数学数学数列多选题试题含答案

数学数学数列多选题试题含答案

一、数列多选题

1．设数列,nnab的前n项和分别为,nnST，1121,nnnSSSn，且212nnnnabaa，则下列结论正确的是（ ）

A．20202020a B．12nnnS

C．112nbnn D．1334nTn

【答案】ABD

【分析】

可由累乘法求得nS的通项公式，再由12nnnS得出nan，代入212nnnnabaa中可得112nbnn.由裂项相消法求出nT，利用数列的单调性证明1334nTn.

【详解】

由题意得，12nnSnSn，

∴当2n时，

121121112nnnnnSSSnnSSSSSnn13112nn，且当1n时也成立，

∴ 12nnnS，易得nan，∴ 20202020a，故,AB正确；

∴ 211111112222nnbnnnnnn，

∴11111111111111112324351122212nTnnnnnnnn

3111342124nnnn，

又nTn随着n的增加而增加，

∴1113nTnT，∴1334nTn，C错误，D正确，

故选：ABD.

【点睛】

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

2．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ）

A．若数列{}na的前n项和22nSn，则数列{}na为等差数列

B．若数列{}na的前n项和122nnS，则数列{}na为等比数列

C．若等比数列na是递增数列，则na的公比1q

D．数列{}na是等比数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，仍为等比数列

【答案】AB

【分析】

对于A，求出 42nan，所以数列{}na为等差数列，故选项A正确；对于B， 求出2nna，则数列{}na为等比数列，故选项B正确；对于选项C，有可能10,01aq，不一定 1q，所以选项C错误；对于D，比如公比1q，n为偶数，nS，2nnSS，32nnSS，，均为0，不为等比数列．故选项D不正确．

【详解】

对于A，若数列{}na的前n项和22nSn，所以212(1)(2)nSnn，所以142(2)nnnaSSnn，适合12a，所以数列{}na为等差数列，故选项A正确；

对于B，若数列{}na的前n项和122nnS，所以122(2)nnSn，所以12(2)nnnnaSSn，又1422a，2218224aSS， 212aa

则数列{}na为等比数列，故选项B正确；

对于选项C，若等比数列na是递增数列，则有可能10,01aq，不一定 1q，所以选项C错误；

对于D，数列{}na是等比数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，不一定为等比数列，比如公比1q，n为偶数，nS，2nnSS，32nnSS，，均为0，不为等比数列．故选项D不正确．

故选：AB

【点睛】

方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

3．记数列na的前n项和为nS，*nN，下列四个命题中不正确的有（ ）

A．若0q，且对于*212,nnnnaaaN，则数列na为等比数列

B．若nnSAqB（非零常数q，A，B满足1q，0AB），则数列na为等比数列

C．若数列na为等比数列，则232,,,nnnnnSSSSS仍为等比数列

D．设数列na是等比数列，若123aaa，则na为递增数列

【答案】AC

【分析】

若0na，满足对于*212,nnnnaaaN，但数列na不是等比数列，可判断A；利用na与nS的关系，可求得数列na的通项公式，可判断B；若数列na为等比数列，当公比1q，且n为偶数时，此时232,,,nnnnnSSSSS均为0，可判断C；设数列na是等比数列，且公比为q，若123aaa，即1211aaqaq，分类讨论10a与10a两种情况，可判断D；

【详解】

对于A，若0na，满足对于*212,nnnnaaaN，但数列na不是等比数列，故A错误；

对于B，当2n时，111(1)nnnnnnaSSAqBAqBAqq且1q；当1n时，0AB，则111aSAqBAq符合上式，故数列na是首项为1Aq公比为q的等比数列，故B正确；

对于C，若数列na为等比数列，当公比1q，且n为偶数时，此时232,,,nnnnnSSSSS均为0，不为等比数列，故C错误；

对于D，设数列na是等比数列，且公比为q，若123aaa，即1211aaqaq，若10a，可得21qq，即1q，则na为递增数列；若10a，可得21qq，即01q，则na为递增数列；故D正确；

故选：AC

【点睛】

结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q的等比数列na的前n项和为nS，则232,,,nnnnnSSSSS仍成等比数列，其公比为nq；同理等差数列和的性质：公差为d的等差数列na的前n项和为nS，数列232,,,mmmmmSSSSS构成等差数列，公差为md，考查学生的分析能力，属于中档题.

4．（多选题）已知函数22()()nnfnnn当为奇数时当为偶数时，且1nafnfn，则na等于（ ） A．21n B．21n C．21n D．12n

【答案】AC

【分析】

对n进行分类讨论，按照1nafnfn写出通项即可.

【详解】

当n为奇数时，22112121nafnfnnnnn；

当n为偶数时，221121nafnfnnnn，

所以2121nnnann当为奇数时当为偶数时.

故选：AC.

【点睛】

易错点睛：对n进行分类讨论时，应注意当n为奇数时，1n为偶数；当n为偶数时，1n为奇数.

5．（多选）设数列na是等差数列，公差为d，nS是其前n项和，10a且69SS，则（ ）

A．0d B．80a C．7S或8S为nS的最大值 D．56SS

【答案】BC

【分析】

根据69SS得到80a，再根据10a得到0d，可得数列na是单调递减的等差数列，所以7S或8S为nS的最大值，根据6560SSa得65SS，故BC正确.

【详解】

由69SS得，960SS，

即7890aaa，又7982aaa，

830a，80a，∴B正确；

由8170aad，得17ad，又10a，0d，

∴数列na是单调递减的等差数列，

0,70,9nnanNnanNn，

7S或8S为nS的最大值，∴A错误，C正确；

6560SSa，65SS，所以D错误.

故选：BC． 【点睛】

关键点点睛：根据等差中项推出80a，进而推出0d是解题关键.

6．设首项为1的数列na的前n项和为nS，已知121nnSSn，则下列结论正确的是（ ）

A．数列na为等比数列 B．数列nSn为等比数列

C．数列na中10511a D．数列2nS的前n项和为2224nnn

【答案】BCD

【分析】

由已知可得11222nnnnSnSnSnSn，结合等比数列的定义可判断B；可得2nnSn，结合na和nS的关系可求出na的通项公式，即可判断A；由na的通项公式，可判断C；

由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n项和公式即可判断D.

【详解】

因为121nnSSn，所以11222nnnnSnSnSnSn．

又112S，所以数列nSn是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；

所以2nnSn，则2nnSn．

当2n时，1121nnnnaSS，但11121a，故A错误；

由当2n时，121nna可得91021511a，故C正确；

因为1222nnSn，所以2311222...2221222...22nnSSSn

23122412122...2212...224122nnnnnnnnn

所以数列2nS的前n项和为2224nnn，故D正确．

故选：BCD．

【点睛】

关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121nnSSn可有目的性的构造为1122nnSSnn，进而得到11222nnnnSnSnSnSn，说明数列nSn是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,

7．下面是关于公差0d的等差数列na的几个命题，其中正确的有（ ）

A．数列na递增

B．nS为na的前n项和,则数列nSn是递增的等差数列

C．若nan，nS为na的前n项和，且nSnc为等差数列，则0c

D．若70a，nS为na的前n项和，则方程0nS有唯一的根13n

【答案】ABD

【分析】

选项A. 由题意10nnaad可判断；选项B.先求出112nSnadn，根据1012nnSSdnn可判断；选项C. 若nan,则12nnnS，则0c或1c时nSnc为等差数列可判断；选项D.由1602nnSdn可判断.

【详解】

选项A. 由题意10nnaad，则1nnaa，所以数列na递增，故A正确.

选项B. 112nnnSnad,则112nSnadn

所以1012nnSSdnn，则11nnSSnn，所以数列nSn是递增的等差数列. 故B正确.

选项C. 若nan,则12nnnS，则12nnnSncnc

当0c时，12+nSncn为等差数列.

当1c时，2nSncn为等差数列.所以选项C不正确.