用） 一定的抵消作用）
θ B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, Fn ) = θ B1 ( F1 ) + θ B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +θ Bn ( Fn )
y B ( F1 , F2 ,⋅ ⋅ ⋅, Fn ) = y B1 ( F1 ) + y B 2 ( F2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + y Bn ( Fn )
D
= 0
θC左 = θC右
§4.4 叠加法计算梁弯曲变形
Me
q
梁上有分布载荷， 梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。 集中力偶。
qx 2 B 弯矩： M = M − Fx − 弯矩： e 2

材料力学第六章弯曲变形

材料力学第六章弯曲变形

以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。

第10章-梁的弯曲变形PPT课件

第10章-梁的弯曲变形PPT课件
弯矩方程M(x)不同，因而各段的转角和挠度具有不同 的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有2个， 这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。
2. 求积分常数
P D
A
M1(x) C
M2(x) PB
（1）支点位移条件：
vD 0 D 0
vA 0 vB 0
（2)连续条件： vC vC 或写 vC左成 vC右
支座条件： x 0 , vA 0, A 0
x al,
vC 0
连续条件： x a, vB左 vB右
推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲
率公式： 1 M
ρ EI z
忽略剪力对变形的影响，也可
用上式计算横力弯曲梁的变形：
P
1 M(x)
D
(x) EIz
以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在
纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力
弯曲时，曲率与弯矩成正比。
14
由数学知识可知：平面曲线的曲率公式为
主讲 韩志型
西南科技大学土建学院力学教研室
第10章 梁的变形
§10–1 概述 §10–2 梁的挠曲线近似微分方程 §10–3 用积分法求梁的变形 §10–4 用叠加法求梁的变形 §10–5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
学 时：3 关键术语：
挠度，转角，挠曲线，挠度方程，转角方程，边界条件， 连续条件，光滑条件 教学重点 ：
1
d 2v dx 2 [1 ( dv )2 ]3
dx
在小变形（小挠度） dv 1
dx 1 d 2v
略去高阶小量，得 dx 2
1 M(x)
(x) EIz
所以
d2v M(x) dx2 EIz

材料力学梁的弯曲问题

材料力学梁的弯曲问题

F2 M
F1
A
B
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水 槽壁等。
火车轴
厂房吊车梁
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面( 荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
梁的荷载和支座反力
1.5m
FRB
3m
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
具体作法是：
剪力方程： FQFQx 函数图形 弯矩方程： MMx
例4 求作图示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和
FQ2FRAF1F2
FQ2 FRB
M O
0
M 2 F R A 2 F 1 1 . 5 F 2 0 . 5 0 M 2 7 k N m
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
FQ2FRAF1F2
FQ
F1
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
当变形为微小时，可采用变
形前尺寸进行计算。
MB
1、叠加原理：当梁在各项
A
荷载作用下某一横截面上
的弯矩等于各荷载单独作
用下同一横截面上的弯矩
的代数和。
2、区段叠加法作弯矩图：
设简支梁同时承受跨间荷
MB
载q与端部力矩MA、MB的作用 。其弯矩图可由简支梁受端部
力矩作用下的直线弯矩图与跨
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qA
q L3 24 E I
qa 3 3 EI
5 q4 E I
A
FA
qA
a2
12 EI
(3 F
4 qa )
5 qa 4 F a 3 yC y FA yqA 24 E I 6 E I
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题2：求图示梁C截面的挠度
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
F=20 kN
D C
3m
1m
My
max
30
max
Iz
10103 158103 6010108
26.3MPa
max
t
40MPa
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
F q 例题1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 解：a)载荷分解如图 b)由梁的简单载
A
C
a
a
F
a
a
q
a
a
+
=
荷变形表(教材P112页)
查简单载荷引起的变形
FA
F L2 16 EI
Fa2
4 E I F L3
Fa3
y FC 4 8 E I 6 E I
§ 3 . 8 梁的强度计算
习题：铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力 [σt]= 40 MPa,许用压应力 [σc]=160 MPa。试按正应力强度条件校核
梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，
200
即翼缘在下成为⊥形，是否合理？何故？
30
单 位 （ mm ）
200
q=10 kN/m B
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
PF
A
C
B
DP
边界条件： y A 0 y B 0
yD 0 D 0
连续条件：y 左 y 右
C
C
C左
C右
变形计算、刚度条 件及超静定问题
§5.4 用叠加法计算梁的变形 §5.5 梁的刚度计算，提高刚度的途径 §5.7 超静定梁的解法
§ 5 . 4 叠加法计算弯曲变形
tg y
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
积分法计算梁的变形(EI为常数）
1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 EIy(x) M (x)
EIy( x) M (x)dx C1
EIy ( x ) ( M ( x ) dx ) dx C 1 x C 2
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶
Me
q
A
x
F
l
B
弯矩方程：M
Me
Fx
qx 2 2
Me
q
Me
q
A
x
F
l
A
M
F
x
Fs
B qx 2
M 1 2 M 2 Fx M 3 M e
弯矩的叠加原理----
M M1 M 2 M 3
梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下
q
解：1、载荷分解如图
A
C
2、查梁的简单载荷变形表
L/
L/
2
2
=
yCa
5(q 2 )L4 ; 384EI
yCb 0
A
q/ 2
C
3、叠加
L/
L/
yC yCa yCb yCa 0
2
2
(a)
q/
+
5(q 2)L4 5qL4 384EI 768EI
2
A
C
q/
L/
2L/
(b)
2
2
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题3：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。
解：1) 结构分解如图
A
2) 查梁的简单载荷变形表
L
C
q
a
B
=+
（a’）
q
q
（a）
A
L C
aB
C
B
M=qa2
M M1 M 2 M 3
梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下
的弯矩的代数和。
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
叠加法计算梁的变形
EI y M ( x)
y y1 y 2 y 3 M ( x ) M 1 M 2 M 3
y
y
1
y
2
y
3
y y1 y2y3
一、前提条件：线弹性、小变形
的弯矩的代数和。
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶
Me
q
A
x
F
l
B
弯矩方程：M
Me
Fx
qx 2 2
EIy M ( x )
Me
q
A
x
F
l
E Iy 1 M 1 ( x )
E I y 2 M 2 ( x )
B
E I y 3 M 3 ( x )
弯矩的叠加原理----
mm4
2
6010cm4
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
F=20 kN
D C
3m
1m
200
yc
z
My
max
30
max
Iz
20103 230 158103
6010108
24MPa
max
F
C
y
四、挠曲线方程和转角方程
y = y（x） ……挠曲线方程 挠度向下为正；向上为负
y
挠度：横截面形心沿垂 直于轴线方向的位移 用“y” 表示
转角：横截面绕中 性轴转过的角度 用“” 表示
θ=θ(x) ……转角方程
由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。
五、挠度和转角的关系 y( x) y tg
二、叠加原理：各载荷同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等
于各载荷分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B (F1, F2,, Fn) B1(F1) B2 (F2) Bn(Fn)
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn (Fn )
三、叠加法的适用性： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
A
F=20 kN
30
D C
2m
3m
1m
§ 3 . 8 梁的强度计算
解 ： 1)计算T形界面的形心
和惯性矩
y 200
30
y 200 30 100 200 30 215
c
2 200 30
200
158mm
yc
z
30
112 30 2003 200 30 582
I zc
1
200
303
12
200 30215 158
t
40MPa
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
My
max
30
max
Iz
20 103158103 6010 108
52.6MPa
max
c
160MPa
F=20 kN
D C
3m
1m