1.5.1 平行关系的判定

平面向量的平行和垂直关系的判定方法在平面向量的学习中，我们经常需要判定两个向量是否平行或垂直。

正确判定两个向量的平行和垂直关系对于解决向量的运算和几何问题至关重要。

本文将介绍平面向量的平行和垂直关系的判定方法，并提供相应的示例来加深理解。

1. 平行关系的判定方法(1) 两个向量的方向相同或相反，则它们平行。

(2) 两个向量的标量倍数关系相等，则它们平行。

示例1:已知向量a(2, 3)和向量b(-4, -6)，我们要判定它们是否平行。

分析：由于向量a和向量b的方向相反，并且它们的标量倍数关系相等（-2），所以a和b是平行的。

示例2:已知向量c(3, -2)和向量d(-6, 4)，我们要判定它们是否平行。

分析：向量c和向量d的方向不相同，并且它们的标量倍数关系也不相等，所以c和d不是平行的。

2. 垂直关系的判定方法(1) 两个向量的数量积（内积）等于0，则它们垂直。

(2) 两个向量的方向余弦之积等于0，则它们垂直。

示例3:已知向量e(4, 3)和向量f(-3, 4)，我们要判定它们是否垂直。

分析：计算向量e和向量f的内积：4*(-3) + 3*4 = 0，所以e和f是垂直的。

示例4:已知向量g(2, 5)和向量h(-4, 3)，我们要判定它们是否垂直。

分析：计算向量g和向量h的方向余弦之积：(2/√29)*(-4/√25) +(5/√29)*(3/√25) = 0，所以g和h是垂直的。

需要注意的是，对于平面向量的垂直关系，除了以上的方法外，我们还可以通过计算向量的斜率（梯度）来判定。

当斜率互为相反数时，两个向量垂直。

在实际问题中，我们常常需要判定多个向量之间的平行和垂直关系。

此时，我们可以将向量写成分量形式或向量方程形式，进而进行运算和判定。

总结：判定平面向量的平行和垂直关系的方法基于向量的方向、标量倍数、数量积（内积）和方向余弦之积。

通过正确应用这些方法，我们可以准确判定向量之间的关系，为解决向量运算和几何问题提供有力支持。

空间平行关系的相互转化山东省莱芜市第五中学数学组（271121） 刘峰空间的平行关系包括线线平行，线面平行，面面平行。

解决此类问题的关键是利用相关的定理，性质将三者或其中的两者之间进行合理的转化，下面我们将空间的平行关系进行总结。

三种平行关系的相互转化可用下图来表示： 线线平行线面平行面面平行（1）（2）（3）（4）（5）（6）其中（1）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（3）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．（4）面面平行的性质：如果两个平面相互平行那么其中一个平面内的一条直线平行于另一个平面.（5）（面面平行判定定理的推论）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面互相平行．（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 下面我们通过几个例题来看一下在具体题目中如何进行转化。

例1、已知平面l αβ=，直线//,//.a a αβ 求证：//a l【证明】如右图：过直线a 作平面c γα=. 则由//a α得//.a c过直线a 作平面b δβ=，则由//a β 得//.//a b b c ∴.又,,//b c b ααα⊄⊂∴.而,,//,//.l b b l a b βαβ=⊂∴又//a l ∴.【点评】（1）本题综合应用线面平行的判定和性质，实现线面平行和线线平行的相互转化；（2）由本题得到了一个重要的结论：如果一条直线同时与两个相交平面平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线平行。

例 2.如右图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈且AM FN =.求证：//MN BCE 面.【证法一】如右图,过M 作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，连结PQ. ∵MP ∥AB ，NQ ∥AB ，∴MP ∥NQ . 又22,,,22MP MC NQ BN MC BN MP NQ ===∴=又,∴MPQN 是平行四边形.∴MN ∥PQ ，又PQ ⊂平面BCE .而MN ⊄平面BCE ，∴MN ∥平面BCE.【证法二】如右图，过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G ，连结NG∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ，∴MG ∥平面BCE,,,AM AG AG FN AM FN AC BF AC AB AB BF===∴=且 ∴GN ∥AF ∥BE ，又BE ⊂平面BCE ，GN ⊄平面BCE ，∴GN ∥平面BCE又MG NG G =，∴平面MNG ∥平面BCE又MN ⊂平面MNG ∴MN ∥平面BCE【点悟】证明线面平行是一个考查的重点，证明时通常采用以下两种方法：①利用线面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用面面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行例3、如右图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，设,,,M N E F 分别是棱11111111,,,A B A D C D B C 的中点.（1） 求证：,,,E F B D 四点共面；（2） 求证：面//AMN EFBD 面.【证明】（1）连结11B D ，则11//EF B D ，又11//B D BD ，//EF BD ∴，故,,,E F B D 四点共面.（2）连结ME ，则1111//,ME A D ME A D =且，又1111//AD A D AD A D =且，//AD ME AD ME ∴=且 ∴四边形ADEM 是平行四边形，故//,,,//;AM DE AM EFBD DE EFBD AM EFBD ⊄⊂∴又面面面同理//AN EFBD 面.又AM AN A =，∴面//AMN EFBD 面.【点评】证明面面平行一般利用面面平行的判定定理，在一个平面内找两条相交直线分别平行于另一个平面。

判定平行的条件一、平行的定义和性质在平面几何中，平行是指两条直线或平面上的点、直线或面永远不会相交的关系。

平行的性质有以下几点：1. 平行的直线在平面上的任意点之间的距离是相等的。

2. 平行的直线与平面上的任意一条横切线的夹角是相等的。

3. 平行的直线与平面上的任意一条平面内的直线的夹角是相等的。

在平面几何中，我们可以通过以下条件来判定两条直线是否平行：1. 同位角相等定理：如果两条直线被一条横切线所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。

这个定理的应用非常广泛，可以用于证明平行四边形、相似三角形等定理。

2. 垂直定理的逆定理：如果两条直线互相垂直，则这两条直线是平行的。

这个定理可以通过垂直定理的逆定理进行证明。

三、平行的应用平行的概念和判定条件在几何学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 平行四边形：如果四边形的对边是平行的，则这个四边形是平行四边形。

平行四边形具有一些特殊的性质，如对边相等、对角线平分等。

2. 相似三角形：如果两个三角形的对应边分别平行，则这两个三角形是相似的。

相似三角形具有对应角相等、对应边成比例等性质。

3. 平行线的判定：在解决几何问题中，判定两条直线是否平行是一个常见的任务。

通过应用判定条件，可以快速确定两条直线是否平行，从而简化问题的解决过程。

4. 平面的划分：在平面几何中，经常需要将平面划分成不同的区域。

通过判定直线的平行关系，可以将平面划分成不同的区域，从而方便进行后续的分析和计算。

总结：平行是几何学中的一个重要概念，指的是两条直线或平面永远不会相交。

我们可以通过同位角相等定理和垂直定理的逆定理来判定两条直线是否平行。

平行的概念和判定条件在解决几何问题中有广泛的应用，如平行四边形、相似三角形等。

掌握平行的定义和判定条件，能够帮助我们更好地理解和解决几何问题。

在实际应用中，我们可以利用平行的性质进行划分和分析，简化问题的解决过程。

通过学习和应用平行的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的原理，提高解决问题的能力。

空间几何中的平面平行关系在空间几何学中，平面平行关系是一个重要的概念。

当两个平面永远不相交，无论它们延伸到无穷远，都不会相交，我们就可以说这两个平面是平行的。

平面平行关系有一些性质和判定方法，本文将对这些内容进行详细讨论。

一、定义和性质1. 定义：如果两个平面不相交，则它们是平行的。

2. 性质：a. 平行的平面在任意方向上的截线是平行线。

b. 平面平行关系是对称关系，即如果平面A与平面B平行，则平面B与平面A也平行。

c. 平面平行关系是传递关系，即如果平面A与平面B平行，平面B与平面C平行，则平面A与平面C也平行。

二、平面平行的判定方法1. 通过两个平面的法向量判定：如果两个平面的法向量是平行的，则这两个平面平行。

2. 通过平面上的一组向量判定：如果两个平面上的相同向量比值相等，则这两个平面平行。

3. 通过平面上的直线与另一平面的交点判定：如果一条直线与一个平面平行于另一个平面，则这两个平面平行。

三、平行平面的性质和相关定理1. 平行平面的截距：平行平面的任意两个截距之比相等。

2. 平行平面的夹角：平行平面之间的夹角等于它们的法向量夹角的余角。

3. 平行线与平面的垂直关系：如果一条直线平行于一个平面，那么该直线上的任意一条直线都与该平面垂直。

4. 平行平面的平行线：平行平面上的平行线在空间中保持平行关系。

根据上述性质和判定方法，我们可以在空间几何中确定两个平面之间的平行关系。

在实际生活中，平面平行关系有广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域都需要考虑平面平行关系。

理解和掌握平行关系的概念和判定方法对于解决实际问题非常重要。

总结：空间几何中的平面平行关系是一种重要的关系概念，具有一定的性质和判定方法。

理解和应用平面平行关系对于解决各种实际问题以及在相关领域中的应用具有重要意义。

通过本文的介绍，希望读者能够对平面平行关系有更深入的理解，并能够灵活应用于实际问题中。

第24讲 空间中平行关系的判定与性质一.基础知识整合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a αb αa ∥α⎭⎪⎬⎪⎫a β，b βaα，bαa ∩b ＝Aa ∥β，b ∥β⇒α∥β⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b题型一：线面平行的判定例1：如图，四边形ABCD ，ADEF 都是正方形，M ∈BD ，N ∈AE ，且BM ＝AN.求证：MN ∥平面CED .证明：如图，连接AM 并延长交CD 于点G ，连接GE ，因为AB ∥CD ，所以AM MG ＝BM MD .所以AM MG ＋AM ＝BM MD ＋BM，即AM AG ＝BM BD .又因为BD ＝AE且AN ＝BM ，所以AM AG ＝ANAE .所以MN ∥GE .又GE 平面CED ，MN平面CED ，所以MN ∥平面CED .变式迁移1：在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD.证明：取PD 中点F ，连接AF 、NF 、NM .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . 题型二：面面平行的判定例2：:已知四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明：∵PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，∴MQ ∥AD ，NQ ∥BP .∵BP 平面PBC ，NQ 平面PBC ，∴NQ ∥平面PBC .又底面ABCD 为平行四边形，∴BC ∥AD ，∴MQ ∥BC .∵BC 平面PBC ，MQ 平面PBC ，∴MQ ∥平面PBC .又MQ ∩NQ ＝Q ，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ ∥平面PBC .变式训练2：如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明：如图所示，连接B 1D 1，∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，∴PN ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD ，又PN 平面A 1BD ，BD 平面A 1BD ，∴PN ∥平面A 1BD ，同理可得MN ∥平面A 1BD ，又∵MN ∩PN ＝N ，∴平面PMN ∥平面A 1BD .题型三：平行关系判定的综合应用例3：如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .证明如下：设Q 为CC 1中点，则PD 綊QC ，连接PQ ，则由PQ 綊DC 綊AB ，可知四边形ABQP 是平行四边形，∴AP ∥BQ .∵AP 平面D 1BQ ，BQ 平面D 1BQ ，∴AP ∥平面D 1BQ .∵O 、P 分别为BD 、DD 1的中点，∴OP ∥BD 1.又OP 平面D 1BQ ，BD 1平面D 1BQ ，∴OP ∥平面D 1BQ .又AP ∩PO ＝P ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO ，∴当点Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .变式训练3：如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的点，EC ＝2FB ＝2.则当点M 在什么位置时，MB ∥平面AEF ？试给出证明． 解：当M 为AC 中点时，MB ∥平面AEF .证明：如图，当M 为AC 中点时，过M 作MG ∥CE ，交AE 于G ，连接GF .∵M 为AC 中点，∴MG 綊12CE .又FB ∥CE ，EC ＝2FB ，∴MG 綊FB .∴四边形BFGM为平行四边形，∴GF ∥MB .又GF 平面AEF ，MB 平面AEF ，所以MB ∥平面AEF .题型四：线面平行性质的应用例4：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH . 证明：如图所示，连接AC ，交BD 于O ，连接MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 为AC 中点，又∵M 为PC 中点，∴AP ∥OM .又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM ，又∵AP 平面APGH ，且平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH . 变式训练4：如图所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 与α分别交于M ，N 两点，求证：AM MC ＝BN ND.证明：如图所示，连接AD 交平面α于Q ，连接MQ 、NQ .MQ 、NQ 分别是平面ACD 、平面ABD 与α的交线．∵CD ∥α，AB ∥α，∴CD ∥MQ ，AB ∥NQ .于是AM MC ＝AQDQ ，DQ AQ ＝DN NB ，∴AM MC ＝BN ND . 题型五：面面平行性质的应用例5：已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .求证：AB BC ＝DEEF.证明：如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG .平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF . 因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF .于是在△ADC 内有AB BC ＝DG GC ，在△DCF 内有DG GC ＝DEEF.∴AB BC ＝DE EF.变式训练5：如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.证明：过点A 作AE ∥CD 交平面β于E ，连接DE ，BE ，∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .由于α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理)取AE 中点N ，连接NP ，MN ，∵M 、P 分别为AB 、CD 的中点，∴NP ∥DE ，MN ∥BE .又NPβ，DE β，MNβ，BE β，∴NP ∥β，MN ∥β.又NP ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥β.∵MP 平面MNP ，∴MP ∥β.题型六：平行关系性质的综合应用例6：如图，直线CD 、AB 分别平行于平面EFGH ，E 、F 、G 、H 分别在AC 、AD 、BD 、BC 上，且CD ＝a ，AB ＝b ，CD ⊥AB . (1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)点E 在AC 上的什么位置时，四边形EFGH 的面积最大？ 解：(1)因为CD ∥平面EFGH ，所以CD ∥EF ，CD ∥GH ，所以GH ∥EF . 同理EH ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为AB ⊥CD ，所以HE ⊥EF .所以四边形EFGH 是矩形．(2)设CE ＝x ，AC ＝1，因为HE ∥AB ，所以HE AB ＝CECA ，所以HE ＝xAB ＝xb .同理，EF ＝(1－x )DC ＝(1－x )a .所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝x (1－x )ab ＝[－(x －12)2＋14]ab ，当且仅当x ＝12时，S 矩形EFGH 最大，即当E 为AC中点时，四边形EFGH 的面积最大．变式训练6：如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l . (1)求证：l ∥BC ；(2)MN 与平面P AD 是否平行？试证明你的结论．证明：(1)∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC. 又∵平面PBC∩平面P AD＝l，∴l∥AD∥BC. (2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MQ∥AD，NQ∥PD. 而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD. ∵MN平面MNQ，∴MN∥平面P AD.三．方法规律总结1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线与平面平行，先证直线与直线平行．即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的证明顺序进行．当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性．两平面平行的判定定理的条件中直线相交很重要，而且在解题中常常被忽视．4．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系四．课后练习作业一、选择题1．下列说法正确的是(B)A．平行于同一个平面的两条直线平行B．同时与两异面直线平行的平面有无数多个C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D．直线l不在平面α内，则l∥α【解析】：A选项，若两直线相交且同时与此平面平行也是可以的；B选项，我们将异面直线都平移到空间中的某一点相交，则它们确定一个平面，与此平面平行的平面平行于这两条异面直线，显然这样的平面有无穷多个；C、D选项，若直线与平面相交，则直线有两点在平面外，直线也不在平面内，但l与α不平行．2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是(C) A．MN∥βB．MN与β相交或MNβC．MN∥β或MNβD．MN∥β或MN与β相交或MNβ【解析】:当平面β与平面ABC重合时，有MNβ；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MNβ，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MNβ.1．若α∥β，aα，下列三个说法中正确的是(D)①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点．A．①②B．①③C．①D．②③【解析】a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选B.2．下列说法正确的个数为(B)①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1B．2C．3D．4【解析】易知①④正确，②不正确，③直线可能在平面内，故③不正确．3．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(A)A．平行B．相交C．AC在此平面内D．平行或相交【解析】如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．∵E、F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.又EF平面EFG，且AC平面EFG.∴AC∥平面EFG.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是(A)A．平面A1BC1和平面ACD1 B．平面BDC1和平面B1D1CC．平面B1D1D和平面BDA1D．平面ADC1和平面AD1C【解析】:如图，在截面A 1BC 1和截面AD 1C 中，⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥A 1C 1AD 1∥BC1AC ∩AD 1＝AA 1C 1∩BC 1＝C 1⇒平面A 1BC 1∥平面ACD 1. 3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．相交或平行 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1DM 平面ADD 1A 1⇒MD ∥平面BCC 1B 1.4．已知平面α∥β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( B ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20【解析】第①种情况，当P 点在α、β的同侧时，设BD ＝x ，则PB ＝8－x ， ∴P A AC ＝PB BD .∴BD ＝245.第②种情况，当P 点在α，β中间时，设PB ＝x .∴PD PC ＝PB P A . ∴x ＝6×83＝16，∴BD ＝24.5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( B ) A ．α∥平面ABC B ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于α D ．△ABC 中只可能有一边与α相交 【解析】若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.5．如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( B ) A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形【解析】:∵AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，∴EF ∥BD 且EF ＝15BD .又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，∴HG 綊12BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 为梯形．∵BD 平面BCD 且EF 平面BCD .∴EF ∥平面BCD . 二、填空题6．如图所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则MN 与平面BDC的位置关系是________．【解析】:∵AM MB ＝ANND ，∴MN ∥BD .又∵MN 平面BDC ，BD 平面BDC ，∴MN ∥平面BDC .【答案】 平行7．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，下面三个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②γ∥α，β∥α⇒γ∥β；③a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确命题的序号是________．【解析】由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a 可能在α内．【答案】 ①②8．在空间四边形P ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是△PBC 、△PCA 、△P AB 的重心，则平面ABC 与平面A 1B 1C 1的位置关系是________．【解析】如图，连接PC 1，P A 1，并延长分别交AB ，BC 于E 、F 两点，由于C 1、A 1分别为重心．∴E 、F 分别为AB 、BC 的中点，连接EF .又∵PC 1C 1E ＝P A 1A 1F ＝2.∴A 1C 1∥EF .又∵EF 为△ABC边AC 上的中位线，∴EF ∥AC ，∴AC ∥A1C 1，又A 1C 1平面ABC ，AC 平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，同理A 1B 1∥平面ABC ，A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，∴平面A 1B 1C 1∥平面ABC .【答案】 平行7．空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．【解析】∵AC ∥面EFGH ，AC 面ABC ，面ABC ∩面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF .∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2.同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2.∴四边形EFGH 的周长为8.【答案】 88．如图，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．【解析】根据题意有S △ABC ＝32.∵AA ′、BB ′相交，∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′，∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，①△ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABCS △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.【答案】 239三、解答题9．在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点．求证：平面A ′EB ∥平面ADC ′.证明:连接DE ，∵E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点，∴DE 綊AA ′，∴AA ′ED 是平行四边形，∴A ′E ∥AD .∵A ′E 平面ADC ′，AD 平面ADC ′.∴A ′E ∥平面ADC ′.又BE ∥DC ′，BE 平面ADC ′，DC ′平面ADC ′，∴BE ∥平面ADC ′，∵A ′E 平面A ′EB ，BE 平面A ′EB ，A ′E ∩BE ＝E ，∴平面A ′EB ∥平面ADC ′.10．如图，在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面是梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，求证：面AD 1C ∥面BPQ .证明:∵D 1Q ＝12DC ，AB 綊12CD ，∴D 1Q 綊AB .∴四边形D 1QBA 为平行四边形，∴D 1A 綊QB .∵Q 、P 分别为D 1C 1、C 1C 的中点，∴QP ∥D 1C . ∵D 1C ∩D 1A ＝D 1，PQ ∩QB ＝Q .∴面AD 1C ∥面BPQ .11．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)GE ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明:(1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG ∥B 1C 1，且OG ＝12B 1C 1，BE∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE .∵OB平面BDD 1B 1，GE 平面BDD 1B 1，∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ，∵B 1D 1平面BDF ，BD 平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF .∵HD 1平面BDF ，BF 平面BDF ，∴HD1∥平面BDF ，∵B 1D 1∩HD 1＝D 1，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .9．如图，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解:设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．∵A 1B ∥平面B 1CD ，且A 1B 平面A 1BC 1，∴A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.10．如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点． 求证：AC ∥平面BPQ .证明:连接CD 1，AD 1∵P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1，且CD 1平面BPQ ，∴CD 1∥平面BPQ .又D 1Q ＝AB ＝1，D 1Q ∥AB ，∴四边形ABQD 1是平行四边形，∴AD 1∥BQ ，又∵AD 1平面BPQ ， ∴AD 1∥平面BPQ 又AD 1∩CD 1＝D 1.∴平面ACD 1∥平面BPQ . ∵AC 平面ACD 1，∴AC ∥平面BPQ .11．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，试探求点E 的位置，使SC ∥平面EBD ，并证明．解:点E 的位置是棱SA 的中点．证明如下：如题图，取SA 的中点E ，连接EB ，ED ，AC ，设AC 与BD 的交点为O ，连接EO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是AC 的中点．又E 是SA 的中点，∴OE 是△SAC 的中位线．∴OE ∥SC .∵SC 平面EBD ，OE 平面EBD ，∴SC ∥平面EBD . 则平面MNE ∥平面P AD .又∵MN 平面P AD ，且MN 平面MNE ，∴MN ∥平面P AD .。