线面平行的判定

证明线面平行的判定定理线面平行是几何学中一个重要的概念，这也是影响几何图形的基本原理之一。

历来几何学家们总是想要阐明线面平行的思想，以及客观究竟什么是线面平行，以及它们之间的关系。

为了明确线面平行的概念，几何学家通过长期的实验和推理，形成了一个可以检验线面是否平行的定理，而这就是证明线面平行的判定定理。

证明线面平行的判定定理指出：若两线段之一两端都在一个平面内，而另一线段两端都在另一个平面内，则这两条线段所在的平面一定是平行的，即若两空间中的两条线段，其两端在完全不同的平面中，则这两条线段所在的平面是平行的。

我们来用数学的方法证明该定理。

设有两条线段ab和cd，其中ab的两端位于平面α中；cd的两端位于平面β中，且α⊥β。

定义α的法向量为n1，β的法向量为n2，令n1×n2=n3。

由规范余弦定理，即可得出n3=0，说明n1=n2，即α=β，从而证明了该定理。

由于证明线面平行的判定定理明确了两条线段所在的平面是否平行的标准，因此可以用它来检验几何图形中两条线段是否平行，也可用它来检验不同几何图形中两条线段是否平行。

比如，若两个平面图形中，两条线段分别位于其中，则可以首先求出每个平面图形的法向量，然后比较两个法向量的方向是否一致，若一致则两条线段所在的平面一定是平行的，若不一致则两条线段所在的平面就有可能是不平行的。

此外，由于证明线面平行的判定定理涉及到线段的概念，因此也可以用于检验两个空间图形中线段是否平行。

例如，在空间图形中，可以求出每条线段所在平面的法向量，然后比较两条线段所在平面的法向量是否一致，若一致则两条线段所在的平面一定是平行的，若不一致则两条线段所在的平面就有可能是不平行的。

从上述可知，证明线面平行的判定定理在几何学中具有重大的意义。

它不仅可以用来检验几何图形中两条线段是否平行，还可以用来检验空间图形中线段是否平行，而且方便快捷，计算简单，十分有效。

因此，证明线面平行的判定定理在几何学中的应用越来越广泛，但仍需要进一步的研究。

线面关系的判定和性质线面关系有相交和平行。

相交特殊情况为垂直。

垂直是证明线和面上的两条相交直线都垂直就可以，平行是证明线和面上的任意一条直线平行就好。

1线面关系的判定及线面关系性质直线与平面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

直线与平面垂直判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线相垂直，则该直线与此平面垂直。

性质：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直。

2平面与平面垂直定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

注意：垂直于同一个平面的两平面是否平行？（可能平行，可能相交）线面平行的性质定理一平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A ∈α∵a∥b，∴A不在b上在α内过A作c∥b，则a∩c=A又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。

∴假设不成立，a∥α线面平行的性质定理二平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。

求证：a∥α证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。

假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC ∵B∈α，C∈α，b⊥α∴b⊥BC，即∠ABC=90°∵a⊥b，即∠BAC=90°∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。

∴假设不成立，a∥α。

线面平行的定义：若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。

图形表示如下：1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

线面平行的判定
线面平行的判定原理是，当两条直线或则弧线之间的夹角是0度，也就是说他们实际上在一个水平方向上，这时候就可以判断他们互为平行。

如果这个夹角不是0度，而是180度，那么这两条直线或者弧线就是相互垂直的。

更具体地说，线面平行的判定包括几个步骤：
（1）首先，要求两条直线或弧线之间必须存在一个共同的垂直于X-Y平面的法向量。

（2）然后，将这两条直线或弧线投射到X-Y平面上，看看它们投射后的夹角是多少。

（3）如果投射后的夹角为0度，即它们在X-Y平面上是平行的，则说明它们之间是平行的；
（4）如果投射后的夹角不为0度，即它们在X-Y平面上不是平行的，则说明它们之间是不平行的。

判断任意两条直线或弧线之间的平行性，除了要求它们有一个共同的法向量外，还需要对它们投射到X-Y平面上的夹角做出具体的判断，以便决定它们之间的平行性。

由此可见，线面平行的判定是一个具有技巧性的过程，要求空间几何知识扎实，有着灵活的运用能力，才能正确地判断两条直线或弧线之间的平行性。

BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。

线面平行的判定在几何图形中，线面平行是一种常见的概念，它有很多实际应用，如构建建筑物、摆放家具或计算机绘图等等。

学习如何判断两条线或两个面是否平行可以让我们更好地利用几何知识。

线的平行判定一般有以下几种方法：一、线的平行判定1.线的斜率相等：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的，斜率就是斜线的倾斜度，它的定义为：斜线的高度与它的宽度的比值。

2.线的斜率分别为∞和0：果两条线的斜率分别为∞和0（无穷大和零），则它们也是平行的。

3.线的斜率相反：如果两条直线的斜率相反，一条是正斜率，一条是负斜率，则它们也是平行的。

4.线的垂直：如果两条直线垂直，则它们也是平行的。

二、的平行判定1.面的斜率相等：如果两个平面的法向量的斜率相等，则它们是平行的。

2.面的斜率分别为∞和0：果两个平面的斜率分别为∞和0，则它们也是平行的。

3.面的斜率相反：如果两个平面的斜率相反，一条是正斜率，一条是负斜率，则它们也是平行的。

4.面的垂直：如果两个平面垂直，则它们也是平行的。

三、几何概念的交叉判定1.与面的交叉判定：如果一条直线与一个平面都是平行的，则它们是交叉的。

2.与线的交叉判定：如果两条直线都是平行的，则它们是交叉的。

3.与面的交叉判定：如果两个平面都是平行的，则它们是交叉的。

在几何中，判断两条线或两个面是否平行是一种常见的习题，尤其是在处理几何图形及它们间的关系时，通常需要将这类习题解决了才能继续处理更复杂的关系和图形。

此外，有些关于线面平行的概念也有它们的实际应用，如建筑物的设计，家居摆放等。

因此，学习如何判断两条线或两个面是否平行，尤其在几何学上，是很有必要的，有助于我们更好地利用几何知识和应用几何知识。

证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。