第十六讲 抛物线(教师版)

第十六讲 抛物线【知识要点】1．抛物线的概念:平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0 焦点 )0,2(P F )0,2(P F -)2,0(P F)2,0(P F -离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向向右向左向上向下3. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径2||0px PF +=.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。

）4. 过抛物线焦点的弦长p x x px p x AB ++=+++=212122. 5．直线与抛物线的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx ＋m ，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0.①相切：k 2≠0，Δ＝0；②相交：k 2≠0，Δ>0；③相离：k 2≠0，Δ<0.6．抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦叫抛物线的通径，抛物线)0(22>=p px y 的通径长为p 2.7．抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过F 的焦点弦AB 的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AF |＝x 1＋p 2＝p 1－cos θ； |BF |＝x 2＋p 2＝p 1＋cos θ； |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ.(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． (6)以AF 或(BF )为直径的圆与y 轴相切．【课前小练】1．(2014·安徽文)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案 A解析 抛物线方程化为x2＝4y ，准线方程为y ＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2-=x ，则抛物线的方程是( )A ．x y 82-=B ．x y 82=C ．x y 42-= D ．x y 42=答案 B解析 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .所以选B.3．与直线4x －y ＋3＝0平行的抛物线22x y =的切线方程是( )A ．4x －y ＋1＝0B ．4x －y －1＝0C ．4x －y －2＝0D ．4x －y ＋2＝0答案 C解析 ∵y′＝4x ＝4，∴x ＝1，y ＝2，过点(1,2)斜率为4的直线为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B5．若抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．答案1516解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516. 【例题解析】题型一 抛物线定义的应用例1 (1)动圆与定圆A ：1)2(22=++y x 外切，且和直线1=x 相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】设动圆的圆心为C ，则C 到定圆A ：1)2(22=++y x 的圆心的距离等于动圆的半径r ＋1，而动圆的圆心到直线x ＝1的距离等于r ，所以动圆到直线x ＝2距离为r ＋1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D. 【答案】 D(2)在抛物线x y 42=上找一点M ，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)，F(1,0)，求M 点的坐标及此时的最小值．【解析】 如图点A 在抛物线x y 42=的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B ，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M 在M1的位置时等号成立．此时M1点的坐标为(1,2)．【答案】 M(1,2)，最小值为4归纳小结1：“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．变式1 (1)平面内满足：2|2|)1()1(22-+=-+-y x y x 的动点),(y x 的轨迹是________． 【解析】 ∵点(1,1)在直线x ＋y －2＝0上， ∴轨迹是过点(1,1)且斜率为1的直线． 【答案】 直线(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.217B ．3 C.5 D.29【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为)0,21(F ，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于=-+22)2()21(217，选A. 题型二 求抛物线的标准方程例2 抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为52，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【思路】 首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数． 【解析】 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，∴|AN |＝ 5.∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)． ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52.故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为(0，58)，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为(0，－58)，准线方程为y ＝58.【答案】 x 2＝52y ，(0，58)，y ＝－58或x 2＝－52y ，(0，－58)，y ＝58归纳小结2：求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为)0(2≠=a ax y ，a 的正负由题设来定，也就是说，不必设为px y 22=或)0(22>-=p px y ，这样能减少计算量，同理，焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为)0(2≠=a ay x ．变式2 试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线042=--y x 上． 【解析】 (1)设所求抛物线的方程y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)．∵过点(－3,2)，∴4＝－2p (－3)或9＝2p ·2.∴p ＝23或p ＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ，对应的准线方程分别是x ＝13，y ＝－98.(2)令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，此时抛物线方程为2x ＝－8y.∴所求的抛物线的标准方程为2y ＝16x 或2x ＝－8y ，对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2.【答案】(1)y 2＝－43x 或x 2＝92y;对应的准线方程分别是x ＝13，y ＝－98(2)y 2＝16x 或x 2＝－8y;对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2 题型三 抛物线的几何性质例3 (1)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ FB 4=，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2 【解析】 利用FQ FB 4=转化长度关系，再利用抛物线定义求解．∵FQ FB 4=，∴||4||FQ FB =. ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34. ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 【答案】 C(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14【答案】 A【解析】 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x－3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆，于是依题意有|p 2＋3|＝4.因为p >0，所以有p2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.归纳小结3：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．变式3 (1)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A.3 B.5 C ．2 D.5－1【解析】 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1. 【答案】 D(2)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于C 点，若BF CB 3=，则直线l 斜率为________．【解析】作BB 1垂直于准线B 1为垂足，由抛物线定义可知，|BB 1|＝|BF |，∴|BC |＝3|BB 1|. 在Rt △B 1BC 中，tan ∠B 1BC ＝2 2. ∴tan α＝22(α为倾斜角)．由对称性可知，斜率还可等于－2 2. ∴斜率为±2 2. 【答案】 ±2 2题型四 抛物线的切线例4 (2015·湖北襄阳联考)已知抛物线C ：y x 42=的焦点为F ，P 是抛物线C 上异于原点的任一点，直线PF 与抛物线的另一交点为Q.设l 是过点P 的抛物线C 的切线，l 与直线1-=y ，x 轴的交点分别为A ，B.(1)求证：AF ⊥PQ ；(2)过B 作BC ⊥PQ 于C ，若|PC|＝|QF|，求|PQ|.【解析】 (1)设P (m ，m 24)，由x 2＝4y ，得y ＝14x 2. ∴y ′＝12x .则过点P 的切线方程为y ＝m 2x －m 24,得A 的坐标(m 2－2m ，－1)．又F (0,1)，所以FP ＝(m ，m 24－1)，FA ＝(m 2－42m ，－2)．所以FP ·FA ＝m ·m 2－42m ＋(m 24－1)·(－2)＝0. 所以AF ⊥PQ . (2)分别过B ，P 作直线y ＝－1的垂线，垂足为D ，E ， 因为BC ∥AF ，所以|FC ||FP |＝|AB ||AP |＝|BD ||PE |.因为|FP |＝|PE |，所以|FC |＝|BD |＝1.设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋1，代入C ：x 2＝4y ，得 x 2－4kx －4＝0.所以m ·x Q ＝－4，所以x Q ＝－4m ，所以y Q ＝4m 2.所以|PF |＝m 24＋1，|QF |＝4m 2＋1，所以|PC |＝m 24.由|PC |＝|QF |，得4m 2＋1＝m 24.即m 4－4m 2－16＝0，得m 2＝2＋2 5. 所以|PQ |＝m 24＋4m 2＋2＝5＋2.【答案】 (1)略 (2)5＋2归纳小结4： 焦点在y 轴上的抛物线可以看作二次函数的图像，可以借助二次函数的性质解决抛物线问题，比如可以用导数求曲线上一点的切线．变式4 已知抛物线C ：22x y =，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N . 证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行．【解析】 设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝k2，x 1x 2＝－1.∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为(k 4，k 28)．∵y ＝2x 2，∴y ′＝4x .∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为4×k4＝k ，∴l ∥AB .本课总结：(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p ，可利用题中已知条件确定p 的值．注意抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．(2)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征．题型五 直线与抛物线的位置关系例5 已知直线1)1(-+=x a y 与曲线ax y =2恰有一个公共点，求实数a 的值．【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax .(1)当a ＝0时，此方程组恰有一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.(2)当a ≠0，消去x ，得a ＋1ay 2－y －1＝0.①若a ＝－1，方程组恰有一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.②若a ≠－1，令Δ＝0，得1＋4(a ＋1)a ＝0，解得a ＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，a ＝0或a ＝－1或a ＝－45.【答案】 a ＝0或a ＝－1或a ＝－45归纳小结5：(1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况．(2)在讨论时应注意全面，如本例不要忽略a ＝0的情况．变式5 已知抛物线C 过点A(1,2)且关于x 轴对称． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线C 相切于点A ，求直线l 的方程及点A 的坐标． 【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为)0(22>=p px y ． 因为抛物线C 过点A(1,2)，所以22＝2p ×1，所以p ＝2. 所以抛物线的方程是y2＝4x ，其准线方程是x ＝－1.(2)联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，消去y ，得到(x ＋m )2＝4x ，化简得x 2＋(2m－4)x ＋m 2＝0.①因为直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线C 相切，所以方程①的判别式Δ＝0，即(2m －4)2－4m 2＝0，解得m ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1，这时方程①为x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，代入直线方程得y ＝2，所以切点A 的坐标为(1,2)．例6 已知AB 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，F 为抛物线焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 与x 轴的夹角)；(3)S △AOB ＝p 22sin θ；(4)1|AF |＋1|BF |为定值； (5)以AB 为直径的圆与抛物线准线相切． 【思路】 求(1)要写出焦点F 的坐标)0,2(p，由点斜式写出过焦点F 的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与y 2＝2px 联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB |＝|AF |＋|BF |，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可；(3)中S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ，再由面积公式求得；(4)中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求出AB 的中点M ，再证明M 点到准线的距离等于12|AB |即可．【解析】 (1)∵y 2＝2px (p >0)的焦点为F )0,2(p， 设直线方程为y ＝k (x －p2)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.① ∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.当k 不存在时，直线方程为x ＝p2.这时y 1＝p ，y 2＝－p ，则y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.因此，总有y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24成立．(2)由抛物线定义：|AF |等于点A 到准线x ＝－p2的距离．∴|AF |＝x 1＋p 2，同理：|BF |＝x 2＋p2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p .② 又∵θ≠90°时，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，∴x ＝1k y ＋p2. ∴x 1＋x 2＝1k(y 1＋y 2)＋p .由方程①知y 1＋y 2＝2p k ，∴x 1＋x 2＝2pk 2＋p .③将③代入②，得|AB |＝2p k 2＋2p ＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝2p sin 2θ. 当α＝90°，|AB |＝|y 1－y 2|＝2p ＝2psin 2θ.综上所述，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ.(3)S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF＝12|OF |·|AF |·sin(π－θ)＋12|OF |·|BF |·sin θ ＝12|OF |·sin θ·(|AF |＋|BF |) ＝12·|OF |·|AB |·sin θ ＝12·p 2·2p sin 2θ·sin θ＝p 22sin θ. (4)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.又∵x 1x 2＝p 24，代入上式得1|AF |＋1|BF |＝2p＝常数．(5)设AB 的中点为M(x0，y0)，分别过A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，N ，D ，如图．则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. ∴以AB 为直径的圆与准线相切．归纳小结6： (1)解决直线与抛物线问题时，要注意以下几点： ①设抛物线上的点为),(11y x ，),(22y x ；②因为),(11y x ，),(22y x 在抛物线上，故满足112px y =，222px y =； ③利用212214x x p y y =可以整体得到21y y 或21x x .(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，再求解．变式6 设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，A ),(11y x ，B ),(22y x ，求证： (1)若点A ，B 在准线上的射影分别为M ，N ，则∠MFN ＝90°； (2)若取MN 的中点R ，则∠ARB ＝90°； (3)以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F ；(4)若经过点A 和抛物线顶点O 的直线交准线于点Q ，则BQ 平行于抛物线的对称轴． 【证明】(1)由抛物线的定义知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. ∴∠AMF ＝∠AFM ，∠BNF ＝∠BFN. ∵AM ∥x 轴，BN ∥x 轴，∴∠AMF ＝∠KFM ，∠BNF ＝∠KFN. ∠MFN ＝∠KFM ＋∠KFN ＝90°.(2)方法一：P 为AB 的中点，有|PR |＝12(|MA |＋|NB |)＝12|AB |，则∠ARB ＝90°.方法二：易知R ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 1＋y 22，则＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2，y 1－y 22，＝⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2，y 2－y 12.∴·＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2－14(y 1－y 2)2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－14(y 21＋y 22)＋12y 1y 2＝0.∴∠ARB ＝90°. (3)∵∠MFN ＝90°，F 在以MN 为直径的圆上， ∵|AF|＝|AM|，|MR|＝|FR|， ∴∠MFA ＝∠AMF ，∠MFR ＝∠FMR. ∴∠AFR ＝∠AFM ＋∠MFR ＝ ∠AMF ＋∠FMR ＝90°. 即RF ⊥AB ，F 为垂足．因此，以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F.(4)直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ，则Q ⎝⎛⎭⎫－p 2，－py 12x 1.∵y 1y 2＝－p 2， ∴－py 12x 1＝－p 2·y 1y 212p＝－p 2y 1＝y 2.于是Q ⎝⎛⎭⎫－p2，y 2与点N 重合，因此，BQ 平行于x 轴，即BQ 平行于抛物线的对称轴． 归纳小结：1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．2．解决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质． 3．有关抛物线的题目类型，所反映的数学思想方法与椭圆、双曲线类似，因而在学习时应注意类比．4．针对y 2＝2px ，设焦点弦所在直线方程为x ＝my ＋p2即方便消元，又避免斜率不存在的情况，应该学会此法．【课后练习】1．焦点为(2,3)，准线是x ＋6＝0的抛物线方程为( )A ．)2(16)3(2-=-x yB ．)2(8)3(2+=-x yC ．)2(16)3(2+=-x yD ．)2(8)3(2-=-x y答案 C解析 设(x ，y )为抛物线上一点，由抛物线定义(x －2)2＋(y －3)2＝|x ＋6|，平方整理，得(y －3)2＝16(x ＋2)．2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析 因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．若抛物线px y 22=上一点),2(0y P 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．x y 42=B ．x y 62=C ．x y 82=D ．x y 102=答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p 2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4，∴|－p2－2|＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .4．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433 答案 D解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0，p2)，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p 4(x －2)．设M (x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p .因为y 0＝12p x 20，所以y 0＝p 6.又M 点在抛物线的切线上，即有p 6＝－p 4(33p －2)⇒p ＝433，故选D. 5．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43 答案 D解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解．抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①.由于Δ＝1－4×k 8·(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.6．(2015·郑州第一次质量预测)已知抛物线2y ＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案 C解析 由题意可设直线方程为y ＝－(x －p2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －p2)，y 2＝2px ，消参得4x 2－12px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝3p .∴p ＝2，即抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.7．过抛物线2y ＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷条D ．不存在答案 B解析 过抛物线y2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．故设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 方程为y ＝k(x －1)，代入抛物线y2＝4x ，得k2x2－2(k2＋2)x ＋k2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于5， ∴2(k 2＋2)k 2＝5，k 2＝43，k ＝±233.即这样的直线有且仅有两条．8．若直线y ＝kx ＋2与抛物线2y ＝4x 仅有一个公共点，则实数k ＝________.解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0.当k ＝0时，此方程有唯一的根，满足题意； 当k ≠0时，Δ＝(4k －4)2－16k 2＝－32k ＋16＝0，k ＝12. 故k ＝0或k ＝12均满足题意．答案 0或129．过抛物线C ：2y ＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝________.答案 163解析 ∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1，F (1,0)． 又A 到抛物线的距离为4， ∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3. ∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13. ∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.10．抛物线y ＝2x 上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值等于________．答案43解析 由抛物线的方程，可设抛物线上点的坐标为(x ，－x 2)，根据点到直线的距离公式，得d ＝|4x ＋3(－x 2)－8|42＋32＝35(x －23)2＋43.所以当x ＝23时，d 取得最小值43.。