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抛物线.板块二.抛物线的几何性质.教师版 普通高中数学复习讲义Word版

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【例1】 抛物线24y x =上点M 的横坐标为1，则点M 到该抛物线的焦点的距离为（ ）A ．3B ．2C ．1.5D ．1 【考点】抛物线的几何性质 【难度】1星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】B ；【答案】B ；【考点】抛物线的几何性质【难度】2星 【题型】选择【关键字】2010年，辽宁高考 【解析】B ；【答案】B ；【例3】 抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则（ ）A ．84ABO AB S ==△，B ．82AOB AB S ==△，C ．42AOB AB S ==△，D ．44AOB AB S ==△， 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】抛物线24x y =-的焦点为(01)-，，对称轴为y 轴，故点A ，B 的纵坐标为1-，典例分析板块二.抛物线的几何性质代入得其横坐标分别为22-，，故4AB =，14122ABC S ∆=⨯⨯-=，故选C ；【答案】C ；【例4】 过点(12)M ，且以y 轴为准线的抛物线的焦点的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【考点】抛物线的几何性质 【难度】星 【题型】选择 【关键字】无【解析】设焦点为F ，则由抛物线的性质，||1FM =．【答案】A ；【例5】 设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上一点，若4OA AF ⋅=-，则点A 的坐标是（ ）A ．(2,±B ．(2,C ．(1,2)±D ．(1,2) 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】(1,0)F ，不妨设11(,)A x y ，于是有221111111(,)(1,)4x y x y x x y ⋅--=-=--，又2114y x =，故有211340x x +-=，从而14x =-（舍去）或11x =．此时12y =±．【答案】C ；【例6】 抛物线24y x =的弦AB 过定点(20)，，则AOB ∠是（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都可能 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】选择 【关键字】无【解析】若AB 过点(40)，，则AOB ∠为直角，点(20)，在点(40)，左侧，故为钝角． 【答案】C ；【例7】 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(12)， D ．(12)-， 【考点】抛物线的几何性质【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，海南高考【解析】由抛物线的定义知，即求抛物线上的点P ，使得它到准线1x =-的距离与到点(21)Q -，的距离之和最小，如图，过Q 点作准线的垂线，与抛物线交于一点，P 为此点时，有距离和的最小值，故P 的纵坐标为1-．【答案】A ；【例8】 已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A ()02，的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）AB ．3 CD ．92【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，辽宁高考 【解析】抛物线的焦点为02⎛⎫⎪⎝⎭，，由抛物线的定义知，即求抛物线上的点到()02，与到102⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离之和的最小值，结合图象知，即为点()02，与点102⎛⎫⎪⎝⎭，的距离，为= 【答案】A ；【例9】 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．115 D ．3716【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，四川高考 【解析】直线2:1l x =-为抛物线的准线，由抛物线的定义知， P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点(10)F ，的距离， 故本题化为在抛物线上找一个点P 使得P 到点(10)F ， 和直线2l 的距离之和最小，最小值为(10)F ，到直线 1:4360l x y -+=的距离，即min 2d ==．【答案】A ；【例10】 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且||||AK AF ，则AFK ∆的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【考点】抛物线的几何性质【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，四川高考【解析】边读题边画图．28y x =的焦点(20)F ，，准线2x =-，(20)K -，．设()A x y ，，由AK =，即2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+． 化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立，解得：2x =，4y =±．因此1144822AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=．【答案】B ；【例11】 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF △（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．24y x =±B ．28y x =±C ．24y x =D ．28y x = 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，山东高考【解析】04a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，于是l 的方程为：24a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令0x =得， 02a A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．14242a a S =⨯⨯-=，解得8a =±．【答案】B ；【例12】 设抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴相交于点K ，点A 在C上且||||AK AF ，则AFK △的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】准线方程为2x =-，焦点(20)F ，．不妨设A 点在x 轴上方，如图，过A 作AH 垂直于准线于H，则||||AK AF AH ==，故||||AH HK =设()A A A x y ，，则有22248A A A A y y x y =+=+⇒=，从而2A x =，于是不难知道|||||AF KF AK =，AKF △为直角三角形，11||||44822AKF S AF FK =⋅=⨯⨯=△【答案】B ；【例13】 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若2FA FB =，则k =（ ）A ．13BC ．23D【考点】抛物线的几何性质【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，全国高考【解析】抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-，直线(2)y k x =+恒过定点(20)P -，．如图过A B ，分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，点B 为AP 的中点．连结OB ，则1||||2OB AF =，∴||||OB BF =．点B 的横坐标为1，故点B的坐标为(1，∴k ==D ．【答案】D ；【例14】 连接抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）A．1-+ B．32 C．1+ D．32【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2007年，江西高考【解析】线段FM 所在直线方程1x y +=与抛物线交于00(,)A x y ，联立214x y x y +=⎧⎨=⎩消去x得：2610y y -+=，解得032y =-（较大的值舍去），∴131(322OAM S ∆=⨯⨯-=．【答案】B ；【例15】 设抛物线22y x =的焦点为F，过点)0M的直线与抛物线相交于A B ，两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ）A ．45B ．23C ．47D ．12【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009 年，天津高考 【解析】如图，由题知121||21||212B BCF B ACF A Ax S x BC S AC x x ++===++△△， 又13||222B B BF x x =+=⇒=，∴B y =由A 、B 、M 三点共线有M A M BM A M By y y y x x x x --=--，22A x ⇒=， ∴121||31421||214152B BCF B ACF A Ax S x BC S AC x x +++=====+++△△，故选择A ． 【答案】A ；【例16】 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（ ）A ．232y x =B ．23y x =C ．292y x =D ．29y x =【考点】抛物线的几何性质【难度】3星 【题型】选择【关键字】2009年，宁夏高考模拟 【解析】D ，可知22BC BF BD ==，于是知直线AB 的倾斜角为60︒． 又3AF =，故32A p x +=，32A p x =-，)2A A p y x p ⎫=-=-⎪⎭，由23(3)232p p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得：32p =或92p =．又322p p ->，得32p =．【答案】B ；【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，崇文一模【例18】 过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB= ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2008年，江西高考【解析】由抛物线的定义知1sin30()2BF AF AB BF AF -=︒=+，于是13AF FB =． 【答案】13；【例19】 设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(02)A ，．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 ． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空【关键字】2010年，浙江高考的准线为l ，过(10)M ，．若AM MB =，则【考点】抛物线的几何性质 【难度】星 【题型】填空【关键字】2010年，全国高考 【解析】2；【答案】2；【例21】 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A ，B 是C 上的两个点，线段AB 的中点为()22M ，，则ABF ∆的面积等于 ． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2008年，全国高考【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线方程为2(2)x k y -=-，代入抛物线方程得24880y ky k -+-=，由124222y y k+==，得1k =，即直线AB 方程为y x =，因此A B ，的坐标分别为()00，，()44，，又()10F ，，故不难算出11422ABF S ∆=⨯⨯=． 【答案】2；【例22】 过抛物线24y x =的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+=_______【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设点22121244y y P y Q y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 当12||||y y ≠时，由P F Q ，，三点共线得1211222212141444y y y y y y y y -=⇒=---，又22121144y y p q =+=+，，于是2212(1)(1)144y y p q --=⋅=，从而易得111p q +=．当12||||y y =时，只可能PQ 与x 轴垂直，此时也容易验证1121p q p q==+=，．【答案】1；【例23】 直线1y kx =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，设以AB 为直线的圆为圆C ，则坐标原点O 与圆C 的关系为_______． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】∵OA OB ⊥，故原点O 在圆上．【答案】原点O 在圆上【例24】 已知P 是抛物线216y x =上的一点，它到x 轴的距离为12，则它到焦点的距离为_______． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设()P P P x y ，，则12P y =±，代入抛物线方程得212916P x ==，此抛物线的准线方程为4x =-，故P 点到准线的距离为9(4)13--=，故P 点到焦点的距离为13．【答案】13【例25】 抛物线2y x =上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _____． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星【题型】填空 【关键字】无【解析】抛物线2y x =的准线l 的方程为14x =-，焦点坐标为F 1(0)4，，设点P 为抛物线上到顶点的距离等于到准线的距离的点，由抛物线定义知，PO PF =，即点P 在线段OF 的中垂线上．线段OF 的中垂线为111(0)48x =+=，代入抛物线方程知4y =，即所求的点的坐标为1(84，或1(84-，．【答案】1(84，或1(84-，．【例26】 抛物线229y x =上一点M 到焦点的距离为738，则点M 到抛物线顶点的距离是 ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】抛物线292y x =的焦点坐标为908⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为98x =-，设00()M x y ，，由抛物线的定义知097388x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故08x =，于是06y =±，抛物线的顶点为(00)，，故所求距离为10．【答案】10；【例27】 抛物线28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，若5PF =，则点P 的坐标为_________．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】抛物线28y x =的准线方程为2x =-，由抛物线的定义知：P 点到准线的距离等于5PF =，设()P P P x y ，，有(2)5P x --=，且0P x ≥，解得3P x =，代入28y x =，解得P y =±，故点P 的坐标为(3或(3-，；【答案】(3或(3-，；【例28】 已知抛物线2112x y =上有两点P 、Q ， 若P 点的横坐标为2，则点P 到焦点的距离为_______； 若Q 点到焦点的距离为9，则Q 点的坐标为______．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空【关键字】无【解析】2211212x y y x =⇒=，它的准线方程为3x =-，由抛物线的定义知，要求P 到焦点的距离，只需求P 到准线的距离即可，又P 的横坐标为2，故P 到焦点的距离为2(3)5--=；设Q 点的坐标为()P P x y ，，则有(3)9P x --=，且0P x >，故6P x =，代入解得P y =±，故Q点坐标为(6±，； 【答案】5；(6±，【例29】 已知点(32)M ，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PM PF +取最小值时，点P 的坐标为__________．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】本题若建立目标函数来求PM PF +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．抛物线22y x =的准线l 的方程为12x =-，过P 点作PE ⊥准线l ，垂足为E ， 过M 点作MN ⊥准线l ，垂足为N ，如图， 由定义知PF PE =，故13()2PM PF PM PE ME MN +=+=--≥≥．当M 、P 、E 三点共线时，取到等号，此时P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2， 所以P 点坐标为(22)，．【答案】(22)，【例30】 对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(0)P a ，都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是_______．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】法一：当0a <时，以P 为圆心，||a a =-为半径的圆与 抛物线24y x =相切于原点，故此时满足条件；0a =时，显然满足；当0a >时，要满足条件，需要圆222()x a y a -+=与抛物线24y x =相切或相离，即22(2)0x a x +-=有且只有一个非负根，2(2)0a -≤，即02a <≤． 综上知：(2]a ∈-∞，． 法二：设()Q x y ，，则有24y x =，222222()2(2)PQ x a y x a x a a =-+=+-+≥，即(42)0x x a +-≥对所有的0x ≥恒成立，即24x a -≥对所有的0x ≥恒成立，故2402a a -⇒≤≤，即(2]a ∈-∞，． 【答案】(2]-∞，【例31】 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于A B ，两点，交其准线于C 点．若53CB BF =，则直线l 的斜率为_________．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】由题设易知B 在A C ，之间，A 在x 轴上方时，如图．过B作准线的垂线，垂足为H，由抛物线的性质及已知条件可得3||||||5BH BF BC==，且CBH AFx∠=∠，于是不难知道直线l的斜率为43．类似的，A在x轴下方时，所求斜率为43 -．【答案】43k=±；【例32】已知抛物线21y ax=-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．【考点】抛物线的几何性质【难度】星【题型】填空【关键字】2008年，全国高考【解析】由抛物线21y ax=-的焦点坐标为1(01)4a-，为坐标原点得，14a=，则2114y x=-与坐标轴的交点为(01)(20)(20)--，，，，，，以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯=．【答案】2；【例33】过抛物线216y x=上的动点P向圆22(4)1x y-+=引切线，则切线长的最小值是_______．【考点】抛物线的几何性质【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】记圆心为(40)A，，则切线长d=，先求minPA即可．∵A为抛物线的焦点，P是抛物线上任一点，故min 4PA=（此时P在原点位置），故切【例34】 若抛物线24y x =的弦AB 垂直于x 轴，且AB =则抛物线的焦点到直线AB 的距离为_________．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设直线AB 的方程为0x x =0(0)x >，于是得A B ，的纵坐标分别为±故+=02x =；抛物线的焦点为(1,0)，故它到直线AB 的距离为211-=．【答案】1【例35】 过抛物线22(0)y p x P =>的焦点F 作一直线l 与抛物线交于P Q ，两点，作11PP QQ ，垂直于抛物线的准线，垂足分别是11P Q ，，已知线段PF QF ，的长度分别是a b ，，那么11||PQ = ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】如图，由抛物线的定义知11PP a QQ b ==，，过Q 作1PP 的垂线，垂足为H ．于是11||||PQ QH ==【答案】【例36】 已知()P x y ，是抛物线28y x =-的准线与双曲线22182x y -=的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则2z x y =-的最大值为【考点】抛物线的几何性质 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】2x =-与12y x =±围成的区域，简单的线性规划．【答案】5；【例37】 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若12810x x x +++=，则128PF PF PF +++=_____． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】根据抛物线的定义，可知12ii i pPF x x =+=+（1238i =，，，，）， ∴()1281288118PF P F P F x x x +++=++++⨯=． 【答案】18；【例38】 已知圆()22:32A x y -+=，点P 是抛物线2:4C y x =上的动点，过点P 作圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为 ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，海淀一模【解析】如图，两切线夹角MPN ∠的最大值对应的点P 满足PA 有最小值．设2001,4P y y ⎛⎫⎪⎝⎭，有2222422200*********(4)8416216PA y y y y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故当点(1,2)P ±时，对应min PA =此时1sin 2MPA ==∠，从而ππ263MPN =⋅=∠． 【答案】π3；【例39】 如图，抛物线22y px =的弦12P P 交x 轴于点Q ，过1P、2P 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，求证：OQ 是OM 和ON 的比例中项．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设点1P 、2P 的坐标分别为11()x y ，、22()x y ，，则直线12P P 的方程为112121y y x x y y x x --=-- …………① 由于点Q 是直线12P P 和x 轴的交点，令0y =得点Q 的横坐标为211212x y x y x y y -=-．点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则1y =2y = 代入①，得x ==，所以2OQ OM ON =，即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项．【答案】设点1P 、2P 的坐标分别为11()x y ，、22()x y ，，则直线12P P 的方程为 112121y y x x y y x x --=-- …………① 由于点Q 是直线12P P 和x 轴的交点，令0y =得点Q 的横坐标为211212x y x y x y y -=-．点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则1y =2y =代入①，得x ==，所以2OQ OM ON =，即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项．【例40】 定长为3的线段AB 的两个端点在2y x =上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离． 【考点】抛物线的几何性质【难度】星 【题型】解答 【关键字】无【解析】方法一：可直接利用抛物线设点221122()()A x x B x x ，，，，以及AB 中点为00()M x y ，，用弦长公式及中点公式得出0y 关于0x 的函数表达式，用函数思想求出最短距离．由题设有2222121212022120()()922x x x x x x x x x y ⎧-+-=⎪+=⎨⎪+=⎩由第一个方程得221212()(1())9x x x x -++=，即 22121212(()4)(1())9x x x x x x +-++=．由后两个方程得21200242x x x y =-代入上面的式子，有2220000[42(42)](14)9x x y x --+=．化简得2200022009944(41)1154141y x x x x =+=++-=++≥，即054y ≥． 当202094141x x +=+即02x =时，0min 5()4y =，此时5()24M ±，．方法二：M 到x 轴的距离是一种“点到线距离”，可先 考虑M 到准线的距离，想到用定义．如图，22223MM AA BB AF BF AB =+=+=≥∴232MM ≥，即11342MM +≥，∴154MM ≥，当AB 经过焦点F 时取得最小值．∴M 到x 轴的最短距离为54．【答案】54【例41】 设抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】法一：因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2px my =+，代入抛物线方程得 2220y pmy p --=．若记()11A x y ，，()22B x y ，，则12y y ，是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为22p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故直线CO 的斜率为211122OA y y p k k p y x ====-． 所以直线AC 经过原点O ． 法二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，AD EF BC ∥∥． 连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||||||||EN CN BF AD AC AB ==，||||.||||NF AF BC AB = 根据抛物线的几何性质，AF AD =，BF BC =， ∴AD BF AF BC EN NF ABAB⋅⋅===．即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．【答案】法一：因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以经过点F的直线AB 的方程可设为2px my =+，代入抛物线方程得 2220y pmy p --=．若记()11A x y ，，()22B x y ，，则12y y ，是该方程的两个根，所以212y y p =-．因为BC ∥x 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为22p y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故直线CO 的斜率为211122OA y y p k k p y x ====-． 所以直线AC 经过原点O ． 法二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD l ⊥，D 是垂足．则AD EF BC ∥∥． 连结AC ，与EF 相交于点N ，则||||||||||||EN CN BF AD AC AB ==，||||.||||NF AF BC AB = 根据抛物线的几何性质，AF AD =，BF BC =， ∴AD BF AF BC EN NF ABAB⋅⋅===．即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．【例42】 自抛物线24y x =上一点(12)A ，引两弦AM 、AN ，已知两弦的斜率之和为零，求AMN △面积的最大值． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】因0AM AN k k +=知：1MN pk b=-=-，设直线MN 的方程是0x y m ++=，则点A 到直线MN 的距离d =．由204x y m y x ++=⎧⎨=⎩得：2440y y m ++=，12MN y =-=，所以132AMN S MN d ∆=⋅=+，224(1)(3)2(2-2)(3)(3)AMN S m m m m m ∆=-+++=310322332233m m m -++++⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当223m m -=+即13m =-时，max ()AMN S ∆=【答案】13m =-时，max ()AMN S ∆=【例43】 正方形ABCD 的一条边AB 在直线4y x =+上，顶点C 、D 在抛物线2y x =上，求正方形的边长．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设CD 的方程为y x b =+，由2y x b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得20y y b -+=，设11()C x y ，，22()D x y ，，则121y y +=，12y y b =，1212x x y y -=-，∴CD== 又AB 与CD的距离d =4y x =+上的一点(04)，即得）， 由ABCD2b =-或6b =-．∴正方形的边长为【答案】【例44】 曲线2y x =上两点B 、C ，O 是原点，OB BC ⊥，则当B 移动时，C 的纵坐标的范围． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设2()B t t ，，2()C y y ，，由题意知0t y t ≠≠，，∵OB BC ⊥，∴2221OB BC t y t k k t y t -=⋅=--，即111t y t ⋅=-+．∴1y t t =--．而1(0)t t t --≠的取值范围为(2][2)-∞-+∞，，（分0t >或0t <，利用基本不等式）， 所以C 的纵坐标范围为(2][2)-∞-+∞，，．【答案】(2][2)-∞-+∞，，．【例45】 证明：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形． 【考点】抛物线的几何性质【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】直接从正面思考比较困难，可以从反面来考虑，用反证法．不妨设抛物线方程为22(0)y px p =>，，如果抛物线上存在四点形成平行四边形，设这四个点1234A A A A ，，，相应的坐标为()(1234)i i x y i =，，，，，．首先不可能有两个点的纵坐标相等，否则设12y y =，则由22i i y x p=知12x x =，即12A A ，是一个点．其次不可能有一条边与x 轴垂直，若不然，设边12A A 与x 轴垂直，则1212x x y y ==-，．再由平行四边形的性质知12A A 的对边34A A 也与x 轴垂直，3434x x y y ==-， ∵1234||||A A A A =，∴2143||||y y y y -=-，即13|2||2|y y =， 于是13y y =或14y y =，这与没有两个点的纵坐标相等不符． 所以四条边都不与x 轴垂直，也就是它们的斜率都存在． 不妨设四个点按顺时针方向依次为1234A A A A ，，，， 由1234A A A A ∥，知1234A A A A k k =，∴43212143y y y y x x x x --=--，将2(1234)2i i y x i p ==，，，，代入得4321222221342222y y y y y y y y p p p p--=--，化简可得1234y y y y +=+ ………① 同理由2314A A A A ∥，可得3214y y y y +=+ ………② ①②相加，便有24y y =，这与没有两个点纵坐标相等不符． 综上可知抛物线上的四点不可能组成平行四边形．【答案】直接从正面思考比较困难，可以从反面来考虑，用反证法．不妨设抛物线方程为22(0)y px p =>，，如果抛物线上存在四点形成平行四边形，设这四个点1234A A A A ，，，相应的坐标为()(1234)i i x y i =，，，，，． 首先不可能有两个点的纵坐标相等，否则设12y y =，则由22i i y x p=知12x x =，即12A A ，是一个点．其次不可能有一条边与x 轴垂直，若不然，设边12A A 与x 轴垂直，则1212x x y y ==-，．再由平行四边形的性质知12A A 的对边34A A 也与x 轴垂直，3434x x y y ==-，∵1234||||A A A A =，∴2143||||y y y y -=-，即13|2||2|y y =， 于是13y y =或14y y =，这与没有两个点的纵坐标相等不符． 所以四条边都不与x 轴垂直，也就是它们的斜率都存在． 不妨设四个点按顺时针方向依次为1234A A A A ，，，，由1234A A A A ∥，知1234A A A A k k =，∴43212143y y y y x x x x --=--，将2(1234)2i i y x i p ==，，，，代入得4321222221342222y y y y y y y y p p p p--=--，化简可得1234y y y y +=+ ………① 同理由2314A A A A ∥，可得3214y y y y +=+ ………② ①②相加，便有24y y =，这与没有两个点纵坐标相等不符． 综上可知抛物线上的四点不可能组成平行四边形．【例46】 从抛物线22(0)y px p =>上的一个定点A 引两条倾斜角互补的弦AP ，AQ ，则直线PQ 的斜率为定值． 【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】若定点A 为顶点，则直线PQ 垂直于x 轴；若定点()A a b ，在抛物线上且不是顶点，设直线AP 的方程是()(0)x a k y b k -=-≠，由2()2x a k y b y px-=-⎧⎨=⎩得：22220y pky pkb pa -+-=， 由于22b pa =，故22222222y pky pkb pa y pky pkb b -+-=-+- 22()2()()(2)0y b pk y b y b y pk b =---=--+=，从而2P y pk b =-．同样2Q y pk b =--， 直线PQ 的斜率是22222Q P Q PQQ PQ P P y y y y p py x x y y by p p --===--+-，因此直线PQ 的斜率为定值pb-． 【答案】若定点A 为顶点，则直线PQ 垂直于x 轴；若定点()A a b ，在抛物线上且不是顶点，设直线AP 的方程是()(0)x a k y b k -=-≠，由2()2x a k y b y px-=-⎧⎨=⎩得：22220y pky pkb pa -+-=， 由于22b pa =，故22222222y pky pkb pa y pky pkb b -+-=-+- 22()2()()(2)0y b pk y b y b y pk b =---=--+=，从而2P y pk b =-．同样2Q y pk b =--，直线PQ 的斜率是22222Q P Q PQQ PQ P P y y y y p py x x y y by p p --===--+-，因此直线PQ 的斜率为定值pb-．【例47】 抛物线22(0)y px p =>的弦PQ 的端点与顶点O 的连线成直角时，直线PQ 过定点(20)p ，；反之，抛物线22(0)y px p =>的弦PQ 过定点(20)p ，时，有OP OQ ⊥．【考点】抛物线的几何性质 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】直线OP 的方程是y kx =(0)k ≠，由22y kx y px =⎧⎨=⎩得：222P P p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵OP OQ ⊥，∴直线OQ 的方程为1y x k =-，同理有222Q Qx pky pk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．直线PQ 的斜率是2222122Q P Q P Q Q P Q P P y y y y p ky x x y y k y p p --===-+--， 故直线PQ 的方程是2222()1p k py x k k k -=--，化简得：2(2)1ky x p k =--，（化简思路：化简时将含k 的项移到等式的一边） 故直线PQ 过定点(20)p ，．反之，可设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 为2my x p =-， 连立222my x p y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得：22240y pmy p --=，于是2124y y p =-，224212122164224y y p x x p p p p=⋅==， 212212414OP OQy y p k k x x p -⋅=⋅==-，故OP OQ ⊥， 命题得证．推广：抛物线22(0)y px p =>上有定点()A a b ，，抛物线的弦PQ 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 过定点．设直线AP 的方程是()(0x a k y b k -=-≠，由2()2x a k y b y px -=-⎧⎨=⎩得：22220y p k y p k b p a -+-=，从而2P y pk b =-，同时2Q py b k=--．直线PQ 的斜率是22222Q P Q P QQ PQ PP y y pyx x y y y p p-==-+-，故直线PQ 的方程是()P P py y x x p pk bk-=---， 化简得：221()22b yp pb k px yb p k ⎛⎫+-=++- ⎪⎝⎭，（注：化简时将含k 的项移到等式的一边）故直线PQ 过定点222b p b p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，． 【答案】直线OP 的方程是y kx =(0)k ≠，由22y kx y px =⎧⎨=⎩得：222P P p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵OP OQ ⊥，∴直线OQ 的方程为1y x k =-，同理有222Q Qx pky pk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．直线PQ 的斜率是2222122Q P Q P Q Q P Q P P y y y y p ky x x y y k y p p --===-+--， 故直线PQ 的方程是2222()1p k py x k k k -=--，化简得：2(2)1ky x p k =--，（化简思路：化简时将含k 的项移到等式的一边） 故直线PQ 过定点(20)p ，．反之，可设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线PQ 为2my x p =-， 连立222my x p y px=-⎧⎨=⎩，消去x 得：22240y pmy p --=，于是2124y y p =-，224212122164224y y p x x p p p p=⋅==， 212212414OP OQy y p k k x x p -⋅=⋅==-，故OP OQ ⊥， 命题得证．推广：抛物线22(0)y px p =>上有定点()A a b ，，抛物线的弦PQ 满足AP AQ ⊥，则直线PQ 过定点．设直线AP 的方程是()(0x a k y b k -=-≠，由2()2x a k y b y px -=-⎧⎨=⎩得：22220y p k y p k b p a -+-=，从而2P y pk b =-，同时2Q py b k=--．直线PQ 的斜率是22222Q P Q PQQ PQ PP y y py x x y y y p p-==-+-，故直线PQ 的方程是()P P py y x x p pk bk-=---， 化简得：221()22b yp pb k px yb p k ⎛⎫+-=++- ⎪⎝⎭，（注：化简时将含k 的项移到等式的一边）故直线PQ 过定点222b p b p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，．。

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高中数学抛物线的几何性质总结课件

高中数学抛物线的几何性质总结课件

开口大小与函数值随x变化的幅度有关，开口越小，函数值变化幅度越小；开口 越大，函数值变化幅度越大。
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
高中数学必修抛物线教学讲义

高中数学必修抛物线教学讲义

03- 抛物线【知识点】一、抛物线的标准方程、种类及其几何性质() ：标准方程图形焦点准线范围对称轴极点离心率二、抛物线的焦半径、焦点弦轴（0，0）轴1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1) x0+，(2) ，－ p2(3)弦长 , ，即当 x1=x2时 , 通径最短为 2p(4)若 AB的倾斜角为θ，则 =（5） +=2.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。

过焦点的全部弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.3.的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.4、弦长公式：三、抛物线问题的基本方法1.直线与抛物线的地点关系2.直线，抛物线，3.，消 y 得：4.（ 1）当 k=0 时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；5.（ 2）当 k≠ 0 时，＞0，直线与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线与抛物线相切，一个切点；＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗（不必定）6.对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线：抛物线，①联立方程法：设交点坐标为, ，则有 , 以及，还可进一步求出，在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方a.订交弦 AB的弦长或b.中点, ，②点差法：设交点坐标为，，代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在波及斜率问题时，b.在波及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线订交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）【典型例题】考点 1 抛物线的定义题型利用定义, 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的变换[ 例1 ]已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，那么点P 到点Q（ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为[分析]过点P 作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P 点为抛物线与垂线的交点时，获得最小值，最小值为点Q到准线的距离, 因准线方程为x=-1,故最小值为31. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）A．B．C． D.［分析］C由抛物线定义，即：．2.已知点 F 是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点 , 当最小时 ,M点坐标是()A. B. C. D.[分析]设 M到准线的距离为, 则，当最小时，M点坐标是，选C考点2抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程[ 例 2 ]求知足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2)(2)焦点在直线上[ 分析 ] (1)设所求的抛物线的方程为或,∵过点 (-3,2)∴∴∴抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为(2)令得，令得，∴抛物线的焦点为(4,0) 或 (0,-2),当焦点为(4,0)时,∴，此时抛物线方程; 焦点为 (0,-2)时∴，此时抛物线方程.∴所求抛物线方程为或, 对应的准线方程分别是.3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值[分析]4.对于极点在原点的抛物线，给出以下条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）.能使这抛物线方程为y 2=10的条件是 ____________. （要求填写适合条件的序号）x[分析]用清除法，由抛物线方程y2=10x 可清除①③④，进而②⑤知足条件.5.若抛物线的极点在原点，张口向上， F 为焦点， M为准线与 Y 轴的交点， A 为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程[ 分析 ]设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点 A 的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点 3抛物线的几何性质题型：相关焦半径和焦点弦的计算与论证[ 例 3 ] 设 A、 B 为抛物线上的点, 且 (O 为原点 ), 则直线 AB必过的定点坐标为__________.［分析］设直线OA方程为 , 由解出 A点坐标为解出 B 点坐标为，直线AB方程为 , 令得，直线AB 必过的定点增补：抛物线的几个常有结论及其应用结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第八章 平面解析几何 第7讲抛物线 Word版含答案

第7讲 抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上 向下 焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度． 高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1， 即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第九章 第七节 抛物线 Word版含答案

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第九章 第七节 抛物线 Word版含答案

第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)) |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点共同点(1)原点都在抛物线上；(2)焦点都在坐标轴上；(3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都[熟记常用结论]设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B.y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析：选C 点P 到F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与它到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B.y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .4．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的y ＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y 2＝－4x ，当焦点在y 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的x ＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y5．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516. 答案：1516考点一 抛物线的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．[解析] (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1， 则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4. [答案] (1)B (2)4 [变式发散]1．(变条件)若将本例(2)中“B (3,2)”改为B (3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 解析：由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.答案：2 52．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.答案： 5[解题技法]与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.[过关训练]1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．答案：(2,2)2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝________.解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝ 2.答案： 2考点二抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关][典例精析](1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0设点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5，得 ⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .[答案] (1)B (2)C[解题技法]1．求抛物线标准方程的方法(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[过关训练]1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选B 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由抛物线定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝6，|AC |＝6＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以6＋3a ＝12，从而得a ＝2，|FC |＝3a ＝6，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝3，因此抛物线方程为y 2＝6x .2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．解析：△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22p ，则点M ⎝⎛⎭⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎨⎧m 22p ＋p2＝4，⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y考点三 直线与抛物线的位置关系[师生共研过关][典例精析]设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1.(2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m ＞0，得m ＞－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ). 由题设知|AB |＝2|MN |，即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.[解题技法]1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[过关训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：22．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.。